ALGEBRA LINIOWA 1. Lista zadań

Transkrypt

1 ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A ALGEBRA LINIOWA Wszystkie warianty kursu Lista zdań obejmuje cały materiałkursu oraz określa przybliżony stopień trudności zadań, które pojawia się na kolokwiach i egzaminach Na ćwiczeniach należy rozwiazać przynajmniej jeden podpunkt z każdego zadania Wyjatkiem sa zadania oznaczone litera (p) oraz symbolem (*) Zadania oznaczone litera (p) sa proste Te zadania należy rozwiazać samodzielnie Z kolei zadania oznaczone gwiazdka (*) sa trudniejsze Te nieobowiazkowe zadania kierujemy do ambitnych studentów Zachęcamy studentów do weryfikowania rozwiaz azań zadań za pomoca programów komputerowych W Internecie można znaleźć wiele programów do obliczeń numerycznych i symbolicznych Programy te można wykorzystać min znajdowania pierwiastków wielomianów, do wyznaczania i rysowania pierwiastków z liczb zespolonych, obliczania wyznaczników, badania liniowej niezależności wektorów, rozwiazywania układów równań liniowych itp Polecamy stronę internetowa Wolfram Alpha Warto korzystać z darmowych programów: Maxima, Microsoft Mathematics, Octave, R, Sage, Scilab, a także programów płatnych: Derive, Mathematica, Matlab, Maple, Scientific WorkPlace Wiele popularnych kalkulatorów naukowych jest zaprogramowanych do wykonywania obliczeń numerycznych i symbolicznych oraz do prezentowania wykresów funkcji Uzdolnionych studentów zachęcamy do przygotowania się w czasie semestru i następnie udziału w egzaminach na ocenę celujac a z algebry i analizy Zadania z tych egzaminów z ubiegłych lat można znaleźć na stronie internetowej Przed kolokwiami i egzaminami zajęć warto zapoznać się z zestawieniem typowych błędów popełnianych przez studentów na sprawdzianach z matematyki Lista zadań Opracowanie: doc dr Zbigniew Skoczylas Podać przykłady liczb, dla których nie zachodza podane równości: (x + y) = x + y ; b) x + y = x + y; c) x + y = x+y ; d) x = x; e) x y + u v = x+u y+v ; f) sin x = sin x; ln a h) x + y = x + y ; i) ; ln b = ln (a b) j) an a m = a n m Za pomoca indukcji matematycznej uzasadnić, że dla każdej liczby naturalnej n zachodza tożsamości: (n ) = n ; b) n(n+) = n n+ ; c) n = (3n ) ; ] d) n 3 = [ n(n+) 3 Korzystajac z indukcji matematycznej uzasadnić nierówności: n > n dla n 5; b) n n c) n! > n dla n 4; dla n N; d) ( + x) n + nx dla x oraz n N (nierówność Bernoulliego); e) n! < ( n ) n dla n 6

