Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie siódme uzupełnione. GiS
|
|
- Stefan Niewiadomski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ALGEBRA LINIOWA
2 Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie siódme uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2013
3 Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c by Teresa Jurlewicz Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych. Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich. Składksiążkiwykonanowsystemie L A TEX. ISBN Wydanie VII uzupełnione 2013 Oficyna Wydawnicza GiS, s.c., Druk i oprawa: I-BiS Usługi Komputerowe, Wydawnictwo s.c. 4
4 Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium... 9 Drugiekolokwium Zestawy zadań z egzaminów 37 Egzaminpodstawowy Egzaminpoprawkowy Egzaminnaocenęcelującą Odpowiedzi i wskazówki 75 Pierwszekolokwium Drugiekolokwium Egzaminpodstawowy Egzaminpoprawkowy Egzaminnaocenęcelującą
5 Wstęp Niniejszy zbiór zadań jest przeznaczony dla słuchaczy wykładów z algebry liniowej prowadzonych w uczelniach technicznych. Jest on trzecią częścią zestawu podręczników do tego przedmiotu. Dwie pierwsze części zestawu tworzą Definicje, twierdzenia, wzory oraz Przykłady i zadania. W opracowaniu umieściłam zestawy zadań, które od roku akademickiego 1993/94 przygotowywałam na kolokwia i egzaminy. Zadania ze sprawdzianów obejmują przestrzenie i przekształcenia liniowe, układy równań liniowych oraz przestrzenie euklidesowe. Zbiór jest powiększoną i poprawioną wersją mojego wcześniejszego opracowania pt. Powtórka od A do Z z algebry liniowej 2. Pierwszy rozdział książki zawiera zestawy zadań z kolokwiów. W drugim rozdziale znajdują się zestawy zadań z egzaminów podstawowego i poprawkowego. Ponadto umieściłam tam zadania z egzaminów na ocenę celującą, które opracowałam wspólnie z dr. Zbigniewem Skoczylasem. W kolejnym rozdziale podałam odpowiedzi lub wskazówki do wszystkich zadań. Sądzę, że opracowanie pozwoli studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych. Może być także dodatkowym materiałem do samodzielnej nauki. Mam nadzieję, że podręcznik pomoże osobom wykładającym algebrę liniową przy opracowywaniu zestawów zadań na kolokwia i egzaminy. Do aktualnego wydania dołączyłam zestaw zadań z egzaminu na ocenę celującą z roku Ponadto poprawiłam zauważone błędy i usterki. Teresa Jurlewicz 7
6 52 Zestawy zadań z egzaminów 2.Jakijestwymiarprzestrzeniliniowejgenerowanejprzezfunkcjelnx,ln2x,lnx 2? [ ] [ ] NiechP= orazq= będą macierzami przejścia odpowiednio z bazy B 1 dobazyb 2 orazzbazyb 2 dobazyb 3 pewnejprzestrzeniliniowej.znaleźćmacierz przejściazbazyb 3 dobazyb 1 tejprzestrzeni. 4.Zbadać,wzależnościodparametrup R,rządmacierzy p p p 2 p p 2 p p 2 p p. 2 p p p 5. Uzasadnić, że jądro przekształcenia liniowego L: U V jest podprzestrzenią liniową przestrzeni U. 6.Wektoryv 1,v 2 sąortogonalnewprzestrzenieuklidesowej E,przyczym v 1 = 1 2 oraz v 2 =1.Podaćprzykładwektorówunormowanychu 1,u 2 Etworzącychkąt π 6. Wektory2x+1,x 3tworząbazęortonormalnąprzestrzenieuklidesowej R 1 [x]z pewnym iloczynem skalarnym. Znaleźć współrzędne wektora 5x + 6 w tej bazie oraz podać normę tego wektora. Egzamin poprawkowy Zestaw 1. odp. str Wektory x, y, z są liniowo niezależne. Zbadać z definicji liniową niezależność wektorów:3x+2y z, x y+2z, 7x+3y. 2.Wskazaćwielomiany p,q R[x]takie,że Odpowiedź uzasadnić. dim(lin{p,p,p })=3oraz dim(lin{q,q,q })=2. 3.Wyznaczyćwspółrzędnewektora(0,3,8,1)wbazie 4. Spośród generatorów: {(1,2,2,0),(2,1, 4,0),(0,0,3,6),(0,0,0,1)}. (1, 2,0,1,1), (1, 1,1,0,2), (3, 4,2,1,5), (1, 3, 1,2,0) przestrzeni liniowej V wybrać dwie bazy tej przestrzeni. 5.Podaćmacierzprzekształcenialiniowego(Lq)(x)=(3+x)q (x)wbazie { 1+x,1 x,x 2 } przestrzeni R 2 [x].
