Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
|
|
|
- Henryk Kasprzak
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
2 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
3 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
4 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
5 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
6 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
7 Standardowy iloczyn skalarny Definicja Iloczynem skalarnym wektorów v = (x 1,..., x n ) i w = (y 1,..., y n ) R n nazywamy liczbę rzeczywista v w = x 1 y x n y n = n i=1 x iy i R. Przykład Niech v, w R 4, v = (1, 0, 1, 2), w = (2, 1, 3, 0). Wówczas v w = ( 1) = 2 3 = 1 Własności iloczynu skalarnego Twierdzenie Niech v, w, v, w R n, zaś α R. Wówczas: (i) (v + v ) w = v w + v w, v (w + w ) = v w + v w (ii) (αv) w = α(v w) (iii) v w = w v (iv) v v > 0 dla v 0 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
8 Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
9 Definicja Długościa wektora v = (x 1,..., x n ) R n nazywamy liczbę v = v v = x x n 2. uwaga Długość wektora jest liczba nieujemna. Przykład Niech v = (3, 1, 2) R 3. Wtedy v = ( 2) 2 = = 14. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
10 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
11 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
12 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
13 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = ( ( 6) + 1 ( 9) = = 0 zatem v w, natomiast v w = = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
14 Twierdzenie Niech v R n, zaś α R. Wtedy a) αv = α v 1 b) Jeśli v 0, to wektor v v ma długość 1. Będziemy go nazywać unormowaniem wektora v. Definicja Mówimy, że wektory v, w R n sa prostopadłe jeśli v w = 0. Będziemy wówczas pisać v w. Przykład v = (3, 2, 1), w = (7, 6, 9), w = (1, 6, 6). Mamy v w = ( ( 6) + 1 ( 9) = = 0 zatem v w, natomiast v w = = 3 0 czyli v i w nie sa prostopadłe. Twierdzenie (Pitagorasa) Jeśli wektory v, w R n sa prostopadłe to v + w 2 = v 2 + w 2. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
15 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
16 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
17 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
18 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
19 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dopełnieniem ortogonalnym V w R n nazwiemy zbiór V = {w R n v V : v w = 0}. Jest on podprzestrzenia liniowa R n Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia i niech dimv = k. Wtedy dimv = n k oraz V V = {0} Uwagi : a) Oznaczenia A można również używać dla zbioru A R n nie będacego podprzestrzenia, tzn. A = {w R n a A : a w = 0}. Zawsze A jest podprzestrzenia R n i A = (lina). b) Jeśli V jest podprzestrzenia R n, to (V ) = V. Dla dowolnego podzbioru A R n zachodzi (A ) = lin A c) Jeśli V = {(x 1,..., x n ) R n a 1 x a n x n = 0} to V = lin((a 1,..., a n )) (równoważnie: (lin((a 1,..., a n ))) = V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
20 Przykład a) Niech podprzestrzeń V R 2, opisana będzie przez 2x 1 + 5x 2 = 0, czyli V = lin((5, 2)). Mamy: V = lin((2, 5)) Ogólniej, jeśli przestrzeń V R n opisana jest układem równań a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2n x n = 0 liniowych jednorodnych a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mn x n = 0 V = lin((a 11,..., a 1n ),..., (a m1,..., a mn )). Przykład Niech { V R 4 będzie opisana układem 2x1 + 3x U : 2 +5x 3 + 2x 4 = 0 3x 1 + x 2 +6x 3 + 2x 4 = 0 Wtedy V = lin((2, 3, 5, 2), (3, 1, 6, 2)) to Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