2 4 Metoda indukcji matematycznej pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n liczba: n 5 n jest podzielna przez 5; b) 8 n + 6 jest podzielna przez 7 5 *Uzasadnić, że n prostych może podzielić płaszczyznę na maksymalnie n(n+) + obszarów Na ile najwięcej obszarów płaszczyznę można podzielić n okręgami? 6 Zastosować wzór dwumianowy Newtona do wyrażeń: (x + y) 4 ; b) ( c ) 6 ; c) ( x + x 3 ) 5 ; d) ( u 4 v) 8 7 *Korzystajac ze wzoru dwumianowego Newtona obliczyć sumy: n ( n n ( k) ; b) n k) k ; c) n ) ( ) k k=0 k=0 k=0 ( n k 8 W rozwinięciu wyrażenia ( a 3 + ) 5 a znaleźć współczynnik przy a 5 ; ( ) 4 7 b) W rozwinięciu wyrażenia x 5 3 x znaleźć współczynnik przy 3 4 x 9 Porównujac części rzeczywiste i urojone obu stron równań znaleźć ich rozwiazania: z = ( i)z; b) z + 4 = 0; c) ( + 3i) z + ( 5i) z = i 3; d*) z 3 = 0 Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniajacych podane warunki: Re (z + ) = Im (z 4i) ; b) Re ( z ) = 0; c) Im ( z ) 8; d) Re ( z ) > Im (iz) Korzystajac z interpretacji geometrycznej modułu różnicy liczb zespolonych wyznaczyć i narysować zbiory liczb zespolonych spełniajacych podane warunki: z + 3i < 4; b) z + 5i 3 4i ; c) z = + 5i z, d) z + 3i < z 4i ; e) iz + 5 i < + i ; f) z + 3i < 5; g) > ; h) z +4 ; i) z + iz < 9 z 3i z z i Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb zespolonych spełniajacych podane warunki: arg (z) = π ; b) π 6 < arg (z i) π 3 ; c) π < arg (iz) < π; ) 3π d) arg ( z) = π 4 ; e) 0 < arg (z) π 3 ; f) 3π 4 arg ( z 3 Korzystajac ze wzoru de Moivre a obliczyć: ( i) ; b) ( + i 3 ) 8 ; c) ( i ) 9 ; d) ( 5 i 5 ) 0 4 Wyznaczyć i narysować na płaszczyźnie zespolonej elementy pierwiastków: 4 6; b) 3 8i; c) 3 i; d) 6 5 W zbiorze liczb zespolonych rozwiazać podane równania: z z + 0 = 0; b) z + 3iz + 4 = 0; c) z 4 + 5z + 4 = 0; d) z + ( 3i) z i = 0; e) z 6 = ( i) ; f) (z i) 4 = (z + ) 4 6 Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianów: x 3 + 3x 4; b) x 4 x 3 + x 8x ; c) x 4 x 7 Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne wielomianów: 6x 3 5x x + ; b) 3x 3 x + 3x ; c) 6x 4 + 7x +

3 8 (p) Wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste lub zespolone wraz z krotnościami wielomianów: (x ) (x + ) 3 ; b) (x + 6) ( 4x) 5 (, c) z ) ( z + ) 3 ( z + 9 ) 4 9 Nie wykonujac dzieleń wyznaczyć reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli: P (x) = x 8 + 3x 5 + x + 4, Q (x) = x ; b) P (x) = x x + 008, Q (x) = x + ; c) P (x) = x 99 x x 97, Q (x) = x 4 6; d*) P (x) = x x 00, Q (x) = x 4 + ; e*) P (x) = x x + x, Q (x) = ( x + ) 0 Pokazać, że jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu rzeczywistego P, to liczba z także jest pierwiastkiem wielomianu P Korzystajac z tego faktu znaleźć pozostałe pierwiastki zespolone wielomianu P (x) = x 4 4x 3 + x 6x + 5 wiedzac, że jednym z nich jest x = + i Podane wielomiany rozłożyć na nierozkładalne czynniki rzeczywiste: x 3 7; b) x 4 + 6; c) x 4 + x + 4; d*) x 6 + Podane funkcje wymierne rozłożyć na rzeczywiste ułamki proste: x+5 x x ; b) x+9 3x ; c) +4x+3 x(x+3) x 3 x +4x 4 ; d) x3 x 7x+6 x 4 +0x +9 3 Niech a = (,,, 3), b = (5, 4,, 0) będa wektorami z przestrzeni R 4 Wyznaczyć wektory x oraz y, jeżeli: x = a b; b) a x = b + x; { x y = a, c) 3 x + y = b 4 Obliczyć: Odległość punktów A = (,, 3, 0, 0), B = (0,,, 3, 4) w przestrzeni R 5 ; b) Obliczyć kat między wektorami a = (, 0,, ), b = (0,,, ) w przestrzeni R 4 ; 5 Dla jakich wartości parametru p, wektory a = (p,, p, ), b = (p, p,, 9) sa prostopadłe w przestrzeni R 4? 6 *Jaki zbiór w przestrzeni R 4 tworza końce wersorów, które sa prostopadłe do wektorów: a = (,, 0, 0), b = (0, 0,, )? 7 (p) Trójkat jest rozpięty na wektorach a, b Wyrazić środkowe trójkata przez wektory a, b 8 *Za pomoca rachunku wektorowego pokazać, że środki boków dowolnego czworokata sa wierzchołkami równoległoboku 9 (p) Równoległobok jest rozpięty na wektorach a = ( 3, 4), b = (, ) Wyznaczyć kat ostry między przekatnymi równoległoboku ( ) 30 Długości wektorów a, b wynosza odpowiednio 3, 5 Znamy iloczyn skalarny a b = Obliczyć a b ( ) a + 3 b 3 (p) Wyznaczyć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, 3) i tworzy kat 0 o z dodatnia częścia osi Ox 3 (p) Napisać wszystkie postacie równania prostej (normalne, kierunkowe, parametryczne) przechodzacej przez punkty P = (, 3), P = ( 3, 7) 3

