ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas
Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia 2 wraz z dodawaniem macierzy i mnożeniem macierzy przez liczby rzeczywiste stanowi przestrzeń liniową Zadanie 2 Sprawdzić że podane zbiory W są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni liniowych V: a) W = (2x y y + z) R 2 : x y z R V = R 2 ; b) W = (x y z t) R 4 : x y = z t V = R 4 ; c) W = p R 2 [x : p() = p () V = R[x; d) W = A M 3 3 : A = A T V = M 3 3 Zadanie 3 Który z narysowanych niżej zbiorów jest podprzestrzenią liniową płaszczyzny? a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x f) y x g) y x h) y x Zadanie 4 Opisać wszystkie podprzestrzenie liniowe przestrzeni R 3 Zadanie 5 Określić które z podanych zbiorów U W X Y są podprzestrzeniami liniowymi wskazanych przestrzeni liniowych V: a) V = R 2 U = (x y) : x y W = (x y) : ln ( x 2 y 2) X = (x y) : 9x 2 + 2xy + 4y 2 = Y = (x y) : 3x 2 + 5xy 2y 2 = ; b) V = R 4 U = (x y z t) : 3 x = 2 y W = (xy y x ) : x y R X = (x y z t) : x 2 + z 6 = Y = (x x + y x y) : x y R ; c) V = R U = (x n) : lim x n = lub lim x n = n n W = (x n) : istnieje n N takie że x n = dla każdego n n X = (x n) : ciąg (x n) jest zbieżny lub stały Y = (x n) : x n+2 = x n + x n+ dla każdego n N ; d) V = R[x U = p : stopień wielomianu p jest równy 4 W = p : 2p(x) = p(2x) dla każdego x R X = p : p() = lub p () = Y = p : wielomian p jest funkcją parzystą ; e) V = C(R) U = f : funkcja f jest niemalejąca W = f : funkcja f jest różniczkowalna X = f : funkcja f jest stała na zbiorze N Y = f : f(x + y) = f(x)f(y) dla dowolnych x y R ; [ f) V = M 2 2 U = A : AA T = [ X a b = : abcd = Y = c d [ a b c d W = A : det A : a + c = b 2
Zadanie 6 Które z podanych zbiorów są podprzestrzeniami wskazanych przestrzeni liniowych: a) W = (x y) R 2 : x 2 + y 2 = lub x = y W 2 = (x y) R 2 : x 2 + y 2 = i x = y V = R 2 ; b) W = (x y) R 2 : xy = i x = W 2 = (x y) R 2 : xy = lub x = V = R 2 ; c) W = (x y z) R 3 : x + 4y = i 3x z = W 2 = (x y z) R 3 : x + 4y = lub 3x z = V = R 3 ; d) W = (x y z t) R 4 : x = 2y lub x 2 = 4y 2 W 2 = (x y z t) R 4 : x = 2y i x 2 = 4y 2 V = R 4 ; e) W = W 2 = (x n) R : lim x n istnieje i n (x n) R : lim x n istnieje lub n f) W = p R[x : p() = p() = lub W 2 = p R[x : p() = p() = i lim x n = n lim x n = n V = R ; wielomian p ma co najmniej dwa miejsca zerowe wielomian p ma co najmniej dwa miejsca zerowe V = R[x; g) W = f C(R) : istnieje f na R i f jest funkcją stałą ; W 2 = f C(R) : istnieje f na R lub f jest funkcją stałą ; V = C(R)? Zadanie* 7 Uzasadnić bezpośrednio z definicji przestrzeni liniowej że a) istnieje tylko jeden wektor zerowy; b) istnieje tylko jeden wektor przeciwny do każdego wektora; c) α = dla każdego α R Lista druga Zadanie 2 Wektory (3 2 5) ( ) przedstawić na wszystkie możliwe sposoby jako kombinacje liniowe wektorów: a) (3 2 5) ( ); b) (3 2 5) ( ) ( 5 2); c) ( 2 3) ( ) ( 2 ); d) ( 2 3) ( ) ( 2 ) Zadanie 22 Zbadać z definicji liniową niezależność podanych układów wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych: a) ( 4) (2 3) ( ) (5 6) w przestrzeni R 2 ; b) ( 2 3) ( ) ( 2 ); ( 2 3) ( ) ( 2 ) w przestrzeni R 3 ; c) 3 x 4 + x 2x + 3; 2 x 3 3x + 2 x 2 + x w przestrzeni R[x; d) cos x cos 2x cos 2 x; x cos x e x w przestrzeni C(R); e) [ 2 3 [ 2 f) I A A 2 dla A = [ 2 [ [ 2 w przestrzeni M 2 2 2 ; w przestrzeni M 2 2 Zadanie 23 Uzasadnić liniową zależność podanych wektorów w odpowiednich przestrzeniach liniowych przedstawiając jeden z tych wektorów jako kombinację liniową pozostałych: a) ( 2 3) (2 3 4) ( ) w przestrzeni R 3 ; b) x 4 x 3 + x 2 x + x 3 + x 2 + x x 3 x 2 + x x 4 + x 3 + x 2 + x + w przestrzeni R 4 [x; ( ) ( ) π π c) sin x sin 2 x sin 3 x w przestrzeni C(R); d) arc sin x arc cos x w przestrzeni C ([ ) Zadanie 24 Wektory u v w x są liniowo niezależne w przestrzeni liniowej V Zbadać liniową niezależność wektorów: 3
