Sterowanie Serwonapędów Maszyn i Robotów

Transkrypt

1 Wykład Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017

2 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele stanów stabilnych, histereza, straty energii w wyniku tarcia. W praktyce, dla uproszczenia opisu matematycznego przeprowadza się ich linearyzację, co pozwala na sformułowanie przybliżonego opisu liniowego zjawiska, ważnego w otoczeniu wybranego punktu pracy na charakterystyce statycznej (punkt ten odpowiada najczęściej nominalnym lub uśrednionym warunkom pracy układu).

3 Metody opisu działania elementów (układów) liniowych Stosowany aparat matematyczny: opis zjawiska w postaci równań różniczkowych, linearyzacja modelu, rachunek operatorowy. Podstawowymi formami matematycznego opisu działania elementu (układu) są: równanie dynamiki, transmitancja operatorowa, równania stanu.

4 Metody opisu działania elementów (układów) liniowych W przypadku elementu (układu) o jednym sygnale wejściowym x(t) i jednym sygnale wyjściowym y(t) równanie dynamiki wyraża związek zachodzący pomiędzy sygnałem wyjściowym y(t) i sygnałem wejściowym x(t). Rysunek : Proces - przyczynowo-skutkowy ciąg zdarzeń

5 Opis matematyczny układów liniowych - równania dynamiki Zasada superpozycji: f (x 1 + x 2 ) = f (x 1 ) + f (x 2 ), and f (0) = 0 (1) Przestrzeń rozwiązań równania spełniającego zasadę superpozycji (1) jest przestrzenią liniową. Jednorodność (implikuje niezmienność skalowania): Funkcja f (x, y) jest jednorodna w stopniu k jeżeli. gdzie: β - stały współczynnik. Układ liniowy f (βx, βy) = β k f (x, y), and f (0) = 0 (2) Układ opisany funkcją jednorodną, w którym zachowana jest zasada superpozycji. Układ nieliniowy Układ, w którym nie jest zachowana jest zasada superpozycji i/lub nie jest opisany funkcją jednorodną.

6 Linearyzacja

7 Linearyzacja Tworzenie opisu liniowego na podstawie opisu nieliniowego nazywa się linearyzacją. Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań algebraicznych nazywa się linearyzacją statyczną. (brak pochodnych) Linearyzacja opisu nieliniowego w postaci równań różniczkowych nazywa się linearyzacją dynamiczną. Metody linearyzacji statycznej linearyzacja metodą siecznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym w określonym przedziale zmian zmiennej niezależnej. linearyzacja metodą stycznej: uzyskanie najlepszej zgodności opisu liniowego z nieliniowym dla określonej wartości zmiennej niezależnej, a więc i określonej wartości zmiennej zależnej.

8 Linearyzacja statyczna Rysunek : Linearyzacja statyczna; a) metoda siecznej, b) metoda stycznej. Ponieważ w automatyce rozważa się zachowanie układów w otoczeniu określonego punktu pracy, w dalszych rozważaniach przydatna jest linearyzacja metodą stycznej.

9 Linearyzacja metodą stycznej Przeprowadzony proces linearyzacji metodą stycznej polega na : zastąpieniu krzywej, reprezentującej nieliniową zależność y = f (x) styczną do niej w punkcie pracy, przeniesieniu początku układu współrzędnych do punktu pracy, zastąpieniu w modelu matematycznym zmiennych absolutnych x i y odchyleniami tych zmiennych od punktu pracy - zmiennymi przyrostowymi x i y. Charakterystyka statyczna wyznaczona na podstawie równania zlinearyzowanego względem określonego punktu pracy jest funkcją liniową. Można ją także wyznaczyć linearyzując charakterystykę rzeczywistą względem tego samego punktu pracy

10 Linearyzacja statyczna - przykład Funkcja niejednorodna Przyjmując punkt pracy - {x 0, y 0 }, y 0 = f (x 0 ) Rozwinięcie w szereg Taylora w punkcie pracy y = mx + b (3) y = f (x) = f (x 0 ) + df dx (x x 0 ) x=x 0 + d 2 f 1! dx 2 (x x 0 ) 2 x=x (4) 2! Prosta styczna (pierwsza pochodna) w punkcie pracy jest dobrą aproksymacją w małym zakresie zmian argumentu funkcji (wielkości wejściowej). Tak więc i ostatecznie y = f (x 0 ) + df dx x=x 0 (x x 0 ) = y 0 + m(x x 0 ) (5) y y 0 = m(x x 0 ) y = m x (6)

