Wykład 7 Teoria eksperymentu

Transkrypt

1 Wykład 7 Teoria eksperymentu Wrocław, r

2 Układ niekompletnych bloków losowych Zrównoważone niekompletne bloki: Gdy wszystkie porównania wyników są jednakowo ważne należy tak wybrać kombinacje czynników pojawiających się w blokach, aby każda para czynników pojawiała się razem taką samą ilość razy. Taki układ zrównoważonych niekompletnych bloków otrzymamy gdy: a - czynnników ( k - ilość ) czynników w każdym z bloków (k < a) a - liczba sposobów, na które możemy wybrać czynniki do k bloku

3 Układ niekompletnych bloków losowych Analiza statystyczna a - poziomów badanego czynnika b - bloków każdy blok zawiera k poziomów czynnika każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy

4 Układ niekompletnych bloków losowych Analiza statystyczna a - poziomów badanego czynnika b - bloków każdy blok zawiera k poziomów czynnika każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji

5 Układ niekompletnych bloków losowych Analiza statystyczna a - poziomów badanego czynnika b - bloków każdy blok zawiera k poziomów czynnika każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku λ = r(k 1) a 1

6 Układ niekompletnych bloków losowych Analiza statystyczna a - poziomów badanego czynnika b - bloków każdy blok zawiera k poziomów czynnika każdy poziom czynnika ma r replikacji - pojawia się r razy N = ar = bk - całkowita liczba obserwacji każda para czynnika pojawia się w tym samym bloku λ = r(k 1) a 1 gdy a = b - układ symetryczny

7 Układ niekompletnych bloków losowych Model statystyczny y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij τ i - efekt i-tego poziomu czynnika β j - efekt j - tego bloku ɛ ij N(0, σ 2 ) - iid. - błąd losowy.

8 Układ niekompletnych bloków losowych Model statystyczny y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij τ i - efekt i-tego poziomu czynnika β j - efekt j - tego bloku ɛ ij N(0, σ 2 ) - iid. - błąd losowy. Całkowitą zmienność można zapisać: a b SS T = SS czynnik dopasowany + SS B + SS E = yij 2 y.. 2 N i=1 j=1

9 Układ niekompletnych bloków losowych Model statystyczny Uwaga Suma kwadratów dla czynników jest dostosowana tak aby odseparować wpływ czynników od wpływu bloków. Taka poprawka jest konieczna ponieważ każdy poziom czynnika jest reprezentowany w różnych zbiorach r bloków. Bez wzięcia pod uwagę poprawki sumy y 1., y 2.,..., y a. podlegają wpływom różnic między blokami. SS B = b y.j 2 j=1 k y.. 2 N SS cz dop = k a i=1 Q2 i λa Q i = y i. 1 bj=1 { k n ij y ij, i = 1, 2,..., a 1 czynnik i występuje w j tym bloku n ij = 0 poza tym Q i - dopasowana całókowita suma dla Wykład i-tego 7 Teoriapoziomu eksperymentu czynnika

10 Układ niekompletnych bloków losowych źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F czynnik dopasowany do bloków bloki k a i=1 Q2 i λa a 1 bj=1 y 2.j k y 2.. N b 1 SS czdop a 1 MS czdop MS E błąd dopełnienie N a b + 1 SS E N a b+1 całkowita ai bj y 2 ij y 2.. N N 1

11 Przykład 7.1 Inżynier chemik uważa, że czas reakcji pewnego procesu chemicznego jest funkcją użytego katalizatora. W użyciu są cztery katalizatory. Eksperyment polega na wybraniu próbek substancji biorących udział w reakcji i przeprowadzeniu oddzielnych procesów przy użyciu każdego z katalizatorów pomiaru czasu reakcji. Inżynier traktuje próbki pochodzące od różnych producentów jako bloki. Niestety każda próbka pochodząca od jednego producenta wystarcza na przeprowadzenie trzech kataliz. Chemik postanawia skorzystać z układu zrównoważonych niekompletnych bloków. producent materiału katalizator y i y.j y.. = 870

12 Przykład cd a = 4; b = 4; k = 3; r = 3; λ = 2; N = 12 SS T = 4 4j i yij 2 y N = = 81 SS B = 4 y.j 2 j=1 3 y = 55 Q 1 = ( ) = 9 3 Q 2 = ( ) = 7 3 Q 3 = ( ) = 4 3 Q 4 = ( ) = 20 3 SS cz dop = 3 4 i=1 Q2 i 2 4 = SS E = SS T SS B SS cz dop = = 3.25

13 Przykład cd źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator producent błąd całkowita 81 11

14 Przykład cd źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator producent błąd całkowita F 0 = > 5.41 = F 0.05 (3, 5) - odrzucamy H 0

15 Przykład cd źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F katalizator producent błąd całkowita F 0 = > 5.41 = F 0.05 (3, 5) - odrzucamy H 0 Katalizatory użyte w reakcjach mają istotny wpływ na czas przebiegu reakcji.