7 Egzamin poprawkowy 53 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(5,6,1,3)napodprzestrzeń V= { (a,b,c,d) E 4 :a d=a+b=b c }. Zestaw 2. odp. str Uzasadnić, że macierze nieodwracalne stopnia 3 nie tworzą podprzestrzeni liniowej przestrzeni M 3 3 wszystkichmacierzyrzeczywistychstopnia3. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewielomiany2x+5,x 2 3x+1,x 2 +xtworząbazęprzestrzeni liniowej R 2 [x]. 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :x+2y z+t=x+y=x y+t } Obliczyć rząd macierzy Czy wektory własne przekształcenia liniowego S(x,y,z)=(x+4z,2y,x+z) tworząbazęprzestrzeni R 3?Jeżelitak,tonapisaćmacierzprzekształceniaSwtej bazie. 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(2,0,1, 1),(1,1,0,2),(0,1,0,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(3,0,1,0)wtejbazie. Zestaw 3. odp. str Czy macierze stopnia 2, których rząd jest mniejszy od 2, stanowią podprzestrzeń liniowąprzestrzeni M 2 2?Odpowiedźuzasadnić. 2. Zbadać wymiar przestrzeni liniowej w zależności od parametru p. U=lin{(p,2, p),(1,p, 1),(p,3, p)} 3.Wektory(1,2,3),(0,2,1)uzupełnićdobazyprzestrzeni R 3 tak,abywektor(1,0,0) miałwniejwspółrzędne[1,2,1]. 4.Czywektory(1,1, 1,0, 3),(2,1,0,0, 5)tworząbazęprzestrzenirozwiązańukładu równań x+3y+ z +s=0 2x+ y + t+s=0? 5y+2z 2t+s=0 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegot(x,y,z)=(x+2y 3z,x+2y 3z,x+2y 3z).
8 54 Zestawy zadań z egzaminów 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni U= { (x+2y+3z,2x+2z,x+y+2z,y+z) E 4 :x,y,z R }. Zestaw 4. odp. str Czy wielomiany, które są funkcjami: a) parzystymi; b) niemalejącymi, tworzą podprzestrzenie liniowe przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Dlajakiejwartościparametruqwektory:(1, q,2),(q,3, 1),(3q,5, 4)sąbazą przestrzeni R 3?Czymożetobyćbazaortogonalnaprzestrzeni E 3? 3.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 [x],wktórejwektorx+3mawszystkiewspółrzędne równe Podać wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+ 3z+ 4t=0 3x+5y+13z+10t=0. x+4y+ 9z+ t=0 5. Znaleźć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego L(x,y,z)=(x z,x z,x z). 6.Wektory(1,1,0,0),(0,0,1,0)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie. Zestaw 5. odp. str Uzasadnić,żezbiór Wjestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni M 2 2,gdzie {[ ] } ab W= :a+2d=3b c. cd 2.Jakijestwymiarprzestrzeniliniowejlin { 1,sin 2 x,cos2x,cos 2 x }? 3.Czywektor(1,0,0,0)należydoprzestrzeniliniowej lin{(1, 1,0,1),(1,0,2,1),(1, 1,1,3),(0,2,3, 2)}? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora f=x 3 2x 2 x+4wwybranejbazieprzestrzeni liniowej U={f R 3 [x]: f(1)= f(2)}. 5.Napisaćmacierzobrotuokąt π 2 wokółosiozwprzestrzeni R3 wbazie {(0,1, 1), (0,0,1), (1, 1,0)}. 6.Wprzestrzeni E 4 znaleźćrzutortogonalnywwektorav=(1,0,2,1)napodprzestrzeń W=lin{(2,1,0, 1),(1,0,1, 1)}. Zestaw 6. odp. str Uzasadnić,żejeżeliwektoryu,vsąliniowoniezależne,awektoryu,v,wsąliniowo zależne,tow lin{u,v}.