a) u + v v + w u + w; b) u u + v u + v + w u + v + w + x; c) u v v w w; d) u v v w w x x u; e) u 3 v + 5 w 2 u + v + 3 w 3 u + 2 v + 4 w; f) 2 u + 3 v + w u + 2 v + x 4 u + 7 v + w + 2 x Zadanie 25 Niech V będzie przestrzenią liniową a u v w x wektorami z tej przestrzeni Uzasadnić że jeżeli wektory: a) u v w są liniowo zależne to wektory u v w x też są liniowo zależne; b) u v są liniowo niezależne a wektory u v w liniowo zależne to wektor w jest kombinacją liniową wektorów u v; c) u v w są liniowo niezależne i wektor x nie jest kombinacją liniową tych wektorów to wektory u v w x są liniowo niezależne; d) u v w są liniowo niezależne a wektory u v w x są liniowo zależne to wektor x jest kombinacją liniową wektorów u v w e*) Co można powiedzieć o liniowej niezależności wektorów u + v u + w v w jeżeli wektory u v w są liniowo zależne? Zadanie 26 Uzasadnić liniową niezależność podanych nieskończonych układów wektorów z odpowiednich przestrzeni liniowych: a) ( ) ( ) ( ) R ; b) x x 2 R[x; c) p n R[x : p n (x) = xn x dla x n N R[x; d*) cos x cos 2x C(R); e*) e tx : t R C(R) Zadanie 27 Uzasadnić że dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory w przestrzeni R 3 są liniowo niezależne Lista trzecia Zadanie 3 Opisać (geometrycznie lub słownie) zbiory lin A dla: a) A = (5 4) ( 2 8) R 3 ; b) A = x + 3 x(x + 3) x 2 (x + 3) x 3 (x + 3) R[x; [ [ [ 2 c) A = 3 M 3 3 ; 2 3 d*) A = ( ) ( 2 2 2 2 ) ( 3 3 3 ) R Zadanie 32 Wyznaczyć generatory podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x y z) R 3 : 4x y + 2z = ; b) V = (2r + s t t u r + 3s + u s + u t u) : r s t u R ; c) V = (x y z t) R 4 : x y = y z = z t ; d) V = p R 3 [x : p() + p(2) = p(3) + p () Zadanie 33 Sprawdzić z definicji czy podane zbiory wektorów są bazami wskazanych przestrzeni liniowych: a) B = (2 5) (3 ) (6 7) R 2 ; b) B = (2 3 ) ( 3 2) R 3 ; c) B = ( 4) (3 ) (2 2) R 3 ; d) B = 2x + 4 3x x 2 2x 2 + 4x 4 R 2 [x 4
Zadanie 34 Wektory u v w tworzą bazę przestrzeni liniowej V Zbadać z definicji czy podane zbiory wektorów też są bazami przestrzeni V : a) u 2 v + w 3 u + w u + 4 v w; b) u 2 u + v 3 u v + 4 w Zadanie 35 Dla jakich wartości parametru p R podane zbiory wektorów stanowią bazy odpowiednich przestrzeni R n : a) B = (p 2 p) (3 2 + p) R 2 ; b) B = ( 3 p) (p p) ( 2 ) R 3 ; c) B = ( ) ( p 2 3) ( p 2 4 9 ) ( p 3 8 27 ) R 4 ; d*) B = ( ) (p ) (p p ) (p p p ) R n? Zadanie 36 Wskazać bazy i określić wymiary podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x + y + z x y x z y z) : x y z R ; b) V = (a + 2b + c 3a b + 2c 5a + 3b + 4c) : a b c R ; c) V = (x y z t) R 4 : 2x y = z t = ; d) V = p R 4 [x : p(2x) = 4xp (x) + p() ; e) V = A = [a ij M 3 4 : a ij = dla i j ; f) V = lin e x e x sh x ch x przy czym V C(R) Zadanie 37 Znaleźć bazy podanych przestrzeni liniowych zawierające wskazane zbiory wektorów: a) ( 5 3) R 3 ; b) ( ) (2 3 2) (3 3 2 ) R 4 ; c) 2x 3 x 3 + 4x R 3 [x; d) x 2 + 5 x 2 3x x 4 2x 3 R 4 [x; e*) + x 2 + x 2 + x 4 + x 2 + x 4 + x 6 R[x Lista czwarta Zadanie 4 Znaleźć z definicji współrzędne podanych wektorów we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych: a) v = ( 4) R 2 B = ( 5) ( 6) ; b) v = (8 7 5) R 4 B = ( ) ( ) ( ) ( ) ; c) p = x 2 3x + 3 R 2 [x B = x 2 + 3x x 2 + x + 3 2x 2 x 2 ; d) A = [ 3 2 3 M 2 2 B = [ [ 4 [ 2 2 3 [ Zadanie 42 Wyznaczyć współrzędne wektora v w podanej bazie B pewnej przestrzeni liniowej mając dane jego współrzędne w bazie B : a) [4 3 B = b b 2 B = 2 b b 2 b + 2 b 2 ; b) [ 2 B = x x + x 2 + B = + x 2 x + x 2 ; c*) [ 2 n B = b b 2 b n B = b b 2 b 2 b 3 b n b n b n Zadanie 43 Obliczyć współrzędne wskazanych wektorów w wybranych bazach podanych przestrzeni liniowych: a) V = (x 5y x + y 2x + y x + y) : x y R v = ( 2 4 7 4); b) V = (x y z t) R 4 : x 2y = y 2z = v = (8 4 2 9); c) V = p R 3 [x : p() = p() q = 2x 3 x 2 x + 5; d) V = A = [a ij M [ 2 2 : a + a 22 = B = 3 2 3 5
Zadanie 44 Zbadać obliczając odpowiednie wyznaczniki czy podane zbiory wektorów są bazami podanych przestrzeni liniowych: a) u = (2 4 5) v = ( ) w = ( 7 2) V = R 3 ; b) p = x 3 + x 2 + x q = x 3 + x 2 x r = x 3 x 2 x s = x 3 + x 2 + x + V = R 3 [x; [ [ [ [ c) A = B 2 = C = D = V = M 2 3 3 2 2 2 Zadanie 45 Znaleźć takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych w których wskazane wektory mają podane współrzędne: a) v = (2 3) R 3 [ ; b) v = ( ) V V = (x y z t) R 4 : x = t x 3y + 2z = [2 2; c*) v = ( ) R n [ Zadanie 46 Napisać macierze przejścia z bazy B do bazy B odpowiedniej przestrzeni liniowej: a) V = R 3 B = ( ) ( ) ( ) B = ( ) ( ) ( ) ; b) V = R 2 [x B = x 2 x B = 3x 2 x 2x 2 + x x 2 + 5x 6 Zadanie 47 Wykorzystując macierze przejścia z baz standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych do baz danych znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach: a) V = R 2 v = ( ) B = (4 ) ( 2 3) ; b) V = R 3 v = (2 4 7) B = ( 2 3) (2 4) ( 3 6) ; c) V = R 3 [x p = 2x 3 x 2 + B = 2x 3 + 3x 2 + 2x + 2x 3 + x + x 2 + 2x + 2x 2 + x + Zadanie 48 Wektor v ma w bazie b b 2 b 3 współrzędne [ 2 Stosując macierz przejścia z bazy do bazy obliczyć współrzędne tego wektora w bazie: a) b + b 2 b 2 + b 3 b + b 3 ; b) 2 b + b 2 3 b 3 3 b + 2 b 2 5 b 3 b b 2 + b 3 Lista piąta Zadanie 5 Znaleźć z definicji rzędy podanych macierzy wskazując niezerowe minory maksymalnych stopni: [ [ [ 3 5 2 3 4 2 a) ; b) 2 2 ; c) 4 2 5 ; 8 4 3 4 2 3 d) 2 3 2 2 ; 4 5 4 e) 3 4 5 6 7 8 9 ; f) 2 2 4 3 3 7 5 6 Zadanie 52 Wykonując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach podanych macierzy obliczyć ich rzędy: [ [ 3 6 2 3 2 2 2 3 5 a) 2 3 ; b) 45 5 3 6 75 ; c) 2 4 2 2 ; 3 3 3 4 5 3 5 6 5 3 2 8 7 2 2 4 d) 2 3 4 5 6 7 8 ; 9 2 e) 3 4 5 6 4 4 4 4 4 ; 6 3 2 2 f*) 5 3 2 2 5 2 2 3
Zadanie 53 Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy: 4 2 5 2 3 5 3 4 a) 4 7 2 ; 2 3 4 6 b) 4 4 7 3 4 2 ; 2 3 5 3 8 5 5 4 4 2 c) A = [a ij jest macierzą wymiaru 5 7 gdzie a ij = i + j dla i 5 j 7; d) B = [b ij jest macierzą wymiaru 6 6 gdzie b ij = i 2 j dla i j 6 Zadanie 54 Stosując algorytm Chió obliczyć rzędy podanych macierzy: 2 3 2 a) ; 3 4 2 2 3 3 4 4 7 b) 2 3 2 ; 8 8 7 7 4 c) 7 4 2 3 5 2 3 2 2 2 3 2 2 4 6 3 2 7 7 2 7 2 6 6 Zadanie 55 Znaleźć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p: [ [ [ p p 2 p p a) 3 p 3 ; b) 2 7 + p ; c) p 2 p ; 2p 2 2 2 + 2p 3 p p p d) [ p p p p p p ; e) 2 2 2 2 ; 3 p 3 p p p p p p p 2 4 4 4 4 f*) p 2 2p 4 4 4 p 2 2p 2 p 4 4 p 2 2p 2 p 2 p 4 Zadanie 56 Zbadać liniową niezależność podanych wektorów we wskazanych przestrzeniach liniowych analizując rzędy macierzy ich współrzędnych w odpowiednich bazach: a) (56 94 6) (48 67 8) (29 82 53) (74 5 38) w przestrzeni R 3 ; b) ( ) ( ) ( ) ( ) w przestrzeni R 5 ; c) x 4 x 2 + x x 4 + 2x 3 + x 2 + x 3 + x + w przestrzeni R 4 [x; d) [ 2 3 [ 3 2 9 [ 2 [ 3 w przestrzeni M 2 2 Zadanie 57 Wektory w x y z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne Zbadać przy pomocy rzędów odpowiednich macierzy liniową niezależność podanych wektorów: a) w x + z w + 2 x + y + 3 z 4 x + 3 y + z; b) 7 w + 9 x + 2 y + 8 z 2 w 9 x + 24 y + 24 z 7 w + 27 x 8 z Zadanie 58 Określić wymiary i wyznaczyć bazy podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów ze wskazanych przestrzeni liniowych: a) (2 ) ( 2) (3 3 4) (5 2 5) ( ) R 3 ; b) wektory wierszowe macierzy 2 2 5 3 4 R 4 ; 4 3 2 c) x 3 + 2x 2 + x x 2 x + x 3 + x 2 x 3 x 2x 2 R 3 [x; [ [ [ [ d) 2 2 2 2 M 3 2 3 3 3 3 3 3 Zadanie 59 Wektory w x y z z przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne Określić wymiary podprzestrzeni liniowych generowanych przez podane zbiory wektorów w zależności od parametru rzeczywistego p: a) 2p w 2 x + p y + 3 z 4 w p x + 2 y + (p + ) z 2 w x + y + 3 z; b) x y + p z p x p 2 y + z p 2 x p y + p z 7
Lista szósta Zadanie 6 W podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby rozwiązań oraz liczby parametrów: x + y + z = 2x y = 3 x + 2y + 3z = x + y = 4 a) ; b) ; 2x + 3y + 4z = 2 4x + 8y = 3x + 2y + z = 3 x + 4y = 5x 3y z = 3 x y + 2z t = 2x + y z = c) ; d) 2x 3y z + t = ; 3x 2y + 2z = 4 x + 7y t = 4 x y 2z = 2 x 3y + 2z = 7 e) x t = 2 x 3y + 2z + 2t = 3 Zadanie 62 Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych które mogą być parametrami określającymi rozwiązania podanych układów równań liniowych: a) c) x y + z = 2x + 2y 2z = 3 3x + y z = 2 ; b) x 3y + z 2s + t = 5 2x 6y 4s + t = 2z + t = x + 2y + 3z + 4t = x + 8y + z + 2t = 5 2x y z = 4 Zadanie 63 Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru rzeczywistego p: (p + )x + (2 p)y = p (p + )x y + pz = a) ( 3p)x + (p )y = 6 ; b) (3 p)x + 4y pz = 4 ; px + 3y = 3 px + y + 2z = 2x + py + pz + pt = 2x + 2y + pz + pt = 2 c) x + py + 2z = ; d) x + y + 2pz = 2x + 2y + 2z + pt = 3 2x + 2y + 2z + 2t = 4 x + (p 2)y 2pz = 4 e) px + (3 p)y + 4z = ( + p)x + y + 2(2 p)z = 7 Zadanie* 64 Rozwiązać podane układy równań liniowych w zależności od wartości rzeczywistego parametru p : px + 3y + z + t = px + y + pz = x + y + z = a) 2x pz + t = 2 ; b) 7x + py 5z + pt = p (2 p)x + (2 p)y + z = px + y + pz = p 2 Zadanie* 65 Rozwiązać podane układy równań liniowych dla n 2 w zależności od parametru rzeczywistego p : x + px 2 + + px n = px + px 2 + + px n = p px + x 2 + + px n = x + px 2 + + px n = p a) ; b) px + px 2 + + x n = x + x 2 + + px n = p Zadanie 66 W wytwórni montuje się wyroby A B C D E z czterech typów detali a b c d Liczby detali wchodzących w skład poszczególnych wyrobów podane są w tabeli A B C D E a 2 4 b 2 4 5 c 3 3 5 4 d 2 3 a) Czy można obliczyć ile ważą wyroby D i E jeżeli wyroby A B C ważą odpowiednio 2 2 i 9 dag Podać znalezione wagi 8 ;