16 Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ: N ˆµ + r a i=1 ˆτ i + k b j=1 ˆβ j = y.. τ i : r ˆµ + rτ i=1 ˆ + b j=1 n ij + ˆβ j = y i., i = 1, 2,..., a β j : k ˆµ + a i=1 n ij ˆτ i + k ˆβ j = y.j, j = 1, 2,..., a

17 Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ: N ˆµ + r a i=1 ˆτ i + k b j=1 ˆβ j = y.. τ i : r ˆµ + rτ i=1 ˆ + b j=1 n ij + ˆβ j = y i., i = 1, 2,..., a β j : k ˆµ + a i=1 n ij ˆτ i + k ˆβ j = y.j, j = 1, 2,..., a Przy założeniu, że ˆτ i ˆβj dostajemy ˆµ = y..

18 Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów Równania normalne w układzie zrównoważonych niekompletnych bloków mają postać: µ: N ˆµ + r a i=1 ˆτ i + k b j=1 ˆβ j = y.. τ i : r ˆµ + rτ i=1 ˆ + b j=1 n ij + ˆβ j = y i., i = 1, 2,..., a β j : k ˆµ + a i=1 n ij ˆτ i + k ˆβ j = y.j, j = 1, 2,..., a Przy założeniu, że ˆτ i ˆβj dostajemy ˆµ = y.. Następnie korzystając z równania na {β j } aby wyeliminować efekty bloków z równania na {τ i } otrzymujemy: ( )rk ˆτ i r ˆτ i b ap=1;p i j=1 n ij n pj ˆτ p = ky i. b j=1 n ij y.j

19 Estymacja parametrów metodą najmniejszych kwadratów Zauważmy, że prawa strona tego równania jest równa kq i, gdzie: Q i = y i. 1 k bj=1 n ij y.j - i - ta dopasowana suma. Ponieważ: b j=1 n ij n pj = λ, gdy p i oraz n 2 pj = n pj (ponieważ n pj = 0 1) Zatem możemy ( ) zapisać w postaci: r(k 1)ˆτ i λ a p=1;p i ˆτ p = kq i ; i = 1, 2,..., a Dalej: ai=1 ˆτ i = 0 a p=1;p i ˆτ p = ˆτ i co z warunkiem: λ = r(k 1) a 1 daje λa ˆτ i = kq i ; i = 1, 2,..., a Zatem estymator NK ma postać: ˆτ i = kq i λa, i = 1, 2,..., a

20 Przykład cd Q 1 = 9 3, Q 2 = 7 3, Q 3 = 4 3, Q 4 = 20 3,

21 Przykład cd Q 1 = 9 3, Q 2 = 7 3, Q 3 = 4 3, Q 4 = 20 3, ˆτ 1 = 3 ( 9/3) 2 4 = 9 8 ˆτ 3 == 4 8 ˆτ 2 = 3 ( 7/3) 2 4 = 7 8 ˆτ 3 == 20 8

22 Yates (1940) zauważył, że jeśli efekty pochodzące od przynależenia do bloku są nieskorelowanymi zmiennymi losowymi o średniej zero i wariancji σβ 2, to możemy otrzymać dodatkową informację na temat badanego czynnika

23 Analiza międzyblokowa Rozpatrzmy sumy w blokach y.j jako b obserwacji. Modelem dla tych obserwacji jest y.j = kµ + a n ij τ i + (kβ j + i=1 a ɛ ij ) Międzyblokowymi estymatorami parametrów µ i τ i są estymatory wyznaczomen MNK otrzymane przez minimalizację funkcji: L = ( b y.j kµ j=1 i=1 ) a 2 n ij τ i co prowadzi do równań: µ: N µ + r a i=1 τ i = y.. τ i : kr µ + r τ i + λ a p=1 τ p = b j=1 n ij y.j, i = 1, 2,..., a. Rozwiązując twe równania dostajemy estymatory międzyblokowe parametrów µ i τ i. i=1

