Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych

Projektowanie uk ladów sterowania z wykorzystaniem ich postaci kanonicznych Niech bȩdzie dany uk lad sterowania taki, że nie wszystkie jego zmienne stanu s a bezpośrednio dostȩpne (mierzalne. Uk lad pozwalaj acy odtworzyć na podstawie znajomości sterowania i wyjścia niedostȩpne zmienne stanu nazywa siȩ obserwatorem stanu. Obserwatory stanu znajduj a zastosowanie m.in. do poprawy w lasności stabilnościowych uk ladów sterowania za pomoc a odpowiednio dobranego sprzȩżenia zwrotnego. u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t + K o u(t Obiekt sterowania x(t y(t Obserwator stanu z(t v(t K s Do projektowania uk ladów sterowania zastosowanie znajduj a dwie charakterystyczne postaci równań stanu: postać kanoniczna sterowalna i postać kanoniczna obserwowalna. Niech uk lad sterowania bȩdzie opisywany nastȩpuj acymi liniowymi stacjo- 1

narnymi równaniami stanu i wyjścia x(t = Ā x(t + bu(t, y(t = c x(t, gdzie Ā jest n-wymiarow a macierz a kwadratow a, b jest n-wymiarowym wektorem kolumnowym, a c jest n-wymiarowym wektorem wierszowym. Uk lad ma postać kanoniczn a sterowaln a jeśli macierze stanu Ā i sterowania b przyjmuj a nastȩpuj ace postaci 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Ā =, 0 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 0 0 b =. 0 1 W powyższym zapisie macierz stanu jest macierz a typu Frobeniusa. Sprowadzanie uk ladu sterowania do postaci Frobeniusa Jednowymiarowy wejściowo-wyjściowy uk lad sterowania nie maj acy postaci Frobeniusa można sprowadzić do tej postaci stosuj ac liniowe przekszta lcenie stanu x(t = T x(t, T. = (B AB A n 1 B(B f A f B f A n 1 f B f 1, gdzie A, B s a macierzami stanu i sterowania w uk ladzie pierwotnym, zaś A f, B f s a macierzami stanu i sterowania o postaci Frobeniusa. Po dokonaniu tej transformacji przechodzimy do uk ladu sterowania x(t = T 1 AT x(t + T 1 BU(t maj acym postać Frobeniusa i stosujemy znany algorytm przesuwania biegunów i zer uk ladu o tej postaci. Proste obliczenia pokazuj a, że rank( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b = n. 2

Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a sterowaln a, jest sterowalny. 3

Uk lad ma postać kanoniczn a obserwowaln a jeśli macierze stanu Ā i wyjścia c przyjmuj a nastȩpuj ace postaci 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 Ā = 0 1 0 0 a 2, 0 0 0 0 a n 2 0 0 0 1 a n 1 ( c = 0 0 0 0 1. W powyższym zapisie macierz stanu jest również macierz a typu Frobeniusa. Proste obliczenia pokazuj a, że rank c cā cā2 CĀn 1 = n Oznacza to, że uk lad, którego równanie stanu ma postać kanoniczn a obserwowaln a, jest obserwowalny. Przekszta lcanie uk ladu sterowania do postaci kanonicznej sterowalnej Niech bȩdzie dany uk lad sterowania z równaniem stanu w ogólnej postaci liniowej ẋ(t = Ax(t + bu(t. Uzyskiwanie postaci kanonicznej sterowalnej polega na zastosowaniu przekszta lcenia liniowego wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie nieosobliwa macierz M wi aże wektor stanu x(t uk ladu danego z wektorem stanu x(t uk ladu w postaci kanonicznej sterowalnej. Stosuj ac przekszta lcenie M do uk ladu danego otrzymujemy x(t = Mẋ(t = MAx(t + Mbu(t = MAM 1 x(t + Mbu(t, 4

co oznacza, że dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = Ā x(t + bu(t, gdzie Ā = MAM 1, b = Mb. Macierze Ā i A s a podobne, a zatem ich wielomiany charakterystyczne s a identyczne. Zbadamy powi azanie sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego. W tym celu stosuj ac przekszta lcenie M określimy zależność miȩdzy macierzami sterowalności uk ladu przekszta lconego i uk ladu danego Q = ( b Ā b Ā2 b Ā n 1 b Ponieważ a zatem = (Mb MAM 1 Mb (MAM 1 2 Mb (MAM 1 n 1 Mb (MAM 1 k = MAM } 1 MAM{{ 1 MAM 1 } = MA k M 1, k razy Q = (Mb MAM 1 Mb MA 2 MM 1 b MA n 1 M 1 Mb = M(b Ab A 2 b A n 1 b = MQ, gdzie Q jest macierz a sterowalności uk ladu danego. Rzȩdy macierzy Q i Q s a równe ze wzglȩdu na nieosobliwość przekszta lcenia M. Zastosowanie tego przekszta lcenia nie wp lywa na sterowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu sterowalnego. Za lożymy wiȩc, że uk lad dany jest sterowalny. Zapiszemy wielomian charakterystyczny uk ladu danego w postaci det(si A = s n + a n 1 s n 1 + + a 2 s 2 + a 1 s + a 0. Dla określenia prostego algorytmu sprowadzania uk ladu do postaci kanonicznej sterowalnej celowo jest pos lużyć siȩ odwrotności a W macierzy M tj. W = M 1. Dla macierzy W uzyskujemy zależność W Ā = AW. 5

