Redukcja dowolnego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci

Transkrypt

1 Redukcja dowolnego układu wektorów, redukcja w punkcie i redukcja do najprostszej postaci Twierdzenie o redukcji: ażdy układ wektorów równoważny jest układowi złożonemu ze sumy o początku w dowolnym punkcie i pary o momencie równym momentowi układu względem punktu. Dane: Długości wektorów: P A = 10 P C = 8 P = 15 A Punkty zaczepienia wektorów: A ( 0, 3, 5 ); C ( 0, 3, 0 ); ( 0, 0, 0 ) P A P C Współrzędne punktów B i B (4, 0, 0 ); ( 4, 3, 0 ) B P C Rys.1 Dany układ wektorów 1. bliczenie współrzędnych wektorów P A, P C oraz P Wektor P A jest współliniowy z wektorem AB oraz z wersorem e = AB AB AB = ( 4, -3, -5 ) AB = = e =,, P A = P A e = ( 3) 10 ( 5),, = ( 5,657, -4,43, -7,071 ) CA P C = P C = ( 0, 0, 8 ) CA P = P = ,, 0 = ( 1, 9, 0 ) 5 5 Uwaga: działania na wektorach przeprowadzamy w tabelach i tak np. zapis wektora P A = ( 5,657, -4,43, -7,071 ) zastępujemy zapisem wektora w tabeli: P A 5,657-4,43-7, /6

2 . Redukcja danego układu wektorów w punkcie.1. bliczenie sumy układu wektorów = P A + P C + P P A 5,657-4,43-7,071 P C 0,0 0,0 8,0 P 1,0 9,0 0,0 17,657 4,757 0,99.. bliczenie momentu M układu wektorów względem punktu (0, 0, 0) M = M ) + M ) + M ) = P A xa + P C xc + x ( P A ( P C ( P P P A 5,657-4,43-7,071 A 0,0-3,0-5,0 P A xa 0,00 8,85-16,971 P C 0,0 0,0 8,0 C 0,0-3,0 0,0 P C xc 4,0 0,0 0,0 P 1,0 9,0 0 0,0 0,0 0,0 P x 0,0 0,0 0,0 M 4,00 8,85-16,971 F N -F skala sił 10 N Mo Rys. Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie /6

3 .3. Wyznaczenie jednej z równoważnych par wektorów F i F o momencie M, gdy płaszczyzna działania pary wektorów zawiera punkt (0, 0, 0) ( patrz Rys. ) Dane: współrzędne punktu (x, y, z ) zaczepienia wektora F, gdzie x = 0, y = 0, z = 0 M = ( 4,00; 8,85; -16,971 ) - moment pary wektorów F i F zukane: współrzędne wektora F = ( f, f, f ) współrzędne punktu N (x N, y N, z N ) zaczepienia wektora F, Współrzędne wektora F = ( f, f, f ) wyznaczamy z warunku, że F F M = 0 f 4,00 + f 8,85 + f (-16,971) = 0 M : przyjmujemy : f = 5,0 oraz f = 0,0 i obliczamy z powyższej równości f = 7,071 : F = ( 5,0; 0,0; 7,071 ) Współrzędne punktu N (x N, y N, z N ) zaczepienia wektora F = ( 5,0; 0,0; 7,071) wyznaczamy z własności pary wektorów M = M = F xn N M N = F 5,0 0,0 7,071 N x N x y N y z N z F xn 7,071 ( y N y ) [5,0 (z N z ) 7,071 (x N x )] 5,0 ( y N y ) M 4,00 8,85-16,971 Porównując odpowiednie współrzędne M i M N otrzymujemy: y N = 3,394 dla przyjętego x N = 0,0 obliczamy z N = 5,657 N ( 0,0 ; 3,394, 5,657 ) A zatem momentowi M odpowiada np. para wektorów F i F ( patrz Rys. ) Wektor F = ( 5,0; 0,0; 7,071 ) zaczepiony w punkcie ( 0,0; 0,0; 0,0 ) Wektor F = ( 5,0; 0,0; 7,071) zaczepiony w punkcie N ( 0,0 ; 3,394, 5,657 ) 3/6

4 3. Redukcja danego układu wektorów w punkcie 3.1 bliczenie momentu M układu wektorów względem punktu (4, 3, 0) M = M ( P A ) + M ( P C ) + M ( P ) = P AxA + P C xc + P x P A 5,657-4,43-7,071 P C 0,0 0,0 8,o A 4,0 0,0-5,0 C 4,0 0,0 0,0 P A xa 1,15 0,001 16,97 P C xc 0,0 3,0 0,0 P 1,0 9,0 0,0 4,0 3,0 0,0 P x 0,0 0,0 0,0 M 1,15 3,001 16,97 Momentowi M = ( 1,15; 3,001; 16,97 ) odpowiada np. para wektorów Pi P( Rys.3 ) chemat obliczenia podany jest w punkcie.3. Wektor P = ( 0,0; 5,0; 9,47 ) zaczepiony w punkcie ( 4,0; 3,0; 0,0 ) Wektor P = ( 0,0; 5,0; 9,47 ) zaczepiony np. w punkcie T ( 0,605 ; 5,5; 0,0 ) skala sił M 10 N P T -P Rys.3 Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie 3.. bliczenie momentu M układu wektorów względem punktu (4, 3, 0) korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna M = M + x M 4,00 8,85-16,971 17,657 4,757 0, x -,787 3,716 33,943 M 1,15 3,001 16,97 4/6

5 4. bliczenie parametru k układu wektorów k = k = k = M = M M = 4,00 17, ,85 4,757 + (-16,971) 0,99 = 54,589 M = 1,15 17, ,001 4, ,97 0,99 = 54, Redukcja układu wektorów do najprostszej postaci redukcja do skrętnika 5.1. Wyznaczenie parametrycznego równania osi środkowej układu wektorów Parametryczne równanie osi środkowej r (r x, r, r ) = 17,657 4,757 0,99 M 4,00 8,85-16,971 xm -107,01 31,95 385,5 xm =17, , ,99 =335,6 y z + t = * + t xm * = -0,319 0,960 1,149 r x r y r z = - 0, ,657 t = 0, ,757 t = 1, ,99 t Dowolne dwa punkty * i ** leżące na osi środkowej: dla t = 0,0 * ( - 0,319; 0,960; 1,149 ) dla t = 0,5 ** ( 8,509; 3,338; 1,613 ) ** oś środkowa * Rys.4 Rysunek osi środkowej przechodzącej przez dwa punkty * i ** ś środkowa układu wektorów jest to prosta o tej własności, że moment układu wektorów względem dowolnego jej punktu jest równoległy do sumy układu wektorów lub równy zeru. 5/6

6 5.. bliczenie momentu M * układu wektorów względem punktu * (- 0,319; 0,960; 1,149) leżącego na osi środkowej korzystając z twierdzenia o zmianie bieguna M * = M + x * M 4,00 8,85-16,971 17,657 4,757 0,99 * -0,319 0,9603 1,1491 x * 4,574-0,586 18,474 M * 8,576 7,6987 1,5035 Momentowi M * = (8,576; 7,6987; 1,5035 ) odpowiada np. para wektorów R i R(Rys.5) chemat obliczenia podany jest w punkcie.3. Wektor R = ( 0,5; 0,0; 4,75 ) zaczepiony w punkcie * ( 0,319; 0,960; 1,149 ) Wektor R = ( 0,5; 0,0; 4,75 ) zaczepiony w punkcie G ( 1,939; 6,976 ; 1,149 ) ** M* skala sił 10 N -R * R G Rys.5 Graficzne przedstawienie redukcji danego układu wektorów w punkcie * 5.3. prawdzenie czy moment M * układu wektorów względem punktu * leżącego na osi środkowej jest równoległy do wektora sumy. prawdzenie przeprowadzamy z warunku M * x = 0 M * 8,576 7,6987 1,5035 M * x 17,657 4,757 0,99 0,000 0,000 0,000 M * = 9,633 = 18,310 Wektor M * jest współliniowy z wektorem M * = 1, /6