Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa WYKŁAD 4 awa c.d. fuktor operator 1
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Stosuki międy akresami aw 0. Podstawowe pojęcia algebry biorów (dystrybutywych) (prypomieie) Zbiór i elemet bioru są dla as pojęciami pierwotymi. W scególości i awse(!) elemet bioru a A a {a} a {a}. biór relacja aleŝeia elemetu do bioru Zbiór pusty. Zbiorem pustym jest biór, do którego ie aleŝy Ŝade elemet: = {x: x x}, cyli x (x ). 2
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Zawieraie się biorów. Zbiór A awiera się w biore B wtedy i tylko wtedy, gdy kaŝdy elemet bioru A jest elemetem bioru B: A B wtw x (x A x B). Zatem, biór pusty awiera się w kaŝdym biore, takŝe w sobie samym: PoiewaŜ A x (x x A), (tw. puste spełieie implikacji = implikacja o fałsywym poprediku jest prawdiwa [patr dalej]) więc A. W scególości. Właściwe awieraie się biorów. Zbiór A awiera się właściwie w biore B wtedy i tylko wtedy, gdy biór A awiera się w biore B ora A B: A B wtw ( x (x A x B) x (x B x A)). Niewłaściwe awieraie się bioru. KaŜdy biór awiera się w sobie iewłaściwe: A A wtw x (x A x A). 3
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Rówość (dwóch?) biorów. Zbiory A i B są rówe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elemety: A = B wtw (A B B A), cyli A = B wtw x (x A x B). koiecy kometar! 4
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Jedyość bioru pustego. Zbiór pusty jest tylko jede. Dowód: ZałóŜmy, Ŝe są dwa róŝe biory puste 1 ora 2. KaŜdy astępy wiers wyika poprediego: 1 2 (ał.) x (x 1 x 2 ) x (x 1 x 2 ) x ((x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x ( (x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x ((x 1 x 2 ) (x 2 x 1 )) x (x 1 x 2 ) x (x 2 x 1 ) x (x 1 x 2 ) (ał.) x (x 2 x 1 ) (ał.) (pocątek rogałęieia dowodu) a 1 a 2 b 2 b 1 a 1 b 2 a 1 ( def. b. pustego) b 2 ( def. b. pustego) a 1 a 1 b 2 b 2 a 1 (a 1 ) b 2 (b 2 ) sprecość sprecość (koiec rogałęieia dowodu) sprecość 5
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Suma biorów. Sumą biorów A i B jest biór do którego aleŝą wsystkie elemety A ora wsystkie elemety B (wsystkie elemety aleŝące do A lub aleŝące do B): cyli A B = {x: x A x B}, x A B wtw (x A x B). A A B B 6
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Suma uogólioa biorów (suma rodiy biorów). Sumą biorów rodiy {A i : i I} jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety wsystkich biorów rodiy {A i : i I}: cyli {A i : i I} = {x: x A i dla pewego i I}, x {A i : i I} wtw i (i I x A i ). A 1 {A i : i = 1,2,3} = A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 7
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Ilocy biorów (cęść wspóla). Ilocyem biorów A i B jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety, jedoceśie aleŝące do A i do B (wsystkie elemety aleŝące do A i aleŝące do B): A B = {x: x A x B}, cyli x A B wtw (x A x B). A A B B 8
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Ilocy uogólioy biorów (ilocy rodiy biorów). Ilocyem biorów rodiy {A i : i I} jest biór, do którego aleŝą wsystkie elemety jedoceśie aleŝące do wsystkich biorów rodiy {A i : i I}: cyli {A i : i I} = {x: x A i dla kaŝdego i I}, x {A i : i I} wtw i (i I x A i ). A 1 {A i : i = 1,2,3} = A 1 A 2 A 3 A 2 A 3 9
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa RóŜica biorów. RóŜicą biorów A i B jest biór do którego aleŝą wsystkie te elemety bioru A, które ie aleŝą do bioru B (wsystkie elemety, które aleŝą do A i ie aleŝą do B): cyli A B = {x: x A x B}, x A B wtw (x A x B). A B A B 10
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Dopełieie bioru do diediy (ie do uiwersum!). Niech D (diedia) będie biorem, do którego ograicoe są ase rowaŝaia. Zatem, ałoŝeia dowoly rowaŝay tu biór awiera się w D. Dopełieiem Zbioru A do diediy D jest róŝica D A = A. Krócej (i gorej), dopełieiem bioru A jest biór wsystkich tych obiektów, które ie aleŝą do A: A = {x D: x A}, cyli x D (x A wtw x A). A D A 11
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa ZałoŜeie istieia uiwersum, cyli bioru wsystkich obiektów, prowadi do sprecości i jest ae jako paradoks bioru uiwersalego (do sprecości prowadi takŝe, ałoŝeie istieia bioru wsystkich biorów - paradoks bioru wsystkich biorów). Dlatego, kaŝdoraowo aleŝy ograicyć (tj. sprecyować) diedię rowaŝań. Diedia jest więc jedym e biorów, który wybieramy po to, aby ustalić graice asych rowaŝań. Dla prykładu, moŝa mówić o wsystkich ie-psach, ale w określoej diediie. Diedią taką moŝe być biór wsystkich istot Ŝywych, cy teŝ biór wsystkich obiektów materialych awierający biór wsystkich istot Ŝywych. Diedią ie moŝe jedak być biór wsystkich moŝliwych do pomyśleia obiektów. RowaŜaie bioru Z B wsystkich ie-psów w kotekście uiwersum, awierającego wsystkie obiekty prowadi, międy iymi, do wiosku, Ŝe biór te aleŝy do siebie, jako Ŝe ie jest psem, a więc jest ie-psem,. Zatem, Z B Z B. Oaca to, Ŝe Z B ie jest biorem ormalym. Wyjaśieie: Zbiór uiwersaly, to biór wsystkich obiektów. Zatem, kaŝdy biór awiera się w biore uiwersalym i kaŝdy biór aleŝy do bioru wsystkich biorów. 12
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Niekiedy, biór postrega się jako wyacoy pre pewą własość A = {x: ϕ(x)} a własość jako wyacoą pre pewie biór ϕ(x) wtw x A. Jedak w ogólości achodi jedyie druga aleŝość. 13
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Uwaga presąd! w tym sesie, Ŝe pojęcia biór i własość są wajemie astępowale, 1. KaŜdej własości odpowiada biór tych i tylko tych obiektów, które posiadają tę własość (ieprawda) [ϕ(x) wtw x A] ora 2. KaŜdemu biorowi odpowiada własość jaką posiadają wsystkie jego elemety i tylko oe (prawda) [A = {x: ϕ(x)}] Własości biorów dystrybutywych iealeŝeia do siebie ie odpowiada Ŝade biór! Faktycie, ałóŝmy Ŝe istieje biór Z, wsystkich tych biorów, które ie aleŝą do siebie: Z = {x: x x} Cy biór Z aleŝy do siebie? Jeśli tak, to jest oa biorem który do siebie ie aleŝy. Jeśli ie, to jest o biorem, który do siebie aleŝy. Atyomia Russella: Z Z wtw Z Z Zatem, pojęcia biór i własość ie są wajemie astępowale! 14
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1. Stosuek podrędości akresu awy A wględem akresu awy B. Jest o araem stosukiem adrędości akresu awy B wględem akresu awy A: kaŝdy desygat awy A jest desygatem awy B i istieje desygat awy B iebędący desygatem awy A. Iymi słowy: akres awy A awiera się właściwie w akresie awy B. Prykład A = adwokat B = prawik A B KaŜdy adwokat jest prawikiem, ale ie kaŝdy prawik jest adwokatem. 15
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2. Stosuek rówości (amieości) akresów aw A i B: kaŝdy desygat awy A jest desygatem awy B i kaŝdy desygat awy B jest desygatem awy A. Iymi słowy: akres awy A awiera się iewłaściwie w akresie awy B (akres awy A jest rówy akresowi awy B). Prykład A = trójkąt B = figura płaska, będąca wielokątem o sumie kątów 180 Trójkąt, to to samo, co płaski wielokąt o sumie kątów 180. A B Scególym prypadkiem stosuku rówości akresów aw jest rówość akresów aw pustych: wsystkie awy puste mają te sam akres i jest im biór pusty (pamiętamy, Ŝe biór pusty jest tylko jede). Prykład Nawami o amieych akresach są obecy król Polski, Ŝoaty kawaler, Kubuś Puchatek. 16
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3. Stosuek kryŝowaia się akresów aw A i B: istieje desygat awy A będący desygatem awy B, istieje desygat awy A iebędący desygatem awy B i istieje desygat awy B iebędący desygatem awy A. Iymi słowy: cęść wspóla (ilocy) akresów aw A i B jest biorem iepustym i róŝym od kaŝdego akresów. Uwaga: stwierdeie istieje desygat awy A będący desygatem awy B jest rówowaŝe stwierdeiu istieje desygat awy B będący desygatem awy A. Prykład A = cłowiek posiadający wykstałceie prawice B = polityk A B A B tworą absolweci prawa iebędący politykami. B A tworą politycy be wykstałceia prawicego. A B tworą politycy wykstałceiem prawicym. KaŜdy tych biorów jest iepusty. A B Scególym prypadkiem kryŝowaia się akresów jest stosuek podpreciwieństwa. 17
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3.1. Stosuek kryŝowaia się akresów aw A i B jest stosukiem podreciwieństwa, jeśli suma obu akresów jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = ie-pies B = ie-kot A = pies [A = (A ) ] B = kot [B = (B ) ] wsystkie obiekty diediy iebędące, ai psami, ai kotami A B rowaŝań diedia A B i A B = D Stosuek kryŝowaia się akresów iebędący stosukiem preciwieństwa jest ayway stosukiem iealeŝości akresów. 18