4 33 (p) Znaleźć punkty przecięcia prostej l : { x = 4 t, y = 6 + t, gdzie t R, z osiami układu współrzędnych Czy punkt P = (4, 7) należy do prostej l? 34 Znaleźć punkt przecięcia prostych: k : { x = t, y = 3 + t, gdzie t R, l : { x = t, y = 3 t, gdzie t R, 35 (p) Znaleźć równanie prostej, która przechodzi przez punkt P = (, ) i jest równoległa do prostej 3x y + = 0; b) prostopadła do prostej x + y = 0 36 Dla jakiej wartości parametru m, odległość punktów P = (, 0) i Q = (m + 3, ) jest równa 4? 37 (p) Wyznaczyć odległość punktu P 0 = ( 4, ) od prostej l o równaniu 3x + 4y + = 0 38 (p) Znaleźć odległość prostych równoległych l, l o równaniach odpowiednio x y = 0, 3x+6y 5 = 0 39 Obliczyć wysokość trójkata o wierzchołkach A = (0, 0), B = (, 3), C = (, 5) opuszczona z wierzchołka C 40 *Znaleźć równania dwusiecznych katów wyznaczonych przez proste o równaniach 3x + 4y = 0, 4x 3y + 5 = 0 4 Dla jakich wartości parametrów p, q wektory a = ( p, 3, ), b = (, 4 q, ) sa równoległe? b) Dla jakich wartości parametru s wektory p = (s,, s), q = (s,, ) sa prostopadłe? 4 (p) Znaleźć wersor, który jest prostopadły do wektorów u = (, 3, 0), v = (0,, ) 43 (p) Wyznaczyć cosinus kata między wektorami p = (0, 3, 4), q = (,, ) 44 Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u = (,, 5), v = (0, 3, ) b) Obliczyć pole trójkata o wierzchołkach A = (0, 0, ), B = (3, 0, 0), C = (0, 5, 0) c) Obliczyć wysokość trójkata 45 Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = (,, 3), b = (0, 4, ), c = (, 0, ) b) Obliczyć objętość czworościanu o wierzchołkach: A = (,, ), B = (,, 3), C = (0, 4, ), D = (,, ) c) Dla czworościanu z punktu c) obliczyć wysokość upuszczona z wierzchołka A 46 Znaleźć równania normalne i parametryczne płaszczyzny: przechodzacej przez punkty P = (,, 0), Q = (, 3, 7), R = (4, 0, ) ; b) przechodzacej przez punkt A = (, 5, 4) oraz przez oś Oz; c) przechodzacej przez punkt A = (, 5, 4) oraz prostopadłej do osi Oy 47 Płaszczyznę π : x + y z 7 = 0 zapisać w postaci parametrycznej x = s + t, b) Płaszczyznę π : y = t, przekształcić do postaci normalnej z = 3 + 3s t 48 Znaleźć równanie parametryczne i krawędziowe prostej: przechodzacej przez punkty A = ( 3, 4, ), B = (0,, ) b) przechodzacej przez punkt P = (3,, ) i przecinajacej prostopadle oś Oy 4