24 Biorąc pod uwagę warunek a τ i = 0 i=1 możemy przedstawić rozwiązanie równania ( ) w postaci: µ = ȳ.. b j=1 n ij y.j krȳ.. τ i = r λ i = 1, 2,..., a

25 Uwaga Można pokazać, że estymatory międzyblokwe { τ i } i estymatory wewnątrzblokowe {ˆτ i } są nieskorelowane.

26 Uwaga Można pokazać, że estymatory międzyblokwe { τ i } i estymatory wewnątrzblokowe {ˆτ i } są nieskorelowane. Można połączyć estymatory międzyblokwe { τ i } i estymatory wewnątrzblokowe {ˆτ i } aby otrzymać jeden nieobciążony estymator o minimalnej wariancji parametru τ i

27 Uwaga Można pokazać, że τ i i ˆτ i są estymatorami nieobciążonymi oraz, że: Var(ˆτ i ) = k(a 1) λa 2 σ 2 Var( τ i ) = k(a 1) a(r λ) (σ2 + kσ 2 β )

28 Rozpatrzmy liniową kombinację: τ i = α 1 ˆτ i + α 2 τ i jako estymator τ i

29 Rozpatrzmy liniową kombinację: τ i = α 1 ˆτ i + α 2 τ i jako estymator τ i Estymator postaci τi nieobciążony gdy będzie miał minimalną wariancję i będzie α 1 = u 1 u 1 + u 2 α 2 = u 2 u 1 + u 2 gdzie: u 1 = 1 Var(ˆτ i ) u 2 = 1 Var( τ i )

30 Z wcześniejszych wzorów otrzymujemy, że: τ i = ˆτ k(a 1) i a(r λ) (σ2 + kσβ 2) + τ i k(a 1) σ 2 λa 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσβ 2), i = 1, 2,..., a

31 Z wcześniejszych wzorów otrzymujemy, że: τ i = ˆτ k(a 1) i a(r λ) (σ2 + kσβ 2) + τ i k(a 1) σ 2 λa 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσβ 2), i = 1, 2,..., a co sprowadza się do: τ i = kq i(σ 2 + kσ 2 β ) + ( b j=1 n ij y.j krȳ.. )σ 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσ 2 β ), i = 1, 2,..., a

32 Z wcześniejszych wzorów otrzymujemy, że: τ i = ˆτ k(a 1) i a(r λ) (σ2 + kσβ 2) + τ i k(a 1) σ 2 λa 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσβ 2), i = 1, 2,..., a co sprowadza się do: τ i = kq i(σ 2 + kσ 2 β ) + ( b j=1 n ij y.j krȳ.. )σ 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσ 2 β ), i = 1, 2,..., a Niestety problemem jest nieznajomość σ 2 i σ 2 β.

33 Z wcześniejszych wzorów otrzymujemy, że: τ i = ˆτ k(a 1) i a(r λ) (σ2 + kσβ 2) + τ i k(a 1) σ 2 λa 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσβ 2), i = 1, 2,..., a co sprowadza się do: τ i = kq i(σ 2 + kσ 2 β ) + ( b j=1 n ij y.j krȳ.. )σ 2 (r λ)σ 2 + λa(σ 2 + kσ 2 β ), i = 1, 2,..., a Niestety problemem jest nieznajomość σ 2 i σ 2 β. Postępujemy standardowo - zastępujemy nieznane waretości parametrów ich estymatorami

34 Bierzemy: ˆσ 2 = MS E

35 Bierzemy: ˆσ 2 = MS E Następnie korzystając z: MS Bloki = 1 k a i=1 Qi 2 b 1 λa + b j=1 y 2.j k a i=1 yi. 2 r można pokazać, że E [MS B ] = σ 2 + a(r 1) b 1 σ2 β

36 Bierzemy: ˆσ 2 = MS E Następnie korzystając z: MS Bloki = 1 k a i=1 Qi 2 b 1 λa + b j=1 y 2.j k a i=1 yi. 2 r można pokazać, że E [MS B ] = σ 2 + a(r 1) b 1 σ2 β

37 Zatem jeśli MS Bloki > MS E : ˆσ 2 β = [MS Bloki MS E ](b 1) a(r 1) jeśli MS Bloki MS E, wówczas ˆσ 2 β = 0

38 Zatem jeśli MS Bloki > MS E : ˆσ 2 β = [MS Bloki MS E ](b 1) a(r 1) jeśli MS Bloki MS E, wówczas ˆσ 2 β = 0 Stąd τ i = kq i (ˆσ 2 +k ˆσ β 2 )+( b j=1 n ij y.j krȳ..)ˆσ 2 (r λ)ˆσ 2 +λa(ˆσ 2 +k ˆσ β 2 ), ˆσ β 2 > 0 y i. 1 a y.. r, ˆσ β 2 = 0

39 Przykład cd Wyznaczymy estymatory parametów modelu: ˆσ 2 = MS E = 0.65

40 Przykład cd Wyznaczymy estymatory parametów modelu: ˆσ 2 = MS E = 0.65 MS Bloki = 22.03, a zatem MS Bloki MS E, czyli estymator σβ 2 jest postaci: σˆ β 2 = ( ) 3 4(3 1) = 8.02 Estymatory dla parametórw τ i. est.wewnątrzblokowy est.międzyblokowy est.kombinowany τ τ τ τ

41 Częściowo zrównoważone niekompletne bloki Przykład 7.2 Mamy 8 - poziomów badanego czynnika, a każdy blok może zawierać 3 poziomy.

42 Częściowo zrównoważone niekompletne bloki Przykład 7.2 Mamy 8 - poziomów badanego czynnika, a każdy blok może zawierać 3 poziomy. Aby λ Z musimy mieć minimum r = 21 replikacji.

43 Częściowo zrównoważone niekompletne bloki Przykład 7.2 Mamy 8 - poziomów badanego czynnika, a każdy blok może zawierać 3 poziomy. Aby λ Z musimy mieć minimum r = 21 replikacji. Wówczas układ będzie miał 56 bloków, co z praktycznego punktu widzenia może być zbyt dużą wartością.

44 Częściowo zrównoważone niekompletne bloki Uwaga W celu redukcji bloków niezbędnych do utworzenia układu niekompletnych bloków można odejść od założenia całkowitego zrównoważenia na korzyść częściowego zrównoważenia, w którym niektóre pary występują razem λ 1 razy, niektóre λ 2 razy,..., a pozostałe λ m razy.

45 Częściowo zrównoważone niekompletne bloki Uwaga W celu redukcji bloków niezbędnych do utworzenia układu niekompletnych bloków można odejść od założenia całkowitego zrównoważenia na korzyść częściowego zrównoważenia, w którym niektóre pary występują razem λ 1 razy, niektóre λ 2 razy,..., a pozostałe λ m razy. Pary występujące razem λ i razy nazywamy i - stowarzyszonymi. Mówimy, że układ ma m stowarzyszonych klas.

46 Przykład 7.3 (częściowo zrównoważonego układu niekompletnych bloków) x x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x

47 Przykład 7.3 (częściowo zrównoważonego układu niekompletnych bloków) x x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x blok kombinacje poz. bad. czynnika Układ ma dwi klasy stowarzyszenia Pozimy czynnika występujące λ 1 = 2 razy: 1 i 2, 3 i 4,5 i 6, 5 i 6 Pozimy czynnika występujące λ 2 = 1 razy: 4 i 5, 2 i 6, 1 i 3, itd.

48 Analiza częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków z dwoma klasa 1 a - poziomów czynnika, b - bloków, r - replikacji, k - poz. czynnika w bloku 2 pary poz. czynnika, które są i - stowarzyszone występują razem w λ i, i = 1, 2 blokach 3 Każdy poziom czynnika ma dokładnie n i - stowarzyszonych Liczba n i jest niezależna od wyboru czynnik 4 Jeżeli dwa poziomy czynnika są i - stowarzyszone, to liczba poziomów czynnika, które z jednym z tych poziomów są j stowarzyszone, a z drugim k - stowarzyszone wynosi p i jk

49 Analiza częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków z dwoma klasa 1 a - poziomów czynnika, b - bloków, r - replikacji, k - poz. czynnika w bloku 2 pary poz. czynnika, które są i - stowarzyszone występują razem w λ i, i = 1, 2 blokach 3 Każdy poziom czynnika ma dokładnie n i - stowarzyszonych Liczba n i jest niezależna od wyboru czynnik 4 Jeżeli dwa poziomy czynnika są i - stowarzyszone, to liczba poziomów czynnika, które z jednym z tych poziomów są j stowarzyszone, a z drugim k - stowarzyszone wynosi p i jk Wygodznie jest pisać p i jk jako macierz 2x2, gdzie pi jk jest elementem jk-tym macierzy i

50 Przykład cd W przykładzie mamy: a = 6; b = 6, k = 3, r = 3, λ 1 = 2, λ 2 = 1, n 1 = 1, n 2 = 4 [ ] [ ] { } pjk { } = pjk =

51 Przykład cd Jak wyznaczono p i jk? Weźmy parę 1 i 2: dla 1 1-wszym stowarzyszeniem jest: 2 2-gim stowarzyszeniem jest: 3, 4, 5, 6 dla 2 1-wszym stowarzyszeniem jest: 1 2-gim stowarzyszeniem jest: 3, 4, 5, 6 Konstruujemy tabelkę: czynnik 2 (2) czynnika 1 (1) 1-wcze stow 2-gie stow 1-wsze stow gie stow. - 3, 4, 5, 6

52 Przykład cd Jak wyznaczono p i jk? Weźmy parę 4 i 5: dla 4 1-wszym stowarzyszeniem jest: 3 2-gim stowarzyszeniem jest: 5, 2, 1, 6 dla 2 1-wszym stowarzyszeniem jest: 6 2-gim stowarzyszeniem jest: 1, 2, 3, 4 Konstruujemy tabelkę: czynnik 2 (5) czynnika 1 (4) 1-wcze stow 2-gie stow 1-wsze stow gie stow. 6 1, 2

53 Model statystyczny dla układu częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków z dwaoma stowarzyszonymi klasami y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) iid

54 Model statystyczny dla układu częściowo zrównoważonych niekompletnych bloków z dwaoma stowarzyszonymi klasami y ij = µ + τ i + β j + ɛ ij, ɛ ij N(0, σ 2 ) iid Obliczamy dopasowaną sumę dla i - tego poziomu czynnika: Q i = y i. 1 k { b 1, i ty poz występuje w j tym blok n ij y.j, n ij = 0, poza tym j=1

55 Definiujemy: S 1 (Q i ) = s Q s, s i i są 1-stowarzyszone. = 1 [ ( k 2 (rk r + λ 1 )(rk r + λ 2 ) + (λ 1 λ 2 ) r(k 1)(p12 1 p12) 2 + λ c 1 = 1 [ ] λ 1 (rk r + λ 2 ) + (λ 1 λ 2 )(λ 2 p12 1 λ 1 p 2 k 12) c 2 = 1 k [ ] λ 2 (rk r + λ 1 ) + (λ 1 λ 2 )(λ 2 p12 1 λ 1 p12) 2

56 Estymatorem wpływu i-tego poziomu czynnika jest ˆτ i = 1 r(k 1) [(k c 2)Q i + (c 1 c 2 )S 1 (Q i )] dopasowana suma kwadratów czynnika jest równa: a SS czdop = ˆτ i Q i i=1

57 Przebieg analizy wariancji źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat czynnik dopasowany ai=1 ˆτ i Q i a 1 SS czdop a 1 M M bloki bj=1 y 2.j k y 2.. bk b 1 błąd dopełnienie ak b a + 1 SS E N a b+1 całkowita ai bj y 2 ij y 2.. bk bk 1

58 Można pokazać, że wariancja ˆτ u ˆτ v jest postaci: Var(ˆτ u ˆτ v ) = 2(k c i)σ 2, r(k 1) gdzie u i v są i- stowarzyszone (i = 1, 2)

59 Kwadrat Youdena (niekompletny kwadrat łaciński) Kwadrat Youdena to kwadrat łaciński z brakującą conajmniej jedną kolumną lub wierszem lub przekątną) ale niekoniecznie kwadrat łaciński z brakującą kolumną to kwadrat Youdena. W ogólności usuwanie kolumn z kwadratu łacińskiego może zakłócić jego równowagę. Kwadrat Youdena jest układem symetrycznych zrównoważonych niekompletnych bloków z wierszami odpowiadającymi blokom.

60 Kwadrat Youdena (niekompletny kwadrat łaciński) Kwadrat Youdena to kwadrat łaciński z brakującą conajmniej jedną kolumną lub wierszem lub przekątną) ale niekoniecznie kwadrat łaciński z brakującą kolumną to kwadrat Youdena. W ogólności usuwanie kolumn z kwadratu łacińskiego może zakłócić jego równowagę. Kwadrat Youdena jest układem symetrycznych zrównoważonych niekompletnych bloków z wierszami odpowiadającymi blokom. Przykładowy kwadrat: kolumny wiersze A B C D 2 B C D E 3 C D E A 4 D E A B 5 E A B C

61 Model matematyczny y ijh = µ + α i + τ j + β h + ɛ ijh, ɛ ijh N(0, σ 2 ) iid µ - średnia α i - efekt i - tego bloku τ j - efekt j - tego poziomu czynnika β h - efekt h - tego położenia.

62 Model matematyczny y ijh = µ + α i + τ j + β h + ɛ ijh, ɛ ijh N(0, σ 2 ) iid µ - średnia α i - efekt i - tego bloku τ j - efekt j - tego poziomu czynnika β h - efekt h - tego położenia. Analiza wygląda jak w przypadku układu zrównoważonych niekompletnych bloków z tą różnicą, że należy jeszcze obliczyć sumę kwadratów dla położeń.

63 Przykład 7.4 Inżynier przemysłowy bada pięć poziomów oświetlenia ze względu na występowanie wad montażu. Ponieważ czas jest czynnikiem w tym eksperymencie decyduje się na przeprowadzenie doświadczenia w pięciu blokach reprezentujących dni tygodnia. Ponadto dział, w którym przeprowadza się eksperyment posiada cztery stacje badawcze i stacje te stanowią potencjalne źródło zmienności. Inżynier decyduje sie przeprowadzić eksperyment zgodnie z układem kwadratu Youdena z 5-cioma wierszami (dni/bloki) 4-roma kolumnami (stanowisko pracy) i 5 poziomami czynnika (poziom oświetlenia). Dane przedstawiają się następująco: dzień stanowisko badawcze (blok) y i.. 1 A = 3 B = 1 C = 2 D = B = 0 C = 0 D = 1 E = C = 1 D = 0 E = 5 A = D = 1 E = 6 A = 4 B = E = 5 A = 2 B = 1 C = 1 7 y..h y... = 31 y.1. = 12 y.2. = 2 y.3. = 4 y.4. = 2 y.5. = 23 (A) (B) (C) (D) (E)

64 Przykład cd Rozważamy to jako problem układu zrównoważonych niekompletnych bloków. a = b = 5, r = k = 4, λ = 3. SS T = i yijh 2 y... 2 N j h = =

65 Przykład cd Rozważamy to jako problem układu zrównoważonych niekompletnych bloków. a = b = 5, r = k = 4, λ = 3. SS T = i yijh 2 y... 2 N j h = = Sumy dopasowane dla czynników: Q 1 = ( ) = 23 4 Q 2 = ( ) = 16 4 Q 3 = ( ) = 38 4 Q 4 = ( ) = 32 4 Q 5 = ( ) = 63 4

66 Przykłąd cd SS cz dop = k a i=1 Q 2 i λa = ( ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( SS dni = b i=1 SS stanowisko = y 2 i.. k y... 2 N = 6.70 k h=1 y 2..h b y... 2 N = 1.35 SS E = SS T SS cz dop SS dni SS stanowisko = 6.53

67 Przykład cd bloki/efekty dla dni mogą być obliczane jak dopasowane sumy: Q 1 = ( ) = 0 Q 2 = ( ) = 5 4 Q 3 = ( ) = 1 4 Q 4 = ( ) = 1 4 Q 5 = ( ) = 5 4

68 Przykład cd bloki/efekty dla dni mogą być obliczane jak dopasowane sumy: SS dni(dop) = r b j=1 Q j 2 λb Q 1 = ( ) = 0 Q 2 = ( ) = 5 4 Q 3 = ( ) = 1 4 Q 4 = ( ) = 1 4 Q 5 = ( ) = 5 4 = ( ( ) 2 ( 2 ( ) 2 ( ) ) ) =

69 Przykład cd źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F poziom ośw. (dop) dni (niedop) dni (dop) (0.87) (4) 0.22 stanowisko pracy błąd całkowita

70 Przykład cd źródło suma stopnie średni zmienności kwadratów swobody kwadrat F poziom ośw. (dop) dni (niedop) dni (dop) (0.87) (4) 0.22 stanowisko pracy błąd całkowita F 0 = > 3.83 = F 0.95 (4, 8), zatem odrzucamy hipotezę zerową, jest istotny wpływ oświetlenia.

71 Polecane literatura: S. Czaja, T. Poskrobko et.al Wyzwania współczesnej ekonomii, 2012, Warszawa D.C. Montgomery Design and Analysis of Experiments, 1991 P.I. Good, Resampling Methods. A Practical Guide to Data Analysis, 2005 E.L. Lehmann,Teoria estymacji punktowej, PWN Warszawa 1991