Plaowaie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocicze Układ bloków kompletie zradomizowaych Założeia: (a) Z jedostek doświadczalych tworzymy rówolicze grupy zwae blokami (b bloków) w taki sposób, aby jedostki te możliwie mało różiły się między sobą wewątrz grup, dopuszczale są różice między grupami (b) Liczba jedostek w bloku (= k) powia być rówa liczbie obiektów eksperymetalych (c) Każdej z k jedostek eksperymetalych bloku przypisuje się losowo jede z k obiektów eksperymetalych Taką radomizację ależy wykoać oddzielie dla każdego bloku Zatem każdy z b bloków staowi replikację Ozaczeia: b - liczba bloków, k - liczba obiektów i wielkość każdego bloku, - liczba jedostek eksperymetalych, = kb Materiał eksperymetaly podlega podwójej klasyfikacji: ze względu a bloki, ze względu a obiekty Model liiowy: y ij = µ + α i + β j + ε ij, y ij - obserwacja dotycząca i-tego obiektu w j-tym bloku, µ - średia ogóla, α i - efekt (działaia) i-tego obiektu, i =, 2,, k, β j - efekt j-tego bloku, j =, 2,, b, ε ij - błędy losowe, o których zakładamy, że są iezależymi zmieymi losowymi oraz ε ij N(0, σ 2 ) Testowaie hipotez Założeia: k i= α i = 0, b j= β j = 0 Ozaczeia: y i = b y ij, y j = k y ij, ȳ = k b y ij b j= k i= i= j= Tabela Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty k SSA = b k i= (y i ȳ) 2 MSA = SSA k bloki b SSB = k b j= (y j ȳ) 2 MSB = SSB b błąd (b )(k ) SSE = k i= bj= (y ij y i y j + ȳ) 2 MSE = SSE (b )(k ) całość SST = k i= bj= (y ij ȳ) 2 (a) H 0 : β = β 2 = = β b, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSB MSE > F ( α, b, (b )(k )) (b) H 0 : α = α 2 = = α k, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSA MSE > F ( α, k, (b )(k ))
(c) H 0 : α i = α j, H : α i α j - testy ajmiejszych istotych różic - test Tukey a MSE B = (y ij) : y i y j > NIR = q( α, k, (b )(k )) b, q( α, k, (b )(k )) jest kwatylem rzędu α z rozkładu studetyzowaego rozstępu (Tablice 9 i 0 s 504, Górecki, 20) Brakujące obserwacje Za oceę brakującej obserwacji dla i-tego obiektu w j-tym bloku przyjąć moża wielkość daą wzorem Yatesa: m ij = ki i + bb j G (k )(b ), I i -suma obserwacji dla i-tego obiektu, B j -suma obserwacji dla j-tego bloku, G-suma całkowita Rezultat m ij podstawiamy w miejsce brakującej obserwacji W tabeli aalizy wariacji ależy: (a) zmiejszyć liczbę stopi swobody dla błędu i całości o jede, (b) sumę kwadratów dla obiektów (SSA) zmiejszyć o H = (B j (k )m ij ) 2 k(k ) Względa efektywość Względa efektywość doświadczeia założoego według układu bloków kompletie zradomizowaych wobec doświadczeia opartego a kompletej radomizacji (klasyfikacji jedokierukowej): (k )(b ) + E = ((k )(b ) + 3)MSE : k +, ( k + 3)Ṽe Ṽ e = SSB + ( b)mse Model w postaci macierzowej Model układu bloków kompletie zradomizowaych moża zapisać w astępującej postaci macierzowej: y = Xγ + ε, Poadto, ε N (0, σ 2 I ) y = (y, y 2,, y b, y 2, y 22,, y 2b,, y k, y k2,, y kb ), b b 0 b 0 b 0 b I b X = b 0 b b 0 b 0 b I b, b 0 b 0 b 0 b b I b γ = (µ, α, α 2,, α k, β, β 2,, β b ), ε = (ε, ε 2,, ε b, ε 2, ε 22,, ε 2b,, ε k, ε k2,, ε kb ) Estymowalość fukcji parametryczej Defiicja Fukcja parametrycza c γ, c = (c, c 2,, c b+k+ ) jest estymowala, gdy istieje dla iej ieobciążoy estymator liiowy, tz b R : E(b y) = c γ 2
Kotrasty Defiicja 2 Fukcję parametryczą L = k i= c i α i = c α, c = (c, c 2,, c k ) oraz α = (α, α 2,, α k ), azywamy kotrastem, gdy k i= c i = c k = 0 Defiicja 3 Kotrasty c α i b α są ortogoale, gdy c b = 0 3 Jedoczyikowa aaliza wariacji Model liiowy: y ij = µ i + ε ij, y ij - j-ta obserwacja dotycząca i-tego obiektu, i =, 2,, a, j =, 2,, i, µ i - efekt (działaia) i-tego obiektu, ε ij - błędy losowe, o których zakładamy, że są iezależymi zmieymi losowymi oraz ε ij N(0, σ 2 ) Ozaczeia: i ȳ i = y ij, ȳ = i j= a i y ij i= j= Tabela 2 Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty a SSA = a i= i (ȳ i ȳ) 2 MSA = SSA a błąd a SSE = SST SSA MSE = SSE a całość SST = a i i= j=(y ij ȳ) 2 Weryfikujemy układ hipotez H 0 : µ = µ 2 = = µ a, H : H 0 testem o obszarze krytyczym: B = (y ij ) : F A = MSA MSE > F ( α, a, a) Testowaie kotrastów w jedoczyikowej aalizie wariacji Niech L = c µ będzie kotrastem, c = (c, c 2,, c a ) i µ = (µ, µ 2,, µ a ), oraz SSL = ( a i= c i ȳ i ) 2 ai= c 2 i i Weryfikujemy układ hipotez H0 L : L = 0, H L : L 0 testem o obszarze krytyczym: B = (y ij ): F L = SSL MSE > F ( α,, a) Tabela 3 Rozszerzoa tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat F obiekty a SSA MSA F A L SSL SSL F L L 2 SSL 2 SSL 2 F L2 L a SSL a SSL a F La błąd a SSE MSE całość SST
Ogóle własości układów bloków Defiicja 4 Macierzą icydecji układu bloków azywamy macierz N = ( ij ) wymiaru v b, ij 0 jest liczbą jedostek ależących do j-tego bloku, a których zastosowao i-ty obiekt Ozaczmy przez k = (k, k 2,, k b ), r = (r, r 2,, r v ) wektory wielkości bloków i replikacji obiektów, odpowiedio Niech K = diag(k, k 2,, k b ), R = diag(r, r 2,, r v ) Defiicja 5 Macierzą układu dla obiektów azywamy macierz wymiaru v, której elemet δ ij przyjmuje wartość, gdy j-ta obserwacja dotyczy i-tego obiektu oraz 0 w przeciwym przypadku Defiicja 6 Macierzą układu dla bloków D azywamy macierz wymiaru b, której elemet d ij przyjmuje wartość, gdy j-ta obserwacja ależy do i-tego bloku oraz 0 w przeciwym przypadku Zredukoway układ rówań ormalych dla obiektów ma postać Cτ = Q, C = R NK N - macierz iformacji dla obiektów, τ = (τ, τ 2,, τ v ) - wektor efektów obiektowych, Q = T NK B - wektor poprawioych sum dla obiektów, T = (T, T 2, T v ) - wektor sum obserwacji dla obiektów, B = (B, B 2, B b ) - wektor sum obserwacji dla bloków Zredukoway układ rówań ormalych dla bloków ma postać D β = P, D = K N R N - macierz iformacji dla bloków, β = (β, β 2,, β b ) - wektor efektów blokowych, P = B N R T - wektor poprawioych sum dla bloków Rozwiązaie zredukowaego układu rówań ormalych dla obiektów jest postaci ˆτ = C Q, C jest uogólioą odwrotością macierzy C, tz CC C = C Macierz Ω = C + rr azywamy macierzą Tochera Wówczas C = Ω Niech θ, θ 2,, θ, v będą iezerowymi wartościami własymi macierzy C, a v, v 2,, v odpowiadającymi im ortoormalymi wektorami własymi Wtedy C = i= θ i v i v i Lemat Jeżeli A jest macierzą ieosobliwą, to ( ) ( ) A B A B = + FE F FE D E F E, E = D B A B oraz F = A B Tabela 4 Tabela aalizy wariacji Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat obiekty v SSA = Q C Q MSA = SSA v bloki b SSB = P D P MSB = SSB b błąd b v + SSE = i,j yij 2 b Bj 2 j= k j SSA MSE = SSE b v+ 4