5 { x + y 3 = 0 49 Prosta l : y + z = 0 zapisać w postaci parametrycznej b) Prosta l : x = 3, y = t, z = t zapisać w postaci krawędziowej 50 Wyznaczyć punkt przecięcia: prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t oraz płaszczyzny π : 3x y z 5 = 0; b) płaszczyzn π : x + y z 5 = 0, π : x + y + = 0, π 3 : x + y + z = 0; c) prostych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 5 Obliczyć odległość: punktu P = (0,, ) od płaszczyzny π : 3x 4y + z = 0; b) płaszczyzn równoległych π : x y + z 3 = 0, π : x + 4y 4z + 8 = 0; c) punktu P = (, 5, ) od prostej l : x = t, y = t, z = 3 + t; d) prostych równoległych { { x + y + z 3 = 0 x + y + z 3 = 0 l : x y z = 0, l : x y z + 4 = 0 ; e) prostych skośnych l : x = t, y =, z = 3 + t, l : x = s, y = 3 s, z = 5s 5 Wyznaczyć rzut prostopadły punktu P = (,, 0) na: płaszczyznę π : x + y + 3z 5 = 0; b) prosta l : x = t, y = t, z = 3t 53 Obliczyć kat między: płaszczyznami π : x y + 3z = 0, π : x + y z + 5 = 0; { x + y + z 3 = 0 b) prosta l : i płaszczyzna π : x + y = 0; x y z = 0 c) prostymi l : x = t, y = + t, z = 3, l : x = 0, y = s, z = + s 54 We wskazanej przestrzeni zbadać liniowa niezależność układów wektorów: R, a = (, 3), a = (, 0) ; b) R 3, b = (,, 3), b = (3,, ), b 3 = (,, ) ; c) R 4, c = (, 0, 0, 0), c = (,, 0, 0), c 3 = (,,, 0), c 4 = (,,, ) 55 Zbadać, czy podane układy wektorów sa bazami wskazanych przestrzeni liniowych R n : {(,, 0), (, 0, 3), (0,, 3)}, R 3 ; b) {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0), (,,, 0), (,,, )}, R 4 ; c) {(,, 0, ), (, 0, 3, 0), (0,, 3, 0), (0, 0, 0, )}, R 4 56 Znaleźć bazy i wymiary podprzestrzeni: A = { (x, y, z) R 3 : 3x + y z = 0 } ; b) B = { (x, y, z, t) R 4 : x = y = t } ; c) C = { (u, v, x, y, z) R 5 : u + v = 0, x + y + x = 0 } 57 Zbadać, czy podane przekształcenia sa liniowe: F : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) F : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; c) F : R R 4, F (x) = ( 0, x, 0, 3x ) ; d) F : R 4 R, F (x, x, x 3, x 4 ) = (x x, x 3 x 4 ) 5

6 58 Znaleźć macierze przekształceń liniowych w standardowych bazach: F : R R 3, F (x, y) = (x, y, x y) ; b) F : R 3 R 4, F (x, y, z) = (y, z, x, x + y + z) ; d) F : R 4 R, F (x, y, z, t) = (x + y + z + t, y t, ) 59 Uzasadnić, że obrót na płaszczyźnie R wokółpoczatku układu współrzędnych o kat ϕ jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tego obrotu w bazach standardowych b) Pokazać, że symetria wzlędem osi Oz w przestrzeni R 3 jest przekształceniem liniowym Znaleźć macierz tej symetrii w bazach standardowych 60 (p) Dla par macierzy A, B wykonać (jeśli to jest możliwe) wskazane działania 3A B, AT, AB, BA, A : [ ] [ ] A =, B = ; 0 8 b) A = [ 3 ], B = [ 4 0 ] ; c) A = 0 3 B = [ 0 5 ] ; d) A = 4, B = (p) Rozwiazać równanie macierzowe X = X (p) Znaleźć niewiadome x, y, z spełniajace równanie [ ] x + y + 3 = 3 0 [ ] T 3 6 y z 63 Podać przykłady macierzy kwadratowych A, B, które spełniaja podane warunki: AB BA; b) AB = 0, ale A 0, B 0; c) A = 0, ale A 0 64 *Pokazać, że każda macierz kwadratowa można przedstawić jednoznacznie jako sumę macierzy symetrycznej ( A T = A ) i antysymetrycznej ( A T = A ) Napisać to przedstawienie dla macierzy 0 4 B = Dane sa przekształcenia liniowe: L : R R 3 określone wzorem L (x, y) = (x, y, x + y) oraz K : R 3 R określone wzorem K (u, v, w) = u w Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy złożenia przekształceń znaleźć macierz przekształcenia K L 6