b) Ile ważą detale a b c jeżeli detal d waży dag? Lista siódma Zadanie 7 Znaleźć wymiary i wyznaczyć bazy przestrzeni rozwiązań podanych układów równań liniowych: a) 2x y + 5z + 3t = ; b) x + 2y = 2x y = x + z + t = ; c) x + y = y + z = z + t = t + x; d) x + y = y + z = z + s = s + t = t + y = ; x 3y z t = x + 2y + z = 2x + y + z + t = 3x y + t = e) ; f) 3x + 2y z = 4x + y + z + t = 6x + 2y z = 5x + 3y + 2z + t = Zadanie 72 Czy przestrzenie rozwiązań podanych układów równań liniowych są generowane przez wskazane wektory odpowiedź uzasadnić: a) b) c) 4x + y z + s 2t = x y + z s 3t = 3x y + z s 5t = x 3y + z + t = 2x + y + z 7t = x y z 5t = 2x + 2y z + s = 5x + 6y + z + 2s + t = 9x + y z + 4s + t = u = (2 4 2) v = ( 5 2 ); u = (4 2 ); u = ( 3 4 ) v = ( 5 ) w = (2 2 )? Zadanie 73 Wyznaczyć zbiory rozwiązań podanych niejednorodnych układów równań liniowych zgadując jedno z tych rozwiązań oraz znajdując przestrzenie rozwiązań odpowiadających im układów jednorodnych: a) c) 3x + 4y 7z = x 7y + z = 5 x 2y + 3z = 2 ; b) 6x + 2y + 3z = 2 4x + 2y z + 3t = 2 ; x + 4y + 2z + 3t = 4 x + y + z + t + u = 5 3x + 2y + z + t 3u = 4 ; d) 6x 7y + z = 3 2x + 4y 2z = 6 Zadanie 74 Zinterpretować geometrycznie zbiory rozwiązań podanych układów równań: liniowych: 4x 2y + 8z = 6 3x 7y z = 4 x 2y + 3z = a) 2x y + 4z = 3 ; b) 6x + 3y 2z = 9 x 3y 7z = 6 3x 6y + 9z = 3 Zadanie* 75 Dla jakich wartości parametrów a b c R zbiory rozwiązań podanych układów równań liniowych przedstawiają geometrycznie podane zbiory: a) ax + by = a 2 b + ab ax by = a 2 punkt prosta płaszczyzna; + b ab (a + b)x + (a + b + )y = 2a + b) punkt prosta płaszczyzna; (a b + )x + (a b)y = 4a 2 c) d) x ay bz = ab x ay + bz = 2ab punkt prosta płaszczyzna przestrzeń; x ay + bz = 3ab ax + by + cz = ab ax + by + cz = ab punkt prosta płaszczyzna przestrzeń? ax + by cz = bc Zadanie 76 Ułożyć układy równań liniowych o podanych zbiorach rozwiązań: 9
a) prosta w R 3 o równaniu parametrycznym x = 4 + t y = 3 2t z = 5 gdzie t R; x = s + t + u b) płaszczyzna w R 3 o równaniu y = 2 s + 2t + 3u gdzie s t u R; z = 3 + s + 3t + 7u c) ( + 2t 3 4t 5 + 6t 7 8t) : t R ; d) ( + s t 2 + s + t 3 s + 2t s + 2t 2s t) : s t R ; e) (4 + 2s t s + 3t 2 + s u 4 s + 2u) : s t u R ; f) (s + 2t u + v + s + u 3v) : s t u v R Lista ósma Zadanie 8 Uzasadnić liniowość wskazanych przekształceń przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 2 L(x y z) = (x + y 2x y + 3z); b) L : R 2 R 2 L jest obrotem o kąt π wokół punktu ( ); 2 c) L : R 3 R 3 L jest symetrią względem płaszczyzny yoz; d) L : R[x R 3 (Lp)(x) = p(t) dt p (2) p (3) dla p R[x; e) L : C(R) R 2 [x (Lf)(x) = x 2 f(2) + xf() + f() dla f C(R) Zadanie 82 Uzasadnić że podane przekształcenia przestrzeni liniowych nie są liniowe: a) L : R R L(x) = (x + )(x ); b) L : R 2 R 2 L(x y) = (3x + 2y 2x 3y); c) L : R 2 R 2 L jest symetrią względem prostej x + y + 2 = ; d) L : R 3 R 3 L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę x y + z = ; e) L : R[x R[x (Lp)(x) = p(x)p (x); f) L : C(R) C(R) (Lf)(x) = sin f(x) Zadanie 83 Napisać wzory wszystkich przekształceń liniowych L : M 2 2 R Zadanie 84 Przekształcenie liniowe L : R 3 R 2 przeprowadza wektor x = (2 ) na wektor u = (4 5) oraz wektor y = ( 3 2) na wektor v = ( 6 ) Znaleźć obraz wektora z = (5 6 ) w tym przekształceniu Czy przy tych danych można znaleźć wektor L(4 5)? Zadanie 85 Znaleźć jądra i obrazy podanych przekształceń liniowych posługując się ich interpretacją geometryczną Porównać uzyskane odpowiedzi z wynikami obliczeń algebraicznych: a) L : R 2 R 2 jest rzutem prostokątnym na prostą l : y = x; b) L : R 2 R 2 jest jednokładnością względem punktu ( ) w skali k = 2; c) L : R 3 R 3 jest symetrią względem płaszczyzny xoy; d) L : R 3 R 3 jest rzutem prostokątnym na prostą l : x = y z = ; e) L : R 3 R 3 jest obrotem o kąt π wokół osi Oy 6 Zadanie 86 Wyznaczyć jądra obrazy oraz ich bazy podanych przekształceń liniowych: a) L : R 3 R 2 L(x y z) = (x + y y + z); b) L : R 3 R 4 L(x y z) = (2x y + z x + 2y z x + 3y 2z 8x + y + z); c) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = ( x 2 + x ) p(2) + ( 3x 2 x ) p() Zadanie 87 Podać wymiary jąder i obrazów następujących przekształceń liniowych:
a) L : R 4 R 3 L(x y z t) = (x+y+z t 2x+y z+t y+3z 3t); b) L : R 5 R 3 L(x y z s t) = (x + y + z y + z + s z + s + t); c) L : R 4 R 4 L(x y z t) =(x 2y+3z 4t 3x+5z+2t x+y+z+3t 5x y+9z+t) Zadanie* 88 Skonstruować przykłady przekształceń liniowych mających podane jądra i obrazy: a) L : R 3 R 2 Ker L = (x y ) : x y R Im L = (x y) : x + y = ; b) L : R 3 R 2 Ker L = (x y z) : x+y+z = Im L = (x y) : x+3y =; c) L : R 3 R 2 Ker L = lin ( 2) ( ) Im L = (x y) : 2x = 3y; d) L : R 4 R 4 Ker L = Im L = (x y z t) R 4 : 2x z = 3y t = ; e) L : R 2 [x R 2 [x Ker L = lin x Im L = lin + x + x 2 Zadanie* 89 Niech X Y będą przestrzeniami liniowymi Uzasadnić że dla dowolnych podprzestrzeni U V odpowiednio przestrzeni X Y spełniających zależność istnieje przekształcenie liniowe L : X Y takie że dim U + dim V = dim X < KerL = U oraz Im L = V Lista dziewiąta Zadanie 9 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 4 L(x y z) = (x + y x + z y z y + 2z); b) L : R 2 R 3 L(x y) = (4x + 3y x 2y 3x + 5y); c) L : R 3 R 3 L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę π : x+2y+4z =; d) L : R 3 R 3 L jest obrotem o kąt π wokół osi Ox; 4 e) L : R 2 R 2 [x (L(a b))(x) = (a + b)x 2 + (3a b)x + 6a Zadanie 92 Znaleźć z definicji macierze podanych przekształceń liniowych we wskazanych bazach odpowiednich przestrzeni liniowych: a) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y y z z x) u = v = ( ) u 2 = v 2 = ( ) u 3 = v 3 = ( ); b) L : R 4 R 2 L(x y z t) = (x + y z + t) u = ( ) u 2 = ( 2 ) u 3 = ( 2 3 ) u 4 = ( 2 3 4) v = ( ) v 2 = ( 2); c) L : R 4 R 3 L(x y z t) = (x+2z+t 2x+y 3z 5t x y+z+4t) u = ( ) u 2 = ( ) u 3 = ( ) u 4 = ( ) v = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ); d) L : R 2 R 2 L jest rzutem prostokątnym na oś Ox u = ( 2) u 2 = (2 3) v = (2 ) v 2 = (3 2); e) L : R 3 R 3 L jest przekształceniem identycznościowym tj L(x y z) = (x y z) u = ( ) u 2 = ( ) u 3 = ( ) v = ( ) v 2 = ( ) v 3 = ( ); f) L : R [x R 2 [x (Lp)(x) = x 2 p (x) p = 2x + 3 p 2 = 3x 4 q = x 2 + x q 2 = x + q 3 ; g*) L : R n[x R n [x (Lp)(x) = p (x + ) p q p k = q k = xk k! dla k n p n = xn n! Zadanie 93 Macierz przekształcenia liniowego L : U V ma w bazach u u 2 v v 2 v 3 przestrzeni liniowych
U V postać A L = [ 3 2 2 4 Wyznaczyć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu: a) u = 2 u + 3 u 2 ; b) u = 6 u u 2 Zadanie 94 Dla podanych przekształceń liniowych przestrzeni R ( 2 R 3) naszkicować zbiory D oraz L(D) i porównać ich pola (objętości) jeżeli: a) L : R 2 R 2 L(x y) = ( 2x 3y) D = (x y) R 2 : x + y ; b) L : R 2 R 2 L(x y) = (x + 2y 2x + y) D = [ 2 [ ; c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (3x 3y z) D = (x y z) R 3 : x 2 + y 2 4 x 2 + y 2 z 2 Zadanie 95 Rozwiązać ponownie Zadanie 92 stosując tym razem wzór na zmianę macierzy przekształcenia liniowego przy zmianie baz wychodząc od baz standardowych rozważanych przestrzeni liniowych Zadanie 96 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych L : U U w podanych bazach przestrzeni U Wykorzystać wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy: a) L(x y) = (x + 3y y 3x) U = R 2 u = (2 ) u 2 = ( 3); b) L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę xoz U = R 3 u = ( ) u 2 = (2 3 2) u 3 = ( 3); c) (Lp)(x) = x 2 p() + xp () U = R 2 [x p = x 2 + x + p 2 p 3 = x + Zadanie 97 Przekształcenie liniowe L : U V ma w bazie u u 2 przestrzeni liniowej U i w bazie v v 2 v 3 przestrzeni liniowej V macierz Napisać macierz A przekształcenia L w bazach 3 u + 2 u 2 u + u 2 i v v 3 3 v 2 2 v v 3 odpowiednio przestrzeni U i V A = [ 3 2 2 Zadanie* 98 Skonstruować (o ile to możliwe) takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych w których podane przekształcenia liniowe mają wskazane macierze: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (x y) A = [ 3 ; 2 b) L : R 2 R 3 L(x y) = (x + y 2x y x 3y) A = c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y z) A = d) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x y z) A = [ 2 2 [ 2 2 3 4 ; [ 5 5 ; 2 3 e) Czy w przykładach a) i c) bazy dziedziny i obrazu przekształcenia L mogą być te same? ; Zadanie* 99 Napisać wzór jednego z przekształceń liniowych będących obrotem w przestrzeni R 3 o kąt α wokół prostej x = at y = bt z = ct t R a 2 + b 2 + c 2 > 2