11 Linearyzacja dynamiczna Przykład równania różniczkowego, będącego nieliniową zależnością pomiędzy funkcjami x(t) i y(t) i ich pochodnymi. F [y(t), ẏ(t), ÿ(t),..., y (n) (t), x, ẋ(t), ẍ(t),..., x (m) (t)] = 0 (7) Podczas linearyzacji dynamicznej funkcje x(t) i y(t) jak i ich pochodne traktuje się analogicznie jak zmienne funkcji uwikłanej. { n [ ] } { F m [ ] } F y (i) + x (j) = 0 (8) y (i) i=0 y (i) x (j) 0 j=0 x (j) 0 gdzie: y = y(t) y 0, ẏ = d y,..., y (n) = d n y dt dt n x = y(t) x 0, ẋ = d x dt,..., x (m) = d m x dt m

12 Linearyzacja dynamiczna - przykład Zlinearyzować układ nieliniowy opisany następującym równaniem różniczkowym y(t) = 2x(t) 2 + x(t)ẋ(t) + 2ẍ(t) 2 (9) Przyjmując statyczny punkt pracy - {x 0, y 0 }, x 0 = 1, ẋ 0 = 0, ẍ 0 = 0. Rozwijając w szereg Taylora w punkcie pracy y(t)+[ 4x(t) ẋ(t)] 0 x(t) [x(t)] 0 ẍ(t) [4ẍ(t)] 0 ẍ(t) = 0 (10) Ponieważ w statycznym punkcie pracy ẋ 0 = 0, ẍ 0 = 0, to zlinearyzowane równanie różniczkowe ma postać y(t) 4 x(t) ẋ(t) = 0 (11) Charakterystyka statyczna układu nieliniowego y = 2x 2 (12) Charakterystyka statyczna układu zlineryzowanego (styczna w punkcie pracy do ch-ki statycznej układu nieliniowego) y = 4 x (13)

13 Charakterystyka statyczna Ogólna postać równania różniczkowego układu liniowego: d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m dt m +b d m 1 x m 1 dt m 1 + +b 0x (14) gdzie: y - sygnał wyjściowy, x - sygnał wejściowy, a i, b i - stałe współczynniki. Charakterystyka statyczna Charakterystyka statyczna f st przedstawia zależność sygnału wyjściowego układu y od sygnału wejściowego x w stanie ustalonym. Stan ustalony Stanem ustalonym nazywamy jest stan, w którym wszystkie pochodne sygnału wejściowego i sygnału wyjściowego są równe zero Rysunek : Charakterystyka statyczna układu liniowego.

14 Przekształcenie Laplace a

15 Przekształcenie Laplace a Zastąpienie równania różniczkowego transmitancją operatorową, przejście z dziedziny czasu rzeczywistego t na dziedzinę zmiennej zespolonej s. f (t) f (s), gdzie s = c + jω (15) gdzie: c - współczynnik części rzeczywistej, ω - współczynnik części urojonej. Przekształcenie Laplace a f (s) = L[f (t)] = 0 f (t)e st dt (16) Odwrotne przekształcenie Laplace a - całka Riemanna Mellina f (t) = L 1 [f (s)] = 1 2πj c+jω c jω F (s)e st ds (17)

16 Przekształcenie Laplace a Przekształcenie Laplace a, nazywane też transformatą Laplace a, wykorzystywana jest w automatyce do analizy układów. Jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna zespolona S, na której mnożenie przez s daje efekt różniczkowania a dzielenie przez s całkowania. Analiza pierwiastków zespolonych równania liniowego, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu.

17 Przekształcenie Laplace a układów liniowych Transformatę Laplace a funkcji można wyznaczyć jeżeli zostaną spełnione następujące warunki: f (t) ma w każdym przedziale skończonym wartość skończoną, df (t) dt f (t) ma pochodną w każdym przedziale skończonym, istnieje zbiór liczb rzeczywistych C, dla których całka e ct jest absolutnie zbieżna. 0

18 Przekształcenie Laplace a układów liniowych d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m [ d n ] y L dt n dt m +b m 1 d m 1 x dt m 1 + +b 0x (18) = s n y(s) s n 1 y(0 + ) y n 1 (0 + ) (19) przy zerowych warunkach początkowych [ d n ] y L dt n = s n y(s) (20) Tak więc przekształcenie Laplace a układu liniowego przy zerowych warunkach początkowych przyjmuje postać y(s)(a n s n +a n 1 s n 1 + +a 0 ) = x(s)(b m s m +b m 1 s m 1 + +b 0 ) (21)

