Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
|
|
- Halina Markowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA LINIOWA
2 Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018
3 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Teresa Jurlewicz Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Składksiążkiwykonanowsystemie L A TEX. ISBN Wydanie VIII zmienione 2018 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: I-BiS Usugi Komputerowe Wydawnictwo spółka jawna 4
4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium... 9 Drugiekolokwium Zestawy zadań z egzaminów 37 Egzaminpodstawowy Egzaminpoprawkowy Odpowiedzi i wskazówki 65 Pierwszekolokwium Drugiekolokwium Egzaminpodstawowy Egzaminpoprawkowy
5 Wstęp Niniejszy zbiór zadań jest przeznaczony dla słuchaczy wykładów z algebry liniowej prowadzonych w uczelniach technicznych. Jest on trzecią częścią zestawu podręczników do tego przedmiotu. Dwie pierwsze części zestawu tworzą Algebra liniowa. Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra liniowa. Przykłady i zadania. W opracowaniu umieściłam zestawy zadań, które od roku akademickiego 1993/94 przygotowywałam na kolokwia i egzaminy. Zadania ze sprawdzianów obejmują przestrzenie i przekształcenia liniowe, układy równań liniowych oraz przestrzenie euklidesowe. Zbiór jest powiększoną i poprawioną wersją mojego wcześniejszego opracowania pt. PowtórkaodAdoZzalgebryliniowej2. Pierwszy rozdział książki zawiera zestawy zadań z kolokwiów. W drugim rozdziale znajdują się zestawy zadań z egzaminów podstawowego i poprawkowego. W ostatnim rozdziale podałam odpowiedzi lub wskazówki do wszystkich zadań. Sądzę, że opracowanie pozwoli studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Może być także dodatkowym materiałem do samodzielnej nauki. Mam nadzieję, że podręcznik pomoże osobom wykładającym algebrę liniową przy opracowywaniu zestawów zadań na kolokwia i egzaminy. Z aktualnego wydania wyłączyłam zestawy zadań z egzaminów na ocenę celującą. Staną się one częścią opracowania pt.: Algebra i analiza. Egzaminy na ocenę celującą. Ponadto poprawiłam zauważone błędy i usterki. Teresa Jurlewicz 7
6 52 Zestawy zadań z egzaminów Egzamin poprawkowy Zestaw Wektory x, y, z są liniowo niezależne. Zbadać z definicji liniową niezależność wektorów:3x+2y z, x y+2z, 7x+3y. 2.Wskazaćwielomiany p,q R[x]takie,że Odpowiedź uzasadnić. dim(lin{p,p,p })=3oraz dim(lin{q,q,q })=2. 3.Wyznaczyćwspółrzędnewektora(0,3,8,1)wbazie 4. Spośród generatorów: {(1,2,2,0),(2,1, 4,0),(0,0,3,6),(0,0,0,1)}. (1, 2,0,1,1), (1, 1,1,0,2), (3, 4,2,1,5), (1, 3, 1,2,0) przestrzeni liniowej V wybrać dwie bazy tej przestrzeni. 5.Podaćmacierzprzekształcenialiniowego(Lq)(x)=(3+x)q (x)wbazie { 1+x,1 x,x 2 } przestrzeni R 2 [x]. 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(5,6,1,3)napodprzestrzeń Zestaw 2. V= { (a,b,c,d) E 4 :a d=a+b=b c }. 1. Uzasadnić, że macierze nieodwracalne stopnia 3 nie tworzą podprzestrzeni liniowej przestrzeni M 3 3 wszystkichmacierzyrzeczywistychstopnia3. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewielomiany2x+5,x 2 3x+1,x 2 +xtworząbazęprzestrzeni liniowej R 2 [x]. 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :x+2y z+t=x+y=x y+t } Obliczyć rząd macierzy CzywektorywłasneprzekształcenialiniowegoS: R 3 R 3 określonegowzorem S(x,y,z)=(x+4z,2y,x+z) tworząbazęprzestrzeni R 3?Jeżelitak,tonapisaćmacierzprzekształceniaSwtej bazie. 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(2,0,1, 1),(1,1,0,2),(0,1,0,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(3,0,1,0)wtejbazie.