Lista dziesiąta Zadanie Napisać macierze w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych przekształceń L 3 L 2 L oraz (L 2 ) 2 L jeżeli: a) L : R 3 R 2 L (x y z) = (x y + z 2y + z) L 2 : R 2 R 2 L 2 (x y) = (2x + y x y) L 3 : R 2 R 4 L 3 (x y) = (x y y x 2x 2y); b) L : R 2 R 2 [x L (a b) = ax 2 + bx + a b dla (a b) R 2 L 2 : R 2 [x R 2 [x (L 2 p) (x) = xp ( x) dla p R 2 [x L 3 : R 2 [x R 2 (L 3 p) (x) = ( p() p (2) ) dla p R 2 [x Zadanie 2 Niech J K L będą przekształceniami przestrzeni R 3 w siebie przy czym J jest symetrią względem osi Oz K jest symetrią względem płaszczyzny xoz L jest obrotem o kąt π wokół osi Oy Napisać macierze w bazie standardowej 2 przestrzeni R 3 przekształceń liniowych będących złożeniami J K i L we wszystkich sześciu możliwych kolejnościach Zadanie 3 Dla tych spośród podanych przekształceń liniowych które są odwracalne napisać macierze i wzory przekształceń odwrotnych: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (3x 2y 4x 3y); b) L : R 3 R 3 L(x y z) = (y + 2z x + y + z 2x + 3y + 2z); c) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = p(2x) 4p(x) dla p R 2 [x; d) L : R 3 [x R 3 [x (Lp)(x) = x 3 p () + p(2x) dla p R 3 [x Zadanie 4 Macierz przekształcenia liniowego L : U U ma w bazie u u 2 u 3 przestrzeni liniowej U postać [ 3 A = 2 2 Znaleźć: a) L 3 ( u 2 u 2 + u 3 ) ; b) L ( 3 u + u 2 u 3 ) Zadanie 5 Dla podanych liniowych przekształceń płaszczyzny R 2 i przestrzeni R 3 znaleźć wartości własne i wektory własne wykorzystując interpretację geometryczną tych przekształceń: a) symetria na płaszczyźnie względem punktu ( ); b) rzut prostokątny w przestrzeni na oś Oz; c) rzut prostokątny w przestrzeni na prostą l : x = y = z; d) rzut prostokątny w przestrzeni na płaszczyznę π : x + y + z = ; e) symetria w przestrzeni względem płaszczyzny xoy; f) symetria w przestrzeni względem prostej l : x + y = z = Sprawdzić otrzymane wyniki algebraicznie Zadanie 6 Znaleźć wartości i wektory własne podanych liniowych przekształceń rzeczywistych przestrzeni liniowych: a) L : R 2 R 2 L(x y) = (4x + 2y y x); b) L : R 2 R 2 L(x y) = (2x + y 4y x); c) L : R 3 R 3 L(x y z) = (x 2x + 2y x y z); d) L : R 3 R 3 L(x y z) = (3x y 6x 2y 2x y + z); e) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = p (x); f) L : R 2 [x R 2 [x (Lp)(x) = 2xp (x) + x 2 p() + p(2) Zadanie 7 Wyznaczyć wartości własne i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych: a) L : C 2 C 2 L(x y) = (3x y x 3y); b) L : C 2 C 2 L(x y) = (( 2i)x + 5y ( + i)x ( 3i)y); 3
c) L : C 3 C 3 L(x y z) = (z 3y x); d) L : C 3 C 3 L(x y z) = ( ix 2z y 2x iz) Lista jedenasta Zadanie Podać wszystkie możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających podane warunki: a) L 2 = L; b) L 3 = I Zadanie 2 Napisać macierze podanych przekształceń liniowych przestrzeni R 2 lub R 3 w bazach ich wektorów własnych (o ile takie bazy istnieją): a) L(x y) = (x + 4y 2x + 3y); b) L(x y) = (5x 3y 3x y); c) L(x y z) = (x z x + 2y + z z x); d) L(x y z) = ( x 3y 2z x + y + 2z x + 3y + 2z) Zadanie 3 Przekształcenie liniowe L : R 2 R 2 przeprowadza wektory ( ) ( ) odpowiednio na wektory ( ) (3 3) Obliczyć L 5 (5 ) Zadanie 4 Przekształcenie liniowe L : R 3 R 3 spełnia warunki Obliczyć: a) L(x y z) dla (x y z) R 3 ; b) L 5 (2 3 6) L( ) = ( ) L(2 2 ) = ( ) L( ) = ( ) Zadanie 5 Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych: [ [ [ 3 [ 4 5 a) 2 2 ; b) ; c) 4 3 2 ; d) 3 5 3 e) [ 3 3 ; f) 8 3 [ 4 4 ; g) 2 2 ; 2 [ 2 2 2 2 2 2 ; h) 3 3 3 3 2 3 2 2 2 2 Zadanie 6 Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych: [ [ [ 3 4 a) ; b) i ; c) ; i 3 [ [ [ 6i i i i i 2 d) 4 4 + 2i ; e) ; f) 4 i 5i 2 2 2 2 i Lista dwunasta Zadanie 2 Sprawdzić że podane funkcje ( ) są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) ( x y ) = 2x y x y 2 x 2 y + x 2 y 2 dla x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; b) ( x y ) [ [ 4 y = [x x 2 dla x = (x y x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; 2 c) ( x y ) [ [ 2 y = [x x 2 x 3 y 2 dla x = (x x 2 x 3 ) y 3 y = (y y 2 y 3 ) R 3 ; n+ d) (p q) = p (x i ) q (x i ) dla p q R n[x gdzie x < x 2 < < x n+ ; e) (f g) = i= (x + )f(2x)g(2x) dx dla f g C ([ 2 2) 4
