MECHANIKA II. Drgania wymuszone

MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30

Układ drgajacy o jednym stopniu swobody k m G P S x o x Założenia i warunki: Masa m [kg] zawieszona na sprężynie o sztywności k [N/m] Siła sprężystości S = k x Siła grawitacji G = m g Ugięcie statyczne λ st = mg [m] k Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (1) i=1 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 2 / 30

Równanie różniczkowe układu z dodatkowa siła Podstawiajac do równania (1) otrzymujemy: m a = S + G + P (2) Uwzględniajac warunki swobody dla układu, jedna oś: oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) + mg + P a sin(ωt) (3) mẍ = kx + P a sin(ωt) (4) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + ωox 2 = P a sin(ωt) (5) m gdzie częstość drgań własnych: ω o = k m (6) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 3 / 30

Rozwiazanie równania różniczkowego Równania różniczkowe (5) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x(t) = C 1 cos(ω o t) + C 2 sin(ω o t) + P a 1 m ωo 2 sin(ωt) (7) ω2 ẋ(t) = C 1 ω o sin(ω o t) + C 2 ω o cos(ω o t) + P a ω m ωo 2 cos(ωt) (8) ω Przyjmujac warunki poczatkowe w postaci: wyliczamy stałe całkowania: x(t = 0) = x o oraz ẋ(t = 0) = ẋ o (9) C 1 = x o oraz C 2 = ẋo ωp a 1 ω o ω o m ωo 2 (10) ω2 Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 4 / 30

Ostatecznie po podstawieniu stałych całkowania otrzymujemy: x(t) = x o cos(ω o t) + ẋo sin(ω o t) ω }{{ o } I+II P a ω mω o (ωo 2 ω 2 ) sin ω ot + (11) }{{} III P a m(ωo 2 sin ωt ω2 ) }{{} IV I + II drgania ( własne układu wynikaj ) ace z przyjętych warunków poczatkowych x(t = 0),ẋ(t = 0). III drgania o częstości własnej układu ω o zależne od amplitudy P a i częstości siły wymuszajacej ω. IV drgania wymuszone o częstości siły wymuszajacej ω. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 5 / 30

Jak wpływaja poszczególne człony równania?? Rozpatrzmy zachowanie elementu III-go, który zapiszemy w następujacej postaci: A 1 sin ω o t gdzie A 1 = P a ω mω o (ω 2 o ω 2 ) (12) A 1 - amplitudę sygnału porównujemy do ugięcia statycznego λ st(pa), które powstało by przy oddziaływaniu stałej siły P a. Wprowadzamy współczynnik wzmocnienia µ 1 µ 1 = A 1 λ st(pa) gdzie λ st(pa) = P a k (13) Podstawiajac: µ 1 = P a ω k mω o (ωo 2 = ω2 ) P a ωω o ω 2 o ω (14) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 6 / 30

Analiza członu III współczynnik µ 1 µ 1 1 2 3 ω ω o Upraszczaja i przekształcajac do wygodnej postaci wyrażenie na µ 1 otrzymujemy: ω ω o µ 1 = ( ω ) 2 (15) 1 ω o Charakter zmian µ 1 w zależności od ω stosunku częstości ω o pokazano na rysunku obok. Wyraźnie widać asymptote gdy: ω = 1 czyli ω = ω o!!! ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 7 / 30

Analiza członu IV -go Zapisujemy element IV -y w postaci: A 2 sin ωt gdzie A 2 = P a ω mω o (ω 2 o ω 2 ) (16) A 2 - amplitudę sygnału porównujemy do ugięcia statycznego λ st(pa), które powstanie przy oddziaływaniu stałej siły P a. Wprowadzamy współczynnik wzmocnienia µ 2 µ 2 = A 2 λ st(pa) gdzie λ st(pa) = P a k (17) Podstawiajac: µ 2 = P a k mω o (ωo 2 = ω2 ) P a ω2 o ω 2 o ω2 (18) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 8 / 30