7 66 Napisać rozwinięcia Laplace a wyznaczników wg wskazanych kolumn lub wierszy (nie obliczać wyznaczników w otrzymanych rozwinięciach): , trzecia kolumna; b) , czwarty wiersz Obliczyć podane wyznaczniki: ; b) 3 4 ; c) Korzystajac z własności wyznaczników uzasadnić, że podane macierze sa osobliwe: ; b) ; c) a b 0 [ ] 69 Wiadomo, że det c d 0 a b = 4 Obliczyć det ; c d [ ] b) Wiadomo, że det x y 0 x y 5 z t 0 = 8 Obliczyć det z t Jakie sa możliwe wartości wyznacznika macierzy kwadratowej A stopnia n spełniajacej podane warunki: A 3 = 4A dla n = 3, 4; b) A T = A dla n = 3, 4? 7 Obliczyć det (A), jeżeli det (3A) = 54 i det (4A) = 8 7 Obliczyć pole równoległoboku rozpiętego na wektorach: a = (, 4), b = (3, 7) ; b) Obliczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach: a = (,, 0), b = (0,, ), c = (, 0, ) 73 *Obliczyć wyznaczniki macierzy: ; b) ; c) n n 74 Korzystajac z twierdzenia o postaci macierzy odwrotnej wyznaczyć macierze odwrotne do : [ ] A = ; b) A = 3 0 ; c) Korzystajac z metody doł aczonej macierzy jednostkowej znaleźć macierze odwrotne do : ] [ A = 3 ; b) A = ; c) A =

8 76 Wiadomo, że Wyznaczyć A (A) = Wiadomo, że det (A) = 4 oraz det (B) = 3 Obliczyć: [ det A (6B) ] ; b) det [ A B 3 A ] 78 Znaleźć rozwiazania równań macierzowych: [ ] [ ] X = ; b) X = ; [ ] c) X 5 = ; [ ] [ ] [ ] 3 8 d) X = ; e) X = [ 3 ] ; [ ] [ ] [ ] f) X = Korzystajac ze wzorów Cramera wyznaczyć wskazana niewiadoma z układów równań liniowych: { x y = 0, niewiadoma y; 3x + y = 5 x + y + z = b) x y + z = 4, niewiadoma x; 4x + y + 4z = c) x + 3y + z + 5t = x + y + 5z + t = x + y + 3z + t = 3 x + y + 3z + 4t = 3, niewiadoma z 80 Korzystajac z interpretacji geometrycznej przekształceń liniowych znaleźć ich jadra, obrazy i rzędy: L : R R, obrót o kat α = π 3 wokółpocz atku układu b) L : R R, rzut prostokatny na prosta x + y = 0 c) L : R 3 R 3, symetria względem płaszczyzny y = z d) L : R 3 R 3, obrót wokółosi Oy o kat π 8 Wyznaczyć jadra, obrazy oraz rzędy przekształceń liniowych: L : R R, F (x, x ) = x 3x ; b) L : R R, F (x, y) = (x + y, x + y) ; c) L : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) L : R R 4, F (x) = (0, x, 0, x) 8