21 Definicja Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa, zaś A = {v 1,..., v k } baza V. Powiemy, że A jest ortogonalna (= prostopadła ) jeśli v i v j dla i j, i, j = 1,..., k. Mówimy, że A jest ortonormalna (= ortogonalna i unormowana)jeśli jest ortogonalna i każdy wektor z A ma długość 1. Przykład 1. Baza standardowa jest baza ortonormalna przestrzeni R n 2. baza ( 1/3, 2/3, 2/3), (2/3, 1/3, 2/3), (2/3, 2/3, 1/3) jest baza ortonormalna przestrzeni R Baza (1, 2, 3), (2, 1, 0), (0, 0, 5) nie jest baza ortogonalna. Przykład 4. Niech V R 3, V : 2x 1 + x 2 x 3 = 0. Układ (1, 1, 3), (4, 7, 1) jest baza ortogonalna V. Układ 1 (1, 1, 3), (4, 7, 1) jest baza ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
22 Uwaga: Jeśli układ v 1,..., v k wektorów R n składa się z wektorów niezerowych parami prostopadłych, tzn. v i 0 dla i = 1,..., k, v i v j dla i j, to jest on liniowo niezależny i stanowi bazę ortogonalna lin(v 1,..., v k ). Mówimy również, że układ wektorów v 1, v 2,..., v k jest ortogonalny, jeśli spełnia v i v j dla i j. Twierdzenie Jeśli A = (v 1,..., v k ) jest baza ortonormalna przestrzeni V R n, to wówczas współrzędne dowolnego wektora v V w bazie A wynosza kolejno v v 1, v v 2,..., v v k. Dowód: Niech v = α 1 v 1 + α 2 v α k v k. Wtedy v v i = (α 1 v 1 + α 2 v α k v k ) v i = α 1 v 1 v i + α 2 v 2 v i + + α k v k v i = α i v i v i = α i. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
23 Twierdzenie Każda podprzestrzeń V R n ma bazę ortonormalna Przykład Niech V R 3, V : x 1 + x 2 x 3 = 0. Znajdujemy najpierw bazę ortogonalna w V. Metoda: indukcyjnie dobieramy wektory prostopadłe do już wybranych.weźmy np. v 1 = (1, 0, 1) V. Szukamy takiego niezerowego { wektora v 2 = (x 1, x { 2, x 3 ) V, że v 2 v 1. x1 +x Tzn. 3 = 0 x 1 +x 2 x 3 = 0 x1 +x 3 = 0 x 2 2x 3 = 0 { x1 = x 3. Np. v x 2 = 2x 2 = ( 1, 2, 1). Wiemy, że dimv = 2, zatem v 1, v 2 3 tworza bazę ortogonalna V. Wystarczy ja unormować: v 1 = 1 v 1 v 1 = 1 (1, 0, 1), v 2 2 = 1 v 2 v 2 = 1 6 ( 1, 2, 1) tworza bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
24 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
25 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
26 Rzut prostopadły na przestrzeń i symetrie Twierdzenie Niech V R n będzie podprzestrzenia liniowa. Dowolny wektor w R n można wówczas jednoznacznie przedstawić jako sumę w = v + u wektorów v V i u V. Przyporzadkowanie P V : w v jest wówczas endomorfizmem R n nazywanym rzutem prostopadłym na V. Uwaga Przy oznaczeniach z powyższego twierdzenia, mamy u = P V (w) Definicja Endomorfizm S V : R n R n zdefiniowany przez S V (w) = P V (w) P V (w) = 2P V (w) w nazywamy symetria prostopadła względem V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
27 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
28 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
29 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
30 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v w v k v k v k v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
31 Przykład Niech wektor niezerowy z R n niech V = lin(z). Dla w R n oznaczajac v = P V (w) mamy v = αz oraz z (w v) czyli z (w αz) = 0. Stad z w z (αz) = z w αz z = 0, czyli α = w z z z. Zatem P V (w) = w z z z z Twierdzenie Niech V R n, będzie podprzestrzenia liniowa. Wtedy: a) P V (w) V dla w R n oraz P V (v) = v dla v V. b) Wektor P V (w) jest jedynym takim wektorem v V, który minimalizuje na V wyrażenie w v (czyli jest najbliższym do w wektorem z V ) c) Jeśli {v 1,..., v k } jest baza ortogonalna V, to zachodzi P V (w) = w v 1 v 1 v 1 v w v k v k v k v k d) Jeśli wektory v 1,... v k tworza bazę ortonormalna V to P V (w) = (w v 1 )v (w v k )v k Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
32 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
33 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
34 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
35 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
36 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
37 Twierdzenie Niech V będzie podprzestrzenia R n. Zachodza następujace równości: a) P V P V = P V b) S V S V = id R n c)p V + P V = id R n d) S V = S V e) Jeśli v 1,... v k jest baza ortogonalna V to P V = P v1 + + P vk, gdzie oznaczyliśmy P v = P lin(v), dla v R n Przykład Czasami używamy c) w następujacy sposób: Niech V = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 + x 2 + x 3 2x 4 = 0} R 4, niech w = (1, 2, 3, 4). Obliczyć P v (w). Zamiast liczyć rzut z definicji możemy skorzystać z tego, że V = lin((1, 1, 1, 2)). Zatem P V (w) = w P V (w) = w w (1,1,1, 2) (1, 1, 1, 2) = ( 2) 2 (1, 2, 3, 4) ( 2) 7 (1, 1, 1, 2) = (1 2 7, 2 2 7, 3 2 7, ) Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
38 Ortogonalizacja Grama-Schmidta Twierdzenie Niech wektory v 1,..., v k tworza bazę podprzestrzeni V R n. Zdefiniujmy indukcyjnie wektory w 1,..., w k oraz przestrzenie W 1,..., W k następujaco (i) w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ), (ii)jeśli w i 1 oraz W i 1 sa już zdefiniowane, to w i = v i P Wi 1 (v i ), W i = lin(w 1,..., w i ) dla i = 2,..., k. Wówczas wektory w 1,..., w i tworza bazę ortogonalna W i, W i = lin(v 1,..., v i ), dla i = 1,..., k oraz W k = V, czyli wektory w 1,..., w k tworza bazę ortogonalna V. Po zastapieniu każdego z wektorów w i przez jego unormowanie u i = w i w i otrzymujemy odpowiednie bazy ortonormalne. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
39 Przykład Niech v 1 = (1, 0, 0, 1, 0), v 2 = (0, 0, 0, 1, 1), v 3 = (1, 0, 0, 0, 1) R 5. Definiujemy w 1 = v 1, W 1 = lin(w 1 ),następnie w 2 = v 2 P W1 (v 2 ) = v 2 w 1 v 2 w 1 w 1 w 1 = (0, 0, 0, 1, 1) 1 2 (1, 0, 0, 1, 0) = ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1), oraz W 2 = lin(w 1, w 2 ) = lin(v 1, v 2 ).W końcu w 3 = v 3 P W2 (v 3 ) = v 3 w 1 v 3 w 1 w 1 w 1 w 2 v 3 w 2 w 2 w 2 = (1, 0, 0, 0, 1) 1 1/2 2 (1, 0, 0, 1, 0) 3/2 ( 1/2, 0, 0, 1/2, 1) = (2/3, 0, 0, 2/3, 2/3). Wektory w 1, w 2, w 3 tworza bazę ortogonalna V = lin(v 1, v 2, v 3 ). Zastapiwszy je przez ich unormowania, czyli 1 w 1 w 1 = 2 2 w 1 1, w 2 w 2 = w 2, w 3 w 3 = 3 2 w 3 otrzymamy bazę ortonormalna V. Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień / 14
Układy liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Przestrzenie liniowe
Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7
Zastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 1 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,listopad
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Definicja Niech V, W,
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,
Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017
Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania
Diagonalizacja macierzy i jej zastosowania Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 9. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 29 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień
Rozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
Kombinacje liniowe wektorów.
Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X
Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany. Ortogonalność wektorów. Metoda ortogonalizacji Grama-Schmidta. Małgorzata Kowaluk semestr X ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej przypisujący
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 6 Własności wielomianów ortogonalnych Wszystkie znane rodziny wielomianów ortogonalnych dzielą pewne wspólne cechy: 1) definicja za pomocą wzoru różniczkowego, jawnej sumy lub funkcji tworzącej;
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego
Rozwiązania zadań z listy T.Koźniewskiego 1. Podstawiamy do równań. Tylko czwarty wektor spełnia wszystkie trzy równania.. U 1 : ( + 0x 9x 4, 7x + 8x 4, x, x 4 ), U : ( x 4, 4 x 4, + x 4, x 4 ), U : (x
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Przestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe
2.7 Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe Rozważamy teraz przestrzenie unormowane X skończenie wymiarowe. Załóżmy, że dimx = m. Niech dalej e,e 2,...,e m będzie bazą algebraiczną tej przestrzeni
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość
19 Własności iloczynu skalarnego: norma, kąt i odległość Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym.,.. Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v V nazywamy liczbę v = v, v. Uwaga 1
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
R k v = 0}. k N. V 0 = ker R k 0
Definicja 1 Niech R End(V ). Podprzestrzeń W przestrzeni V nazywamy podprzestrzenią niezmienniczą odwzorowania R jeśli Rw W, dla każdego w W ; równoważnie: R(W ) W. Jeśli W jest różna od przestrzeni {0}
9 Przekształcenia liniowe
9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2
jest rozwiązaniem równania jednorodnego oraz dla pewnego to jest toŝsamościowo równe zeru.
Układy liniowe Układ liniowy pierwszego rzędu, niejednorodny. gdzie Jeśli to układ nazywamy jednorodnym Pamiętamy, Ŝe kaŝde równanie liniowe rzędu m moŝe zostać sprowadzone do układu n równań liniowych
1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
3 Przestrzenie liniowe
MIMUW 3 Przestrzenie liniowe 8 3 Przestrzenie liniowe 31 Przestrzenie liniowe Dla dowolnego ciała K, analogicznie jak to robiliśmy dla R, wprowadza się operację dodawania wektorów kolumn z K n i mnożenia
Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).
Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich
Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.
![Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.](/thumbs/98/135408382.jpg "Aproksymacja. j<k. L 2 p[a, b] l 2 p,n X = Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza przestrzeni liniowej Π n. Dowód.")
Metody numeryczne Paweł Zieliński p. 1/19 Lemat 1. Wielomiany ortogonalne P 0,P 1,...,P n tworza bazę przestrzeni liniowej Π n. Dowód. Lemat 2. Dowolny wielomian Q j stopnia j niższego od k jest prostopadły
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej (03-M01N-12-WALG)
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
1 Przestrzenie Hilberta
M. Beśka, Wykład monograficzny, Dodatek 1 1 Przestrzenie Hilberta 1.1 Podstawowe fakty o przestrzeniach Hilberta Niech H będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Określmy odwzorowanie,
Wstęp do komputerów kwantowych
Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Wprowadzenie do mechaniki kwantowej Podstawy matematyczne 1 Algebra liniowa Bazy i liniowa niezależność
Rozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych
Akwizycja i przetwarzanie sygnałów cyfrowych Instytut Teleinformatyki ITI PK Kraków 21 luty 2011 Reprezentacje sygnału Jak reprezentujemy sygnał: wybieramy sygnały wzorcowe (bazę) rozwijamy sygnał w wybranej
Analiza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Programowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
WYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład II
Wykład II I. Algebra wektorów 2.1 Iloczyn wektorowy pary wektorów. 2.1.1 Orientacja przestrzeni Załóżmy, że trójka wektorów a, b i c jest niekomplanarna. Wynika z tego, że żaden z tych wektorów nie jest
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe
Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia
1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)
Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Zasada indukcji matematycznej
Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.
wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów
KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Teoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem.
1 Wektory Co to jest wektor? Jest to obiekt posiadający: moduł (długość), kierunek wraz ze zwrotem. 1.1 Dodawanie wektorów graficzne i algebraiczne. Graficzne - metoda równoległoboku. Sprowadzamy wektory
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 9. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/2012 4 listopada 2011 W trakcie poprzedniego wykładu zdefiniowaliśmy pojęcie k-kowektora na przestrzeni wektorowej. Wprowadziliśmy także iloczyn zewnętrzny wielokowektorów
Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =
Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej A (03-M01S-12-WALGA)