Analiza Matematyczna część 5

Transkrypt

1 [wersja z 14 V 6] Analiza Matematyczna część 5 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 5/6 Wojciech Broniowski 1

2 Równania różniczkowe

3 Definicje, klasyfikacja Równanie różniczkowe zwyczajne ma ogólną postać F( x, y( x), y'( x),...) =, gdzie... oznaczają możliwosć wystąpienia wyższych pochodnych. Zmienna x jest zmienną niezależną, a y( x)jest szukaną funkcją. Rząd równania to najwyższy rząd pochodnej. W szczególnosci, równanie różniczkowe rzędu pierwszego ma postać F( x, y, y') =. Równanie różniczkowe cząstkowe ma ogólną postać yx ( 1,..., xn) yx ( 1,..., xn) F( x1, x,..., xn, y( x1,..., xn),,...,,...) = x x (równaniami cząstkowymi nie bedziemy się zajmować) 1 n Uklad równań różniczkowych zwyczajnych na n funkcji y ( x) ma postać F( x, y ( x),..., y ( x), y '( x),..., y '( x),...) i 1 n 1 n =, i = 1,..., n i Model fizyczny/ekonomiczny/... r. różniczkowe 3

4 Przykład: oscylator harmoniczny Ftxt (, ( ), xt ( ), xt ( )) = r. mechaniki f = ma prawo Newtona k kx t = mx t k m > = ω m x () t = ω x() t r. różniczkowe do rozwiązania ( ) ( ),,, oscylator harmoniczny xt ( ) = Acos( ωt) + Bsin( ωt) ogólna postać rozwiązania = ω ω + ω ω = ω Sprawdzenie: xt ( ) A sin( t) B cos( t), xt ( ) xt ( ) Warunki początkowe: xt () = x, xt () = v A= x, Bω = v v xt () = x cos( ωt) + sin( ωt) rozwiązanie spelniające war. początkowe ω 4

5 Przykład: rozpad promieniotwórczy / wzrost populacji dn() t = λnt (), λ > dt (ubytek na jedn. czasu proporcjonalny do liczby atomów) Rozw.: Nt ( ) = Nexp( λt) liczba nierozpadlych atomów po czasie t λ λ Nt ( ) = Nexp( λt) populacja w czasie t, prawo wzrostu Malthusa Bardziej realistyczne równanie: dn() t = λnt Nt N dt x = N N x = λx x) * ()[1 ()/ ], * / (1 (nieliniowosć!) 5

6 Ogólne uwagi i twierdzenia Rozwiązanie yx ( ) r.r. nazywamy calką r.r., a wykres ( xyx, ( )) krzywą calkową. Calka ogólna równania rzę du pierwszego jest postaci yx ( ) = f( x, C), gdzie C jest stalą. Stalą tę wyznacza się z warunku poczatkowego y = f( x, C). Rozwiązanie osobliwe to rozwiązanie, którego nie można uzyskać z postaci f( x, C) dla żadnej wartosci C. y ' Przyklad: y' = y = 1 ( y) ' = 1 y = x+ C, x+ C y ( x+ C), x C yx ( ) =, x < C y( x ) = rozw. osobliwe 6

7 Jednoznaczność rozwiązań Tw. (o jednoznacznosci rozwiązań) R. postaci y' = f( x, y), f( x, y) i f ( x, y) ciagle w pewnym otoczeniu ( x, y ) y otoczenie ( x a, x + a), w którym jest okreslona dokladnie jedna funkcja φ( x) o wlasnociach: φ'( x) = f ( x, φ( x)), φ( x ) = y. 7

8 Równanie o zmiennych rozdzielonych dy p( y) y '( x) = q( x) p( y) = q( x) p( y) dy = q( x) dx p( y) dy = q( x) dx dx P( y) = p( y) dy, Q( x) = q( xd ) x, Rozwiązanie jest dane w postaci uwiklanej! 3 ' 3, ' P( y) = Q( x) + C, C pewna stala d dy d d D: ( P( y( x)) Q( x) C) = P( y) Q( x) = y' p( y) q( x) = dx dx dy dx Przyklad: 3 dy() t y t 3 3 y = t y dy = tdt = + C y = t + 3C dt 3 3 C = C y = t + C 3 y t C ' Warunek początkowy: y( t ) = y = + y = ( t t ) + y 3 3 Z nieskończonej liczby rozwiązań z parametrem C warunek początkowy wybiera jedno! 8

