KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie dzi. W te go ty pu za da niach na le ży ów nież uznać od po wie dzi ucznia, je śli są ina czej sfo mu ło wa ne, ale ich sens jest zgod ny z po da nym sche ma tem, oaz in ne po paw ne od po wie dzi w nim nie pze wi dzia ne.. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zapisze ównanie w postaci altenatywy. - - = lub - - =- - = 6 lub - =- Zdający zauważy, że ównanie - =- jest spzeczne. Zdający ozwiąże ównanie - = 6. - = 6 lub - =-6 =,5 lub =-,5 Zdający wskaże ujemny piewiastek: =-,5.. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający skozysta z popocjonalności boków postokątów podobnych i ozważy popocję. a b a + 5 = b + 5 ab ( + 5) = ba ( + 5) ab + 5a = ba + 5b a = b Zdający zapisze dugą popocję wynikającą z podobieństwa czwookątów i spowadzi ją do postszej postaci. a b b + 5 = a + 5 a + 5a = b + 5b a- b+ 5a- 5b = 0 Zdający pzekształci odpowiednio otzymane wyażenie, aby znaleźć zależność między bokami a, b. ] a- bg] a+ bg+ 5] a- bg= 0 ] a- bg] a+ b+ 5g = 0 a = b lub a+ b =-5 Waunek a+ b =-5 nie może być spełniony, gdyż a+ b 0. pkt pkt
Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Zdający stwiedzi, iż z ówności a = b wynika, że piewszy postokąt jest kwadatem. Skoo a = b, to a+ 5 = b+ 5, zatem dugi postokąt też jest kwadatem.. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zauważy, że aby wyażenie miało sens, to tg! 0 dla! k oaz tg! + k (tangens jest wtedy okeślony). Zdający wykozysta własność kolejnych wyazów ciągu geometycznego zapisze odpowiedni waunek i pzekształci go tak, aby otzymać wyażenie zawieające tylko jedną funkcję tygonometyczną. Np.: cos = sin $ tg cos = sin $ sin cos cos = cos Zdający pzedstawi ównanie w fomie altenatywy. cos = 0 lub cos - = 0 Zdający ozwiąże uzyskane ównania. = + k lub =- + k lub = + k, gdzie k! C Zdający wybieze spośód uzyskanych ozwiązań właściwe i zapisze odpowiedź. = + k lub =- + k, gdzie k! C. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający wykozysta wzó na zamianę podstawy logaytmu i zapisze nieówność w postaci log ] ag+ log ] + ag H log( + a) -. Zdający zapisze nieówność w ównoważnej postaci log ] ag+ log ] + ag- log( + a) + H 0, aby wykazać, że lewa stona nieówności jest większa bądź ówna zeo. Zdający zapisze lewą stonę nieówności w postaci sumy kwadatów dwóch wyażeń log ] ag + log ] + ag -. 6 @ 6 @ Zdający zauważy, że suma kwadatów dwóch liczb jest zawsze liczbą nieujemną i wypowadzi stąd wniosek, że 6log ] ag@ + 6log ] + ag-@ H 0. pkt pkt
Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą 5. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający znajdzie współzędne punktu C jako współzędne wiezchołka paaboli. 6 = =, C = ], -9g y = 9-8 =-9 Zdający zauważy, że punkty A, B leżą na postych pzechodzących pzez punkt C oaz nachylonych do osi OX pod kątem odpowiednio 60 i 0 (jako wiezchołki tójkąta ównobocznego) i okeśli, że szuka np. współzędnych punktu A leżącego na postej p nachylonej do osi OX pod kątem 60. Zdający znajdzie ównanie postej p. y = + b - 9 = + b b =-9- y = -9- Zdający znajdzie piewszą współzędną punktu A, wykozystując fakt, że punkt leży na paaboli i postej p. - 6 = -9- - (6 + ) + 9 + = 0 D = = lub = + Zdający zauważy, że liczba to piewsza współzędna punktu C, zatem w dalszych ozważaniach uwzględni liczbę +. Zdający znajdzie dugą współzędną punktu A. y = ^+ h - 6^+ h =-6 Zdający poda obie współzędne punktu A. A = ^+, -6h 6. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego C pkt h Zdający obliczy długość połowy pzekątnej podstawy. d = a A d a B a
Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Zdający zauważy, że tójkąt ABC jest postokątny i obliczy długość odcinka. = tg a a = a $ tga Zdający obliczy wysokość ganiastosłupa. h + ^a h = h = a tg a -a pkt Zdający obliczy objętość ganiastosłupa. V = ] ag $ atga- a = a$ a $ tga- = $ a$ tga- 7. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający okeśli liczbę zdazeń elementanych liczbę sposobów wybou spośód 0 piosenek. 7 $ 8 $ 9 $ 0 X = = 85 $ $ $ Zdający ozważy zdazenie pzeciwne uczestnik wysłuchał piosenek spośód 8, któych nie zna, i okeśli liczbę zdazeń spzyjających. 5$ 6$ 7$ 8 A = = 70 $ $ $ Zdający obliczy pawdopodobieństwo zdazenia pzeciwnego. 70 PA ( ) = 85 Zdający obliczy pawdopodobieństwo ozważanego zdazenia. 70 775 PB ( ) = - = 85 85 Zdający podaje wynik z żądaną dokładnością. PB ( ) = 0,9855.... 0,99 8. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający znajdzie współzędne punktu pzecięcia postych. y =- * y = + k - = + k k k =-, y = Zdający skozysta z tego, że punkt pzecięcia postych musi należeć do koła i pzekształci uzyskaną nieówność do najpostszej postaci. b k k - l + b + l G 0 k G 6 pkt pkt
Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Zdający zapisze uzyskaną nieówność w postaci ( k- )( k+ ) G 0 (zdający może zaznaczyć te liczby na ysunku). Zdający podaje ozwiązanie. k! -, 9. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający znajdzie współczynniki wielomianu, kozystając z tego, że liczby -, są piewiastkami wielomianu. - + a- b+ 6 = 0 * 8+ a+ b+ 6 = 0 a =-, b = Zdający znajdzie tzeci piewiastek wielomianu W () = - + + 6, stosując twiedzenie o piewiastkach wymienych wielomianu o współczynnikach całkowitych. W () = 7-6+ + 6 = 0 = Zdający zapisze wielomian oaz nieówność w postaci iloczynowej. W () = ] + g] -g] -g ] + g] -g] - g> 0 Zdający okeśli pzedziały (może zaznaczyć je np. na osi liczbowej), w któych będzie poszukiwał watości dodatnich wyażenia ] + g] -g] -g..... ]-,-g -, h h,, h ozwiązanie do końca, lecz z ustekami, któe jednak nie pzekeślają popawności (np. błędy achunkowe) Np. źle zaznaczone końce jednego z pzedziałów; błędne obliczenie jednego z piewiastków wielomianu; błąd w obliczeniu współczynników wielomianu. Zdający okeśli, kiedy ozpatywane wyażenie pzyjmuje watości dodatnie (np. za pomocą siatki znaków albo odpowiedniego wężyka ) i zapisze odpowiedź.! -,,, ] g ] g 0. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający ozważy pzypadek, gdy analizowane ównanie jest ównaniem liniowym. m - = 0 m = + + = 0 5 =- pkt 6 pkt 5
Póbna Matua z OPERONEM i Gazetą Wyboczą Zdający założy, że ozpatuje ównanie kwadatowe i zapisuje jego wyóżnik. m! D = 6( m + ) @ -( m- )( m+ ) =- m+ 0 Zdający zauważa, że ównanie kwadatowe ma jeden piewiastek, gdy wyóżnik jest ówny zeo. - m + 0 = 0 m = 5 Zdający spawdza, czy znalezione ozwiązanie spełnia zakładane waunki m = 5!. Zdający podaje ozwiązanie. m = lub m = 5 pkt. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający znajduje sinus kąta zawatego między bokami a, b. ab sin a = ab sin a = Zdający znajduje miaę kąta zawatego między bokami a i b. a = 0 lub a = 50 Zdający wykozystuje twiedzenie cosinusów do znalezienia długości c tzeciego boku tójkąta. c = a+ b-ab cos 0 lub c = a+ b-ab cos 50 Zdający poda ozwiązanie. c = a+ b-ab lub c = a+ b+ ab pkt 6