9 Egzamin poprawkowy Uzasadnić, że wielomiany rzeczywiste stopnia mniejszego od 5, które są funkcjami parzystymi, tworzą przestrzeń liniową. Podać wymiar tej przestrzeni. 3. Znaleźć współrzędne wektora(4, 4, 2, 5) w wybranej bazie przestrzeni liniowej W={(a,b,c,d):2a c=2b+7c=a b c}. 4. Określić wymiar i wyznaczyć bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x +2z u+ v=0 x+ y +2u v=0 3x+2y+2z+3u v=0 x y+4z 4u+3v=0 5.ZnaleźćwartościiwektorywłasneprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2 spełniającegozależności:l(2,1)=(4,3), L(4, 1)=(2, 3). 6.Podaćprzykładunormowanegowektorau E 4 tworzącegozwektoremv = (1, 1,1, 1)kąt π 3. Zestaw 7. odp. str Dla jakich wartości parametru p podany zbiór jest podprzestrzenią liniową przestrzeni R 3 : W={(px+y,y,x+p):x,y R}? 2. W przestrzeni liniowej R[x] zbadać z definicji liniową niezależność wektorów: 3. Wskazać bazę przestrzeni liniowej { U= X M 2 2 : x 3 +x, 2x 3 +x+1, 3x 2 +x, x+1. [ ] 2 1 X=X 1 1. [ ]} Sprawdzić,czywektory(1,1, 2,0,1),( 2,0,0,1,1)generująprzestrzeńrozwiązań układurównań x 2y + u+ v=0 x y+ z +2v=0. 3x 4y+2z+ u+5v=0 x 3y z+2u =0 5.Wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(1,1,3)}przestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzekształcenia liniowegol(x,y,z)=(z x,z y,x+y). 6.Wektoryu=(1,3, 2),v=( 1,1,1)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 3 inastępnieznaleźćwspółrzędnewektorax=(12, 4,7)wtejbazie. Zestaw 8. odp. str Uzasadnić, że jeżeli wektory a, b, c należące do przestrzeni liniowej V są liniowo zależneorazd V,towektorya,b,c,dsąteżliniowozależne. 2.Uzasadnić,żezbiór U={(a b,a+b,3b,2a):a,b R}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 4.Wskazaćbazętejprzestrzeni,wktórejwszystkiewspółrzędne wektora(1,5,6,6)sąrówne5.
10 56 Zestawy zadań z egzaminów 3.Sprawdzić,żegeneratoryprzestrzenilin { sin 2 x,cos2x } sąjejbaząinastępnie obliczyćwspółrzędnewektora5 cos 2 xwtejbazie. 4. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość dim(lin{(1,3,p,1),(p, 1,1,1),(4,5,5,3)})=p? 5.Wskazaćbazęprzestrzeni R 3 złożonązwektorówwłasnychmacierzy Zortogonalizowaćinastępnieunormowaćwprzestrzeni E 4 wektory: (1,0,0,1), (1,2,0,1), (1,4,2,3). Zestaw 9. odp. str Uzasadnić, że zbiór U wszystkich wielomianów p spełniających warunek nie jest przestrzenią liniową. p(1)p (2)=0 2.Comożnapowiedziećoliniowejniezależnościfunkcji f,g,h C(R)spełniających nierówność f(1) f(2) f(3) g(1) g(2) g(3) h(1) h(2) h(3) >0? 3.Czyspośródwektorów:x 2 +x+2,1 x 2,x 2 +2x+5,x+3,2x+3możnawybrać bazęprzestrzeni R 2 [x]? 4. Określić, w zależności od parametru m, liczbę rozwiązań układu równań 6x+my+4z=4m 3x+ y+2z= m. 6mx+ y+4z= 4 5. Korzystając z interpretacji geometrycznej wyznaczyć jądro, obraz oraz podać ich bazyprzekształcenialiniowegokprzestrzeni R 3,którejestrzutemprostokątnymna płaszczyznęπ:x+2y+3z=0. 6.Sprawdzić,żewektory(2, 1,3),( 1,4,2),(2,1, 1)tworząbazęortogonalnąprzestrzeni E 3 inastępniepodaćwspółrzędnewektora(0,1, 1)wtejbazie. Zestaw 10. odp. str Zbadaćliniowąniezależnośćwektorów A T, A 1, A 2 wprzestrzeniliniowej M 2 2 dla [ ] 12 A= Którezwektorówbazystandardowejprzestrzeni R 3 [x]stanowiąuzupełnieniewektorówx 3 +2x,1 x 3 dobazytejprzestrzeni?podaćwszystkiemożliwości.
11 Egzamin poprawkowy 57 3.Znaleźćwspółrzędnewektora(1, 1,2)wbazie{(3,2,1),(0,5, 1),(1, 1,1)} przestrzeni R Jaki jest wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+ y+2z+3s+ t=0 x+3y+ z+2s+2t=0? 5x 7y+ z 4t=0 5.PodaćwartościiwektorywłasnesymetriiS: R 3 R 3 względemosioz. 6.Wyznaczyćrzutortogonalnyvwektorau=(2,0,1) E 3 napodprzestrzeń lin{(1,2,0),(2,3,1)}. Zestaw 11. odp. str Czy funkcje okresowe o okresie T, który jest dodatnią liczbą parzystą, tworzą podprzestrzeń liniową przestrzeni wszystkich funkcji na R? Odpowiedź uzasadnić. 2. Czy któraś z podanych macierzy jest kombinacją liniową pozostałych: [ ] [ ] [ ] [ ] ,,,? Odpowiedź uzasadnić. 3.Wektoru Umawbazie{b 1,b 2,b 3 }przestrzeniliniowej Uwspółrzędne[3,1,3]. Znaleźćwspółrzędnewektorauwbazie{b 1 b 2,b 1 +b 3,b 1 +2b 3 }. 4. Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez wektory: (1, 2,0,1,3), (2,0,2,1,0), (1,0,1,0,4), (1, 4, 1,1,10) 5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni lin{(1,0,1,0),(1,0,1,1,),(1,1,1,1)} inastępniepodaćwspółrzędnewektora(6,3,6,5)wtejbazie. Zestaw 12. odp. str Uzasadnić z definicji liniową niezależność funkcji sin x, sin 3x, sin 8x w przestrzeni liniowej C(R). 2. Uzasadnić, że zbiór U jest przestrzenią liniową i określić jej wymiar, jeżeli U={p R 4 [x]:2p(x)= p(2x)}. [ ] Znaleźć współrzędne wektora wbazie 3 2 {[ ] [ ] [ ]} ,, przestrzeni liniowej rzeczywistych macierzy symetrycznych stopnia 2.