5 (a) H 0 : β = β 2 = = β b, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSB MSE > F ( α, b, b v + ) (b) H 0 : τ = τ 2 = = τ v, H : H 0 B = (y ij ) : F = MSA MSE > F ( α, v, b v + ) Defiicja 7 Kotrastem elemetarym azywamy taki kotrast c τ, dla którego wszystkie elemety wektora c są zerami za wyjątkiem dwóch, z których jede jest rówy a drugi Defiicja 8 Układ bloków azywamy spójym, gdy wszystkie elemetare kotrasty są fukcjami estymowalymi Twierdzeie Układ bloków jest spójy wtedy i tylko wtedy, gdy rak(c) = v Defiicja 9 Spójy układ bloków azywamy układem ortogoalym, gdy N = rk Defiicja 0 Układ bloków azywamy zrówoważoym w sesie wariacji, gdy pozwala o a estymację wszystkich elemetarych zormalizowaych kotrastów obiektowych z taką samą wariacją Twierdzeie 2 Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie wariacji wtedy i tylko wtedy, gdy iezerowe wartości włase macierzy C są rówe Wiosek Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie wariacji wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C moża przedstawić w postaci C = (a b)i v + b v v, a i b są dowolymi skalarami Wtedy macierz C moża także zapisać w postaci ( C = θ I v ) v v v, θ jest iezerową wartością własą macierzy C Niech M = R NK N Estymatorem ieobciążoym kotrastu s Rτ jest estymator postaci µ s Q, s jest prawym wektorem własym macierzy M odpowiadającym wartości własej µ, tz Ms = µs Poadto ( ) Var µ s Q = σ2 µ s Rs W układzie ortogoalym estymatorem ieobciążoym kotrastu s Rτ jest s Q, a poadto Var (s Q) = σ 2 s Rs Stratę iformacji o kotraście estymowalym s Rτ w układzie D(N, r, k, v, b) względem porówywaego układu ortogoalego defiiujemy jako α(s Rτ ) = Var O (s Q) Var D ( µ s Q ) = µ Współczyik efektywości kotrastu s Rτ w układzie D defiiujemy jako µ Defiicja Układ bloków azywamy układem zrówoważoym w sesie efektywości, gdy każdy kotrast efektów obiektowych jest estymowaly w tym układzie z takim samym współczyikiem efektywości
Twierdzeie 3 Spójy układ bloków jest układem zrówoważoym w sesie efektywości wtedy i tylko wtedy, gdy macierz M spełia waruek M = µi v + ( µ) vr, µ jest ieujemym skalarem miejszym od Defiicja 2 Układ bloków jest zrówoważoy w sesie kombiatoryczym, gdy NN = D + λ v v, D jest macierzą diagoalą a λ stałą dodatią Uwaga Dla układu róworeplikowaego i właściwego (bloki o tej samej wielkości), zrówoważeie w sesie wariacji jest rówoważe zrówoważeiu w sesie kombiatoryczym i takie układy azywa się zrówoważoymi układami bloków Gdy układ ie jest róworeplikoway lub właściwy, układ może być zrówoważoy w sesie wariacji i ie być zrówoważoy w sesie kombiatoryczym, i a odwrót Twierdzeie 4 Jeżeli spójy układ bloków ma dwie sposród trzech poiższych własości, to ma rówież własość trzecią: (a) układ jest zrówoważoy w sesie wariacji, (b) układ jest zrówoważoy w sesie efektywości, (c) układ jest róworeplikoway Lemat 2 Wartościami własymi macierzy ieosobliwej postaci ai + b są a z krotością oraz a + b z krotością Układy zrówoważoe o