Sterowanie napędów maszyn i robotów

Transkrypt

1 Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014

2 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie przestawiania Postać modalna równania sterowania u(k) = k x1 [s o s(k)] k x2ˆv(k) k x3 â(k) (1) Postać wymusza przez liniowe sprzężenie zwrotne k x = [k x1 k x2 k x3 ] przejście procesu ruchu od stanu początkowego x = [0 0 0] T do końcowego x = [s o 0 0] T

3 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Rysunek : Wieloobwodowy układ regulacji, ze sprzężeniem od zmiennych stanu - zadanie przestawiania, serwonapęd pneumatyczny

4 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Zadanie nadążania Postać dostosowana do układów o strukturze kaskadowej stosowanej w handlowych sterownikach typu CNC (ang. Computer Numerical Control) maszyn i robotów przemysłowych; { vcnc (k) = k CNC [s o s(k)], k CNC = kx1 k x2 (2) u(k) = k x2 [v CNC ˆv(k)] k 3 â(k) W sterownikach CNC nadrzędna część układu realizując zadanie sterowania pozycyjnego o działaniu proporcjonalnym k CNC wytwarza z odchyłki śledzenia [s(k) s o (k)] sygnał wirtualnej prędkości zadanej v CNC podporządkowana część układu realizuje sterowanie prędkością.

5 Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Rysunek : Wieloobwodowy układ regulacji, ze sprzężeniem od zmiennych stanu - zadanie nadążania, w postaci dostosowanej do układów o strukturze kaskadowej stosowanej w handlowych sterownikach typu CNC, serwonapęd pneumatyczny

6 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Mając transmitancję operatorową postaci G(s) = ω s U s (s) = k m L w Js 2 + (R w J + L w B)s + (k m k e + R w B) (3) stosując następujące podstawienia kω0 2 = k m L w J, 2ξω 0 = R w J + L w B L w J, ω 2 0 = k mk e + R w B L w J (4) można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G(s) = Y (s) U(s) = k T 2 s 2 + 2ξTs + 1 G(s) = Y (s) U(s) = kω 2 0 s 2 + 2ξω 0 s + ω 2 0 (5) (6) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω 0 - pulsacja drgań nietłumionych.

7 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej kω 2 0 G(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 (7) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = ω 2 0 x 1(t) 2ξω 0 x 2 (t) + u(t) (8) równanie wyjścia y(t) = kω 0 x 1 (t) (9)

8 Opis w przestrzeni zmiennych stanu - zmienne fazowe Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych: X faz = [ x1 x 2 ], U faz = U z (10) jest następujący [ ] [ ] Ẋ faz = ω0 2 2ξω0 2 X faz + U 1 faz Y = [ kω0 2 0 ] (11) X faz + [0] U faz { X faz = A faz (t)x faz + B faz (t)u faz (t) Y = C faz X faz + D faz U faz (12)

9 Koncepcje doboru nastaw sterowania oraz ocena ich przydatności praktycznej Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dobór nastaw na podstawie przyjętych wartości wzmocnienia, pulsacji drgań swobodnych i współczynnika tłumienia modelu i układu zamkniętego (serwonepęd pneumatyczny) Dobór nastaw na podstawie poszukiwania minimalnych wartości wskaźników oceny jakości sterowania i optymalnych zachowań napędu (serwonapęd pneumatyczny)

10 Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Korzystając ze znanych macierzy A mc, B mc i C mc modelu i narzucając n pierwiastków s 1, s 2,..., s n równania charakterystycznego układu zamkniętego, macierz wzmocnień (sprzężenia zwrotnego) k x określa tu równanie det(si A mc + B mc k x ) = (s s 1 )(s s 2 )...(s s n ) (13) z warunkiem Res i < 0, i = 1, 2,..., n (14) Co prowadzi do następujących wzmocnień wektora sprzężeń k x k x1 = ( s 1 s 2 s 3 )/C m ωom 2 (15) k x2 = ( ω om + s 1 s 2 + s 1 s 3 + s 2 s 3 )/C m ωom 2 (16) k x1 = ( 2ɛω om s 1 s 2 s 3 )/C m ωom 2 (17)

11 Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Analogiczne warunki i zależności mogą być podane dla układu dyskretnego z n narzuconymi wartościami własnymi z i, i = 1,..., n; Metoda uważana jest za trudną ze względu na brak przekonujących - w stosunku do wymagań jakościowych sterowania - przesłanek wyboru tych wartości, które sprowadzają się do znanego warunku wyboru - np. wartości bezwzględnych s i - odpowiednio większych od wartości bezwzględnych części rzeczywistych dominujących wartości własnych układu otwartego.

12 Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych W technice napędowej zaleca się podejście opierające się na dla zamkniętego układu pozycyjnego: określenie zachowań dynamicznych pulsacji drgań swobodnych ω oz układu, narzucenie dwóch granicznych stosunków wartości sąsiadujących ze sobą współczynników równania charakterystycznego a i /a i+1 a i = ω oz a i oraz = ω oz, i = 1,..., n (18) a i+1 3 (3/2) i a i+1 2 (3/2) i Prowadzi to do wyboru własności własnych dla obszaru określonego biegunami: s 1,2,3 = 3ω oz (19) s 1,2 = 2 2ω oz (1 ± j 3) (20) s 3 = 2ω oz (21)

13 Dobór nastaw na podstawie zadanych wartości własnych Zaletą metody jest prosta implementacja; przyjmując, że wartość pulsacji ω oz układu zamkniętego - w stosunku do ω oo otwartego układu napędowego (np. pozycyjnego; w praktyce ω om modelu układu) została dobrana realistycznie. Problemem pozostaje realistyczny wybór wartości ω oz.

14 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Algorytm regulatora LQR (regulator liniowo-kwadratowy ang. Linear Quadratic Regulator) polega na znalezieniu takiego sterowania dla układu, aby spełnione zostały dane kryteria optymalności. W takim regulatorze liniowo-kwadratowym układ dynamiczny opisany jest liniowymi równaniami różniczkowymi, funkcja kosztu ma postać funkcjonału kwadratowego. Gwarancja stabilności układu zamkniętego i proste zastosowanie do układów o wielu wejściach i wyjściach sprawiają, że regulator jest chętnie stosowany w różnych systemach automatyki. Ponadto dla dowolnego, sterowalnego układu liniowego zawsze istnieje regulator z kwadratowym wskaźnikiem jakości.

15 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Funkcja kosztów w układzie liniowym z czasem ciągłym opisanym równaniami stanu ma następującą postać J LQR = 0 [x(t) T Qx(t) + u(t) T Ru(t)]dt (22) gdzie Q i R są diagonalnymi macierzami wag umożliwiającymi zmianę wpływu poszczególnych zmiennych stanu i sterowań na przedstawione kryterium jakości. Wyrażenie x(t) T Qx(t) jest kosztem stanu układu z wagą Q, a wyrażenie u(t) T Ru(t) kosztem sterowania układu z wagą R.

16 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Założenia: dostępne są wszystkie wartości wektora stanu układu x(t), układ jest stabilny, sterowalny i obserwowalny, R = R T > 0 oraz Q = Q T > 0. prawo sterowania ma postać: u(t) = Kx (23) Macierz sprzężeń K jest obliczona z zależności: K = R 1 B T P (24) gdzie macierz P jest rozwiązaniem równania Riccatiego: A T P + PA PBR 1 B T P = 0 (25)

17 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dobór nastaw regulatora LQR sprowadza się do wyznaczenia wag poszczególnych zmiennych. Algorytm LQR nie posiada uniwersalnej metody wybrania parametrów i przeważnie są one dobierane iteracyjnie. W pracy przy wyborze wstępnych wartości wag można posłużyć się regułą Bryson a, która sugeruje wybór następujących parametrów początkowych: Q ii = 1 X 2 imax R jj = 1 U 2 jmax (26) (27) gdzie X imax to maksymalna akceptowalna wartość x i, i oznacza kolejny element wektora stanu X, U jmax to maksymalna akceptowalna wartość u j, j oznacza kolejny element wektora sygnałów sterujących u.

18 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Dla układu liniowego, dyskretnego przyjmuje się wskaźnik kwadratowy o postaci k oc I S = Q[e s (k)] 2 + R[u(k)] 2 min (28) k=0 gdzie: Q i R to stałe i dodatnie współczynniki wag. Zakłada się rozwiązanie suboptymalne odpowiadające nieograniczonemu czasowi oceny k oc (w praktyce -do osiągnięcia stanu ustalonego: k oc = k u )

19 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Ze względu na zbliżenie postaci funkcjonału do wskaźników całkowych o wyraźnym sensie fizycznym, metoda uważana za najbardziej zbliżoną do wymagań praktycznych w porównaniu z innymi metodami analitycznymi. Problemy związane są zmiana współczynnika wag we wskaźniku, np. dla kosztu sterowania R (przy koszcie odchyłki Q = 1) bardzo słabo optymalizuje zachowanie się układu pozycyjnego dla dużych wartości R prowadzi do zachowań aperiodycznych, tzw. słabe sterowanie, dla małych wartości R do zachowania zbliżonego do pożądanego, ale obarczonego silną periodycznością, tzw. silne sterowanie.

20 Dobór nastaw na podstawie kwadratowego wskaźnika jakości Rysunek : Typowe przebiegi sterowania pozycyjnego, w przypadku doboru nastaw na podstawie wskaźnika jakości I s - gdzie: p = 1 (waga odchyłki), q waga sterowania, współczynnik k ω = ω oz/ω oo określa dynamikę zachowań napędu pneumatycznego w układzie zamkniętym względem układu otwartego

21 Wykład 7b - Układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2014