7 Egzamin poprawkowy 53 Zestaw Czy macierze stopnia 2, których rząd jest mniejszy od 2, stanowią podprzestrzeń liniowąprzestrzeni M 2 2?Odpowiedźuzasadnić. 2. Zbadać wymiar przestrzeni liniowej w zależności od parametru p. U=lin{(p,2, p),(1,p, 1),(p,3, p)} 3.Wektory(1,2,3),(0,2,1)uzupełnićdobazyprzestrzeni R 3 tak,abywektor(1,0,0) miałwniejwspółrzędne[1,2,1]. 4.Czywektory(1,1, 1,0, 3),(2,1,0,0, 5)tworząbazęprzestrzenirozwiązańukładu równań x+3y+ z +s=0 2x+ y + t+s=0? 5y+2z 2t+s=0 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegot: R 3 R 3 określonegowzorem T(x,y,z)=(x+2y 3z,x+2y 3z,x+2y 3z). 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni Zestaw 4. U= { (x+2y+3z,2x+2z,x+y+2z,y+z) E 4 :x,y,z R }. 1. Czy wielomiany, które są funkcjami: (a) parzystymi; (b) niemalejącymi, tworzą podprzestrzenie liniowe przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Dlajakiejwartościparametruqwektory:(1, q,2),(q,3, 1),(3q,5, 4)sąbazą przestrzeni R 3?Czymożetobyćbazaortogonalnaprzestrzeni E 3? 3.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 [x],wktórejwektorx+3mawszystkiewspółrzędne równe Podać wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+ 3z+ 4t=0 3x+5y+13z+10t=0. x+4y+ 9z+ t=0 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 3 R 3 określonego wzorem L(x,y,z)=(x z,x z,x z). 6.Wektory(1,1,0,0),(0,0,1,0)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie.
8 54 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 5. 1.Uzasadnić,żezbiór Wjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni M 2 2,gdzie {[ ] } ab W= :a+2d=3b c. cd 2.Jakijestwymiarprzestrzeniliniowejlin { 1,sin 2 x,cos2x,cos 2 x }? 3.Czywektor(1,0,0,0)należydoprzestrzeniliniowej lin{(1, 1,0,1),(1,0,2,1),(1, 1,1,3),(0,2,3, 2)}? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora f=x 3 2x 2 x+4wwybranejbazieprzestrzeni liniowej U={f R 3 [x]: f(1)= f(2)}. 5.Napisaćmacierzobrotuokątπ/2wokółosiOzwprzestrzeni R 3 wbazie {(0,1, 1), (0,0,1), (1, 1,0)}. 6.Wprzestrzeni E 4 znaleźćrzutortogonalnywwektorav=(1,0,2,1)napodprzestrzeń W=lin{(2,1,0, 1),(1,0,1, 1)}. Zestaw 6. 1.Uzasadnić,żejeżeliwektoryu,vsąliniowoniezależne,awektoryu,v,wsąliniowo zależne,tow lin{u,v}. 2. Uzasadnić, że wielomiany rzeczywiste stopnia mniejszego od 5, które są funkcjami parzystymi, tworzą przestrzeń liniową. Podać wymiar tej przestrzeni. 3. Znaleźć współrzędne wektora(4, 4, 2, 5) w wybranej bazie przestrzeni liniowej W= { (a,b,c,d) R 4 :2a c=2b+7c=a b c }. 4. Określić wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x +2z u+ v=0 x+ y +2u v=0 3x+2y+2z+3u v=0 x y+4z 4u+3v=0 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2 spełniającegozależności:l(2,1)=(4,3), L(4, 1)=(2, 3). 6.Podaćprzykładunormowanegowektorau E 4 tworzącegozwektoremv = (1, 1,1, 1)kątπ/3. Zestaw 7. 1.Dlajakichwartościparametrupzbiór W={(px+y,y,x+p):x,y R}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 3? 2. W przestrzeni liniowej R[x] zbadać z definicji liniową niezależność wektorów: x 3 +x, 2x 3 +x+1, 3x 2 +x, x+1..