19 Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa Transmitancja operatorowa to stosunek transformaty sygnału wyjściowego do transformaty sygnału wejściowego przy zerowych warunkach początkowych y(s)(a n s n +a n 1 s n 1 + +a 0 ) = x(s)(b m s m +b m 1 s m 1 + +b 0 ) (22) G(s) = y(s) x(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 a n s n + a n 1 s n a 0 (23) przyjmuje się następujące oznaczenia oznaczenia licznik M(s) = b m s m + b m 1 s m b 0 (24) mianownik - tzw. równanie charakterystyczne N(s) = a n s n + a n 1 s n a 0 (25)

20 Wyznaczanie charakterystyki statycznej z transmitancji operatorowej x 0 = lim t x(t), na podstawie twierdzenia o wartości końcowej y 0 = lim y(t), (26) t y 0 = lim y(t) = lim sy(s) = lim sg(s)x(s) (27) t s 0 s 0 przy założeniu skokowego wymuszenia x(s) x 0 = const x(s) = 1 s x 0 (28) ostatecznie y 0 x 0 = lim s 0 G(s) (29) y 0 = b 0 a 0 x 0 (30)

21 Właściwości układów Charakterystyka dynamiczna Prezentacja przebiegu wielkości wyjściowej y(t) po wprowadzeniu do układu wymuszenia x(t) Rysunek : Postać charakterystyki dynamicznej układu.

22 Metody wyznaczania odpowiedzi układu dynamicznego d n y a n dt n +a d n 1 y n 1 dt n 1 + +a d m x 0y = b m dt m +b d m 1 x m 1 dt m 1 + +b 0x (31) Klasyczna: Założenie warunków początkowych x(0), y(0) Rozwiązanie równań różniczkowych Operatorowa: f (t) = L 1 [y(s)] = L 1 [G(s)x(s)] (32) W zastosowaniach praktycznych do wykonywania transformacji prostej i odwrotnej, które są podstawowymi operacjami w rachunku operatorowym, zwykle nie zachodzi potrzeba wykorzystywania wzorów definicyjnych. Najczęściej wystarczy znajomość podstawowych własności przekształceń Laplace a i tablice transformat typowych funkcji zmiennej rzeczywistej.

23 Typowe sygnały wymuszające Wymuszenie skokowe jednostkowe (funkcja Heaveside a) x(t) = { 1(t) dla t 0 0 dla t < 0 x(s) = 1 s Wymuszenie skokowe o wartość stałą x(t) = { xst 1(t) dla t 0 0 dla t < 0 x(s) = x st 1 s Impuls - Delta Diraca x(t) = δ(t) = { 0 dla t 0 dla t = 0 x(s) = 1 Wymuszenie liniowo narastające x(t) = at x(s) = a s 2

24 Transmitancja operatorowa obiektów MIMO Rysunek : Obiekt MIMO. Zapis wejść (p) i wyjść (r) w postaci wektorów U(s) = u 1 (s) u 2 (s). u p (s) p, Y (s) = y 1 (s) y 2 (s). y r (s) r (33)

25 Transmitancja operatorowa obiektów MIMO G MIMO (s) = Y (s) U(s) = Rysunek : Obiekt MIMO. G 11 (s) G 12 (s)... G 2p (s) G 21 (s) G 22 (s)... G 2p (s).... G r1 (s) G r2 (s)... G rp (s) r p (34) G ij (s) = y i(s), gdzie i = 1,..., r, j = 1,..., p. (35) u j (s)

26 Podstawowe człony dynamiczne

27 Wstęp W złożonych układach automatyki można często wyodrębnić szereg najprostszych niepodzielnych już elementów funkcjonalnych. Ich właściwości można przyporządkować z pewnym przybliżeniem zaledwie kilku podstawowym modelom matematycznym. Abstrakcyjne elementy o właściwościach odpowiadających tym modelom nazywamy podstawowymi (elementarnymi) liniowymi członami dynamicznymi. Opis: równanie ruchu, transmitancja operatorowa, charakterystyka statyczna, odpowiedź na wymuszenie skokowe, transmitancja widmowa, charakterystyka amplitudowo - fazowa (Nyquist) charakterystyki logarytmiczne (Bode)

28 Podstawowe człony dynamiczne y(t) = ku(t) człon proporcjonalny (bezinercyjny) T dy(t) dt + y(t) = ku(t) człon inercyjny T dy(t) dt T dy(t) dt T 2 d 2 y(t) dt = u(t), lub dy(t) dt y(t) = T du(t) dt + y(t) = T d du(t) dt + 2ξT dy(t) dt y(t) = u(t T 0 ) = ku(t) + y(t) = ku(t) człon całkujący człon różniczkujący idealny człon różniczkujący rzeczywisty człon oscylacyjny, jeżeli 0 < ξ < 1 człon opóźniający

29 Charakterystyki częstotliwościowe

30 Wstęp Charakterystyki częstotliwościowe określają zachowanie się elementu (układu) pod wpływem ciągłych sinusoidalnych sygnałów wejściowych, więc teoretycznie trwających od t =. W analizie układów liniowych charakterystyki częstotliwościowe są wykorzystywane do badania m.in. stabilności układów, a także określonych własności dynamicznych układów. Określają w funkcji częstotliwości: stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem Rozróżnia się następujące postacie charakterystyk częstotliwościowych: charakterystyka amplitudowo-fazowa tzw. wykres Nyquista, logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa (wykresy Bode go)

31 Charakterystyki częstotliwościowe Rysunek : Wyznaczanie charakterystyk częstotliwościowych u(t) = A 1 sin[ωt] y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] gdzie: A i - amplituda sygnału, ω - częstotliwość sygnału (stała dla we/wy), t ϕ - opóźnienie fazy sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego. Odpowiednio t ϕ < 0 - ujemne przesunięcie fazowe, t ϕ > 0 - dodatnie przesunięcie fazowe, Rysunek : Sygnał wejściowy Rysunek : Sygnał wyjściowy, ujemne przesunięcie fazowe

32 Charakterystyki częstotliwościowe Przesunięcie fazowe sygnału wyjściowego względem sygnału wejściowego można wyrazić jako przesunięcie w czasie o czas t ϕ i wtedy sygnał wyjściowy opisywany jest funkcją y(t) = A 2 sin[ω(t t ϕ )] lub jako przesunięcie kątowe ϕ(ω) = ωt ϕ, wtedy y(t) = A 2 sin[ωt ϕ]

33 Charakterystyki częstotliwościowe Do opisu elementów lub układów, w których występują sygnały sinusoidalnie zmienne, wykorzystuje się tzw. transmitancję widmową G(jω). Pojęcie transmitancji widmowej związane jest z przekształceniem Fouriera, które funkcji czasu f (t) przyporządkowuje transformatę F (jω) zgodnie z zależnością zwaną całką Fouriera: F (jω) = f (t)e jωt dt

34 Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa Transmitancja widmowa jest to stosunek transformaty Fouriera sygnału wyjściowego do transformaty Fouriera sygnału wejściowego. G jω = y(jω) x(jω) Między transmitancją widmową, a transmitancją operatorową istnieje formalny związek G(jω) = G(s) s=jω wynikający ze związku pomiędzy transformatami Laplace a i Fouriera.

35 Transmitancja widmowa Korzystając z własności transformaty Laplace a - twierdzenie o przesunięciu w dziedzinie zmiennej rzeczywistej L{f (t + τ)} = L{f (t)}e τs można wyznaczyć transmitancję widmową obiektu w przypadku sygnału sinusoidalnego na jego wejściu G(s) = L {A 2(ω)sin[ω(t + t ϕ )]} L {A 1 sin[ω(t)]} Ponieważ = A 2(ω) L {sin[ω(t)]} e tϕs A 1 L {sin[ω(t)]} G(jω) = Y (jω) U(jω), G(jω) = G(s) s=jω, t ϕ = ϕ(ω) ω = A 2(ω) e tϕs A 1 to G(jω) = A 2(ω) A 1 e tϕs s=jω = A 2(ω) A 1 e tϕjω = A 2(ω) e jϕ(ω) A 1

36 Transmitancja widmowa Transmitancję widmową zapisuje się następująco gdzie: M(ω) = A2(ω) A 1 G(jω) = A 2(ω) e jϕ(ω) = M(ω)e jϕ(ω) A 1 - moduł transmitancji widmowej ϕ(ω) - argument transmitancji widmowej W transmitancji można wyróżnić 2 składowe gdzie: G(jω) = M(ω)e jϕ(ω) = P(ω) + jq(ω) P(ω) - część rzeczywista transmitancji widmowej Q(ω) - część urojona transmitancji widmowej