Zadanie 22 Uzasadnić dlaczego podane funkcje ( ) nie są iloczynami skalarnymi w rozważanych przestrzeniach liniowych: a) ( x y ) = 2x y + 3x y 2 x 2 y + 5x 2 y 2 dla x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) R 2 ; b) ( x y ) [ [ 2 y = [x x 2 x 3 4 y 2 dla x = (x x 2 x 3 ) 3 8 y 3 y = (y y 2 y 3 ) R 3 ; c) (p q) = p()q() p(2)q(2) dla p q R [x; n d) (p q) = p (x i ) q (x i ) dla p q R n[x gdzie x < x 2 < < x n; e) (f g) = f) (f g) = i= b a f(x)g(x) dx dla f g C ([a b); ( ) f(x)g 2 x dx dla f g C ([ ) Zadanie 23 W przestrzeni euklidesowej E 4 : a) obliczyć normę wektora ( 2 3); b) zbadać ortogonalność wektorów ( 4 2) (3 2 ); c) obliczyć kąt między wektorami ( 3 ) (3 ); d) opisać zbiór wszystkich wektorów ortogonalnych do każdego z wektorów (2 ) ( 2 ) i wskazać jeden wektor z tego zbioru o normie równej 2; e) podać przykład wektora unormowanego tworzącego z wektorem ( 2 2) kąt 2π 3 Zadanie 24 Obliczyć kąt jaki tworzą wektory p = x + q = x 2 w przestrzeni euklidesowej R 2 [x z podanymi iloczynami skalarnymi: a) (p q) = p()q() + p(2)q(2) + p(3)q(3); b) (p q) = p()q() + p ()q () + p ()q (); c) (p q) = p(x)q(x) dx dla p q R 2 [x d*)wskazać taki iloczyn skalarny w przestrzeni R 2 [x dla którego wektory p q będą ortogonalne i unormowane Zadanie 25 W przestrzeni liniowej R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx : a) obliczyć ( x 2 ) x + oraz cosinus kąta między wektorami x + x ; b) podać przykład wielomianu możliwie najniższego stopnia ortogonalnego do każdego z wielomianów x x 2 ; c) dobrać stałą a tak aby wielomiany 3x 2 + ax oraz 2x 2 + 6x były ortogonalne Zadanie* 26 Stosując nierówność Schwarza w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych uzasadnić że zachodzą nierówności: a) (ab + bc + ac) 2 ( a 2 + b 2 + c 2) 2 dla dowolnych a b c R; b) ( x 3 + x3 2 + + 2 ( ( n) x3 x 2 + x 2 2 n) + + x2 x 4 + x 4 2 n) + + x4 dla dowolnych x x 2 x n R; 2 4 c) f(x) dx f 2 (x) dx f 4 (x) dx dla dowolnej funkcji ciągłej f : R R 5
Lista trzynasta Zadanie 3 Sprawdzić że podane zbiory wektorów są bazami ortogonalnymi lub ortonormalnymi w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych i wyznaczyć współrzędne wskazanych wektorów w tych bazach: ( ) ( ) a) v = 3 v 2 = 3 u = (5 6) E 2 ; b) v = ( 3 2) v 2 = ( ) v 3 = (5 4) u = ( ) E 3 ; c) v = ( ) v 2 = (3 ) v 3 = ( 2 ) v 4 = ( ) u = ( 2 3 2) E 4 ; d) v = v 3 = ( 3 ( 3 3 3 ) 3 ) 3 v 2 = v 4 = ( ( 3 3 3 3 3 3 ) ) u = ( 2 3 4) E 4 ; e) p p 2 = 2 x p 3 = 6 3x x 2 q = x 2 + x + 3 w przestrzeni R 2 [x z iloczynem skalarnym wielomianów q = ax 2 + bx + c q 2 = a x 2 + b x + c określonym wzorem ( q q 2 ) = aa + (3a b) (3a b ) + (2b + c) (2b + c ) Zadanie 32 Uzasadnić ortonormalność podanych zbiorów funkcji w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) cos x sin x cos 2x sin 2x w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem 2π π π π π 2π b*)p p n = 2 n n! d n ( x 2 ) n dx n (f g) = f(x)g(x) dx; gdzie n N w przestrzeni R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx Zadanie 33 Zortogonalizować metodą Grama Schmidta podane wektory w odpowiednch przestrzeniach euklidesowych: a) (2 3) ( 6 2) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 x 3 ) y = (y y 2 y 3 ) zdefiniowanym wzorem [ [ ( ) 2 y x y = [x x 2 x 3 y 2 ; 2 y 3 c) (4 3 2 ) (4 3 2 ) (4 3 ) w przestrzeni E 4 ; d) ( ) ( 2 2 ) (3 ) w przestrzeni E 4 ; e) x + x sin x w przestrzeni C ([ ) z iloczynem skalarnym określonym wzorem (f g) = f(x)g(x) dx Zadanie 34 Znaleźć bazy ortogonalne danych przestrzeni euklidesowych zawierające wskazane wektory: a) ( 2) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) w przestrzeni E 4 ; c) ( ) ( ) w przestrzeni E 4 ; d) ( 3 2) ( ) (5 4) w przestrzeni E 4 ; e) (3 2 3 5) w przestrzeni E = (x y z t) E 4 : x + y = y + z = t ; 6
f) f w przestrzeni lin sin x sin 2 x gdzie x π z iloczynem skalarnym określonym wzorem π (f g) = f(x)g(x) dx Zadanie 35 Wyznaczyć bazy ortonormalne wskazanych przestrzeni euklidesowych i znaleźć współrzędne podanych wektorów w tych bazach: a) E = lin ( ) ( ) u = (3 2 ) E 4 ; b) E = lin ( ) ( ) ( ) u = ( ) E 4 ; c) E = (x y z t) E 4 : x + y + z = y = t u = ( 3 2 3) E 4 ; d) E = (2x + y + 5z y + z 2y x x + 2z) : x y z R u = (6 4 7 ) E 4 ; e) E = R 2 [x z iloczynem skalarnym zdefiniowanym wzorem (p q) = p()q() + p()q() + p(2)q(2) p = x 2 + x + ; f) E = R 2 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 ) y = (y y 2 ) określonym wzorem ( ) [ [ x y 2 y = [x x 2 y 2 u = (3 2); g*)e = M 2 2 z iloczynem skalarnym macierzy A B ( zdefiniowanym wzorem (A B) = Tr AB ) T gdzie symbol [ Tr oznacza sumę wszystkich elementów z głównej przekątnej macierzy C 5 = 2 3 Zadanie* 36 Zortogonalizować metodą macierzową podane wektory w odpowiednich przestrzeniach euklidesowych: a) ( 3) ( 4) ( 2 ) w przestrzeni E 3 ; b) ( 2 ) (4 2) w przestrzeni E 4 ; c) ( ) ( 2 ) ( 3 ) w przestrzeni E 4 Zadanie* 37 Stosując wyznacznikową metodę ortogonalizacji uzupełnić wskazane wektory do baz ortogonalnych odpowiednich