Położenia, kierunki, płaszczyzny

Transkrypt

1 Położenia, kierunki, płaszczyzny Dalsze pojęcia Osie krystalograficzne; Parametry komórki elementarnej; Wskaźniki punktów kierunków i płaszczyzn;

2 Osie krystalograficzne Osie krystalograficzne: układ osi współrzędnych zaczepiony w wierzchołku komórki elementarnej Uwaga: w strukturze heksagonalnej używa się czterech osi. Osie ( a, a, a 3 i c) pokazane są na rysunku. (c) 003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning

3 Parametry komórek elementarnych Parametry komórki elementarnej: długości krawędzi komórki elementarnej (są to odległości jednostkowe na osiach krystalograficznych), oraz kąty pomiędzy osiami. Zestawienie niektórych danych poszczególnych komórek elementarnych Regularna Tetragonalna Rombowa Heksagonalna Romboedryczna lub trygonalna Jednoskośna Trójskośna 3

4 Położenie punktów w krysztale Współrzędne punktów w komórce elementarnej wyraża się tak samo jak współrzędne punktów w układzie współrzędnych w geometrii analitycznej, ale jednostkami na osiach są parametry komórki a, b, c. Wskaźniki punktów 4

5 Równoważne położenia w komórce SC - tylko naroża komórki 000, 00, 0, 00, 00, 0,, 0, BCC - naroża i środek ½½½ FCC - naroża i środki ścian ½½0, ½ 0 ½, 0 ½½, ½½, ½ ½, ½½, Wskaźniki kierunków w krysztale Trzy liczby całkowite, względem siebie pierwsze [uvw]. Jeżeli prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, to współrzędne pierwszego węzła leżącego na prostej, o ile są całkowite, stanowią wskaźniki prostej. Jeśli nie są całkowite, to trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika - liczniki stanowią wskaźniki kierunku. 5

6 Wskaźniki kierunków Z węzeł: / / 0,, mnożymy przez : 0 0,0,0 kierunek [0] Y X,0,0 ½,½,0 Wskaźniki kierunków w krysztale Jeżeli prosta nie przechodzi przez początek układu, to jej wskaźniki wyznaczamy tak, jak współrzędne wektora i sprowadzamy je do liczb całkowitych. 6

7 Kierunki Z [00],, -,0,=[0 0] [0 0] Y X Kierunki Z 0,, 0 = 0 = = ½, 0, ½ Pozbywamy się ułamków, mnożąc przez i otrzymujemy: Y X [ ] 7

8 Niektóre kierunki w krysztale są sobie równoważne. Zapisujemy je wtedy w nawiasach trójkątnych. Np. (c) 003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning Inne (w strukturze regularnej) < 00 > [00], [00], [00], [00],[00],[00] < > [ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ],[ ] 8

9 Przykład: wektory prymitywne w strukturze fcc Wektory nieprymitywne, na których zbudowana jest komórka elementarna to: r r a aiˆ r =, b = aj ˆ, c = akˆ Przykład: wektory prymitywne w strukturze fcc Jednym z możliwych wyborów wektorów prymitywnych, na których zbudowana jest komórka prymitywna jest trójka wektorów o początku w węźle w początku układu współrzędnych (naroże), a końcu w węzłach w środkach ścian. 9

10 x z y Komórka prymitywna fcc a a a r a r a ˆ r a a (ˆ ˆ), ( ˆ), ( ˆ = i + j a = j + k a3 = k + iˆ) Układ heksagonalny. osie a i b w trójosiowym układzie to teraz a i a.. Komórka elementarna: niebieska 3. Dodatkowa oś a 3 pokazuje symetrię heksagonalną. Ale nie jast to oś niezależna od a ia. a 3 = ( a + a ). 4. Zatem, w cztero-wskaźnikowym układzie osie są następujące: a a ( a + a ) c, wskaźniki: [uvtw] gdzie u+v+t=0 0

11 Przykład Wskaźniki wektora D Rzut wektora D na podstawę to B. Wektor B = (a + a ), zatem, jego wskaźniki we współrzędnych [a a c] to [0] W4-wskaźnikowej notacji, ponieważ u+v+t =0, wektor B jest [ 0] 3 (/3, ponieważ jest on 3 razy za długi). Jeszcze trzeba dodać c = [000], aby otrzymać D (i sprowadzić do liczb całkowitych) D = [3] Wskaźniki Millera płaszczyzn Trzy liczby całkowite, względem siebie pierwsze* (hkl). Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych, ale jest mu najbliższa, to odwrotności współrzędnych punktów przecięcia płaszczyzny z osiami, o ile są całkowite, stanowią wskaźniki płaszczyzny.

12 Wskaźniki Millera płaszczyzn Jeśli odwrotności współrzędnych punktów przecięcia płaszczyzny z osiami nie są całkowite, to trzeba je sprowadzić do wspólnego mianownika - liczniki stanowią wskaźniki płaszczyzny. Wyznaczanie wskaźników Millera Sposób pierwszy:. Wyznacz współrzędne punktów przecięcia płaszczyzny z osiami krystalograficznymi (jako krotności stałych sieci).. Znajdź ich odwrotności 3. Przemnóż je przez wspólny mianownik, aby otrzymać liczby całkowite, względem siebie pierwsze.

13 (c) 003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning A Wskaźniki punktów przecięcia płaszczyzny z osiami: x =, y =, z = odwrotności: /x =, /y =, /z = W wyniku nie ma ani ułamków, ani wzajemnie podzielnych liczb całkowitych, zatem wynik: () (c) 003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning B x =, y =, i z = /x =, /y =/, /z = 0 Pozbywamy się ułamków, mnożąc wszystkie liczby przez wspólny mianownik /x =, /y =, /z = 0 (0) 3

14 C Musimy przesunąć układ współrzędnych, aby płaszczyzna nie przechodziła przez 0, 0, 0. Np. o jedną jednostkę w kierunku osi y. (c) 003 Brooks/Cole Publishing / Thomson Learning Teraz, x =, y = - i z = /x = 0, /y = -, /z = 0 Nie ma ułamków. (0 0) Wyznaczanie wskaźników Millera Sposób drugi (w układzie prostokątnym):. Wyznacz współrzędne trzech punktów na płaszczyźnie.. Wstaw je do równania płaszczyzny: 3. Ax+By+Cz=D 4. Z równania płaszczyzny wyznacz współrzędne punktów przecięcia z osiami x, y, z. 4

15 Niektóre płaszczyzny w krysztale są sobie równoważne. Zapisujemy je wtedy w nawiasach klamrowych. Na przykład: Rodzina płaszczyzn równoległych ma takie same wskaźniki Millera 5

16 Układ heksagonalny r t s Indeksy Millera w HCP:. Znajdź przecięcia, r i s, płaszczyzny z dowolnymi dwiema osiami w podstawie (a, a, lub a 3 ), oraz, t, z osią c.. Znajdź odwrotności /r, /s, i /t. 3. Przekształć odwrotności w najmniejsze liczby całkowite. 4. Otrzymaj h, k, i, l poprzez zależność i = - (h+k), gdzie h jest związane z a, k z a, i z a 3, a l z c. 5. (h k i l). Układ heksagonalny Różowa płaszczyzna. Przecięcia: a, a 3 i c w r=, s= i t=,. Odwrotności: /r =, /s =, and /t = Są całkowite i najmniejsze. 4. Możemy napisać (h k i l) = (? 0). 5. Korzystając z i = - (h+k) mamy, k=. 6. Wskaźniki (0) 6

17 Odległości między płaszczyznami Wskaźniki Millera pozwalają obliczyć odległości między sąsiednimi płaszczyznami o tych samych wskaźnikach. Np. w strukturach regularnych: a = gdzie a jest długością l krawędzi komórki elementarnej d hkl h + k + Odległości między płaszczyznami regularny: d h + k = a + l Tetragonalny: d h + k = a l + c Hexagonalby: 4 = d 3 h + hk + a k l + c Rombowy: d h = a k + b l + c Romboedryczny: = d ( h + k + l ) sin α + ( hk + kl + hl )( cos α cosα ) 3 a ( 3cos α + cos α ) 7

18 Odległości między płaszczyznami Jednoskośny: d h = sin β a k + sin b β l + c hl cosβ ac Trójskośny: d = V ( S h + S k + S l + S hk + S kl + S hl ) V = objetosc komorki elementarnej = abc S = b c sin α S = a c sin β S 33 = a b sin γ cos α cos S S S β cos γ + cosα cosβ cosγ ( cosα cosβ cosγ ) ( cosβ cosγ cosα ) ( cosγ cosα cosβ ) = abc 3 = a bc 3 = ab c Im niższe wskaźniki Millera, tym więcej atomów znajduje się na płaszczyźnie i tym większe są odległości między płaszczyznami (0) (3) () (4 ) b a () 8

19 Rodzina płaszczyzn równoległych ma takie same wskaźniki Millera Pas płaszczyzn W krystalografii definiuje się również pojęcie tzw pasa płaszczyzn: są to płaszczyzny równoległe do pewnej prostej (oś pasa). 9

20 Pas płaszczyzn Jeżeli oś pasa jest prostą o wskaźnikach [u,v,w], to płaszczyzny (hkl) należą do tego pasa, jeżeli: uh+vk+wl=0 Literatura Donald R. Askeland, Pradeep P. Phule, The Science and Engineering of Materials. Z. Bojarski, M. Gigla, K. Stróż, M. Surowiec, Krystalografia 0