9 Egzamin poprawkowy Wskazać bazę przestrzeni liniowej { U= X M 2 2 : [ ] 2 1 X=X 1 1 [ ]} Sprawdzić,czywektory(1,1, 2,0,1),( 2,0,0,1,1)generująprzestrzeńrozwiązań układurównań x 2y + u+ v=0 x y+ z +2v=0. 3x 4y+2z+ u+5v=0 x 3y z+2u =0 5.Wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,3)}przestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzekształcenia liniowegol(x,y,z)=(z x,z y,x+y). 6.Wektoryu=(1,3, 2),v=( 1,1,1)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 3 inastępnieznaleźćwspółrzędnewektorax=(12, 4,7)wtejbazie. Zestaw Uzasadnić, że jeżeli wektory a, b, c należące do przestrzeni liniowej V są liniowo zależneorazd V,towektorya,b,c,dsąteżliniowozależne. 2.Uzasadnić,żezbiór U={(a b,a+b,3b,2a):a,b R}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 4.Wskazaćbazętejprzestrzeni,wktórejwszystkiewspółrzędne wektora(1,5,6,6)sąrówne5. 3.Sprawdzić,żegeneratoryprzestrzenilin { sin 2 x,cos2x } sąjejbaząinastępnie obliczyćwspółrzędnewektora5 cos 2 xwtejbazie. 4. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość dim(lin{(1,3,p,1),(p, 1,1,1),(4,5,5,3)})=p? 5.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 złożonązwektorówwłasnychmacierzy Zortogonalizowaćinastępnieunormowaćwprzestrzeni E 4 wektory: Zestaw 9. (1,0,0,1), (1,2,0,1), (1,4,2,3). 1. Uzasadnić, że zbiór U wszystkich wielomianów p spełniających warunek nie jest przestrzenią liniową. p(1)p (2)=0 2.Comożnapowiedziećoliniowejniezależnościfunkcji f,g,h C(R)spełniających nierówność f(1) f(2) f(3) g(1) g(2) g(3) h(1) h(2) h(3) >0?
10 56 Zestawy zadań z egzaminów 3.Czyspośródwektorów:x 2 +x+2,1 x 2,x 2 +2x+5,x+3,2x+3możnawybrać bazęprzestrzeni R 2 [x]? 4. Określić, w zależności od parametru m, liczbę rozwiązań układu równań 6x+my+4z=4m 3x+ y+2z= m. 6mx+ y+4z= 4 5. Korzystając z interpretacji geometrycznej wyznaczyć jądro, obraz oraz podać ich bazyprzekształcenialiniowegokprzestrzeni R 3,którejestrzutemprostokątnymna płaszczyznęπ:x+2y+3z=0. 6.Sprawdzić,żewektory(2, 1,3),( 1,4,2),(2,1, 1)tworząbazęortogonalnąprzestrzeni E 3 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1, 1)wtejbazie. Zestaw Zbadaćliniowąniezależnośćwektorów A T, A 1, A 2 wprzestrzeniliniowej M 2 2 dla [ ] 12 A= Którezwektorówbazystandardowejprzestrzeni R 3 [x]stanowiąuzupełnieniewektorówx 3 +2x,1 x 3 dobazytejprzestrzeni?podaćwszystkiemożliwości. 3.Znaleźćwspółrzędnewektora(1, 1,2)wbazie{(3,2,1),(0,5, 1),(1, 1,1)} przestrzeni R Jaki jest wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+2z+3s+ t=0 x+3y+ z+2s+2t=0? 5x 7y+ z 4t=0 5.PodaćwartościiwektorywłasnesymetriiS: R 3 R 3 względemosioz. 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(2,0,1) E 3 napodprzestrzeń Zestaw 11. lin{(1,2,0),(2,3,1)}. 1. Czy funkcje okresowe o okresie T, który jest dodatnią liczbą parzystą, tworzą podprzestrzeń liniową przestrzeni wszystkich funkcji na R? Odpowiedź uzasadnić. 2. Czy któraś z podanych macierzy jest kombinacją liniową pozostałych: [ ] [ ] [ ] [ ] ,,,? Odpowiedź uzasadnić. 3.Wektoru Umawbazie{b 1,b 2,b 3 }przestrzeniliniowej Uwspółrzędne[3,1,3]. Znaleźćwspółrzędnewektorauwbazie{b 1 b 2,b 1 +b 3,b 1 +2b 3 }.