Wydzielimy kolumny macierzy W w nastȩpuj acy sposób W = (w n 1 w 2 w 1 w 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości 0 1 0 0 0 ( 0 0 1 0 0 W Ā = w n 1 w 2 w 1 w 0 0 0 0 0 1 a 0 a 1 a 2 a n 2 a n 1 = ( a 0 w 0 w n 1 a 1 w 0 w 1 a n 1 w 0 oraz AW = A (w n 1 w n 2 w 1 w 0 == (Aw n 1 Aw n 2 Aw 1 Aw 0 Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla W Ā i AW uzyskujemy uk lad równań a 0 w 0 = Aw n 1 w n 1 a 1 w 0 = Aw n 2 w 2 a n 2 w 0 = Aw 1 w 1 a n 1 w 0 = Aw 0 Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie kolumn w i : dla zadanej wartości pocz atkowej w 0 obliczamy kolejno w 1 = a n 1 w 0 + Aw 0 w 2 = a n 2 w 0 + Aw 1 w n 2 = a 2 w 0 + Aw n 3 6

w n 1 = a 1 w 0 + Aw n 2 Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 w 0 = Aw n 1, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać Aw n 1 + a 0 w 0 = A(a 1 w 0 + Aw n 2 + a 0 w 0 = = A(a 1 w 0 + A(a 2 w 0 + Aw n 3 + a 0 w 0 = (a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 w 0 + A 3 w n 3 = = = = (a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 + + a n 1 A n 1 + A n w 0 = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz W powinna także zapewniać za lożon a postać macierzy sterowania, co oznacza, że W b = b czyli 0 0 (w n 1 w 1 w 0 = = b 0 1 Wynika st ad, że w 0 = b i obliczanie wierszy macierzy W możemy przeprowadzić rekurencyjnie w 0 = b w 1 = a n 1 b + Aw 0 w 2 = a n 2 b + Aw 1 w n 1 = a 1 b + Aw n 2 Daje to w wyniku w 0 = b 7

gdzie w 1 = Ab + a n 1 b w 2 = A 2 b + a n 1 Ab + a n 2 b w n 1 = A n 1 b + + a 3 A 2 b + a 2 Ab + a 1 b Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A = 0 0 0 1, b = 1 0. 1 0 0 0 Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest sterowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz sterowalności a wiȩc ranks=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest sterowalny. S = ( b Ab A 2 b A 3 b W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Badamy rz ad macierzy S 0 1 0 1 1 0 1 0 S = 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 dets = det 0 1 0 1 = 4 1 0 1 0 Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać 1 8

s 1 0 0 1 s 1 0 det(si A = det 0 1 s 1 + s 2 1 0 0 s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a sterowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać w 0 = b w 1 = a 3 b + Aw 0 w 2 = a 2 b + Aw 1 w 3 = a 1 b + Aw 2 W wyniku obliczeń otrzymujemy 0 0 1 0 0 0 0 1 W = 2 0 1 0 0 2 0 1 oraz 1 0 1 0 0 1 0 1 M = 0.5 2 0 0 0 0 2 0 0 Natomiast postać kanoniczna sterowalna uk ladu bȩdzie nastȩpuj aca 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ẋ(t = 0 0 0 1 + = 0 0 u(t 0 0 1 0 1 9

Postać kanoniczna obserwowalna liniowego uk ladu sterowania Aby określić prosty i realizowalny algorytm projektowania obserwatora stanu o poż adanych w lasnościach wprowadzimy uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu i zastosujemy przekszta lcenie opisu uk ladu do tzw. postaci kanonicznej obserwowalnej. Wspomniane uzależnienie procesu odtwarzania wektora stanu od rezultatów tego procesu uzyskuje si drog a wyznaczenia różnicy wyjść uk ladu y(t i obserwatora v(t. Dla uk ladu sterowania ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = Cx(t dzia lanie proponowanego obserwatora można opisać równaniem ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = Cz(t. Odejmuj ac stronami powyższe równania uzyskuje siȩ ż(t ẋ(t = A(z(t x(t + KC(z(t x(t. Zatem b l ad ė(t =. z(t x(t odtworzenia wektora stanu spe lnia równanie ė(t = (A + KCe(t. Warunkiem zanikania tego b lȩdu jest wymaganie, aby wartości w lasne macierzy A+KC by ly po lożone w lewej pó lp laszczyniezmiennej zespolonej. Aby obserwator móg l realizować swoje zadanie, należy dla zadanych macierzy A i C dobrać macierz K sprzȩżenia uk ladu i jego obserwatora tak, aby wspomniany warunek by l spe lniony. Wykażemy, że jest to możliwe dla obserwowalnych uk ladów sterowania. Co wicej wykażemy, że moṅa tak dobrać macierz sprzeȩżenia K uk ladu i obserwatora, aby wartości w lasne macierzy A+KC mia ly z góry zadane po lożenia. Tak wiȩc proces zanikania b lȩdu bȩdzie mia l zadane w lasności dynamiczne - w szczególności bȩdzie mia l określony czas zanikania b lȩdu i określone parametry oscylacji odpowiedzi. 10

Za lożymy, że uk lad sterowania ma postać kanoniczn a obserwowaln a ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t, gdzie 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 A = 0 1 0 0 a 2, c = 0 0 0 0 a n 2 ( 0 0 0 1. 0 0 0 1 a n 1 Macierz A w powyższej postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu nazywa siȩ również macierz a Frobeniusa. Postać kanoniczna obserwowalna jest użyteczna przy rozwi azywaniu zadania doboru macierzy K sprzȩżenia obserwatora i uk ladu. Zdefiniujemy macierz K jako macierz kolumnow a Otrzymujemy wtedy K = 0 0 0 1 a n 1 k 0 k 1 k n 2 k n 1. Ã = A + Kc = 0 0 0 0 a 0 k 0 1 0 0 0 a 1 k 0 1 0 0 a 2 1 ( + 0 0 0 1 k n 2 0 0 0 0 a n 2 k n 1 0 0 0 0 a 0 + k 0 0 0 0 0 ã 0 1 0 0 0 a 1 + k 1 1 0 0 0 ã 1 = 0 1 0 0 a 2 + k 2 = 0 1 0 0 ã 2, 0 0 0 0 a n 2 + k n 2 0 0 0 0 ã n 2 0 0 0 1 a n 1 + k n 1 0 0 0 1 ã n 1 11

. gdzie ã i = ai k i. Tak wiȩc po przekszta lceniach uzyskaliśmy macierz stanu znowu w postaci Frobeniusa. Jak wiadomo wielomiany charakterystyczne dla macierzy Frobeniusa A i à zapisuj a siȩ w postaci det(si A = s n + a n 1 s n 1 + + a 2 s 2 + a 1 s + a 0, det(si à = sn + ã n 1 s n 1 + + ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0. Wspó lczynniki ã i wynikaj a z zadanych wartości w lasnych obserwatora. Tak wiȩc elementy macierzy sprzȩżenia uk ladu i obserwatora można latwo wyznaczyć z zależności k i = a i ã i, i = 0, 1, 2,, n 1. Latwość wyznaczenia obserwatora uk ladu w jego postaci kanonicznej obserwowalnej przes adza o dużej użyteczności praktycznej tej postaci. Pojawia siȩ jednak problem sprowadzania ogólnego liniowego uk ladu sterowania do postaci kanonicznej obserwowalnej. Rozpatrzymy problem wyznaczania postaci kanonicznej obserwowalnej uk ladu. Niech uk lad bȩdzie opisywany liniowym równaniem stanu ẋ(t = Ax(t + Bu(t i równaniem wyjścia y(t = cx(t. postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu otrzymamy stosuj ac przekszta lcenie liniowe wektora stanu x(t = Mx(t, gdzie M jest macierz a nieosobliw a. Podstawienie tego przekszta lcenia do równania stanu pozwala zapisać ci ag równości x(t = Mẋ(t = MAx(t + MBu(t = MAM 1 x(t + MBu(t. Tak wiȩc dla uk ladu przekszta lconego uzyskujemy równanie stanu x(t = à x(t + Bu(t, przy czym à =. MAM 1 i B = MB. Natomiast równanie wyjścia uk ladu przekszta lconego przybierze postać y(t = c x(t, 12

gdzie c =. cm 1. Zbadamy, czy zastosowanie liniowego przekszta lcenia wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. W tym celu porównamy odpowiednie macierze obserwowalności Q = c ca ca n 2 ca n 1 oraz c cã Q =. W wyniku obliczeń otrzymujemy cãn 1 tj. Q = c cã cãn 1 = cm 1 = (cm 1 (MAM 1 (cm 1 (MAM 1 (MAM 1 (MAM 1 }{{} n 1 razy cm 1 cam 1 ca n 1 M 1 = c ca ca n 1 Q = QM 1. M 1 = QM 1 Ponieważ M jest macierz a nieosobliw a, wiȩc rzȩdy macierzy Q i macierzy Q s a równe. Zatem rzeczywiście zastosowanie przekszta lcenia liniowego wektora stanu nie wp lywa na obserwowalność uk ladu. Wynika st ad także wniosek, że postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu można uzyskać tylko dla uk ladu obserwowalnego. 13

Rozwi ażemy zadanie dobrania macierzy przekszta lcenia M tak, aby uzyskać po przekszta lceniu oraz 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 Ã = 0 1 0 0 a 2 0 0 0 0 a n 2 0 0 0 1 a n 1 c = Dla macierzy M mamy zależność ( 0 0 0 1. ÃM = MA. Wydzielimy wiersze macierzy M w nastȩpuj acy sposób M = m n 1 m 2 m 1 m 0 Na podstawie tego zapisu uzyskujemy równości 0 0 0 0 a 0 1 0 0 0 a 1 ÃM = 0 1 0 0 a 2 0 0 0 0 a n 2 0 0 0 1 a n 1 oraz m n 1 m 2 m 1 m 0 m n 1 m n 1 A m n 2 m n 2 A MA = m 2 A = m 1 m 1 A m 0 A m 0 14 a 0 m 0 m n 1 a 1 m 0 = m n 2 a 2 m 0 m 1 a n 1 m 0

Przyrównuj ac do siebie wyrażenia uzyskane dla ÃM i MA uzyskujemy uk lad równań a 0 m 0 = m n 1 A m n 1 a 1 m 0 = m n 2 A m n 2 a 2 m 0 = m n 3 A m 1 a n 1 m 0 = m 0 A Uzyskana zależność pozwala na rekurencyjne obliczanie wierszy m i : dla zadanej wartości pocz atkowej m 0 obliczamy kolejno m 1 = a n 1 m 0 + m 0 A m 2 = a n 2 m 0 + m 1 A m n 2 = a 2 m 0 + m n 3 A m n 1 = a 1 m 0 + m n 2 A Pozosta la, nie wykorzystana zależność a 0 m 0 = m n 1 A, jest spe lniona, bo po prostych przekszta lceniach przyjmuje ona postać a 0 m 0 + m n 1 A = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + m n 2 AA = = a 0 m 0 + (a 1 m 0 + (a 2 m 0 + m n 3 AAA = m 0 (a 0 + a 1 A + a 2 A 2 + m n 3 A 3 = = = m 0 (a 0 I + a 1 A + a 2 A 2 + + a n 1 A n 1 + A n = 0, a wyrażenie w nawiasie wyzerowuje siȩ na podstawie twierdzenia Cayleya- Hamiltona: każda macierz spe lnia swoje równanie charakterystyczne. Poszukiwana macierz M powinna także zapewniać za lożon a postać równania wyjścia, co oznacza, że cm = c czyli 15

( 0 0 0 1 = m n 1 m n 2 m 1 m 0 = c Wynika st ad, że m 0 = c i obliczanie wierszy macierzy M możemy przeprowadzić rekurencyjnie m 0 = c m 1 = a n 1 c + m 0 A m 2 = a n 2 c + m 1 A m n 1 = a 1 c + m n 2 A Daje to w wyniku gdzie m 0 = c m 1 = ca + a n 1 c m 2 = ca 2 + a n 1 ca + a n 2 c m n 1 = ca n 1 + + a 3 ca 2 + a 2 ca + a 1 c Przyk lad. Niech liniowy uk lad sterowania bȩdzie opisywany równaniami ẋ(t = Ax(t + bu(t, y(t = cx(t, 0 1 0 0 0 1 0 0 0 A = 0 0 0 1, b = 1 ( 0, c = 0 0 1 0 1 0 0 0 Zbadamy czy dany uk lad sterowania jest obserwowalny. Do tego celu wykorzystamy macierz 1 16

C CA Q = CA 2 CA 3 W wyniku kolejnych obliczeń otrzymujemy Zatem 0 1 0 0 ( 1 0 0 0 ( CA = 0 0 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 ( CA 2 0 1 0 0 ( = 0 0 1 0 1 0 0 0 = 1 0 0 0 CA 3 = ( 0 0 1 0 Badamy rz ad macierzy Q 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ( 0 1 0 0 = 1 0 0 0 C 0 0 1 0 CA Q = CA 2 = 0 0 0 1 1 0 0 0 CA 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 detq = det 1 0 0 0 = 1 0 1 0 0 0 1 0 0 a wiȩc rankq=4, co oznacza, że rozpatrywany uk lad sterowania jest obserwowalny. Tak wiȩc mimo tego, że dostȩpna do pomiaru jest tylko jedna spośród czterech wspó lrzȩdnych stanu, istnieje możliwość otworzenia ca lego wektora stanu. 17

Wielomian charakterystyczny macierzy A ma postać s 1 0 0 1 s 0 1 det(si A = det 0 0 s 1 s 2 1 0 0 s Zapiszemy ten wielomian w postaci det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Wyznaczymy macierz przekszta lcenia liniowego pozwalaj acego uzyskać postać kanoniczn a obserwowaln a uk ladu. Algorytm wyznaczania wierszy macierzy M przybiera dla rozpatrywanego przyk ladu nastȩpuj a postać W wyniku obliczeń otrzymujemy m 0 = c m 1 = a 3 c + m 0 A m 2 = a 2 c + m 1 A m 3 = a 1 c + m 2 A m 0 = c = ( 0 0 1 0 0 1 0 0 ( 1 0 0 0 ( m 1 = a 3 c + m 0 A = 0 0 1 0 0 0 0 1 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 ( ( 1 0 0 0 ( m 2 = a 2 c+m 1 A = 0 0 1 0 + 0 0 0 1 0 0 0 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 18

0 1 0 0 ( 1 0 0 0 ( m 3 = a 1 c + m 2 A = 1 0 1 0 0 0 0 1 = 0 1 0 1 1 0 0 0 Macierz przekszta lcenia M jest wiȩc nastȩpuj aca 0 1 0 1 1 0 1 0 M = 0 0 0 1 0 0 1 0 Uk lad przekszta lcony ma postać kanoniczn a obserwowaln a 0 0 0 0 2 1 0 0 0 x(t = 0 1 0 1 x(t + 0 ( 1 u(t, y(t = 0 0 0 1 x(t 0 0 1 0 0 Wyznaczymy poszukiwany obserwator stanu na podstawie porównania wielomianów charakterystycznych uk ladu wyjściowego i obserwatora. Dla uk ladu wyjściowego mamy det(si A = s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0, gdzie a 3 = 0, a 2 = 1, a 1 = 0, a 0 = 0. Dla obserwatora zadajemy wielomian charakterystyczny w postaci det(si à = (s + 54 = s 4 + ã 3 s 3 + ã 2 s 2 + ã 1 s + ã 0, gdzie ã 3 = 20, ã 2 = 150, ã 1 = 500, ã 0 = 625. Wymagania postawione w stosunku do obserwatora oznaczaj a, że proces zanikania b lȩdu odtwarzania powinien być nieoscylacyjny z szybkości a zanikania co najmniej Ct 3 e 5t. Obliczamy pomocnicze wspó lczynniki k i = a i ã i, i = 0, 1, 2, 3 19

i uzyskujemy macierz sprzȩżenia obserwatora uk ladu przekszta lconego do postaci kanonicznej obserwowalnej k 0 625 k 1 K = k 2 = 500 151 k 3 20 Stosuj ac macierz przekszta lcenia M przejdziemy od macierzy stanu obserwatora uk ladu przekszta lconego do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego à + K c = MAM 1 + MKcM 1 = M(A + KcM 1, co oznacza, że powrót do macierzy stanu obserwatora uk ladu wyjściowego zapewnia zwi azek miȩdzy macierzami sprzȩżenia zwrotnego tych uk ladów postaci K = M 1 K. Z zależności tej wyznaczamy macierz sprzȩżenia zwrotnego obserwatora stanu uk ladu wyjściowego 0 1 0 1 625 520 K = M 1 1 0 1 0 K = 0 0 0 1 = 500 151 = 776 20 0 0 1 0 20 151 Tak wiȩc dla uk ladu sterowania opisywanego równaniami ẋ(t = Ax(t + Bu(t, y(t = cx(t określiliśmy obserwator stanu opisywany równaniami ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t, v(t = cz(t, gdzie macierz sprzȩżenia zwrotnego miȩdzy uk ladem wyjściowym i obserwatorem zosta la wyznaczona z wykorzystaniem transformacji uk ladu wyjściowego do postaci kanonicznej obserwowalnej z macierz a stanu typu macierzy Frobeniusa. 20

Inaczej mówi ac z wyjściowym uk ladem sterowania 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ẋ(t = 0 0 0 1 x(t + 1 0 u(t, 1 0 0 0 y(t = ( 0 0 1 0 x(t wi ażemy obserwator stanu opisywany równaniami 0 1 0 0 0 520 1 0 0 0 ż(t = 0 0 0 1 z(t + 1 0 u(t + 776 (v(t z(t, 20 1 0 0 0 v(t = 1 ( 0 0 1 0 z(t, 1 151 który zapewnia odtwarzanie wektora stanu x(t uk ladu wyjściowego przez wektor stanu obserwatora z(t z szybkości a zanikania b lȩdu e(t = z(t x(t Ct 3 e 5t. 21

Zastosowanie obserwatora stanu do stabilizacji uk ladu przez sprzȩżenie zwrotne od odtworzonego wektora stanu Stabilizacjȩ uk ladów sterowania można w wielu przypadkach osi agn ać poprzez zastosowanie sprzȩżenia zwrotnego od wektora stanu. Jeśli jednak nie wszystkie zmienne stanu s a dostȩpne, to taka stabilizacja może nie być skuteczna. W tym przypadku nasuwa siȩ pomys l wykorzystania obserwatora stanu. Ponieważ odtworzony wektor stanu obarczony jest b lȩdem, wiȩc należy sprawdzić skuteczność tej ostatniej stabilizacji. W uk ladzie stabilizacji z obserwatorem stanu dla sterowania uk ladu wyjściowego zapisujemy zależność u(t = Kz(t, przy czym K jest macierz a sprzȩżenia zwrotnego od odtworzonego wektora stanu w odróżnieniu od macierzy K sprzȩżenia obserwatora. Tak wiȩc równanie stanu uk ladu wyjściowego przybierze postać ẋ(t = Ax(t + BKz(t. Natomiast równanie stanu obserwatora zapiszemy w postaci ż(t = Az(t + Bu(t + K(v(t y(t = Az(t + Bu(t + KC(z(t x(t. Wykorzystuj ac b l ad odtwarzania e(t = z(t x(t przedstawimy powyższe równania jako równania stanu dla wektora (x T (t, e T (t T ẋ(t = Ax(t + BKz(t = Ax(t + BK(e(t + x(t = (A + BKx(t + BKe(t, ė(t = ż(t ẋ(t = Az(t+Bu(t+KC(z(t x(t (Ax(t+Bu(t = (A+KCe(t. L aczny zapis tych równań daje w wyniku ( ( ( ẋ(t A + BK BK x(t = u(t ė(t 0 A + KC e(t Oznacza to, że równanie charakterystyczne uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest nastȩpuj ace det(si (A + BKdet(sI (A + KC = 0. 22

Zgodnie z otrzyman a zależności a zbiór pierwiastków wielomianu charakterystycznego uk ladu stabilizacji z obserwatorem sk lada siȩ z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + BK oraz z pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A + KC. Dla uk ladu sterowalnego i obserwowalnego możemy za pomoc a doboru macierzy K i K uzyskać zadane po lożenie pierwiastków rozpatrywanych wielomianów w lewej pó lp laszczyźnie zmiennej zespolonej. Wtedy jedynym punktem równowagi uk ladu stabilizacji z obserwatorem jest punkt zerowy i jest on asymptotycznie stabilny. Tak wiȩc uk lad realizuje zadanie stabilizacji zerowego punktu równowagi uk ladu wyjściowego i równocześnie zapewnia zanikanie b lȩdu odtwarzania jego wektora stanu. 23

Obserwator uk ladu sterowania przy zak lóceniach o znanych statystykach Rozważmy liniowy niestacjonarny uk lad sterowania poddany zak lóceniom w postaci bia lego szumu, opisany równaniami Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t, ( Y (t = C(tX(t + W 2 (t, przy czym X(t jest n-wymiarowym wektorem stanu, U(t jest m-wymiarowym wektorem sterowania, Y (t jest p-wymiarowym wektorem wyjść, a W 1 (t i W 2 (t s a wektorowymi bia lymi szumami o wymiarach odpowiednio n i p. Niech ( W 1 (t W (t =. W 2 (t Za lożymy, że szumy W 1 (t i W 2 (t s a nieskorelowane, a ich macierz intensywności jest postaci V (t = ( V 1 (t O O V 2 (t gdzie V 1 (t, V 2 (t s a odpowiednio intensywnościami W 1 (t i W 2 (t. Za lożymy, że V 2 (t jest macierz a dodatnio określon a tj. V 2 (t > 0, t 0. Niech m X0 oznacza wartość oczekiwan a wektora stanu X(t w chwili pocz atkowej t 0 : m X0 = E[X(t 0 ], i niech W X0 oznacza macierz wariancji tego wektora: W X0 = E{[X(t 0 m X0 ][X(t 0 m X0 ] T }. Do danego uk ladu do l aczamy obserwator opisany niestacjonarnym równaniem stanu Ż(t = A 0 (tz(t + B 0 (tu(t + B 1 (ty (t, 24

przy czym Z(t jest n-wymiarowym wektorem stanu obserwatora, a A 0 (t, B 0 (t, B 1 (t s a macierzami o wymiarach odpowiednio n n, n m, n p. Macierze te dobierzemy na podstawie równości A 0 (t = A(t K(tC(t, B 0 (t = B(t, B 1 (t, przy czym K(t jest dowoln a macierz a niestacjonarn a. Uwzglȩdniaj ac te zależności przekszta lcamy równanie obserwatora do postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(y(t CX(t. ( Niech E(t = X(t Z(t bȩdzie b lȩdem (uchybem odtwarzania wektora stanu X(t przez rozpatrywany obserwator. Jakość odtwarzania wektora stanu przez obserwator oceniać bȩdziemy za pomoc a wskaźnika jakości o postaci J. = E[E T (tq(te(t], przy czym Q(t jest dodatnio określon a macierz a wag, zaś E jest operatorem wartości oczekiwanej. Zadanie doboru obserwatora formu lujemy w ten sposób, że należy określić stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 oraz macierz K(t tak, aby wskaźnik jakości J osi aga l minimum. Twierdzenie: Stan pocz atkowy obserwatora Z(t 0 i macierz K(t obserwatora zapewniaj ace minimum wskaźnika jakości J s a określone zależnościami Z(t 0 = m X0, K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t (t t 0, przy czym pomocnicza macierz W E (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci Ẇ E (t = A(tW E (t+w E (ta T (t W E (tc T (tv 1 2 (tc(tw E (t+v 1 (t (t t 0, z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. 25

Dowód: Przepiszemy równanie obserwatora w postaci Ż(t = A(tZ(t + B(tU(t + K(t(C(tX(t + W 2 (t C(tZ(t i odejmiemy je od równania danego uk ladu Ẋ(t = A(tX(t + B(tU(t + W 1 (t uzyskuj ac Ẋ(t Ż(t = (A(t K(tC(t(X(t Z(t + W 1(t K(tW 2 (t. Oznacza to, że b l ad odtwarzania wektora stanu spe lnia równanie różniczkowe Ė(t = (A(t K(tC(tE(t + (I K(tW (t z warunkiem pocz atkowym E(t 0 = X(t 0 Z(t 0. Wykażemy, że wskaźnik jakości odtwarzania wektora stanu można przekszta lcić do postaci J = E{E T (tq(te(t} = m T E(tQ(tm E (t + tr( W E (tq(t, przy czym m E (t jest wartości a oczekiwan a E(t, W E (t jest macierz a wariancji E(t, a tr oznacza ślad macierzy. Oznaczaj ac E(t = E 0 (t + m E (t, E 0 (t = E(t m E (t, możemy przekszta lcić wyrażenie dla wskaźnika jakości jak nastȩpuje J = E{(E 0 (t + m E (t T Q(t(E 0 (t + m E (t} = E{E0 T (tq(te 0 (t} + m T E(tQ(tE{E 0 (t}+ E{E0 T (t}q(tm E (t + E{m T E(tQ(tm E (t} = E{E0 T Q(tE 0 (t} + m T E(tQ(tm E (t, gdyż E{E 0 (t} = 0, E{m T E(tQ(tm E (t} = m T E(tQ(tm E (t. 26

Niech q ij (t oznacza element macierzy Q(t po lożony w i-tym wierszu i j- tej kolumnie, a E 0i (t - i-t a sk ladow a wektora E 0 (t. Stosuj ac te oznaczenia możemy napisać n E{E0 T (tq(te 0 (t} = E{q ij (te 0i (te 0j (t} i,j=1 n n q ij (te{e 0i (te 0j (t} = q ij (t W Eij (t = tr( W E (tq(t, i,j=1 i,j=1 przy czym W Eij (t = E{E 0i (te 0j (t} jest (i, j-tym elementem macierzy W E (t. Tak wiȩc wskaźnik jakości jest sum a dwóch sk ladowych J = J 1 + J 2, gdzie J 1 = m T E(tQ(tm E (t, J 2 = tr( W E (tq(t. Sk ladowa J 1 jako dodatnio określona forma kwadratowa osi aga minimum dla m E (t = 0. Wykażemy, że zachodzi to w przypadku, gdy Z(t 0 = m X0. Równanie różniczkowe dla uchybu odtwarzania stanu poddamy dzia laniu operatora wartości oczekiwanej uzyskuj ac ṁ E (t = (A(t K(tC(tm E (t, gdyż E{ṁ E (t} = ṁ E (t, E{W (t} = 0. Z definicji uchybu odtwarzania stanu E(t = X(t Z(t wynika, że m E (t 0 = m X0 m X0 = 0. Wielkość m E (t = 0 również dla t > 0, ponieważ jest ona rozwi azaniem liniowego autonomicznego równania różniczkowego z zerowym warunkiem pocz atkowym. Do minimalizacji sk ladnika J 2 zastosujemy znan a z teorii procesów stochastycznych w lasność macierzy wariancji procesu stochastycznego X(t bȩd acego rozwi azaniem równania różniczkowego Ẋ(t = A(tX(t + B(tW (t. Macierz wariancji W X (t procesu X(t spe lnia równanie różniczkowe o postaci Ẇ X (t = A(tW X (t + W X (t + W X (ta T (t + B(tV (tb T (t 27

z warunkiem pocz atkowym W X (t 0 = W X0. Z zastosowania tego twierdzenia do równania różniczkowego dla uchybu odtwarzania stanu wynika, że macierz wariancji W E (t uchybu E(t spe lnia równanie różniczkowe W E (t = (A(t K(tC(t W E (t + W E (t(a(t K(tC(t T + ( + I ( ( V 1 (t O I K(t O V 2 (t K T (t = = (A(t K(tC(t W E (t+ W E (t(a(t K(tC(t T +V 1 (t+k(tv 2 (tk T (t z warunkiem pocz atkowym W E (t 0 = W X0. Bior ac pod uwagȩ, że (A(t K(tC(t = (A T (t C T K T (t T, dokonuj ac zamiany t na t t i podstawiaj ac W E (t = P (t t (t = t 0 + t k. możemy równanie dla wariancji uchybu napisać w postaci P (t = (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t(a T (t t C T (t tk T (t t+ +V 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t t (t t k, a warunek pocz atkowy zast apić warunkiem końcowym P (t k = W X0. Wykażemy, że forma kwadratowa F (t = x T (t P (tx(t określona za pomoc a macierzy P (t bȩd acej rozwi azaniem ostatniego równania różniczkowego przybiera wartość minimaln a, gdy K T (t t = V 1 2 (t tc(t tp (t, 28

przy czym P (t jest rozwi azaniem równania Riccatiego o postaci P (t = P (ta T (t t + A(T tp (t + V 1 (t t P (tc T (t tv 1 2 (t tc(t tp (t (t T k, z warunkiem końcowym P (t k = W X0. Rozważmy obiekt opisany równaniem stanu ẋ(t = A T (t tx(t + C T (t tu(t objȩty ujemnym sprzȩżeniem zwrotnym u(t = K T (t tx(t oraz wskaźnik jakości o postaci I(t = tk t (x T (τv 1 (t tx(τ + u T (τv 2 (t tu(τdτ + x T (t k W X0 x(t k. Dla obiektu ze sprzȩżeniem zwrotnym równanie stanu przybierze postać ẋ(t = (A T (t t C T (t tk T (t tx(t, a wskaźnik jakości można zapisać jako I(t = tk t (x T (τ(v 1 (t t+k(t tv 2 (t tk T (t tx(τdτ+x T (t k W X0 x(t k. Wykażemy, że wskaźnik jakości I(t jest równy formie kwadratowej F (t bȩd acej rozwi azaniem równania różniczkowego dla P (t z zadanym warunkiem końcowym. Różniczkuj ac wskaźnik jakości I(t otrzymujemy I(t = x T (t(v 1 (t t + K(t tv 2 (t tk T (t tx(t. Z kolei różniczkuj ac formȩ kwadratow a F (t uzyskujemy F (t = ẋ T (t P (tx(t + x T P (tx(t + x T (t P (tẋ(t = = x T (t ( (A T (t t C T (t tk T (t t T P (t+ P (t + P (t(a T (t t C T (t tk T (t t x(t. 29

Przyrównuj ac do siebie powyższe pochodne, a co za tym idzie formy kwadratowe po prawej stronie równań uzyskujemy równanie różniczkowe dla P (t, a warunek końcowy dla tej wielkości wynika z wyrażenia dla I(t k. Z określenia pomocniczego obiektu sterowania i jego wskaźnika jakości wynika, że optymalne rozwi azanie problemu LKSO dla tego obiektu jest reprezentowane przez macierz K T (t t, a co za tym idzie przez macierz P (t bȩd ac a rozwi azaniem równania Riccatiego przy zadanym warunku końcowym. Równanie różniczkowe dla P (t po podstawieniu zależności dla K T (t t przybiera postać równania dla P (t. Wynika st ad, że P (t P (t (t [t 0, t k ]. Podobnie z porównania równań dla W (t i W E (t wynika, że W E (t W E (t (t [t 0, t k ], tr( W E (tq(t tr(w E (tq(t. Oznacza to, że macierz K(t określona w twierdzeniu zapewnia minimum wskaźnika jakości J. Z powyższych rozważań wynika nastȩpuj acy algorytm syntezy optymalnego obserwatora przy zak lóceniach o znanych statystykach: 1 Maj ac dane macierze A(t, C(t, V 1 (t, V 2 (t i W X0 określamy równanie Riccatiego dla W E (t z zerowym warunkiem pocz atkowym. 2 Stosuj ac jedn a z numerycznych metod rozwi azywania równań różniczkowych Riccatiego wyznaczamy macierz W E (t. 3 Określamy macierz K(t optymalnego obserwatora z zależności K(t = W E (tc T (tv 1 2 (t. Przyk lad: Niech bȩdzie dany liniowy obiekt sterowania opisany równaniami stanu i wyjścia ( ( ( 0 1 1 0 Ẋ(t = X(t + U(t + W 1 (t, 0 2 1 1 Y (t = ( 1 0 X(t + W 2 (t, gdzie W 1 (t i W 2 (t s a skalarnymi nieskorelowanymi bia lymi szumami o tej samej sta lej niezależnej od czasu intensywności V. Określamy równanie Riccatiego dla pomocniczej macierzy W E (t 30

( ( ( ( 0 1 0 0 0 0 0 Ẇ E (t = W E (t+w E (t + W E (t V (1 1 0 W E (t, 0 2 1 2 1 V 1 przy czym oraz W E (t = ( w 11 (t w 21 (t W E (0 = 0. w 12 (t w 22 (t W tym przypadku macierz K(t optymalnego obserwatora redukuje siȩ do macierzy kolumnowej ( w 11 (t K(t = V 1. w 21 (t 31