Analiza członu IV współczynnik µ 2 Upraszczaja i przekształcajac do µ 2 1 2 3 ω ω o wygodnej postaci wyrażenie na µ 2 otrzymujemy: µ 2 = ω2 o ωo 2 = 1 ( ω2 ω ) 2 (19) 1 ω o Charakter zmian µ 2 w zależności od ω stosunku częstości ω o pokazano na rysunku obok. Wyraźnie widać asymptote gdy: ω = 1 czyli ω = ω o!!! ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 9 / 30

Rezonans µ µ 2 µ 1 1 2 3 ω ω o Analizujac zależności na µ 1 i µ 2, widać iż obie wartości rosna do nieskończoności gdy: ω = ω o Inaczej mówiac: jeżeli częstość siły wymuszajacej nasz układ ω pokrywa się z częstościa drgań własnych ω o tegoż układu, to amplituda jego drgań rośnie do nieskończoności. Takie zjawisko nazywamy REZONANSEM Natomiast częstość drgań wymuszajacych ω = ω o nazywamy częstościa rezonansową. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 10 / 30

Analizujac zachowanie członów III+IV możemy napisać: P a ω mω o (ωo 2 ω2 ) sin ω P a ot + m(ωo }{{} 2 sin ωt ω2 ) }{{} III IV (20) sumujac i przekształcajac otrzymamy: P a (ω sin ω o t ω o sin t) mω o (ω 2 o ω 2 ) = P a m ( ω ω o sin ω o t + sinωt) ω 2 o ω 2 (21) Rozpatrujac zachowanie się wyrażenia (21), które jest w granicy nieoznaczone 0 0, musimy skorzystać z reguły L Hospitala. Zamieniamy licznik i mianowniki wyrażenia na jego pochodne względem ω: lim ω ω o P a m ( 1 ω o sinω o t + t cos ωt) = P a (sin ω o t ω o t cos ω o t) (22) 2ω 2mω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 11 / 30

Rozwiazanie równania ruchu (11) otrzyma w przypadku granicznym, gdy ω ω o następujac a postać: x(t) = x o cos ω o t + ẋo sinω o t P a ω }{{ o 2mω } 2 sinω o t + P a ω o t o }{{} 2mω 2 cos ω o t o }{{} I+II III IV (23) Wraz ze wzrostem czasu człony I, II, III, staja się pomijalnie małe stosunku do członu IV. Przyjmujac umownie za amplitudę drgań wyrażenie: A = P at 2mω o w granicy lim t A = (24) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 12 / 30

Amplituda w rezonansie x A = P at 2mω o t Amplituda drgań A rośnie do nieskończoności gdy częstość oddziaływania siły wymuszajacej pokrywa się z częstościa drgań własnych obiektu ω = ω o. Mówimy wtedy, że obiekt wpadł w rezonans. Rezonans Rezonans układów mechanicznych jest bardzo NIEBEZPIECZNY, ponieważ wzrost amplitudy drgań doprowadza bardzo szybko do ich zniszczenia. Przeciwdziałanie występowaniu rezonansu: unikanie wymuszania siłami o częstościach bliskich częstości własnych układu (pokrycia w wymuszeniem) tłumienie drgań Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 13 / 30

Układ drgajacy o jednym stopniu swobody z tłumieniem k m c x o ẋ x S T G P Założenia i warunki identyczne jak dla układu bez tłumienia z uwzględnieniem: W układzie pojawia tłumienie (dyssypacja energii) się na skutek np. oporu ośrodka lub zewnętrznej siły Współczynnik tłumienia stały c Siła tłumienia T ma charakter wiskotyczny, zależny od prędkości o wartości przeciwnej do prędkości ẋ. Dodatkowa siła zewnętrzna P Najczęściej o charakterze okresowym P = P a sin(ωt), gdzie: P a amplituda siły wymuszajacej ω częstość siły wymuszajacej. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 14 / 30

Równanie ruchu - wychodzac z drugiej zasady dynamiki n m a = F i (25) Podstawiajac siły do powyższego równania otrzymujemy: i=1 m a = S + G + P + T (26) Uwzględniajac warunki dla układu, oś oraz ugięcie statyczne: mẍ = k(x + λ st ) cẋ + mg + P a sin(ωt) mẍ = kx cẋ + P a sin(ωt) (27) Ostateczna postać równania różniczkowego ẍ + 2nẋ + ωo 2 x = q sin(ωt) (28) gdzie: ω o = k m, 2n = c m oraz q = P a m (29) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 15 / 30