9 Rozwiązanie równania populacji ( λ = 1): dx dx x x = x(1 x) dt ln t C exp( t C) dt = = + = + x(1 x) x 1 x = exp( C)exp( t) 1 = C' exp( t) x( t) = x x 1 C' exp( t) 1 war. początkowy: xt ( = ) = x 1 = C' x xt () = 1 1 x + x 1 exp( 1 x x x 1 + exp( t) exp( t) t ln, x (,) ( 1, ) x x 1 x 1 x = x( t) = x :lim x( t) = 1 t t) 9

10 Jednoparametrowe rodziny krzywych R. populacji x = x(1 x) xt () = 1 1 x + t x 1 exp( ) Inne równanie y y = t yt () 3t = 3 + y 3 1

11 Równania sprowadzalne do równania o zmiennych rozdzielonych y' = f( ax + by + c) u = ax+ by + c u' = a+ by ' = a+ bf ( u) u ' = 1 a+ bf( u) R. jednorodne w x i y: y y'( x) = f x y ux ( ) =, y= ux, y' = ux ' + u x u' x+ u = f( u) u ' 1 =, f( u) u, x f( u) u x 11

12 Równanie zupełne dy P Q Pxy (, ) + Qxy (, ) =, = dx y x F F Wówczas istnieje F( x, y) : = P, = Q x y df( x, y) F F dy = + = P+ Qy' = F( x, y) = C dx x y dx F = P F( x, y) = P( x, y) dx+ φ( y) = χ( x, y) + φ( y) x F( x, y) χ( x, y) φ( y) = + = Q daje się rozwiązać dla φ( y) y y y 1

13 Przyklad: 3 3 (4x 6 xy ) dx (9x y 3) dy P Q F F = = = = + = = + y x x y xy, P 4x 6 xy, Q 9x y (, ) (, ) (4 6 ) 3 ( ) F x y = P x y dx = x + xy dx = x + x y + φ y F y F x = = 9x y + '( y) = = 9x y + 3 '( ) = 3 ( ) = 3 + φ 4 3 (, y) C = x + 3x y + 3 y + C' = 4 3 Rozwiązanie: x + 3x y + 3 y + C' = Q φ y φ y y c 13

14 Czynnik całkujący dy Czynnik calkujący to funkcja μ( x, y) : μ( x, y) P( x, y) + μ( x, y) Q( x, y) = jest dx r. zupelnym, czyli ( μp) = ( μq). Funkcja taka istnieje zawsze, ale tylko w niektórych y x przypadkach można ją znaleźć w prosty sposób, np. gdy jest postaci μ( x), μ( y), lub f ( x) g( y) Przyklad: (1 ) + ( ) = x y dx x y x dy P Q = x = y 3 x. Szukamy μ( x) : ( μ( x)(1 x y)) = ( μ( x) x ( y x)) y x y x x μ( x) μ'( x) x ( y x) μ( x)(x 3 x ) μ '( x) μ( x) x μ ( x) = = + y = - (przyjmujemy c = 1). Mnożymy r.: ( x y) dx+ ( y x) dy =, co jest r. zupelnym. c x 14

15 Równanie liniowe dy Jednorodne: y' = p( x) y = p( x) ln y = p( x) dx C y + x y = Cexp ( p( x) dx) lub y = y exp p() t dt x Niejednorodne: y' = p( x) y + qx ( ). Różnica dwóch rozwiązań r. niejednorodnego spelnia r. jednorodne: y' = y ' y ' = ( pxy ( ) 1 + qx ( )) ( pxy ( ) + qx ( )) = px ( )( y y ) = pxy ( ) 1 1 rozw. ogólne r. niejednorodnego jest suma rozw. szczególnego r. niejednorodnego i rozw. ogólnego r. jednorodnego Metoda I: odgadniecie rozw. szczególnego r. Metoda II: uzmiennianie stalej. niejednorodnego. 15

16 Uzmiennianie stałej y' = p( x) y + q( x), P( x) = p( x) dx, y( x) = C( x)exp( P( x)) C'( x)exp( Px ( )) + Cxpx ( ) ( )exp( Px ( )) = pxcx ( ) ( )exp( Px ( )) + qx ( ) C'( x) = qx ( )exp( Px ( )) Cx ( ) = qx ( )exp( Px ( )) dx yx ( ) = qx ( ) exp( Px ( )) dx exp( P( x)) rozw. szczególne Dodajemy rozw. ogólne r. jednorodnego Przyklad: ( c ) yx ( ) = + qx ( )exp( Px ( )) dx exp( Px ( )) szukane rozw. ogólne ( ) y' = xy xexp x x R. jedn. : y' = xy, y = Cexp( xdx), y = C( x) exp x x x x yx ( ) = c xexp dx exp = c exp exp 16

