Tmat: Pochodna funkcji. Zastosowania A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Kody kolorów: Ŝółty now pojęci pomarańczowy uwaga A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Zagadninia. Wprowadzni pojęcia pochodnj.. Przdstawini wzorów na pochodn funkcji lmntarnych i rguł róŝniczkowania; przykłady. 3. Zastosowania pochodnj do badania przbigu zminności funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
Przypomnini pojęć ciąg granica ciągu A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Ciąg Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a 3 3 4 4,K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Ciąg, granica ciągu Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a 3 3 4 4,K a n? A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
Ciąg, granica ciągu cd. Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a 3 3 4 4,K a?? n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Ciąg, granica ciągu cd. Przykład. Wzór na ogólny wyraz ciągu: a n n a, a, a, a 3 3 4 4,K a 0 0 n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
Granica ciągu cd. a n 0 lim a 0 n n (czyt.: lims a n przy n dąŝącym do niskończoności równa się 0; granica ciągu a n przy n dąŝącym do niskończoności wynosi 0) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
Granica ciągu cd. a 0 0 n n lim a 0 lim 0 n n n n (czyt.: lims /n przy n dąŝącym do niskończoności równa się 0; granica ciągu /n przy n dąŝącym do niskończoności wynosi 0) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
Granica ciągu cd. a n n 3 4... a n / /3 /4... n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Wykrs ciągu a n a n n 0 0 3 4 5 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Wykrs ciągu a n a n n a 0 0 3 4 5 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
Wykrs ciągu a n a n n a a 0 0 3 4 5 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Wykrs ciągu a n a n n a a 0 0 3 4 5 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Przypomnini pojęć cd. granica funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
Granica funkcji y f ( ) Jaka jst granica ciągu wartości y n? f ( ) n? A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) 0 X 3... 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) y 0 X 3... 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
Granica funkcji w punkci 0 Y y f ( ) y 0 X 3... 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Granica funkcji w punkci 0 Y y 3 y y y f ( ) 0 X 3... 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Granica funkcji w punkci 0 Ciąg argumntów n : n 0 Ciąg wartości: y n f ( n ) y n? lim y? n n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
Granica funkcji w punkci 0 granica ciągu wartości funkcji to granica funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Granica funkcji w punkci 0 granica ciągu wartości funkcji to granica funkcji granica ciągu y n f ( n ) to granica funkcji f() A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz... 0 D ciąg argumntów n 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz 0 D ciąg argumntów n 0 ni - ciąg wartości f ( ) n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 30
Pochodna funkcji - ida Nich f : D R,, y f (), Rozpatrujmy: oraz 0 D ciąg argumntów n 0 ciąg ilorazów róŝnicowych f ( ) f ( ) n n 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
Pochodna funkcji - ida Granicę tgo ciągu ilorazów róŝnicowych nazywamy pochodną funkcji w punkci 0. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3
Pochodna funkcji Dfinicja Nich f : D R,, 0 D ( n ) taki ciąg, Ŝ D dla kaŝdgo n + n N oraz lim n 0 n A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 33
Pochodna funkcji JŜli istnij skończona granica ciągu ilorazów róŝnicowych nizalŝna od wyboru ciągu ( n ), to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkci 0 i piszmy f ( 0 ) lim n f ( n ) f 0 n ( 0 0 ) K o n i c d f i n i c j i A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 34
Pochodna funkcji - komntarz Z tj dfinicji oraz twirdzń opisujących własności pochodnj wyprowadza się wzory na pochodn funkcji lmntarnych podan dalj. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 35
Pochodna funkcji - komntarz Pochodna funkcji jst równiŝ pwną funkcją. NiŜj podano przykłady zapisu pochodnj. wzór funkcji f ( ) + A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 36
Pochodna funkcji - komntarz Pochodna funkcji jst równiŝ pwną funkcją. NiŜj podano przykłady zapisu pochodnj. wzór funkcji wzór pochodnj f ( ) + f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 37
Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 38
Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 39
Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) h ( ) 5 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 40
Pochodna funkcji - przykłady wzór funkcji wzór pochodnj g ( ) g ( ) h ( ) 5 h ( ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Pochodna funkcji - trminologia Wyznaczani pochodnj funkcji f nazywa się róŝniczkowanim funkcji f. RóŜniczkując daną funkcję będzimy korzystać z wzorów na pochodn pwnych funkcji i rguł róŝniczkowania pwnych wyraŝń. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Wzory na pochodn funkcji ( ) Funkcja stała: f c ( ) Pochodna funkcji stałj: f 0 Konwncja zapisu ( )' wzór funkcji wzór pochodnj funkcji A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 43
Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji stałj ( ) 0 c () A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 44
Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 45
Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f ( ) ( ) 3 L A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 46
Przykład Pochodna funkcji stałj ( ) c 0 () Funkcja: f ( ) 3 Pochodna funkcji: f 3 ( ) ( ) 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 47
Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 48
Przykład Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: h, to ( α 3) ( ) Pochodna funkcji: h K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 49
Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: h, to ( α 3) ( ) ( ) Pochodna funkcji: h 3 K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 50
Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: Pochodna funkcji: h h, to ( α 3) ( ) ( ) 3 3 3 K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Przykład cd. Pochodna funkcji potęgowj ( α ) α α () α - stała, α R ( ) 3 Funkcja: Pochodna funkcji: h h, to ( α 3) ( ) ( ) 3 3 3 3 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 53
Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: g ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 54
Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: ( ) ( ) K g A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 55
Przykład Pochodna funkcji wykładniczj ( ) a a lna (3) a stała, a > 0 ( ) Funkcja: g, to a Pochodna funkcji: g ( ) ( ) ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 56
Wzory na pochodn funkcji Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) a - stała, a > 0, a A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 57
Przykład Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) ( ) Funkcja: log f Pochodna funkcji: ( ) ( ) log K f, to a A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 58
Przykład Pochodna funkcji logarytmicznj ( log ) a ln a (4) ( ) Funkcja: log f Pochodna funkcji: f ( ) ( ) log, to a ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 59
Rguły róŝniczkowania a (5) [ f ( ) ] a f ( ) a stała, a R ( ) 3 f A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 60
[ f ( ) ] a f ( ) Przykład a (5) a stała, a R ( ) 3 f f ( ) ( ) ( ) 3 K 3 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
[ f ( ) ] a f ( ) Przykład a (5) a stała, a R ( ) 3 f f ( ) ( ) ( ) 3 3 3 6 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
Rguły róŝniczkowania f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) Pochodna sumy równa jst sumi pochodnych. f ( (6.) [ ) g( ) ] f ( ) g ( ) Pochodna róŝnicy równa jst róŝnicy pochodnych. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 63
Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) 3 + K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 64
Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + 3 + K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 65
Przykład f ( + (6.) [ ) + g( ) ] f ( ) g ( ) ( ) 3 f + f ( ) ( ) ( ) 3 + 3 + ( ) ( ) ( ) 3 + K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 66
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 67 67 67 67 Przykład [ ] ( ) g f g f + + ) ( ) ( ) ( (6.) ( ) f + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K + + + + 3 3 3 3 f
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 68 68 68 68 Przykład [ ] ( ) g f g f + + ) ( ) ( ) ( (6.) ( ) f + 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 3 3 3 + + + + + f
Rguły róŝniczkowania [ ] f ) g( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) ( (7) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 69
Rguły róŝniczkowania f g( ( ) ) f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) g ( ) (8) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 70
Rguły róŝniczkowania * { g [ f ( ) ]} g f ( ) [ ] f () (9) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Zastosowania pochodnj. Badani monotoniczności funkcji.. Wyznaczani kstrmów lokalnych. 3. * Obliczani granicy funkcji rguła d L Hospitala. 4. Badani przbigu zminności funkcji. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7
Trminologia uwaga. f : ( a ; b ) R Dzidzina D f (a ; b ) Zbiór wartości Mówimy: Y W R funkcja f okrślona na przdzial (a ; b ), o wartościach rzczywistych A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 73
Trminologia uwaga. JŜli f :( a; b ) R i w kaŝdym punkci ( a ; b ) istnij pochodna funkcji f ' (), to mówimy: funkcja f jst róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 74
Badani monotoniczności Twirdzni. Dana jst funkcja f :( a; b ) R róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). Jśli ( a ; b) f ( ) > 0, to f na ( a ; b) ( a ; b) f ( ) < 0, to f na ( a ; b) ( a ; b) f ( ) 0, to f stala na ( a ; b) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 75
Diagram a b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 76
Diagram znak f ' : + a b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 77
Diagram znak f ' : + a b monotoniczność f : A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 78
Diagram znak f : ' : - a b monotoniczność f : A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 79
Diagram 3 znak f ' : 0 a b monotoniczność f : funkcja stała A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 80
Ekstrma lokaln Ekstrma lokaln: minimum, maksimum Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
