Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej

Transkrypt

1 Przekształcanie równań stanu do postaci kanonicznej diagonalnej Przygotowanie: Dariusz Pazderski Liniowe przekształcenie równania stanu Rozważmy liniowe równanie stanu i równanie wyjścia układu niesingularnego stacjonarnego o m wejściach i p wyjściach: ẋx = Ax+ Bu, () y = Cx+ Du, () gdzie x R n, u R m oraz y R p określają odpowiednio wektory stanu, wejścia i wyjścia, A R n n określa macierz układu, B R n m jest macierzą wejścia, C R p n jest macierzą wyjścia, zaś D R p m określa macierz bezpośredniego sprzężenia między wyjściem i wejściem. Jak wiadomo szczegółowa postać równania stanu dla danego systemu dynamicznego nie jest jednoznaczna i zależy od wyboru zmiennych stanu. Stosując liniową transformację można zdefiniować nowy wektor stanu x = P x, () gdzie P R n n jest macierzą nieosobliwą, co w następstwie prowadzi do nowej postaci równań stanu i równania wyjścia: ẋx = } P {{ AP} A x + } P {{ B} u, (4) B y = CP }{{} C x + Du. (5) Należy podkreślić, że oba równania ()-() oraz (4)-(5) są równoważne w tym sensie, że opisują ten sam układ dynamiczny. W konsekwencji wielomiany charakteryczne macierzy (a zatem również wartości własne) A i A są jednakowe, tj. det (Is A) = det (Is A ), (6) gdzie I R n n jest macierzą jednostkową, zaś s C jest zmienną zespoloną. Diagonalizacja równania stanu Przyjmijmy, że macierz układu A w równaniu stanu () ma l różnych wartości własnych. Oznaczmy i-tą wartość własną jako λ i, a jej krotność jako h i. Wówczas jest możliwe znalezienie przekształcenia liniowego A = P AP (7)

2 takiego, że macierz A można przedstawić w postaci kanonicznej Jordana: L (λ ) A L (λ ) =.., (8) L l (λ l ) przy czym L i (λ i ) R h i h i oznacza klatkę Jordana dla h i -krotnej wartości własnej λ i : λ i λ i L i (λ i ) =..... (9) λ i W takim przypadku macierz przekształcenia P nazwijmy macierzą modalną i oznaczmy jako T. Można wykazać, że kolumny takiej macierzy są wektorami własnymi v i, j R n, gdzie j =,...,h i, skojarzonymi z odpowiednimi wartościami własnymi λ i o krotności h i. T = [ v, v,... v,h v,... v l,h l]. () Rozwiązanie zagadnienia sprowadzania równania stanu do postaci, w której macierz układu jest w postaci kanonicznej Jordana sprowadza się do: wyznaczenia wartości własnych λ i macierzy A i ich krotności h i na podstawie równania macierzy det (λi A) =, () obliczenia n liniowo niezależnych wektorów własnych v i, j dla wartości własnych λ i o krotności h i według zależności: (A λ i I) v i, = () oraz (A λ i I) v i, j = v i, j dla j =,...,h i, () określenia macierzy modalnej T według schematu () i obliczenia macierzy odwrotnej T, obliczenia macierzy B = T B oraz C = CT. Krótkiego komentarza wymaga wybór wektorów własnych v i, j. Dla wyznaczenia wektora v i, można oprócz związku () wykorzystać macierz dołączoną ad j(a λ i I), której dowolne kolumny są wektorami własnymi. Należy tutaj zwrócić uwagę, że wybór długości wektora v i, jest arbitralny (ale musi być to wektor niezerowy!) istotny jest tylko kierunek wyznaczany przez ten wektor w przestrzeni stanu. W przypadku gdy wartość własna λ i jest wielokrotna (tj. h i > ) do obliczania wektorów własnych należy użyć dodatkowo równania (). W tym przypadku postać wektora v i, j (dla j > ) jest zależna od wektora v i, j ważny jest więc nie tylko kierunek ale także jego długość.

3 Przykłady. Zadanie Przekształcić równanie stanu ] [ ] [ẋ,5 = ẋ y = [ ] [ ] x x [ x x ] [ ] + u (4) do postaci, w której macierz układu jest w postaci kanonicznej Jordana. Przedstawić graficznie wektory własne na płaszczyźnie dla systemu oryginalnego i przekształconego. Rozwiazanie: Obliczając równanie macierzy A uzyskujemy następujące równanie charakterystyczne (5) det (λi A) = λ + 4λ+4 = (λ+) =, (6) z którego wynika, że macierz A ma podwójną wartość własną λ = (tj. h = ). W celu wyznaczenia wektowa własnego wykorzystajmy macierz dołączoną [ ] [ ] λi +,5 λi +,5 ad j(λ i I A) = ad j =. (7) λ i + λ i + Dla λ = mamy [ ],5 ad j(λ I A) =. (8) Biorąc pod uwagę pierwszą kolumnę macierzy (8) możemy przyjąć następujący wektor własny [ ] v, =. (9) Ponieważ wartość własna λ jest dwukrotna, w celu wynaczenia kolejnego wektora własnego, który byłby liniowo niezależny względem v, należy skorzystać z zależności (). Na tej podstawie uzyskujemy: (A λ I) v, = v,, () co można zapisać w bardziej szczegółowej postaci, jako: [ ] [ ] [ ],5 v, v, v, = v,. () Ponieważ macierz A λ I jest osobliwa, to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań dla wektora v,, którego współrzędne muszą spełniać poniższą relację: v, + v, = v, =. () Zatem w celu wyznaczenia wektora v, wystarczy założyć (dowolnie!) wartość jednej z jego współrzędnych. Przyjmijmy np. że v, =. Stąd z równania () wynika, że v, =.

4 W poprzednim kroku znaleźliśmy dwa liniowo niezależne wektory: [ ] [ ] v, =, v, =, () z których tworzymy macierz modalną T = [ ]. (4) Jak łatwo sprawdzić macierz do niej odwrotna ma postać: [ ] T,5 =. (5),5 Macierze równania stanu uzyskane w wyniku przekształcenia są następujące: [ ] [ ] A =, B =, C = [ ]. (6) Zauważmy, że dla układu przekształconego również możemy zdefiniować wektory własne. W tym celu rozważmy przekształcenie tożsamościowe: A = I A I, (7) gdzie I jest macierzą jednostkową. Ponieważ A jest w postaci kanonicznej Jordana, to I może być utożsamiane z macierzą modalną nowego przekształcenia. Zatem [ ] T = I = = [ w, w,], (8) przy czym w, = [ ] T i w, = [ ] T są wektorami własnymi macierzy A. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że wektory własne macierzy Jordana rozpinają przestrzeń stanu (są wektorami bazowymi tej przestrzeni).. Zadanie Dany jest układ SISO o transmitancji G(s) = Y (s) U (s) = (s+). (9) Zapisać równanie stanu przyjmując zmienne fazowe a następnie przekształcić je do postaci kanonicznej, w której macierz układu jest w postaci kanonicznej Jordana. Rozwiazanie: 4

5 (a) Oryginalna przestrzeń stanu (b) Transformowana przestrzeń stanu Rysunek : Wektory własne Korzystając z metody bezpośredniej otrzymujemy równanie stanu i równanie wyjścia w postaci: ẋx = x+ u () 8 6 y = [ ] x. () Jak wynika z transmitancji operatorowej (9) rozważany układ ma potrójny biegun s =. Stąd wnioskujemy, że macierz A ma potrójną wartość własną λ = (h i = ). Obliczymy teraz pierwszy wektor własny. Na podstawie () mamy (A λ I) v, = v, v, =. () 8 4 Biorąc pod uwagę dwa pierwsze równania otrzymujemy v, = v, oraz v, = v,. Zakładając, że v, = dostajemy: v, = oraz v, = 4. Jak łatwo sprawdzić tak wybrany wektor v, = [ 4 ] T spełnia również trzecie równanie () - zatem jest to wektor własny macierzy A. Kolejne wektory własne obliczymy wykorzystując zależność (). Możemy więc zapisać: v, v, v, = v, =. () v, Następnie przyjmując, że v, = otrzymujemy v, = oraz v, = 4. Dla kolejnego, v, v, 5

6 liniowo niezależnego wektora własnego rozważamy v, v, = 8 4 v, v, v, v, = 4 zakładając v, = v, =. Z drugiego równania wynika, że v, =., (4) W wyniku powyższych obliczeń wyznaczyliśmy trzy wektory własne, tj.: v, =, v, =, v, =. (5) 4 4 Macierz modalna T ma więc postać następującą: T =. (6) 4 4 Obliczając macierz odwrotną do T mamy: T =. (7) 4 4 Macierze A, B oraz C są równe: A =, B =, C = [ ]. (8) Z uwagi na wielokrotny biegun transmitancji G(s) układu nie można przedstawić w postaci kanonicznej diagonalnej (macierz układu A jest macierzą pseudodiagonalną w postaci klatki Jordana). Należy jednak pamiętać, że istnieją szczególne przypadki, w których pomimo wielokrotnego bieguna własnego macierz układu można przedstawić w postaci zdiagonalizowanej. Ma to miejsce wtedy, gdy na podstawie równania () można wyznaczyć h i wektorów własnych liniowo niezależnych dla wartości własnej λ i o krotności h i. 6