9 8 Metoda eliminacji Gaussa rozwiazać podane układy równań: b) x + y + z = x y + z = 4 4x + y + 4z = 3x y 5z + t = 3 x 3y + z + 5t = 3 x + y 4t = 3 x y 4z + 9t = ; 83 Znaleźć trójmian kwadratowy, który przechodzi przez punkty (, ), (0, ), (, 4) b) Wyznaczyć współczynniki a, b, c funkcji y = a x + b3 x + c4 x, która w punktach, 0, przyjmuje odpowiednio wartości 3 4,, c) Funkcja y (x) = A cos x+b sin x spełnia równanie różniczkowe y 6y +3y = 5 sin xwyznaczyć współczynniki A, B 84 Dla jakich wartości parametru m, podany układ jednorodny ma niezerowe rozwiazanie mx + y + z = 0 x y + mz = 0 mx + y + 4z = 0 b) Dla jakich wartości parametrów a, b, c, d, podany układ równań liniowych jest sprzeczny x + y = a z + t = b x + z = c y + t = d c) Znaleźć wszystkie wartości parametru p, dla których podany układ równań liniowych ma tylko jedno rozwiazanie x + y 3z = x py + z = 3 x + y pz = 5?? 85 Korzystajac z definicji wyznaczyć wektory i wartości własne przekształceń liniowych: symetria względem osi Ox w przestrzeni R ; b) obrót w przestrzeni R 3 wokółosi Oy o kat π 6 ; c) symetria w przestrzeni R 3 względem płaszczyny xoz; d) rzut prostokatny w przestrzeni R 3 na oś Oz 86 Znaleźć wartości i wektory własne przeształceń liniowych: L : R R, F (x, y) = (x + y, x + y) ; c) L : R 3 R 3, F (x, y, z) = ( x, 5x + y, y z) ; d) L : R 4 R 4, F (x, y, z, t) = (0, x, 0, x) 87 (p) Napisać równanie okręgu, którego średnica jest odcinek o końcach A = (, 3), B = (5, 7) 88 (p) Wyznaczyć współrzędne środka i promień okręgu x 4x + y + 6y + = 0 89 Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkacie ABC o wierzchołkach A = (0, 0), B = (8, 0), C = (0, 6) 90 Znaleźć równanie okręgu, który przechodzi przez punkty P = (3, 4), Q = (5, ) i ma środek na osi Ox 9

10 9 *Wyznaczyć równanie okręgu, który jest styczny do obu osi układu współrzędnych oraz przechodzi przez punkt A = (5, 8) Ile rozwiazań ma zadanie? 9 Znaleźć równanie stycznej okręgu x + y = 5: w punkcie ( 3, 4); b) przechodzacej przez punkt ( 5, 0); c) równoległej do prostej x y 4 = 0; d) prostopadłej do prostej x + y = 0 93 (p) Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz mimośród elipsy x 6 + y 9 = 94 Punkty F = ( 5, 0), F = (5, 0) sa ogniskami elipsy jednym z jej wierzchołków jest punkt W = (0, 3) Znaleźć równanie tej elipsy, jeżeli widomo, że 95 Naszkicować elipsę o równaniu 4x 8x + 9y + 36y + 4 = 0 96 (p) Wyznaczyć osie, współrzędne ognisk oraz równania asymptot hiperboli 97 Narysować hiperbolę wraz z asymptotami: (y+5) 6 (x ) 9 = ; b) 4x 5y + 8x = 0 x 44 y 5 = 98 Wyznaczyć współrzędne ogniska, wierzchołka oraz podać równanie kierownicy paraboli o równaniu: y = x; b) y = x + 6x 99 Napisać równanie paraboli, której: kierownica jest prosta y =, a punkt W = (, 6) - wierzchołkiem; b) kierownica jest prosta x =, a punkt W = (5, ) - wierzchołkiem 00 Jakie krzywe przedstawiaja równania: x y + 4 = 0; b) (x y) = ; c) x + y = xy? 0