Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania 02

Transkrypt

1 Scriptiones Geometrica Volumen I (2007), No. Z2, 1 3. Geometria odwzorowań inżynierskich Zadania Odwzorowania w rzucie równoleg lym. Przekroje cd. Konstrukcje p laskie 1.1. Przekszat lcenia na p laszczyźnie Konstrukcje obiektów geometrycznych, zw laszcza w programach komputerowych (edytorach graficznych typu CAD), w znacznej mierze polegaj a na przekszta lcaniu wcześniej narysowanych figur. Na użytek prezentowanych zadań, i rozwi azań niektórych z nich, przypomnimy definicje najbardziej znanych przekszta lceń. Na p laszczyźnie, czyli w przestrzeni euklidesowej E 2 ustalmy dowolny wektor a. Przesuniȩciem o wektor a nazywamy przekszta lcenie postaci: T a : E 2 E 2, gdzie T a (X) = X XX = a. Ustalmy teraz punkt O oraz k at skierowany ϕ. Obrotem doko la punktu O o k at ϕ nazywamy przekszta lcenie postaci: R ϕ O : E2 E 2, gdzie R ϕ O (X) = X XOX = ϕ. Niech dany bȩdzie punkt O oraz liczba k 0. Jednok ladności a o środku O i skali k 0 nazywamy przekszta lcenie postaci: SO k : E2 E 2, gdzie SO k (X) = X OX = k OX. Przekszta lcenie to nazywać bȩdziemy także skalowaniem. Szerzej o tych i innych przekszta lceniach dowiemy siȩ z wyk ladu uzupe lniaj acego D02. Rys. Z02-01: Za lożenia do zadania 1 Zadanie 1 a) Poprowadzić prost a przechodz ac a przez dany punkt oraz przez, niedostȩpny na rysunku, punkt wspólny prostych a i b (rys. Z02-02i). b) Narysować styczn a do okrȩgu, Edwin Koźniewski c 2007 Politechnika Bia lostocka, Bia lystok

2 2 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 02 Rys. Z02-02: Za lożenia do zadania 1 Rys. Z02-03: Za lożenia do zadania 2 przechodz ac a przez dany punkt (rys. Z02-02ii). c) Prowadzić prost a przechodz ac a przez niedostȩpne na rysunku punkty wspólne par prostych {C} = a b; {E} = c d (rys. Z02-02iii). d) Odcinek [EF] podzielić na piȩć równych czȩści. e) Skonstruować wspólne styczne do okrȩgu (rys. Z02-02iv). f) Skonstruować (rys. Z02-01i): f1) trójk at jednok ladny (przeskalowany) do danego trójk ata w skali 2, f2) trójk at przesuniȩty, tak by obraz punktu A znalaz l siȩ w punkcie

3 E. Koźniewski: Geometria odwzorowań inżynierskich, zadania 02 3 A. g) W k at wpisać okr ag przechodz acy przez punkt X (rys. Z02-01ii). Rys. Z02-04: Rozwi azanie zadania 2 (rys. Z02-02i) oparte na w lasności: trzy wysokości w trójk acie przecinaj a siȩ w jednym punkcie: i1) proste prostopad le wyznaczaj a wysokości i wierzcho lki pewnego trójk ata o wierzcho lku niedostȩpnym na rysunku; i2) trzecia wysokość wyznacza szukan a prost a. Druga czȩść rozwi azania zadania (rys. Z02-02ii) oparta jest na w lasności: k at wpisany w okr ag oparty na średnicy... Zadanie 2 Skonstruować: a) piȩciok at foremny o boku d lugości d=4cm, b) krawȩdź sześcianu, gdy dana jest przek atna o d lugości d, c) krawȩdź czworościanu foremnego, gdy dana jest jego wysokość o d lugości h. Zadanie 3 a) Skonstruować rzut równoleg ly piȩciok ata foremnego maj ac dane obrazy trzech punktów (rys. Z02-03i). b) Skonstruować okr ag o promieniu równym promieniowi danego okrȩgu styczny do okrȩgu i prostej (rys. Z02-03ii). c) Skonstruować okr ag o promieniu równym promieniowi jednego z danych okrȩgów styczny do obu tych okrȩgów (rys. Z02-03iii). d) Uzupe lnić rzut równoleg ly bry l domku maj ac dane obrazy w rzucie równoleg lym czterech wierzcho lków (rys. Z02-03iv). Zadanie 4 a) Narysować w izometrii wojskowej model fragmentu stropu (rys. Z02-07i). b) Narysować widok (rzut poziomy) i rzut pionowy przekroju modelu stropu. Narysować odrȩcznie model stropu (rys. Z02-07i). Zadanie 5 Narysować w izometrii wojskowej model stopy fundamentowej (rys. Z02-08i). Narysować odrȩcznie model stopy (rys. Z02-08i).

4 4 Rys. Z02-05: W rozwi azaniu zadania 2 (rys. Z02-02iii) skorzystano z jednok ladności: iii1) wzglȩdem dowolnie wybranego punktu (O) przekszta lcono przez jednok ladność o stosownej skali (k = 1 2 ) dowolne punkty prostych a, b, c, d; iii2) obrazy a, b, c, d prostych a, b, c, d w jednok ladności S 1 2 O s a odpowiednio równoleg le do tych prostych; iii3) w uk ladzie obrazów ( ) znaleziono prost a C E ; iii4) przeciwobraz prostej C E w jednok ladności S 1 2 O (lub jak kto woli obraz tej prostej w jednok ladności SO 2 ) jest rozwi azaniem Rys. Z02-06: Rozwi azanie zadania 2c (również wykorzystano jednok ladność)

5 5 Rys. Z02-07: i) Narysować izometriȩ wojskow a stropu, ii) elementy stropu: 1 - p lyta, 2 - żebro, 3 - podci ag, 4 - s lup Rys. Z02-08: i) Narysować izometriȩ wojskow a stopy, ii) przekroje stopy fundamentowej w rzutach prostok atnych