11 Egzamin poprawkowy Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez wektory: (1, 2,0,1,3), (2,0,2,1,0), (1,0,1,0,4), (1, 4, 1,1,10) 5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(1,0,1,0),(1,0,1,1,),(1,1,1,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(6,3,6,5)wtejbazie. Zestaw Uzasadnić z definicji liniową niezależność funkcji sin x, sin 3x, sin 8x w przestrzeni liniowej C(R). 2. Uzasadnić, że zbiór U jest przestrzenią liniową i określić jej wymiar, jeżeli U={p R 4 [x]:2p(x)= p(2x)}. [ ] Znaleźć współrzędne wektora wbazie 3 2 {[ ] [ ] [ ]} ,, przestrzeniliniowej M 2 2 rzeczywistychmacierzysymetrycznychstopnia2. 4. Określić, w zależności od parametru q, wymiar przestrzeni liniowej lin{(q,q,3,4),(1,1,1,1),(q,2,q,2)}. 5.NapisaćmacierzprzekształcenialiniowegoL:R 3 R 3 określonegowzorem L(x,y,z)=(x,x+y,x+z,x+y+z) wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)}przestrzeni R 3 orazwbazie przestrzeni R 4. {(1,1,0,0),(1, 1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1, 1)} 6.Zortogonalizowaćwektory1,sinx,x+1wprzestrzenieuklidesowej C[ π/2,π/2] z iloczynem skalarnym (f,g)= π 2 f(x)g(x) dx. π 2 Zestaw Uzasadnić,żezbiór U={A M 3 3 :det( A)= det(a)}jestprzestrzeniąliniową. 2.Napisaćmacierzprzejściazbazy{(1,2,1),(2,3,1),(1,1,1)}dobazystandardowej przestrzeni R 3.
12 58 Zestawy zadań z egzaminów 3.Dlajakichwartościparametruawielomianx 2 +ax+a 2 jestuzupełnieniemwielomianówx 2 2x+3,2x 2 x+1dobazyprzestrzeni R 2 [x]? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora(x,y,z,s,t)=(1,4,4,1,0)wwybranejbazieprzestrzenirozwiązańukładurównańx y+z s+t=x y+z s t=0. 5.WyznaczyćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoK : R 3 R 3 określonego wzorem K(x,y,z)=(x+2y+3z,2y, z). 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni E= { (2x,y,y x,2x+y) E 4 :x,y R } inastępniewspółrzędnewektora(2,1,0,3)wtejbazie. Zestaw Niech W= { (x,y,x+ y ) R 3 :x,y R }.Któryzpodanychzbiorówjestprzestrzenią liniową: Odpowiedź uzasadnić. W 1 = W płaszczyznayoz, W 2 = W płaszczyznaxoz? 2.Baza Bprzestrzeniliniowej R 2 [x]zawierawektory1 x,2x+1.jakiemogąbyć współrzędne wektora 3x + 6 w tej bazie? Wypisać wszystkie możliwości. 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :(x+z) 2 =2 ( x 2 +z 2)}. 4. Zbadać macierzowo liniową niezależność wektorów: x 4 +2x 3 +x 2 x+1, 2x 4 +x 3 x 2 +x 1, 4x 4 +5x 3 +x 2 x wprzestrzeniliniowej R 4 [x]. 5.WyznaczyćbazyjądraorazobrazuprzekształcenialiniowegoK: R 3 R 4 określonego wzorem K(x,y,z)=(x+y+2z,x 2y+2z,2x y+4z,x+2y+2z). 6. Znaleźć wektor unormowany f ortogonalny do wektora h = x 1 w przestrzeni R 1 [x]ziloczynemskalarnymdanymwzorem (f,g)= f(1)g(1)+ f(2)g(2)dla f,g R 1 [x]. Zestaw Czyzbiór D={q R[x]: q R 2 [x]lub q (1)=0}jestpodprzestrzeniąliniową przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewektory(4,1,3),(8,2,1),(1,0,2)tworząbazęprzestrzeni liniowej R 3. 3.Wektor(7,2,3,0,1)uzupełnićdobazyprzestrzeniliniowej U= { (x,y,z,s,t) R 5 :y+s=z t=x y z }.