12 58 Zestawy zadań z egzaminów 4. Określić, w zależności od parametru q, wymiar przestrzeni liniowej lin{(q,q,3,4),(1,1,1,1),(q,2,q,2)}. 5. Napisać macierz przekształcenia liniowego L(x,y,z)=(x,x+y,x+z,x+y+z) wbazie{(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)}przestrzeni R 3 orazwbazie przestrzeni R 4. {(1,1,0,0),(1, 1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,1, 1)} 6.Zortogonalizowaćwektory1,sinx,x+1wprzestrzenieuklidesowej C iloczynem skalarnym (f,g)= π 2 f(x)g(x) dx. [ π ] 2,π z 2 π 2 Zestaw 13. odp. str Uzasadnić,żezbiór U={A M 3 3 :det( A)= det(a)}jestprzestrzeniąliniową. 2.Napisaćmacierzprzejściazbazy{(1,2,1),(2,3,1),(1,1,1)}dobazystandardowej przestrzeni R 3. 3.Dlajakichwartościparametruawielomianx 2 +ax+a 2 jestuzupełnieniemwielomianówx 2 2x+3,2x 2 x+1dobazyprzestrzeni R 2 [x]? 4.Znaleźćwspółrzędnewektora(x,y,z,s,t)=(1,4,4,1,0)wwybranejbazieprzestrzenirozwiązańukładurównańx y+z s+t=x y+z s t=0. 5. Wyznaczyć wartości i wektory własne przekształcenia liniowego K(x,y,z)=(x+2y+3z,2y, z). 6. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni E= { (2x,y,y x,2x+y) E 4 :x,y R } inastępniewspółrzędnewektora(2,1,0,3)wtejbazie. Zestaw 14. odp. str Niech W={(x,y,x+ y ):x,y R}.Któryzpodanychzbiorówjestprzestrzenią liniową: Odpowiedź uzasadnić. W 1 = W płaszczyznayoz, W 2 = W płaszczyznaxoz? 2.Baza Bprzestrzeniliniowej R 2 [x]zawierawektory1 x,2x+1.jakiemogąbyć współrzędne wektora 3x + 6 w tej bazie? Wypisać wszystkie możliwości.
13 Egzamin poprawkowy Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni liniowej U= { (x,y,z,t) R 4 :(x+z) 2 =2 ( x 2 +z 2)}. 4. Zbadać macierzowo liniową niezależność wektorów: x 4 +2x 3 +x 2 x+1, 2x 4 +x 3 x 2 +x 1, 4x 4 +5x 3 +x 2 x wprzestrzeniliniowej R 4 [x]. 5. Wyznaczyć bazy jądra oraz obrazu przekształcenia liniowego K(x,y,z)=(x+y+2z,x 2y+2z,2x y+4z,x+2y+2z). 6. Znaleźć wektor unormowany f ortogonalny do wektora h = x 1 w przestrzeni R 1 [x]ziloczynemskalarnymdanymwzorem (f,g)= f(1)g(1)+ f(2)g(2)dla f,g R 1 [x]. Zestaw 15. odp. str Czyzbiór D={q R[x]: q R 2 [x]lub q (1)=0}jestpodprzestrzeniąliniową przestrzeni R[x]? Odpowiedź uzasadnić. 2.Uzasadnićzdefinicji,żewektory(4,1,3),(8,2,1),(1,0,2)tworząbazęprzestrzeni liniowej R 3. 3.Wektor(7,2,3,0,1)uzupełnićdobazyprzestrzeniliniowej U= { (x,y,z,s,t) R 5 :y+s=z t=x y z }. 4. Znaleźć wymiar przestrzeni liniowej generowanej przez kolumny macierzy PrzekształcenielinioweL:R 2 R 2 przeprowadzawektor(1,0)nawektor(3, 2), awektor(1,1)nawektor(4, 1).Znaleźćobrazwektora(1, 2)potrzykrotnym złożeniu tego przekształcenia. 6. Napisać współrzędne wektora(2, 3, 1, 0) w wybranej bazie ortogonalnej przestrzeni lin{(1,1, 1, 1),(1,1,1,1),(0,1,1,0)}. Zestaw 16. odp. str Wskazać przykład nieskończonego liniowo niezależnego podzbioru przestrzeni R[x] niezawierającegowielokrotnościwektorów:1,x,x 2,x 3,...Odpowiedźuzasadnić 2. Wektory u, v, w są liniowo niezależne. Dla jakich wartości parametru p podane niżej wektory są liniowo niezależne: 2pu+4v+pw, 2u+2v+w, pu+pv w?
14 60 Zestawy zadań z egzaminów 3. Znaleźć wymiar i bazę przestrzeni rozwiązań układu równań x+2y+z+2t=6x x+2y+z+2t=6y. x+2y+z+2t=6z x+2y+z+2t= 6t 4.NapisaćwzórprzekształcenialiniowegoL:R 2 R 2,któregojądremiobrazem jestośox. 5.PrzekształcenieL:R 2 [x] R 2 [x]jestokreślonewzorem (Lp)(x)=(2 x)p (x)dla p R 2 [x]. Pokazaćliniowośćtegoprzekształceniaipodaćjegomacierzwbazie { 1,x,x 2}. 6.Znaleźćbazęortogonalnąprzestrzeni E 4 zawierającąwektory: (1,1,0, 1), (1,0, 1,1). Zestaw 17. odp. str Czyzbiór W = {(x,y,z):xy=0iyz=0}jestpodprzestrzeniąliniowąprzestrzeni R 3?Odpowiedźuzasadnić. 2. Dla jakich wartości parametru p podane wektory są liniowo niezależne w przestrzeni R 2 [x]:x 2 +px+p 2,x 2 +p 2 x+p 4,x 2 +p 3 x+p 6? 3. Obliczyć rząd macierzy NiechLbędzieliniowymprzekształceniemprzestrzeni R 3 [x]określonymwzorem (Lp)(x)=p(x)+ p (x).uzasadnićmacierzowo,żeprzekształceniel 1 istniejei następniewyznaczyćl 1( x+x 2). 5. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im przestrzenie wektorów własnych przekształcenialiniowegol:r 3 R 3 określonegowzorem L(x,y,z)=(y,y,y). 6. Wyznaczyć bazę ortonormalną przestrzeni W= { (x,y,z,t) E 4 :4x z=2y 3z+2t=0 }. Zestaw 18. odp. str Uzasadnić,żefunkcje2 x,x 2,sinπx,x 3sąliniowoniezależnewprzestrzeni liniowej C(R) wszystkich funkcji ciągłych na R.
15 Egzamin poprawkowy Sprawdzić, że wektor(5, 1, 2, 3) należy do przestrzeni liniowej U={(x+2y+4z,x+2z,y+z,x 2y):x,y,z R} i następnie uzupełnić go do bazy tej przestrzeni. 3. Podać geometryczny opis zbioru rozwiązań podanego układu równań w zależności odparametrup: px+2y+pz=0 x+py+ z=0. px+3y+pz=0 4. Znaleźć bazy przestrzeni liniowych Ker L, Im L dla przekształcenia liniowego L: R 4 R 3 określonegowzorem L(a,b,c,d)=(a b c+3d,a+b c d,a b c+2d). 5.MacierzprzekształcenialiniowegoL:V Vmawbazie{v 1,v 2 }przestrzeni liniowej V postać [ ] 0 1 A L =. 1 2 ZnaleźćwektorL 3 (v 1 +v 2 ). 6.Znaleźćrzutortogonalnyvwektorau=(1,1,3, 1)napodprzestrzeń V= { (x,y,z,t) E 4 :x+z+2t=y 2t=x+y z=0 }. Zestaw 19. odp. str Comożnapowiedziećoliniowejzależnościfunkcji f,g,h: R Rmającychpochodne rzędu 2 i spełniających nierówność f(1) f (1) f (1) g(1) g (1) g (1) h(1) h (1) h (1) >0? 2.Wskazaćbazęprzestrzeniliniowejlin{(1,2,3,4,5),(1,1,0,1,1),(2,3,3,5,7)}zawierającąwektor(0,1,3,3,4). 3. Określić wymiar przestrzeni rozwiązań układu równań x+y+z=z+2y+t=x y+3z t=t. 4.Danyjestczworokątowierzchołkach(0,0),(6,0),(4,2),(1,2)orazprzekształcenie płaszczyznyl(x,y)=(x+2y,x y).wyznaczyćpolefigurybędącejobrazemtego czworokąta w przekształceniu L. 5.Czyjestmożliwe,abywprzestrzenieuklidesowej R 1 [x]zpewnymiloczynemskalarnymwielomiany1,x 1tworzyłykąt π 4,awielomiany1,xbyłyortogonalne? Odpowiedź uzasadnić. 6.Wektory(1,1,1, 1), (1, 1,1,1), (4,2, 4,2)uzupełnićdobazyortogonalnejprzestrzeni E 4 ipodaćwspółrzędnewektora(0,1,0,0)wtejbazie.
16 62 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 20. odp. str Rozważmy zbiór U wszystkich funkcji dwóch zmiennych z = g(x, y), których wykresy są płaszczyznami przechodzącymi przez punkt(3, 1, 0). Uzasadnić, że ten zbiór jest przestrzenią liniową. 2.Wykorzystującmacierzprzejściazbazydobazypodaćwspółrzędnewektora4b 1 2b 2 wbazie{4b 1 +2b 2,6b 1 b 2 }. 3. Znaleźć wszystkie rozwiązania niejednorodnego układu równań z niewiadomymi x,y,z,t,jeżeliwiadomo,żex=1,y=0,z= 1,t=3jestjednymzrozwiązańtego układu, a jego macierz główna ma postać Znaleźćobrazwektorau=(1,1,1)poobrocieokąt π 4 wokółosioxinastępnieo kąt π 2 wokółosioz. 5.Czyjestmożliwe,abywektor(1,1,1)miałwpewnejbazieortonormalnejprzestrzeni E 3 współrzędne[1,1,0]?odpowiedźuzasadnić. 6.Wektoryu,v 1,v 2 sąunormowane.znaleźćrzutortogonalnywektoraunapodprzestrzeńlin{v 1,v 2 }jeżeliwiadomo,żewektorujestortogonalnydov 1,zwektorem v 2 tworzykąt π 3,zaśv 1iv 2 tworząkąt π 6. Zestaw 21. odp. str Czy zbiór wszystkich macierzy rzeczywistych stopnia 2 o wyznacznikach niedodatnich tworzy przestrzeń liniową? Odpowiedź uzasadnić. 2.Zbadaćliniowąniezależnośćfunkcji 3 x, x,xwprzestrzeniliniowejfunkcjiciągłych na przedziale(0, ). 3.Wprzestrzeni R 3 znaleźćmacierzprzejściazbazy{(2,0,1),(1,1,1),(0,1,1)}do bazy{(1,1,1),(1,0,1),(0,0,1)}. 4.ZnaleźćjądroiobrazprzekształcenialiniowegoL: R 3 Rokreślonegowzorem L(x,y,z)=det xyz Czyliczbyλ 1 =0,λ 2 =9sąwartościamiwłasnymiprzekształcenialiniowego (Lf)(x)= f(3x) w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na R? Odpowiedź uzasadnić.
Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA. Kolokwia i egzaminy. Wydanie ósme zmienione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz ALGEBRA LINIOWA Kolokwia i egzaminy Wydanie ósme zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Projekt okadki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2000 2018
ALGEBRA LINIOWA 2. Lista zadań 2003/2004. Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz, dr Zbigniew Skoczylas
ALGEBRA LINIOWA 2 Lista zadań 23/24 Opracowanie : dr Teresa Jurlewicz dr Zbigniew Skoczylas Lista pierwsza Zadanie Uzasadnić z definicji że zbiór wszystkich rzeczywistych macierzy trójkątnych górnych stopnia
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA
ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014 Marian
Przestrzenie liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przestrzenie liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się w podręczniku
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie szesnaste uzupełnione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 204 Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki
ANALIZA MATEMATYCZNA 1
ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA 1 Kolokwia i egzaminy Wydanie siedemnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2018 Marian Gewert Wydział Matematyki
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe
Zadania z algebry liniowej Iloczyn skalarny, przestrzenie euklidesowe Definicja 1 (Iloczyn skalarny). Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Iloczynem skalarnym w przestrzeni V nazywamy funkcję
Lista. Przestrzenie liniowe. Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr :
Lista Przestrzenie liniowe Zadanie 1 Sprawdź, czy (V, +, ) jest przestrzenią liniową nadr : V = R[X], zbiór wielomianów jednej zmiennej o współczynnikach rzeczywistych, wraz ze standardowym dodawaniem
1. Zbadać liniową niezależność funkcji x, 1, x, x 2 w przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [ 1, ).
B 2 Suma Zbadać, czy liniowo niezależne wektory u, v, w stanowią bazę przestrzeni liniowej lin { u + 2 v + w, u v + 2 w, 3 u + 5 w } 2 Współrzędne wektora (, 4, 5, 4 ) w pewnej bazie podprzestrzeni U R
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań
Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,
ANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie dziewiąte powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław Projekt okładki: IMPRESJA Studio
3 1 + i 1 i i 1 2i 2. Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: [A, X] = B
1. Dla macierzy a) A = b) A = c) A = d) A = 3 1 + i 1 i i i 0 i i 0 1 + i 1 i 0 0 0 0 1 0 1 0 1 + i 1 i Wyznaczyć macierze spełniające własność komutacji: A, X = B. Obliczyć pierwiaski z macierzy: A =
Matematyka liczby zespolone. Wykład 1
Matematyka liczby zespolone Wykład 1 Siedlce 5.10.015 Liczby rzeczywiste Zbiór N ={0,1,,3,4,5, } nazywamy zbiorem Liczb naturalnych, a zbiór N + ={1,,3,4, } nazywamy zbiorem liczb naturalnych dodatnich.
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Przekształcenia liniowe
ALGEBRA LINIOWA 2 Wydział Mechaniczny / AIR, MTR Semestr letni 2009/2010 Prowadzący: dr Teresa Jurlewicz Przekształcenia liniowe Uwaga. W nawiasach kwadratowych podane są numery zadań znajdujących się
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ, LISTA ZADAŃ NR 8 1. Sprawdzić, czy następujące podzbiory są podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni R n (dla odpowiednich n) (a) {[u, v, 2u, 4v] ; u, v R} R 4, (b) {[u, v,
Algebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Linear algebra and analytical geometry Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka,
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2014/15 Nazwa Algebra liniowa z geometrią Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno - Przyrodniczy przedmiot Kod Studia Kierunek
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Geometria Lista 0 Zadanie 1
Geometria Lista 0 Zadanie 1. Wyznaczyć wzór na pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u, v: (a) nie odwołując się do współrzędnych tych wektorów; (b) odwołując się do współrzędnych względem odpowiednio
ANALIZA MATEMATYCZNA 2
ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Przekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M2 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M2 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli
Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA. Przykłady i zadania. Wydanie siódme poprawione. GiS
ALGEBRA LINIOWA Teresa Jurlewicz Zbigniew Skoczylas ALGEBRA LINIOWA Przykłady i zadania Wydanie siódme poprawione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2017 Teresa Jurlewicz Przedsiębiorstwo Informatyczne
= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13
Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium
Zadania przygotowawcze, 3 kolokwium Mirosław Sobolewski 8 grudnia. Niech φ t : R 3 R 3 bedzie endomorfizmem określonym wzorem φ t ((x, x, )) (x +, tx + x, x + ), gdzie parametr t R. a) Zbadać dla jakiej
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Informacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
1 Formy hermitowskie. GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie. Paweł Bechler
GAL (Informatyka) Wykład - formy hermitowskie Wersja z dnia 23 stycznia 2014 Paweł Bechler 1 Formy hermitowskie Niech X oznacza przestrzeń liniową nad ciałem K. Definicja 1. Funkcję φ : X X K nazywamy
Zał nr 4 do ZW. Dla grupy kursów zaznaczyć kurs końcowy. Liczba punktów ECTS charakterze praktycznym (P)
Zał nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim : Algebra z Geometria Analityczna Nazwa w języku angielskim : Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami
Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
Przestrzeń unitarna. Jacek Kłopotowski. 23 października Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 23 października 2018 Definicja iloczynu skalarnego Definicja Iloczynem skalarnym w przestrzeni liniowej R n nazywamy odwzorowanie ( ) : R n R n R spełniające
Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.
Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
1 Działania na zbiorach
Algebra liniowa z geometrią /4 Działania na zbiorach Zadanie Czy działanie : R R R określone wzorem (x x ) (y y ) := (x y x y x y + x y ) jest przemienne? Zadanie W dowolnym zbiorze X określamy działanie
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni ,5 1
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ***** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ B Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry B Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność
cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Informatyka Stosowana. a b c d a a b c d b b d a c c c a d b d d c b a
Działania na zbiorach i ich własności Informatyka Stosowana 1. W dowolnym zbiorze X określamy działanie : a b = b. Pokazać, że jest to działanie łączne. 2. W zbiorze Z określamy działanie : a b = a 2 +
Analiza matematyczna i algebra liniowa
Materiały pomocnicze dla studentów do wykładów Opracował (-li): 1 Prof dr hab Edward Smaga dr Anna Gryglaszewska 3 mgr Marta Kornafel 4 mgr Fryderyk Falniowski 5 mgr Paweł Prysak Materiały przygotowane
Algebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0
Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA,
ALGEBRA z GEOMETRIA, ANALITYCZNA, MAT00405 PRZEKSZTAL CANIE WYRAZ EN ALGEBRAICZNYCH, WZO R DWUMIANOWY NEWTONA Uprościć podane wyrażenia 7; (b) ( 6)( + ); (c) a 5 6 8a ; (d) ( 5 )( 5 + ); (e) ( 45x 4 y
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA
Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2015-2018 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu Algebra liniowa z geometrią Kod przedmiotu/
z = x + i y := e i ϕ z. cos ϕ sin ϕ = sin ϕ cos ϕ
Izometrie liniowe Przypomnijmy, że jeśli V jest przestrzenią euklidesową (skończonego wymiaru), to U End V jest izometrią wtedy i tylko wtedy, gdy U U = UU = E, to znaczy, gdy jest odwzorowaniem ortogonalnym.
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej A (03-M01S-12-WALGA)
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana , 0 A 2
Wykład 12 i 13 Macierz w postaci kanonicznej Jordana Niech A - macierz kwadratowa stopnia n Jak obliczyć np A 100? a 11 0 0 0 a 22 0 Jeśli A jest macierzą diagonalną tzn A =, to Ak = 0 0 a nn Niech B =
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy
, to liczby γ +δi oraz γ δi opisują pierwiastki z a+bi.
Zestaw 1 Liczby zespolone 1 Zadania do przeliczenia Nie będziemy robić na ćwiczeniach S 1 Policz wartość 1 + i + (2 + i)(i 3) 1 i Zadania domowe x y(1 + i) 1 Znajdź liczby rzeczywiste x, y takie, że +
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone
Algebra z geometrią Lista 1 - Liczby zespolone 1. Oblicz a) (1 + i)(2 i); b) (3 + 2i) 2 ; c) (2 + i)(2 i); d) (3 i)/(1 + i); e) (1 + i 3)/(2 + i 3); f) (2 + i) 3 ; g) ( 3 i) 3 ; h) ( 2 + i 3) 2 2. Korzystając
Endomorfizmy liniowe
Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy
Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Analiza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
KARTA PRZEDMIOTU. 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA. 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1
KARTA PRZEDMIOTU 1. NAZWA PRZEDMIOTU: Algebra liniowa (ALL010) 2. KIERUNEK: MATEMATYKA 3. POZIOM STUDIÓW: I stopnia 4. ROK/ SEMESTR STUDIÓW: I/1 5. LICZBA PUNKTÓW ECTS: 8 6. LICZBA GODZIN: 30 / 30 7. TYP
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012.
Matematyka dla studentów ekonomii : wykłady z ćwiczeniami/ Ryszard Antoniewicz, Andrzej Misztal. Wyd. 4 popr., 6 dodr. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 9 CZĘŚĆ I. WSTĘP DO MATEMATYKI 11 Wykład 1. Rachunek
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe
Analiza matematyczna i algebra liniowa Wprowadzenie Ciągi liczbowe Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje:
Algebra liniowa II. Lista 1. 1 u w 0 1 v 0 0 1
Algebra liniowa II Lista Zadanie Udowodnić, że jeśli B b ij jest macierzą górnotrójkątną o rozmiarze m m, to jej wyznacznik jest równy iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej: det B b b b mm
1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30
Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA M1 Nazwa w języku angielskim ALGEBRA M1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Stopień studiów
2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Z-ID-103 Algebra liniowa Linear Algebra
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Z-ID-0 Algebra liniowa Linear Algebra Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 0/06 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia (licencjackie), rok I Sylabus modułu: Wstęp do algebry liniowej i geometrii analitycznej (03-M01N-12-WALG)
2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.
Wniosek 1 Rozpatrzmy układ równań postaci: y 1 = a 11 (x)y 1 + + a 1n (x)y n y 2 = a 21 (x)y 1 + + a 2n (x)y n y n = a n1 (x)y 1 + + a nn (x)y n (1) o współczynnikach ciągłych w przedziale J 1 Rozwiązanie
http://www-users.mat.umk.pl/~pjedrzej/matwyz.html 1 Opis przedmiotu Celem przedmiotu jest wykształcenie u studentów podstaw języka matematycznego i opanowanie przez nich podstawowych pojęć dotyczących
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH
WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kierunek: Inżynieria biomedyczna Linear algebra and analytical geometry forma studiów: studia stacjonarne Kod przedmiotu: IB_mp_ Rodzaj przedmiotu:
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Układy równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych
RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )
R n jako przestrzeń afiniczna
R n jako przestrzeń afiniczna Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 11. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2014 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2014 1
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone
1 Podobieństwo macierzy
GAL (Informatyka) Wykład - zagadnienie własne Wersja z dnia 6 lutego 2014 Paweł Bechler 1 Podobieństwo macierzy Definicja 1 Powiemy, że macierze A, B K n,n są podobne, jeżeli istnieje macierz nieosobliwa
Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Zapisz za pomocą spójników logicznych i kwantyfikatorów: x jest większe niż 6 lub mniejsze niż 4 jeżeli x jest podzielne przez 4 to jest podzielne przez
Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć