. REDUKCJA DOWOLNYCH UKŁADÓW IŁ Redukcja płaskiego układu sił Zadanie. Znaleźć wartość licbową i równanie linii diałania wpadkowej cterech sił predstawionch na rsunku. Wartości licbowe sił są następujące: F N, F 5 N, F N, F 4 N, a ich punkt prłożenia widać na rsunku... Rs... Pierwsm etapem redukcji dowolnego płaskiego układu sił będie redukcja do punktu O, któr jest pocątkiem nasego układu współrędnch. etoda analitcna Prgotowujem współrędne danch sił wględem osie i : F N F N F 5N F N F -N F N F 4 N F 4 N Wnacam współrędne i wektora głównego jako sum algebraicne współrędnch F i i F i :
4 i F i F + F + F 4 5 + 4 N 4 i F i F N oduł wektora głównego jest równ sumie geometrcnej i : + 4 + 5 N Jego kierunek i wrot określam wnacając kąt jaki twor on osią : a więc α 6,9 o tgα 4 4 Wektor momentu ogólnego nasego układu (płaskiego) jest prostopadł do płascn diałania sił. Wstarc wnacć jego moduł i wrot. 4 i ( Fi i Fi i ) [ 4 ] + [ 5 ] + [ ( ) ( ) ] + [ (,5) ] Nm Otrman wnik dodatni mówi nam, że wrot O jest godn kierunkiem osi prawego układu współrędnch. W punkcie O otrmaliśm więc dwa prostopadłe wektor i O (wektor główn i moment ogóln). usim redukować je do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi wanego wpadkową W układu sił. Posukujem równania prostej wanej osią centralną układu wdłuż której diała wektor wpadkow. Równanie to dla płaskiego układu sił ma postać: O wstawiając wartości:,75,5 4 4
etoda wkreślna ając wnacone wektor i O rsujem pocątku układu O pod kątem α wektor rs... Następnie punktu O atacam okrąg o promieniu h równm: h O,4[m] 5 Presuwam równolegle wektor stcnie do otrmanego kręgu, tak b powodował obrót wględem punktu O preciwnie do ruch wskaówek egara (bo otrman O >). Otrman wektor to wpadkowa nasego układu sił, a linia wdłuż której diała to oś centralna układu. Rs... Zadanie. Dan jest układ 4-ech sił diałającch w płascźnie układu współrędnch. F N, F N, F 5 N, F 4 N, prłożonch w punktach : A(5, 5), B(-, 8), C(-, -5), D(, -4). Współrędne punktów wrażono w metrach. ił tworą dodatnim kierunkiem
osi O kąt: α 45 o, α 5 o, α 6 o, α 4 o. Rs... Zredukować dan układ do punktu ora określić położenie wpadkowej. Rs... Pierwsm etapem będie redukcja do punktu O. Wpisujem współrędne danch sił wględem osi i : F F cosα 5 F F sinα 5 F F cosα F F sinα F F cosα 5 75 F F sinα 5 75 F 4 F 4 cosα 4 5 F 4 F 4 sinα 4 5 Wnacam współrędne I wektora głównego: jego wartość licbową: 4 5 + 75 + 5, N F i i 4 F 5 + + 75-5 5,6 N i i +, + 5,6 76,8 N ora kierunek i wrot (kąt α jaki twor osią ):
o α,96 tgα 5,6, Długość wektora momentu ogólnego wględem punktu O o 4 ( Fi i Fi i ) [ 7,7 5 7,7 5] + [ ( ) + 7, 8] i + [ 9,9( ) 75( 5) ] [ 5 59,8( 4) ] 99, Nm o 99, k + Wnik ujemn mówi o tm, że wektor O ma wrot preciwn do wrotu osi. W punkcie O otrmaliśm dwa prostopadłe wektor i O (wektor główn i moment ogóln). Drugim etapem jest redukcja do wpadkowej W. Redukujem wektor i O do jednego wektora równoległego i równego co do modułu wektorowi wanego wpadkową W układu sił. Równanie wpadkowej ma postać: wstawiając wartości: 5,6 99,,648 +,857,, ożna to predstawić graficnie. Wektor główn należ presunąć równolegle stcnie do okręgu o promieniu h tak ab wględem punktu O kręcił on godnie ruchem wskaówek egara ( O <). h O O 99,,7m 76,8 Rs...
Redukcja prestrennego układu sił Zadanie. Wdłuż boków seścianu o boku równm m diałają cter sił F N, F 4N, F N, F 4 N, jak pokaano na rsunku... Zredukować podan układ sił do punktu O prjętego a pocątek układu współrędnch. Następnie redukować układ do skrętnika i napisać równanie osi centralnej. Rs... Rowiąanie Wsstkie wartości sił w obliceniach podane są w niutonach. Wnacam współrędne sił diałającch na ciało. F F F F F -4 F F F F F 4 - F 4 F 4 Zapis wektorow: F i, F 4 j, F k, F4 i. Współrędne wektora głównego (ogólnej sum) układu wnosą: -4
Równanie wektora głównego w postaci wektorowej: i 4 j+ k aś długość wektor głównego wlicm e woru: + + 4+ 6+ 44,8 Współrędne momentu ogólnego O wnacam jako moment sił wględem poscególnch osi układu (ramiona wsstkich sił są równe m). Obrót w prawo patrąc wdłuż danej osi jest dodatni. Wsstkie wartości momentów będą wrażone w Nm. F +F 4 + 6 -F F 4 - - -F F - 4-7 Równanie wektorowe momentu głównego: O 6 i j 7 k, a jego długość: O + + 56+ 69+ 49,8 ożem tera wnacć parametr układu e woru: p + + 6 + 4 7 Ponieważ parametr układu jest równ eru a i O w punkcie O otrmaliśm dwa wektor wajemnie prostopadłe. Układ taki można redukować do sił wpadkowej równoległej do wektora sum i presuniętej o wielkość h w płascźnie prostopadłe do wektora momentu O. h O,8,7m,8 oduł wektora wpadkowej jest równ modułowi wektora głównego W, aś równanie osi centralnej na której leż wpadkowa można predstawić jak równanie prostej prechodącej pre punkt C i równoległej do wektora
c c c Punkt C jest końcem ramienia h i leż na wpadkowej najbliżej pocątku układu współrędnch. Współrędne punktu C wnacam jako współrędne końca wektora h jest prostopadł do wektorów i. h OC. Wektor W prpadku ogólnm, gd kąt pomięd i (nawijm go α) jest różn od 9 składową momentu prostopadłą do (nawijm ją ) można wraić worem: więc: sinα h sin α h mnożąc licnik i mianownik prawej stron ostatniego równania pre otrmam sin α h sin α jest to długość wektora więc h jako wektor opisem worem h OC ( ) i j k wlicam współrędne h, h, h onacone w równaniu osi centralnej jako c, c, c, które są równe wartością podwnacników powżsego wnacnika,8 4 c 7,8 c 7 6,8 4 c 6,,56,
więc wektor h możem apisać worem h, i +,56 j+, k wstawiając do równania osi centralnej otrmam,,56, 4 Wnacenie punktów prebicia osi centralnej płascnami układu. Podstawiając najdujem współrędne punktu prebicia płascną :,,,8 6, +,56, ; prebicie płascn :,,68,75,,768 4, Patr rsunek.. Równanie osi centralnej można także predstawić w postaci krawędiowej: + + + 6 4 + 7 + 4 + 4 Ocwiście jest to równanie tej samej prostej.
Rs... Zadanie.4 W punktach o współrędnch A (,, ), A (,,), i A (,,), wrażonch w metrach, ciała stwnego, prłożono sił o wartościach F N, F N, F N. Kąt jakie sił te tworą osiami,, wnosą odpowiednio: osią osią osią siła F α, β 45, γ 6, siła F α 6, β 5, γ, siła F α 45, β 9, γ 45. Zredukować podan układ:. do pocątku układu,. do skrętnika i napisać równanie osi centralnej (sporądić perspektwicn skic osi centralnej). Rowiąanie Wpism wsstkie dane potrebne pr dalsch obliceniach Współrędne punktów prłożenia sił w prostokątnm układie odniesienia,,,
,,,,,. Współrędne sił diałającch na ciało (wartość sił mnożona pre cosinus kąta kierunkowego danej osi) F cos,, F cos45,, F cos6 F cos6, F cos5, F cos, F cos45, F cos9 F cos45. Współrędne wektora głównego (sum ogólnej) wnosą a jego długość: F F F + F + F + F + F + F + F + + + +,7,99,89 + +,99 +,7 +,89 4,5N Dostaw kierunkowe: cosα cosβ cosγ,99 4,5,96,7,7 4,5,89, 4,5 α 5,96 γ 77,6, β 99,85 ożem też predstawić sumę ogólną jako wektor,99 i,7 j+,89 k Prechodim tera do wnacania parametrów momentu ogólnego wględem pocątku układu.
Współrędne momentu ogólnego (i Fi i Fi ) [,5 i ( ) ] + [( ) ( ) ( )] + [ ], 4 ( i Fi i Fi ) [ ] + [ ( ) ( )] + [ + ], i ( i Fi i Fi ) [ ] + [( ) ( ) ( ) ] + [ ], i Jego długość + +,4 +, +,,65 Nm Dostaw kierunkowe: cosα ' cosβ ' cosγ',4,98,65,,,65,,65, α ',4 γ' 89,6, β ' 78,46, Zapis wektorow,4 i, j+, k Wnacam tera parametr układu p + +,99,4 + (,7) (,) +,89, 47, Otrmaliśm w punkcie dwa wektor skośne: wektor główn i wektor ogólnego momentu. Ponieważ, i p są różne od era układ można redukować do skrętnika. Redukcja do skrętnika Ponieważ wiem, że moment ogóln układu sił ależ od położenia bieguna redukcji i mienia się wra e mianą położenia bieguna, sukam takiego bioru punktów wględem którch moment ogóln jest równoległ do wektora głównego. iejscem geometrcnm takich punktów jest prosta wana osią centralną. ukam więc takiego punktu wględem którego
moment ogóln jest równoległ do wektora głównego. Niech ten punkt nawa się C. oment wględem nowego bieguna C wnacam e nanego woru: C + CO + i j k więc współrędne momentu C C C C + + + koro C i są mają bć do siebie równoległe to odpowiednie współrędne tch wektorów musą bć do siebie proporcjonalne: C C C lub po podstawieniu: + + + Jest to równanie osi centralnej w postaci krawędiowej. Po wstawieniu nasch danch,4,89 + (,7),,99 +,89, (,7) +,99,99,7,89 Chcąc wnacć punkt prebicia osi centralnej płascnami układu współrędnch należ w równaniu osi centralnej podstawić kolejno (punkt prebicia płascn,,) i (punkt prebicia płascn,,),4,89, +,89, (,7) +,99,99,7,89 stąd dwa równania:,9 +,8,98,55,6,9
równań tch,4;,5. po wstawieniu,,8 +,6 9,64,,55,98 równań tch,6,6 ożna to predstawić graficnie rs..4. Rs..4 oment skętnika jest równoległ do wektora głównego a jego długość s wlicam jako rut wektora na kierunek wektora głównego cosα s ponieważ p cosα + + p cosα p 47,,4Nm 4,5
Wektor momentu skrętnika możem predstawić jako ilocn jego długości i wersora kierunku wektora głównego,4 4,5,96i,95j +,44k [,99 i,7 j+,89 k] Zadanie.5 Dane są dwie sił diałające jak pokaano na rsunku.5.. Zredukować układ do punktu O, a następnie do skrętnika i napisać równanie osi centralnej. Dane F N, F 4N, a m. Rs..5. Rowiąanie Ropisujem dane potrebne w trakcie obliceń Współrędne sił : F, F F, F, F, F, F F 4,,,,,,.
Współrędne wektora głównego : Fi Fi, Fi 4 Forma wektorowa : j + 4 k jego długość : + + + 4 5 N cosinus kierunkowe : 4 cosα, cos β,6, cosγ,8 5 5 oment ogóln układu wględem punktu O. W adaniu tm możem ale nie musim posługiwać się worami na współrędne momentu, bo widać wraźnie, że tlko siła F na ramieniu a daje moment wględem osi.,, F a 6 6 6Nm Forma wektorowa momentu ogólnego : 6 k Jest to wektor leżąc na osi Wnacam parametr układu : p + + 4 6 4 Otrmaliśm w punkcie O dwa wektor skośne i. Układ ten można również redukować do skrętnika Współrędne punktu C leżącego na osi centralnej najbliżej pocątku układu wnacam ależności:
i j k h OC ( ) 5 i j k 4 6 C,7m C m C m wstawiam do równania osi centralnej : oment skrętnika Wektor momentu skrętnika C,7 4 p 4 s 4,8Nm 5 4,8 (j + 4k) 5,88j +,84k C C Zakładając w równaniu osi centralnej np. 4,88,7;,75 Oś centralna leż więc w płascźnie równoległej do płascn o równaniu,75 i precina oś pr,7m. Dla sprawdenia równanie osi centralnej w postaci krawędiowej powinno mieć postać: 4 + 4 6 4
Rs..5.