13 Egzamin poprawkowy Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez kolumny macierzy PrzekształcenielinioweL:R 2 R 2 przeprowadzawektor(1,0)nawektor(3, 2), awektor(1,1)nawektor(4, 1).Znaleźćobrazwektora(1, 2)potrzykrotnym złożeniu tego przekształcenia. 6. Napisać współrzędne wektora(2, 3, 1, 0) w wybranej bazie ortogonalnej przestrzeni lin{(1,1, 1, 1),(1,1,1,1),(0,1,1,0)} E 4. Zestaw Wskazać przykład nieskończonego liniowo niezależnego podzbioru przestrzeni R[x] niezawierającegowielokrotnościwektorów:1,x,x 2,x 3,...Odpowiedźuzasadnić 2. Wektory u, v, w są liniowo niezależne. Dla jakich wartości parametru p podane niżej wektory są liniowo niezależne: 2pu+4v+pw, 2u+2v+w, pu+pv w? 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+2y+z+2t=6x x+2y+z+2t=6y. x+2y+z+2t=6z x+2y+z+2t= 6t 4.NapisaćwzórprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2,któregojądremiobrazem jestośox. 5.PrzekształcenieL:R 2 [x] R 2 [x]jestokreślonewzorem (Lp)(x)=(2 x)p (x)dla p R 2 [x]. Pokazaćliniowośćtegoprzekształceniaipodaćjegomacierzwbazie { 1,x,x 2}. 6.Znaleźćbazęortogonalnąprzestrzeni E 4 zawierającąwektory: (1,1,0, 1), (1,0, 1,1). Zestaw Czyzbiór W = {(x,y,z):xy=0iyz=0}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 3?Odpowiedźuzasadnić. 2. Dla jakich wartości parametru p wektory x 2 +px+p 2,x 2 +p 2 x+p 4,x 2 +p 3 x+p 6? sąliniowoniezależnewprzestrzeni R 2 [x].
14 60 Zestawy zadań z egzaminów 3. Obliczyć rząd macierzy NiechLbędzieliniowymprzekształceniemprzestrzeni R 3 [x]określonymwzorem (Lp)(x)=p(x)+ p (x).uzasadnićmacierzowo,żeprzekształceniel 1 istniejei następniewyznaczyćl 1( x+x 2). 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegol:r 3 R 3 określonegowzorem L(x,y,z)=(y,y,y). 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni Zestaw 18. W= { (x,y,z,t) E 4 :4x z=2y 3z+2t=0 }. 1.Uzasadnić,żefunkcje2 x,x 2,sinπx,x 3sąliniowoniezależnewprzestrzeni liniowej C(R) wszystkich funkcji ciągłych na R. 2. Sprawdzić, że wektor(5, 1, 2, 3) należy do przestrzeni liniowej U={(x+2y+4z,x+2z,y+z,x 2y):x,y,z R} i następnie uzupełnić go do bazy tej przestrzeni. 3. Podać geometryczny opis zbioru rozwiązań podanego układu równań w zależności odparametrup: px+2y+pz=0 x+py+ z=0. px+3y+pz=0 4. Znaleźć bazy przestrzeni liniowych Ker L, Im L dla przekształcenia liniowego L: R 4 R 3 określonegowzorem L(a,b,c,d)=(a b c+3d,a+b c d,a b c+2d). 5.MacierzprzekształcenialiniowegoL:V Vmawbazie{v 1,v 2 }przestrzeni liniowej V postać [ ] 0 1 A L =. 1 2 ZnaleźćL 3 (v 1 +v 2 ). 6.Znaleźćrzutortogonalnyvwektorau=(1,1,3, 1)napodprzestrzeń V= { (x,y,z,t) E 4 :x+z+2t=y 2t=x+y z=0 }.