17 Równanie Bernouilliego y' = p( x) y + q( x) y α 1 α z y z x α p x z x α q x = '( ) = (1 ) ( ) ( ) + (1 ) ( ) Równanie typu F(x,y,y )= Podstawienie z = y',co daje ukad równan z = y', F( x, z, z') 17

18 Układy równań różniczkowych x1' = f1( t, x1,..., xn ) x' = f( t, x1,..., xn ) x' = f( t, x) (*)... xn ' = fn( t, x1,..., xn) 1. Jednoznacznosć rozwiązania. Zależnosć od warunku początkowego 3. Stabilnosć ("mala zmiana warunku poczatkowego powoduje male zmiany rozwiazania dla duzych t") n Tw. f :[ t α, t + α] K( x, r) R ciągla ( α >, r > ), oraz spelnia warunek Lipschitza, tzn. L > t [ t α, t + α] x, y K( x, r) : f( t, x) f( t, y) L x y δ > oraz dokladnie jedno rozwiazanie ukladu (*) x : ( t δ, t + δ) K( x, r) spelniające warunek poczatkowy xt ( ) = x ( lokalna jednoznacznosć). (rozwiązanie zależy od n parametrów - calkowity rząd ukladu równań) 18

19 Jeżeli f ma ciągle pochodne cząstkowe, to spelnia war. Lipschitza, więc uklad z taką funkcją f ma jednoznaczne rozwiązanie z danym warunkiem początkowym. Jesli f nie spelnia war. Lipschitza, to równanie może mieć więcej niż 3 1/3 jedno rozwiązanie, np. x' = x ma dwa rozwiązania: x1 ( t) = (osobliwe) x t = t x ) =. n n Przedlużanie rozwiązania: x1 :( ab, ) R, x :( c, d) R, ( a, b) ( cd, ), wtedy x jest przedlużeniem x. Rozwiązanie (*) jest wysycone wzbiorze A, 3/ i ( ). Obydwa spelniają war. początkowy ( 1 jeżeli jedynym jego przedlużeniem w zbiorze A jest ono samo. n Tw. f : A= ( ab, ) U R ciągla i spelniająca warunek Lipschitza w pewnym otoczeniu każdego punktu A. Wtedy dla dowolnego punktu ( t, x) A istnieje dokladnie jedno rozwiązanie wysycone spelniajace xt ( ) = x. 19

20 R. r. liniowe rzędu drugiego ay '' + by ' + c = f( x), a, a, b, c stale R. jednorodne: ay '' + by ' + cy =. y = rx ar + br + c = Δ = b ac Podstawiamy exp( ) (r. charakterystyczne), 4 b ± Δ 1) Δ>, r1/ =, y = C1 exp( rx 1 ) + C exp( r x) a b ) Δ=, r =, y = ( C1 + xc ) exp( rx) a b Δ 3) Δ<, α =, β =, y = exp( αx) C1cos( βx) + Csin( x) a a [ β ] b± i Δ (lub y = C1exp( rx 1 ) + C exp( rx), gdzie r1/ = a Przyklad: uklad RLC, Q ladunek na kondensatorze dq dq Q L 1 L + R + =, Δ = R 4, ω = dt dt C C LC R = Qt () = Ccos( ωt) + C sin( ωt) 1

21 R. niejednorodne - uzmiennianie C i C lub odgadnięcie Przyklad: wymuszony obwód RLC, f ( t) = U cos( ω t), ω = 1 Odgadujemy rozw. szczególne ukladu jednorodnego: Qt ( ) = Acos( ω t) + B sin( ω t), podstawienie A B LAω + RBω + cos( ωt) + LBω RAω + = Ucos( ωt) C C ( U ω ω ) A = A ( ) LAω + RBω + = U L R C ω ω + ω L B LBω RAω + = U Rω B = C L ( ) R ω ω + ω L To rozwiązanie dodajemy do rozw. ogólnego równania jednorodnego. 1 LC 1

22 Układ równań liniowych a11() t a1 n () t x '( t) = A( t) x() t + b(), t A() t = (*) an1( t) ann( t) n Tw: t ( a, b), x R, aij ( t) ciągle jedyne rozwiązanie (*) spelniajace xt () = x. Rozwiązanie jest okreslone w calym przedziale ( ab, ).

23 R. Różniczkowe cząstkowe 3

24 Szereg Fouriera 4

25 Transformata Fouriera 5