przestrzeni euklidesowych: a) ( 4) w przestrzeni E 3 ; b) ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z bazą ortonormalną ( ) ( ) ( ) ; c) ( 3 ) w przestrzeni E 4 ; d) x + x 2 + 2x 3 w przestrzeni R 3 [x z bazą ortonormalną x x 2 x 3 ; e) 2 u 3 v + w w przestrzeni euklidesowej E z bazą ortonormalną u v w x y Zadanie* 38 Uzasadnić że wektory x x 2 x n tworzą bazę ortonormalną przestrzeni E n wtedy i tylko wtedy gdy macierz przejścia P z bazy standardowej do bazy tych wektorów spełnia warunek P T P = I Sprawdzić tę zależność dla baz ortonormalnych z Przykładu 3 oraz z Zadania 3 Zadanie* 39 Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą v v 2 v n Zdefiniować w tej przestrzeni iloczyn skalarny tak aby była to baza ortonormalna Zadanie* 3 W podzbiorze l 2 = ł 2 R następującym wzorem x = (x n) R : x 2 n < przestrzeni liniowej R określamy funkcję ( ) : l 2 n= ( ) x y = x ny n n= a) uzasadnić że l 2 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R ; 7
b) wykazać że funkcja ( ) jest iloczynem skalarnym w l 2 ; c) wykazać że wektory e = ( ) e 2 = ( ) tworzą układ ortonormalny w l 2 ; d) czy wektory e e 2 tworzą bazę przestrzeni liniowej l 2? e) wykazać nierówność ( ) 2 ( ) ( ) x ny n n= n= n= o ile dwa ostatnie szeregi są zbieżne; f) podać przykłady wektorów z przestrzeni l 2 mających wszystkie składowe niezerowe i tworzących z wektorem kąty π 2 π 3 π 4 π x = x 2 n ( 2 4 8 ) y 2 n 8
Lista czternasta Zadanie 4 Sprawdzić że podane wektory są ortogonalne do wskazanych podprzestrzeni przestrzeni euklidesowych: a) E = lin (2 3 ) ( 2 ) ( ) v = ( 2) E 4 ; b) E = R [x p = 6x 2 6x + w przestrzeni R 2 [x z iloczynem skalarnym określonym wzorem (p q) = p(x)q(x) dx Zadanie 42 Znaleźć rzuty ortogonalne podanych wektorów na wskazane podprzestrzenie przestrzeni euklidesowych: a) u = (3 ) E 3 E jest płaszczyzną π : 2x y + 3z = w E 3 ; b) u = (3 2 ) E 4 E = lin ( 2 2) ( ); c) u = ( ) E 4 E = lin ( ) ( 2); d) u = ( ) E 4 E = lin ( ) ( 2 ) ( 3 4); e) u = ( 2 3) E 4 f) f = x E = lin cos x w przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na przedziale [ 2π z iloczynem skalarnym określonym wzorem E = (x y z t) E 4 : x + y + 3t = y + z = x y + z 3t = ; (f g) = 2π f(x)g(x) dx; g) u = ( ) E = lin ( ) ( ) w przestrzeni R 3 z iloczynem skalarnym wektorów x = (x x 2 x 3 ) y = (y y 2 y 3 ) określonym wzorem ( x y ) = 2x y + x 2 y 2 + x 3 y 3 x y 3 x 3 y Zadanie 43 Wyznaczyć rzuty ortogonalne podanych wektorów na podprzestrzenie o wskazanych bazach ortogonalnych: a) u = (2 3) E 3 E = lin ( 4 ); b) u = ( 2 ) E 4 E = lin (2 ) ( 2 ) ( 3); c) u = ( 2 n) E n E = lin ( ) ( ); d) p = x 2 x E = lin 2x w przestrzeni R[x z iloczynem skalarnym określonym wzorem e) f = cos 2x E = lin wzorem (p q) = p(x)q(x) dx; ( ) π sin x sin 2 + x w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym określonym (f g) = 2π f(x)g(x) dx; f) f = x E = lin cos x cos 2x cos nx w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym jak wyżej; g) f = x E = lin sin x sin 2x sin nx w przestrzeni C ([ 2π) z iloczynem skalarnym jak wyżej Zadanie* 44 Stosując macierzowy wzór na rzut ortogonalny znaleźć rzuty ortogonalne w odpowiednich przestrzeniach E n podanych wektorów u na wskazane podprzestrzenie lin v v 2 v k : a) u = (3 5) v = ( 3 2) v 2 = ( 2 3); b) u = (2 2 6 6) v = ( ) v 2 = ( ); c) u = ( 3) v = (2 ) v 2 = ( 2) v 3 = ( 2 ) Zadanie* 45 Metodą najmniejszych kwadratów znaleźć przybliżone rozwiązania podanych układów równań: 9
x + y = 2 x + 2y = 3 a) x y = 2x + y = x + y + z = x y + z = ; b) x y z = x + y z = Zadanie 46 Niech u v będą ustalonymi wektorami przestrzeni euklidesowej E przy czym v Znaleźć wzór na rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń lin v Zadanie 47 Niech u v będą niezerowymi wektorami z przestrzeni euklidesowej E Znaleźć najkrótszy wektor postaci u + t v gdzie t R i wykazać że jest on ortogonalny do wektora v Zilustrować otrzymany wynik na płaszczyźnie Zadanie* 48 Niech E będzie przestrzenią euklidesową a E jej podprzestrzenią wymiaru: a) n = ; b) n = 2 Uzasadnić że wektorem z przestrzeni E leżącym najbliżej ustalonego wektora u E jest rzut ortogonalny wektora u na podprzestrzeń E Zadanie* 49 Wykazać że kąt ϕ nachylenia prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych na płaszczyźnie R 2 i mającej najmniejsze średniokwadratowe odchylenie od n zadanych punktów (a i b i ) gdzie i = n jest dany wzorem tg ϕ = a b + + a nb n a 2 + + a2 n 2