37 Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa Charakterystyka amplitudowo-fazowa jest to krzywa wykreślona w płaszczyźnie zmiennej zespolonej, która jest miejscem geometrycznym końca wektora transmitancji widmowej G(jω) przy zmianach ω = 0 M(ω) = [P(ω)] 2 + [Q(ω)] 2 ϕ(ω) = arctg ( ) Q(ω) P(ω) Rysunek : Charakterystyka amplitudowo-fazowa P(ω) = M(ω) cos[ϕ(ω)] Q(ω) = M(ω) sin[ϕ(ω)] M(ω) = P(ω) cos[ϕ(ω)] + Q(ω) sin[ϕ(ω)]

38 Charakterystyki częstotliwościowe Charakterystyki częstotliwościowe Częstotliwościowe charakterystyki amplitudowa i fazowa są przedstawiane na dwóch oddzielnych wykresach: charakterystyka amplitudowa L(ω) = G(jω) w zależności od częstości ω, charakterystyka fazowa ϕ = arg G(ω) w zależności od częstości ω. Moduł logarytmiczny (jednostka - decybel) Rysunek : Charakterystyki logarytmiczne L(ω) = 10log 10 M 2 (ω) = 20 log M(ω)[dB]

39 Opis z wykorzystaniem równań stanu

40 Współrzędne stanu Współrzędne stanu Współrzędne stanu to wielkości charakteryzujące zachowanie się układu dynamicznego, opisujące jego stan (np. położenie, prędkość, przyspieszenie). Wektor stanu Wektor stanu układu dynamicznego to minimalny zbiór współrzędnych stanu wystarczający łącznie ze znajomością wielkości wejściowych do określenia zachowania się układu w przyszłości. Liczba współrzędnych stanu jest równa rzędowi równania różniczkowego opisującego obiekt. Opis układów we współrzędnych stanu jest trudniejszy do interpretacji fizycznej niż opis w postaci transmitancji i niemożliwy do bezpośredniego określenia na drodze pomiarowej. Jest jednak wygodniejszy do celów modelowania oraz projektowania wielowymiarowych układów sterowania i regulacji.

41 Równania stanu i wyjść Do wyznaczenia odpowiedzi na określone wymuszenie jednowymiarowego układu opisanego równaniem dynamiki n-tego rzędu, należy zdefiniować początkowy stan układu, czyli n warunków początkowych (n wartości pewnych zmiennych). Pod wpływam wymuszenia wartości tych zmiennych ulegają zmianom, jednoznacznie definiując stan dynamiczny układu w dowolnej chwili. Ogólna postać równania stanu - zmiany zmiennych stanu z n warunkami początkowymi: dx 1(t) dt = f 1 (x 1, x 2,..., x q ; u 1, u 2,..., u p ; t); x 1 (t 0 ) = x (36) dx q(t) dt = f q (x 1, x 2,..., x q ; u 1, u 2,..., u p ; t); x q (t 0 ) = x q0 Ogólna postać równania wyjść y 1 (t) = g 1 (x 1, x 2,..., x q ; u 1, u 2,..., u p ; t)... y r (t) = g q (x 1, x 2,..., x q ; u 1, u 2,..., u p ; t) (37)

42 Zlinearyzowane równania stanu i wyjść Po linearyzacji w otoczeniu wybranego stanu ustalonego (nominalnego punktu pracy - {x 0, y 0 }), równania przyjmują postać: d x 1(t) dt Zlinearyzowana postać równania stanu = q i=1 ( f1(t) x i )0 x i + p j=1 ( f1(t) u j )0 u j... d x q(t) dt = ( q fq(t) i=1 x i x i + )0 ( (38) p fq(t) j=1 u j u j )0 Zlinearyzowana postać równania wyjść y 1 = q i=1... y q = q i=1 ( g1(t) x i )0 ( gq(t) x i )0 x i + p j=1 ( g1(t) u j )0 u j x i + ( (39) p gq(t) j=1 u j u j )0