Rozwiazanie równania różniczkowego dla układu z tłumieniem Równania różniczkowe (28) jest równaniem drugiego stopnia, o stałych współczynnikach, niejednorodnym. Jego rozwiazanie wyglada następujaco: x = x 1 + x 2 gdzie: x 1 = r o exp nt cos(ut + ϕ o ) (30) x 2 = Asin(ωt δ) (31) Stałe A i δ sa tak dobrane by równanie było spełnione tożsamościowo i wynosza: tan δ = 2nω ω 2 o ω, A = q (ω 2 o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 (32) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 16 / 30

Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω 2 I o ω 2) sin(ωt δ) (33) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30

Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω 2 I o ω 2) sin(ωt δ) (33) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω + = Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30

Rozwiazanie ogólne otrzymujemy ostatecznie w postaci: x(t) = r o exp nt q cos(ut + ϕ o ) + }{{} (ω sin(ωt δ) (33) 2 I o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 }{{} II Analizujac powyższe równanie można opisać wpływ poszczególnych członów: Człon I sa to zanikajace drgania własne układu Człon II sa to utrzymujace się drgania wzbudzane z częstościa siły wymuszajacej ω x + = t Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 17 / 30

Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa Amplitudę sygnału (wzór 32) możemy przekształcić następujaco: A = q x (ω = st (34) 2 o ω2) 2 + 4n 2 ω 2 (1 β 2 ) 2 + 4γ 2 β 2 gdzie: β = ω ω o, γ = n ω o, x st = qm k (35) Wprowadzamy dla ułatwienia współczynnik wzmocnienia amplitudy α: α = A x st (36) Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 18 / 30

Charakterystyka amplitudowo częstotliwościowa Analizujac współczynnik wzmocnienia amplitudy α możemy narysować krzywe rezonansowe pokazujace charakterystyki w zależności od współczynnika tłumienia: α = A x st γ = 0 γ = 0.15 γ = 0.2 γ = 0.3 γ = 0.4 γ = 0.5 γ = 1 γ = 3 γ = 10 1 β = ω ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 19 / 30

Charakterystyka fazowa Tłumienie ma silny wpływ na wartość kata przesunięcia fazowego δ pomiędzy siła wymuszajac a a odpowiedzią układu, jego przemieszczeniem x(t). tan δ = 2nω ω 2 o ω = 2γβ 1 β 2 (37) 180 o δ γ = 0.25 γ = 0.5 γ = 1 90 o γ = 0.01 γ = 2 γ = 4 1 γ = 0.1 β = ω ω o Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 20 / 30

Rezonans układu jednomasowego Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 21 / 30

Wahadło drgania Równanie różniczkowe wahadła matematycznego, bez uwzględniania oporów, wyglada następujaco: O φ r m φ + g r φ = 0 (38) Przez analogię i porównanie z równaniem układu drgajacego o jednym swobody możemy zapisać: φ + ω 2 oφ = 0 gdzie ω 2 o = g r (39) G Ważny wniosek Częstość drgań wahadła nie zależy od jego masy a jedynie od długości ramienia r oraz przyspieszenia ziemskiego g. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 22 / 30

Rezonans wahadła Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 23 / 30

Katastrofa mostu Tacoma Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 24 / 30

Źródła drgań Źródłem drgań w układach mechanicznych sa różnorakie siły, których pochodzenia należy szukać w otaczajacym dana konstrukcję środowisku. Często zdarza się, że źródłem drgań wymuszonych sa siły, powstajace wewnatrz układu mechanicznego a spowodowane ruchem pewnych elementów i ich bezwładnościa. Przykładem może być silnik którego prędkość obrotowa może wywoływać drgania innych powiazanych z nim elementów. Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 25 / 30

Naziemne testy helikoptera I - działanie rezonansu Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 26 / 30

Naziemne testy helikoptera II - działanie rezonansu Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 27 / 30

Czy można śpiewajac stłuc szkło?? Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 28 / 30

Układy ciagłe a układy dyskretne - drgania w samolotach Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 29 / 30

Układy ciagłe a układy dyskretne Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 30 / 30