Minimum lokaln Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 8
Minimum lokaln cd. Y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 83
Maksimum lokaln Y X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 84
Maksimum lokaln cd. Y 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 85
Ekstrma lokaln Y 0 0 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 86
Wykrywani kstrmów lokalnych Twirdzni. Nich funkcja f ( a ; b) R : będzi róŝniczkowalna na przdzial (a ; b). Jśli f posiada kstrmum lokaln w punkci, ( a, ) to wtdy f ' ( 0 ) 0. 0 b A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 87
Wniosk z tw. Warunk f ' ( 0 ) 0 jst warunkim konicznym istninia kstrmum lokalngo w punkci 0. Ni jst jdnak warunkim dostatcznym. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 88
Wykrywani maksimum lokalngo Twirdzni 3. Jśli funkcja f : ( a ; b) R jst róŝniczkowalna na przdzial (a; b) i dla pwngo ( a, ) zachodzi f ' ( 0 ) 0 0 b oraz istnij taki otoczni U( 0,r) (a, b), Ŝ dla ( 0 r, ) 0 f ' () > 0, oraz dla ( 0, 0 + r) f ' () < 0, to funkcja f ma w punkci 0 maksimum lokaln. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 89
Diagram dla maksimum lok. znaki f : 0 + - monotoniczność f: 0 maksimum lokaln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 90
Wykrywani minimum lokalngo Twirdzni 4. Jśli funkcja f : ( a ; b) R jst róŝniczkowalna na przdzial (a; b) i dla pwngo ( a, ) zachodzi f ' ( 0 ) 0 0 b oraz istnij taki otoczni U( 0,r) (a, b), Ŝ dla ( 0 r, ) 0 f ' () < 0, oraz dla ( 0, 0 + r) f ' () > 0, to funkcja f ma w punkci 0 minimum lokaln. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
Diagram dla minimum lok. znaki f : 0 - + monotoniczność f: 0 minimum lokaln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 9
Przykład f ( ) ( ) K f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 93
Przykład f ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 94
f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 95
f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ln K A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 96
f ( ) Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) K ( ) ln A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 97
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 98 98 98 98 Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 99 99 99 99 Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 00 00 00 00 Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) K ) ( f
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0 0 0 0 Przykład ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ) (
Przykład f ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 03 03 03 03 Przykład f ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( > < < > f f f
Przykład cd. Funkcja f dla f dla monotoniczność f: f() jst: znaki f : < > 0 + - 0 maksimum lokaln dla przyjmuj maksimum lokaln o wartości y f () ma A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 04
Rguła d L'Hospitala * lim f ( ) Tw 4. Jśli granica ilorazu funkcji g( ) 0 jst wyraŝnim nioznaczonym typu 0 0 lub oraz istnij granica ilorazu lim f ( ) pochodnych tych funkcji g ( ) 0, to lim f ( ) g( ) lim f ( ) g ( ) 0 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 05
Uwaga * Tw. 4 jst prawdziw dla 0 skończonych oraz dla ± 0, a takŝ dla granic jdnostronnych. Przykład lim + lim + 0 lim + H lim + ( ) ( ) A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 06
Badani przbigu zminności funkcji Dla funkcji danj wzorm yf():. Dzidzina. Punkty wspóln z osiami układu współrzędnych 3. Granic funkcji; asymptoty 4. Pochodna funkcji; monotoniczność, kstrma 5. Tablka 6. Wykrs A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 07
Przykład. Funkcja dana jst wzorm: f ( ). Dzidzina: 0 0 ( ) 0 ( ) ( + ) 0 lub Dzidzina D R-{ -, } U W A G A. B a d a n i t y l k o d l a a r g u m n t ó w d o d a t n i c h. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 08
. Punkty wspóln z osiami układu: z osią OX: f ( ) 0 0 0 0 Wykrs ni przcina osi OX, zatm mijsca zrow ni istniją. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 09
z osią OY: dla 0 f ( ) 0 Punktm wspólnym z osią OY jst A(0, ). 0 A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 0
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3. Granic funkcji: 0, lim + 0, lim ( ) ( ), 0 lim lim + + + ( ) ( ), 0 lim lim + + + K o m n t a r z, j a k i g r a n i c o b l i c z ać.
Asymptoty, asymptota pionowa obustronna, y 0, asymptota pozioma obustronna. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i
A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 3 3 3 3 4. Pirwsza pochodna ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f D la kaŝdgo D mamy ( ) 0 >, zatm znak pochodnj zalŝy tylko od znaku wyraŝnia w liczniku pochodnj.
Znaki pochodnj: f f f ( ) < 0 < 0 < 0 ( ) > 0 > 0 > 0 ( ) 0 0 0 znak f ': - - 0 + + monotoniczność f: - 0 min. lok. A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 4
Monotoniczność funkcji: ( ) dla ( ; ) oraz ( ; ), f 0 f ( ) dla ( 0; ) oraz ( ; + ), f() posiada minimum lokaln w punkci 0 0, przy czym y m i n f(0). A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 5
Tabla 0 (0 ; ) ( ; + ) f '() 0 + + f () min. lok. + as. pion. 0 y m in obustr. - A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 6
Wykrs Y 4 3 0-5 -4-3 - - 0 3 4 5 - - -3 X A n n a R a j f u r a, M a t m a t y k a s m s t r, W S Z i M w S o c h a c z w i 7