blokach iekompletych W układzie zrówoważoym o blokach iekompletych rozmieszczamy v obiektów w b blokach (każdy rozmiaru k < v) tak, aby spełioe były waruki: (i) Każdy obiekt występuje co ajwyżej raz w każdym bloku (ii) Każdy obiekt występuje w r blokach (iii) Każda para obiektów występuje razem w λ blokach Liczby aturale v, b, r, k, λ są parametrami tego układu Jeżeli N jest macierzą icydecji układu zrówoważoego o blokach iekompletych, to oraz vr = bk =, λ(v ) = r(k ) NN = (r λ)i v + λ v v Defiicja 3 Macierzą asocjacji azywamy macierz postaci NN Trójkowy zrówoważoy układ bloków Trójkowym zrówoważoym układem bloków azywamy układ składający się z b bloków (każdy rozmiaru k), do których wybieramy obiekty ze zbioru v elemetowego, w taki sposób, żeby: (i) Każdy z v obiektów występował r razy w całym doświadczeiu oraz 0, lub 2 razy w każdym bloku (2 pojawia się przyajmiej raz) (ii) Każda z różych par obiektów występuje razem λ razy Trójkowy zrówoważoy układ bloków jest układem regularym, tj każdy obiekt występuje pojedyczo w ξ blokach oraz jest powtarzay dwa razy w ξ 2 blokach, ξ i ξ 2 są stałe dla układu Parametrami trójkowego zrówoważoego układu bloków są liczby v, b, r, k, λ, ξ, ξ 2 Jeżeli N jest macierzą icydecji tego układu, to 6 oraz vr = bk, r = ξ + 2ξ 2, λ(v ) = ξ (k ) + 2ξ 2 (k 2) = r(k ) 2ξ 2 NN = (ξ + 4ξ 2 λ)i v + λ v v
Doświadczeie czyikowe typu 2 k Model dla doświadczeia czyikowego typu 2 2 : w układzie kompletej radomizacji y ij = µ + τ ij + ε ij, i, j = 0,, µ-średia ogóla, τ ij = α i + β j + (αβ) ij jest efektem ij-tej kombiacji obiektowej, w układzie bloków kompletie zradomizowaych y ijp = µ + τ ij + ρ p + ε ijp, i, j = 0,, p =, 2,, b, µ i τ ij jak wyżej, a ρ p to efekt p-tego bloku Efekty i iterakcja: A = (ab + a) (b + ) - efekt główy czyika A, B = (ab + b) (a + ) - efekt główy czyika B, A(b ) = ab b - efekt prosty czyika A przy pierwszym poziomie czyika B, A(b 0 ) = a - efekt prosty czyika A przy zerowym poziomie czyika B, B(a ) = ab a - efekt prosty czyika B przy pierwszym poziomie czyika A, B(a 0 ) = b - efekt prosty czyika B przy zerowym poziomie czyika A, AB = (ab a) (b ) - iterakcja czyików A i B Ozaczeia: B i - suma obserwacji ależących do i-tego bloku, l - liczba kombiacji obiektowych, t - liczba poziomów, czyli t = 2 Tabela 5 Tabela aalizy wariacji (SSE = SST SSA SSB SSAB SSBL) Źródło zmieości Stopie swobody Suma kwadratów Średi kwadrat bloki b SSBL = B2 +B2 2 (ab+a+b+ ) 2 l efekt A t SSA = A2 efekt B t SSB = B2 iterakcja AB (t ) 2 SSAB = (AB)2 MSBL = SSBL b MSA = SSA t MSB = SSB t MSAB = SSAB (t ) 2 błąd (b )(l ) SSE MSE = SSE (b )(l ) całość SST = ij y 2 ij (ab+a+b+ ) 2 7 (a) H 0 : ab = a = b =, H : H 0 B = (y ij ) : F komb = MSK MSE > F ( α, l, (b )(l )), MSK = SSK/(l ) oraz SSK = SSA + SSB + SSAB (b) H 0 : ρ = ρ 2 = = ρ b, H : H 0 B = (y ij ) : F BL = MSBL MSE > F ( α, b, (b )(l )) (c) H 0 : A = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F A = MSA MSE > F ( α, t, (b )(l )) (d) H 0 : B = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F B = MSB MSE > F ( α, t, (b )(l )) (e) H 0 : AB = 0, H : H 0 B = (y ij ) : F AB = MSAB MSE > F ( α, (t )2, (b )(l ))