15 Egzamin poprawkowy 61 Zestaw Comożnapowiedziećoliniowejzależnościfunkcji f,g,h: R Rmającychciągłe pochodne rzędu 2 i spełniających nierówność f(1) f (1) f (1) g(1) g (1) g (1) h(1) h (1) h (1) >0? 2.Wskazaćbazęprzestrzeniliniowejlin{(1,2,3,4,5),(1,1,0,1,1),(2,3,3,5,7)}zawierającąwektor(0,1,3,3,4). 3. Określić wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+y+z=z+2y+t=x y+3z t=t. 4.Danyjestczworokątowierzchołkach(0,0),(6,0),(4,2),(1,2)orazprzekształcenie płaszczyznyl(x,y)=(x+2y,x y).wyznaczyćpolefigurybędącejobrazemtego czworokąta w przekształceniu L. 5.Czyjestmożliwe,abywprzestrzenieuklidesowej R 1 [x]zpewnymiloczynemskalarnymwielomiany1,x 1tworzyłykątπ/4,awielomiany1,xbyłyortogonalne? Odpowiedź uzasadnić. 6.Wektory(1,1,1, 1), (1, 1,1,1), (4,2, 4,2)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 ipodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie. Zestaw Rozważmy zbiór U wszystkich funkcji dwóch zmiennych z = g(x, y), których wykresy są płaszczyznami przechodzącymi przez punkt(3, 1, 0). Uzasadnić, że ten zbiór jest przestrzenią liniową. 2.Wykorzystującmacierzprzejściazbazydobazypodaćwspółrzędnewektora4b 1 2b 2 wbazie{4b 1 +2b 2,6b 1 b 2 }. 3. Znaleźć wszystkie rozwiązania niejednorodnego układu równań z niewiadomymi x,y,z,t,jeżeliwiadomo,żex=1,y=0,z= 1,t=3jestjednymzrozwiązańtego układu, a jego macierz główna ma postać Znaleźćobrazwektorau=(1,1,1)poobrocieokątπ/4wokółosiOxinastępnie okątπ/2wokółosioz. 5.Czyjestmożliwe,abywektor(1,1,1)miałwpewnejbazieortonormalnejprzestrzeni E 3 współrzędne[1,1,0]?odpowiedźuzasadnić. 6.Wektoryu,v 1,v 2 sąunormowane.znaleźćrzutortogonalnywektoraunapodprzestrzeńlin{v 1,v 2 }jeżeliwiadomo,żewektorujestortogonalnydov 1,zwektorem v 2 tworzykątπ/3,zaśv 1 iv 2 tworząkątπ/6.
16 62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw Czy zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych stopnia 2 o wyznacznikach niedodatnich tworzy przestrzeń liniową? Odpowiedź uzasadnić. 2.Zbadaćliniowąniezależnośćfunkcji 3 x, x,xwprzestrzeniliniowejfunkcjiciągłych na przedziale(0, ). 3.Wprzestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzejściazbazy{(2,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}do bazy{(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}. 4.ZnaleźćjądroiobrazprzekształcenialiniowegoL: R 3 Rokreślonegowzorem L(x,y,z)=det xyz Czyliczbyλ 1 =0,λ 2 =9sąwartościamiwłasnymiprzekształcenialiniowego (Lf)(x)= f(3x) w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na R? Odpowiedź uzasadnić. 6. Iloczyn skalarny w przestrzeni R[x] dany jest wzorem b+1 (p, q)= p(x)q(x) dx, b 1 gdzieb R.Normawektora p=xwtejprzestrzeniwynosi 26/3,awektor q= x 13/6jestortogonalnydo p.wyznaczyćb. Zestaw Wektoryu v,v w,2u+v+wsąliniowoniezależne.czywektoryu,v,wteż są liniowo niezależne? Odpowiedź uzasadnić. 2.Współrzędnewektora p(x)=5x+2wpewnejbazieprzestrzeni R 1 [x]wynoszą [1,1],awektora q(x)=3 xwynoszą[ 1,3].Znaleźćtębazę. 3. Znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań { x y+2z+3s t=0 x+3y+ z+2s+2t=0. 4.Napisaćmacierzwbaziestandardowejprzestrzeni M 2 2 przekształcenialiniowego L tej przestrzeni w siebie określonego wzorem [ ] 12 L(A)= A dla A M Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy zespolonej
17 Egzamin poprawkowy 63 6.Znaleźćnajmniejsząwartośća>0,dlaktórejfunkcjesinxisin(3x/4)sąortogonalne do funkcji 1 w przestrzeni euklidesowej C[0, a] ze standardowym iloczynem skalarnym. Zestaw Zbadać liniową niezależność funkcji ln(3x), ln(5x), ln(10x) w przestrzeni funkcji ciągłych na przedziale(0, ). 2.Wektor p R 2 [x]mawbazieb= { 3x 2 +2x+1,3x 2 +x+1,2x 2 +x+1 } współrzędne[1, 1, 1]. Podać współrzędne tego wektora w bazie B = { x,2x 2,3 } Obliczyć rząd macierzy PrzekształcenielinioweLprzestrzeniliniowej M 2 2 wsiebiejestokreślonewzoreml(a)=3a A T dla A M 2 2.NapisaćmacierzprzekształceniaLwbazie standardowej tej przestrzeni. 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 4 R 4 określonegowzoreml(x,y,z,t)=(y,z,t,x). 6.Niech U= { u E 3 :u (2,1, 3) }.Uzasadnić,że Ujestpodprzestrzeniąliniową przestrzeni E 3 iwyznaczyćbazęortonormalnątejpodprzestrzeni. Zestaw Któryzpodanychwarunkówdlawektorówu=(r,s,t,u) R 4 wprowadzawnich strukturę przestrzeni liniowej: (a)x 2 +y 2 =z 2 +t 2 ; (b)x+y=z+t? Odpowiedź uzasadnić. 2. Znaleźć współrzędne wektora v =( 8, 5, 9) w jakiejkolwiek bazie podprzestrzeni liniowejprzestrzeni R 3 generowanejprzezwektory v 1 =(2,1,3),v 2 =(4, 1, 1),v 3 =(1, 1, 2),v 4 =(5,1,4) Obliczyć rząd macierzy PrzekształcenieKprzestrzeni R 3 wsiebiejestokreślonewzorem K(v)=(4, 1,1) v, gdzie v R 3. Uzasadnić liniowość przekształcenia K i znaleźć jego macierz w bazie standardowej R 3.
18 64 Zestawy zadań z egzaminów 5.Dobraćtakiewartościparametruα,dlaktórychwielomiany p 0 =x+α 1, q 0 =x α 1tworząkąt2π/3wprzestrzenieuklidesowejR 2 [x]ziloczynemskalarnym określonymwzorem(p, q)= p(0)q(0)+ p(1)q(1)+ p(2)q(2). 6.Wektoryv 1,v 2,v 3,v 4 tworząbazęortogonalnąpewnejprzestrzenieuklidesowej. Znaleźćrzutortogonalnywtejprzestrzeniwektorav=v 1 +4v 2 v 3 +3v 4 na podprzestrzeńlin{v 1,v 4 }.
Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Bardziej szczegółowoALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoLista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Bardziej szczegółowo1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Bardziej szczegółowo3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoMatematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoAlgebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,
Bardziej szczegółowoGeometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
Bardziej szczegółowoLista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoSylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowoALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoZestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli
Bardziej szczegółowo1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Bardziej szczegółowoTeresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Przykłady i zadania. Wydanie siódme poprawione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA Przykłady i zadania Wydanie siódme poprawione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2017 Teresa Jurlewicz Przedsiębiorstwo Informatyczne
Bardziej szczegółowo, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoEndomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Bardziej szczegółowoMatematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Bardziej szczegółowoZał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Bardziej szczegółowoSYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2018 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Algebra liniowa z geometrią Kod przedmiotu/
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3
Bardziej szczegółowoAlgebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Bardziej szczegółowoz = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
1 Układy równań liniowych 1. Rozwiązać układy równań liniowych metodą eliminacji Gaussa x + 2y z = 4 y 2z = 4x y + z = 0 x y + z = 0 2y + 5z = 1 6x 4y z = 1 x + y t = 1 x + y z = 0 y + z + t = 1 x + +
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
Bardziej szczegółowoWykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoWykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
Bardziej szczegółowoKierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej A (03-M01S-12-WALGA)
Bardziej szczegółowoMatematyka 2. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Matematyka 2 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Równania różniczkowe liniowe rzędu II Równanie różniczkowe w postaci y + a 1 (x)y + a 0 (x)y = f(x) gdzie a 0 (x), a 1 (x) i f(x) są funkcjami
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY 4 MARCA 2017 CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Ile jest liczb x należacych
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowo