Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n = 4, m = 3, ϕ( f) n = 4, m = 3, ϕ( g) n = m = 4, ϕ( h) n = m = 4, ϕ( + + 3 + 5 + + 3 + 5 + 3 + + + +, + 3 + + 3 + 4 + +. i) n = m = 3, ϕ( 3 + W prpadku, gd preksałcenie ϕ jes preksałceniem liniowm, badać c jes o monomorfim, epimorfim. () Niech a, a, a,..., a n K, n N. Wkaać, że ψ : KX m K n+ określone worem:,,, ψ(w(x)) = w(a ), w(a ),..., w(a n ) dla w(x) KX m, jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że gd a, a, a,..., a n są parami różne, o: a) ψ jes na m n, b) ψ jes różnowarościowe m n. (3) Wkaać, że jeżeli ϕ : K K jes preksałceniem liniowm, o isnieje a K akie, że ϕ(v) = av dla każdego v K. Dla jakich a preksałcenie dane akim worem jes monomorfimem, epimorfimem? (4) Ciało C licb espolonch można roparwać jako presreń wekorową nad ciałem C (on. C ) ora jako presreń wekorową nad ciałem R licb recwisch (on. C R ). Wkaać, że f : C C, f() =, jes endomorfimem presreni C R, ale nie jes endomorfimem presreni C.
(5) Sprawdić, c odworowanie ślad macier r : Kn n K określone worem a a a n a r a a n n...... = a ii i= a n a n a nn jes preksałceniem liniowm. (6) a) W presreni R niech U będie podbiorem, łożonm ciągów spełniającch warunek Cauch ego: (a n ) U ε> N N p>n q>n a p a q < ε. Wkaać, że U jes podpresrenią i odworowanie ϕ : U R określone worem ϕ((a n )) = lim (a n) jes preksałceniem liniowm. n b) Niech ψ : R R będie odworowaniem określonm pre warunek: n (b n ) = ψ((a n )) n N b n = a k (cli ψ((a n )) = (a, a +a, a +a +a 3,...)). Sprawdić, że ψ jes preksałceniem liniowm. C ψ jes monomorfimem? epimorfimem? C preksałcenie odwrone do ψ jes preksałceniem liniowm? c) Niech W = ψ (U). Sprawdić, że wór σ((a n )) = określa odworowanie σ : W R i że σ jes preksałceniem liniowm. Sprawdić, że σ = ϕ ψ. (7) Sprawdić, że dla dowolnch licb recwisch a, b, a < b odworowanie C (a, b) R presreni funkcji ciągłch określone worem f n= b a a n k= f()d jes preksałceniem liniowm. (8) Smbolem C n (a, b) onacam presreń funkcji recwisch określonch na prediale (a, b) i mającch pochodne ciągłe do rędu n włącnie. Sprawdić, że dla każdego n > odworowanie C n (a, b) C n (a, b) określone worem f f jes preksałceniem liniowm. C jes ono epimorfimem? monomorfimem? (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, a ϕ : V W odworowaniem. Wkresem odworowania ϕ nawam biór Γ ϕ = {(v, ϕ(v)) V W : v V }. Wkaać, że ϕ jes preksałceniem liniowm wed i lko, gd Γ ϕ jes podpresrenią presreni liniowej V W. () Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K, i niech ϕ : V W będie preksałceniem liniowm. Niech ϕ : V V W będie określone worem ϕ(v) = (v, ϕ(v)), a π : V W W worem π(v, w) = w. Sprawdić, że ϕ i π są preksałceniami liniowmi, ϕ jes monomorfimem, π jes epimorfimem i że π ϕ = ϕ. () Wkaać, że dla dowolnego preksałcenia liniowego ϕ : V W isnieje presreń liniowa Z ora epimorfim κ : V Z i monomorfim ϕ : Z W akie, że ϕ = ϕ κ. Dla jakiego preksałcenia liniowego ϕ można amienić miejscami słowa epimorfim ora monomorfim?
3 () Prpuśćm, że V, W, W są presreniami liniowmi nad ciałem K. Funkcję f : V W W można apisać pr pomoc par funkcji f : V W ora f : V W worem f(v) = (f (v), f (v)). Wkaać, że f jes preksałceniem liniowm wed i lko wed, gd f i f są preksałceniami liniowmi. (3) Załóżm, że A, B, C są biorami, B, C A ora V jes presrenią liniową. a) Pokaać, że odworowanie Φ B : V A V B, f f B dla f V A, jes preksałceniem liniowm. Kied jes o epimorfim, a kied monomorfim? b) Z punku (a) ora popredniego adania wnika, że Φ : V A V B V C dane worem Φ(f) = (Φ B (f), Φ C (f)) dla f V, jes preksałceniem liniowm. Kied Φ jes monomorfimem, a kied epimorfimem? (4) Niech V, V, V, W będą presreniami liniowmi ora niech V = V V. Pokaać, że dla dowolnch preksałceń liniowch ϕ i : V i W, i =,, isnieje dokładnie jedno preksałcenie liniowe ϕ : V W akie, że ϕ Vi = ϕ i. Jeżeli V = W ora ϕ = Id V, ϕ = Id V o ϕ nawam smerią wględem V wdłuż (albo równolegle do) V. Jeżeli naomias ϕ = Id V, a ϕ jes endomorfimem erowm, o ϕ nawam ruem presreni V na V wdłuż (albo równolegle do) V. (5) Wkaać, że: a) jeśli V = V V, o V = V V, b) jeśli V = V V n, o V = V V n. (6) Znaleźć jądra i obra preksałceń liniowch adań, 3, 7 ora. (7) Znaleźć jądro i obra smerii (ruu) wlędem V (na V ) wdłuż V. (8) Preksałcenie liniowe ϕ : K K 3 dane jes worem ϕ( ), lin( ), lin( a) obra podpresreni: K, lin( { K : + 3 = }; ) = ), + 3 3. Wnacć: b) preciwobra podpresreni: K 3, { }, lin( ), lin( ), 3 lin( 3, ), { K 3 : + + = }. 3 (9) Prpuśćm, że ϕ : V W jes preksałceniem liniowm, X jes podpresrenią presreni V, a Y jes podpresrenią presreni W. a) Wkaać, że (i) ϕ (ϕ(x)) = X+Kerϕ, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y Imϕ. b) Sformułować warunek koniecn i wsarcając na o, ab (i) ϕ (ϕ(x)) = X, (ii) ϕ(ϕ (Y )) = Y. c) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni X presreni V achodiła równość ϕ (ϕ(x)) = X? d) Jaki warunek musi spełniać ϕ, ab dla każdej podpresreni Y presreni W achodiła równość ϕ(ϕ (Y )) = Y?
4 () Wiadomo, że preksałcenie liniowe ϕ : V W spełnia warunki: ϕ(α ) = β + β + 3β 3, ϕ(α ) = 4β + 5β + 6β 3, ϕ(α 3 ) = 7β + 8β + 9β 3 ora że (α, α, α 3 ) jes baą V, a (β, β, β 3 ) jes baą W. Oblicć wmiar obrau i wmiar jądra preksałcenia ϕ. () Niech ϕ i ψ będą odworowaniami K K akimi, że: ϕ((a, a, a 3,...)) = (, a, a, a 3,...), ψ((a, a, a 3,...)) = (a, a 3, a 4,...). a) Sprawdić, że ϕ i ψ są endomorfimami presreni K. b) Oblicć ϕ ψ i ψ ϕ. c) Sprawdić, c ϕ lub ψ jes monomorfimem, epimorfimem, iomorfimem. () C isnieje preksałcenie liniowe ϕ : R 3 R 3 spełniające warunki: a) ϕ(, ϕ(, ϕ(, ϕ( ; b) ϕ(, ϕ( 3, ϕ( 4 4 ; 3 4 c) ϕ(, ϕ( 3, ϕ( 4 4 ; 3 4 d) ϕ(, ϕ( 3? W prpadku pownej odpowiedi preanaliować licbę rowiąań i naleźć wór prnajmniej jednego akiego preksałcenia liniowego. (3) Skonsruować preksałcenie liniowe τ : R 3 R 3 spełniające warunki: τ(, τ(, τ τ = id R 3. Wnacć wór analicn preksałcenia τ. (4) Znaleźć wór analicn: a) smerii presreni R wględem lin( ) i wdłuż lin( ); b) smerii presreni R 3 wględem lin(, ) i wdłuż lin( c) ruu presreni R na lin( ) wdłuż lin( ); 3 );
d) ruu presreni R 3 na lin( ) wdłuż lin(, ). (5) Podać wór analicn preksałcenia liniowego ψ : R 3 R 3, o kórm wiadomo, że Kerψ = lin(, ) ora Imψ = lin( ). C rowiąanie jes jedne? (6) Prpuśćm, że V jes presrenią liniową nad ciałem K, w kórm +. Załóżm, że ϕ ora ψ są endomorfimami presreni V. a) Wkaać, że ϕ ϕ =Id V wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ϕ jes smerią wględem U i wdłuż U. b) Wkaać, że ψ ψ = ψ wed i lko wed, gd isnieją podpresrenie U ora U presreni V akie, że ψ jes ruem V na U wdłuż U. (7) Załóżm, że ciało K ma q elemenów ora n N. Oblicć, ile jes a) różnch preksałceń liniowch K n K n ; b) różnch iomorfimów liniowch K n K n, gd: (i) n =, (ii) n =, (iii) n = 3, (iv) n jes dowolne. (8) Niech V będie presrenią liniową nad K, a odworowanie f : V V niech spełnia warunek: f(u + v) = f(u) + f(v) dla dowolnch u, v V. a) Wkaać, że jeśli K = Q lub K = Z p, o f jes preksałceniem liniowm. b) Podać prkład ciała K i presreni liniowej nad nim, gdie analogicn reula nie achodi. (9) Niech V ora W będą presreniami liniowmi nad ciałem K. Preksałcenie f : V W nawam jednorodnm sopnia, gd f(av) = af(v) dla każdch a K ora v V. a) Wkaać, że f jes liniowe, gd dim V. b) Wskaać presrenie V i W ora preksałcenie f : V W jednorodne sopnia akie, że dim V = ora f nie jes preksałceniem liniowm. (3) Ciało C jes presrenią liniową nad Q (on. C Q ) ora ciało R jes presrenią liniową nad Q (on. R Q ). Wkaać, że presrenie C Q ora R Q są iomorficne. (3) Wkaać, że jeżeli U ora U są podpresreniami presreni V, o (U + U )/(U U ) = U /(U U ) U /(U U ). (3) Niech v,..., v m będą wekorami presreni V, naomias U niech będie podpresrenią presreni V. Pokaać, że (v + U,..., v m + U) jes liniowo nieależnm układem wekorów presreni V/U wed i lko wed, gd lin(v,..., v m ) U = {θ} i (v,..., v m ) jes układem liniowo nieależnm. 5