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4. Stosuek wyklucaia się (rołącości) akresów aw A i B: istieje desygat awy A, istieje desygat awy B i ie istieje desygat awy A będący desygatem awy B. Iymi słowy: cęść wspóla (ilocy) iepustych akresów aw A i B jest biorem pustym. Uwaga: stwierdeie ie istieje desygat awy A będący desygatem awy B jest rówowaŝe stwierdeiu ie istieje desygat awy B będący desygatem awy A. Prykład A = ręka B = palec A B śada ręka ie jest palcem, iymi słowy, Ŝade palec ie jest ręką. Stosuek wyklucaia się akresów moŝe mieć postać, albo preciwieństwa akresów, albo sprecości akresów. 19
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4.1. Stosuek wyklucaia się akresów aw A i B jest stosukiem preciwieństwa, jeśli suma obu akresów ie jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = pies B = kot wsystkie obiekty diediy iebędące, ai psami, ai kotami A B diedia rowaŝań Pytaia: Cym jest diedia? Cym powia być diedia w prypadku aaliowaia awy pies, a cym w prypadku awy prestępstwo? 20
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 4.2. Stosuek wyklucaia się akresów aw A i B jest stosukiem sprecości, jeśli suma obu akresów jest rówa diediie rowaŝań, cyli ogółowi wsystkich obiektów ustaloego typu. Prykład A = pies B = ie-pies A diedia rowaŝań ie-a 21
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Uwaga końcowa Określeia dotycące stosuków w jakich poostają akresy aw są stosowae wtórie wobec samych aw, jedak tylko wtedy, gdy stosuki akresowe uasadiają takie astosowaie. Zatem, (dla prykładu) powiemy, Ŝe: - dwie awy są sprece (preciwe, podpreciwe), jeśli ich akresy poostają w stosuku sprecości (preciwieństwa, podpreciwieństwa); - awa A jest adręda (podręda) wobec awy B, jeśli akres awy A jest adrędy (podrędy) wobec akresu awy B; itd. 22
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Fuktor Fuktor jest wyraŝeiem wiąŝącym wyraŝeia. UmoŜliwia więc tworeie wyraŝeń łoŝoych wyraŝeń prostsych. Fuktory mogą słuŝyć do tworeia aw, dań ora iych fuktorów. Mamy wówcas, odpowiedio, fuktory awotwórce, daiotwórce i fuktorotwórce. 23
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1. Fuktory awotwórce 1.1. od jedego argumetu awowego, cyli typu Prykład: skromy... skromy adwokat 1.2. od dwóch argumetów awowych, cyli typu, Prykład:... i... adwokat i kolekcjoer 1 2 1, 2 to, co jest tworoe argumet (jede) to, co jest tworoe argumety (dwa) 24
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 1.3. od trech argumetów awowych, cyli typu,, Prykład:... międy... a... miasto międy Bugiem a Odrą 1 2 3 1, 2, 3 25
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2. Fuktory daiotwórce 2.1. od jedego argumetu awowego, cyli typu Prykład:... premawia prokurator premawia 2.2. od dwóch argumetów awowych, cyli typu, Prykład:... wygłasa... prokurator wygłasa mowę 1 2 1, 2 26
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 2.3. od jedego argumetu daiowego, cyli typu Prykład: ieprawda, Ŝe... ieprawda, Ŝe Ja jest oskarŝoy iesłusie 2.4. od dwóch argumetów daiowych, cyli typu, Prykład:... i... Ja jest oskarŝoy i [Ja] potrebuje pomocy prawej 1 2 1, 2 27
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3. Fuktory fuktorotwórce 3.1. od jedego argumetu fuktorowego, cyli p. typu Prykład 1: głośo... głośo premawia Prykład 2: scególie... scególie sprawy 28
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 3.2. od dwóch argumetów fuktorowych, cyli p. typu,, Prykład:... i... premawia i gestykuluje 2 1 2, 1 Prykład:... i... staowcy i odwaŝy 2 1 2, 1 29
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa 30 Prykład:... i... adwokat premawia głośo i dobitie, 1 2 3 4 4 2 1 3
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Zadaie Sprawdź spójość sytaktycą wyraŝeia: Prebojowy i bardo odwaŝy sędia staowco preciwstawił się bosowi mafii. 31
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Prebojowy i bardo odwaŝy sędia staowco preciwstawił się,,,, bosowi mafii,,,, 32
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Fuktory daiotwórce od argumetów daiowych (spójiki) dielimy a ekstesjoale i itesjoale. Spójik jest ekstesjoaly (prawdiwościowy), gdy wartość logica daia łoŝoego, którego jest o główym fuktorem, aleŝy wyłącie od wartości logicych dań będących argumetami tego spójika. Spójik itesjoaly (ieprawdiwościowy) jest to spójik, który ie jest ekstesjoaly. 33
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa I.a. Spójiki ekstesjoale (iterpretacja dwuwartościowa) Asercją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest prawdą jest, Ŝe... (A). Asercja Ap ma tę samą wartość logicą co daie p. Negacją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest ieprawda, Ŝe... ( ). Negacja p jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daie p jest fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: egacja p jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daie p jest prawdiwe. Koiukcją (egacją dysjukcji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...i... ( ). Koiukcja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są prawdiwe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: koiukcja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest fałsywe. Alteratywą (egacją biegacji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...lub... ( ). Alteratywa p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: alteratywa p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest prawdiwe. 34
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Alteratywą rołącą (egacją rówowaŝości) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest albo,...albo... ( ). Alteratywa rołąca p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają róŝe wartości logice. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: alteratywa rołąca p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają tę samą wartość logicą. Dysjukcją (egacją koiukcji) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest co ajwyŝej... lub... (/). Dysjukcja p / q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są prawdiwe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: dysjukcja p / q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest fałsywe. Biegacją (egacją alteratywy) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest ai,... ai... ( ). Biegacja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba daia p i q są fałsywe. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: biegacja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy pryajmiej jedo e dań p i q jest prawdiwe. 35
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Implikacją aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest jeŝeli..., to... ( ). Implikacja p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej popredik p jest daiem prawdiwym a jej astępik q jest daiem fałsywym. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: implikacja p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy jej popredik p jest daiem fałsywym lub jej astępik q jest daiem prawdiwym. RówowaŜością (egacją alteratywy rołącej) aywamy daie łoŝoe, którego główym fuktorem jest...wtedy i tylko wtedy, gdy... ( ). RówowaŜość p q jest prawdiwa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają tę samą wartość logicą. Stwierdeie to jest rówowaŝe astępującemu: rówowaŝość p q jest fałsywa wtedy i tylko wtedy, gdy daia p i q mają róŝe wartości logice. Symbolicie: p q Ap p p q p q p q p / q p q p q p q 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 36
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa I.b. Spójiki ekstesjoale (iterpretacja trójwartościowa) S.C. Kleee (1938) u - ieaa wartość logica (ukow) p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 u 0 u 1 u u 1 0 0 0 1 0 0 u 1 u u 1 1 u u u u u u u u u 0 u 0 u u u 0 1 1 0 1 1 0 0 u 1 0 u 1 u 0 0 1 0 0 1 1 37
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa D.A. Bochwar (1938) - beses (osese) p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 38
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa II. Spójiki itesjoale Wartość logica dań łoŝoych, których główym fuktorem jest spójik itesjoaly ie aleŝy wyłącie od wartości logicych dań będących argumetami tego fuktora, ale rówieŝ od cyików dodatkowych. Cyiki te iterpretując recywistość, wosą pewą poalogicą treść (itesio = treść). Prykłady jest moŝliwe, Ŝe... jest koiece, Ŝe...... dlatego, Ŝe...... wie, Ŝe...... wiery, Ŝe...... podcas, gdy...... jest obowiąay, aby... jest akaae, aby... 39
Piotr Łukowski, Wykład dla studetów prawa Operator Operator jest wyraŝeiem wiąŝącym miee. UmoŜliwia więc tworeie wyraŝeń łoŝoych wyraŝeń prostsych. Prykłady operatorów daiotwórcych: operatorów awotwórcych: x > y dla kaŝdego x dla więksości x istieje x takie, Ŝe istieje dokładie jede x taki, Ŝe A B a + b biór x-ów takich, Ŝe [operatory są tu aacoe kolorem cerwoym] 40