43 Postać macierzowa modelu zmiennych stanu Macierzowa postać równań stanu i wyjść { Ẋ (t) = ANL (X, U, t) Y (t) = C NL (X, U, t) (40) Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść { Ẋ (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t) (41) Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U(t) gdzie: A(t) R q q - macierz stanu, B(t) R q p - macierz wejść, C(t) R r q - macierz wyjść, D(t) R r p - macierz przenoszenia (transmisyjna). Przejście z zapisu macierzowego do zapisu transmitancyjnego G(s) = C [si A] 1 B + D (42)

44 Równania stanu układów liniowych Układ niestacjonarny Układ niestacjonarny to układ, którego wyjście zależy wprost od czasu - parametry układu zależą od czasu. Układ stacjonarny Układ stacjonarny to układ, którego wyjście nie zależy wprost od czasu. Rysunek : Schemat blokowy układu linowych równań stacjonarnych

45 Przestrzeń stanów Przestrzeń stanów, przestrzeń fazowa Zbiór wszystkich możliwych wartości wektora stanu X (t) w chwilach t tworzy przestrzeń stanów układu (przestrzeń fazową). Rysunek : Trajektoria fazowa - przykład trajektoria stanu Zbiór wartości wektora stanu układu w kolejnych chwilach czasu tworzy w tej przestrzeni krzywą, zwaną trajektorią stanu układu (trajektorią fazową).

46 Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia Ogólna postać równania transmitancji układu liniowego: G(s) = b ms m + b m 1 s m b 0 s q + a n 1 s q a 0, q > m (43) Dzieląc licznik i mianownik (46) przez s q G(s) = b ms m q + b m 1 s m 1 q + + b 0 s q 1 + a q 1 s a 0 s q (44) Wprowadzając zmienną E(s) następująco G(s) = Y (s)e(s) E(s)U(s) (45) E(s) U(s) = a q 1 s a 0 s q (46) Y (s) E(s) = b ms m q + b m 1 s m 1 q + + b 0 s q (47)

47 Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia Otrzymane równania E(s) = a 0 s q E(s) a q 1 s 1 E(s) + U(s) (48) Y (s) = b 0 s q E(s) + + b m 1 s m 1 q E(s) + b m s m q E(s) (49) Przyjmując fazowe zmienne stanu i równania stanu w postaci ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t)... ẋ n (t) = e(t) (50) gdzie e(t) = L 1 [E(s)] (51)

48 Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia Po przekształceniu Laplace a sx 1 (s) = x 2 (s) sx 2 (s) = x 3 (s)... sx q (s) = E(s) x 1 (s) = s q E(s) x 2 (s) = s q 1 E(s)... x q (s) = s 1 E(s) (52) Tak więc po uwzględnieniu zapisu w postaci zmiennych fazowych w przestrzeni zmiennych zespolonych S otrzymuje się E(s) = a 0 x 1 (s) a q 1 x q (s) + U(s) (53) Y (s) = b 0 x 1 (s) + + b m 1 x m (s) + b m x m+1 (s) (54) odpowiednio w dziedzinie czasu e(t) = a 0 x 1 (t) a q 1 x q (t) + u(t) (55) u(t) = b 0 x 1 (t) + + b m 1 x m (t) + b m x m+1 (t) (56)

49 Wyznaczanie równań stanu - metoda bezpośrenia Równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = x 3 (t)... ẋ n (t) = a 0 x 1 (t) a q 1 x q (t) + u(t) Macierze równań stanu przyjmują postać: A = a 0 a 1 a 2... a q 1 q q, B = q 1 (57) (58) C = [ b 0 b 1... b m ] 1 q, D = [0] 1 1

50 Równania stanu - element oscylacyjny Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej kω 2 0 G(s) = s 2 + 2ξω 0 s + ω0 2 (59) lub w dziedzinie czasu u(t)kω 2 0 = d 2 y(t) dt 2 + dy(t) 2ξω 0 + y(t)ω0 2 (60) dt Powyższy układ jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu. Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = ω0 2x (61) 1(t) 2ξω 0 x 2 (t) + u(t) równanie wyjścia y(t) = kω 0 x 1 (t) (62)

51 Równania stanu - element oscylacyjny Macierzowa postać zlinearyzowanych równań stanu i wyjść dla elementu oscylacyjnego { Ẋ (t) = A(t)X (t) + B(t)U(t) (63) Y (t) = C(t)X (t) + D(t)U(t) gdzie: [ A = X (t) = [ x1 (t) x 2 (t) 0 1 ω 2 0 2ξω 2 0 ], Y (t) = [ y(t) ], U(t) = [ u(t) ] (64) ] [ 0, B = 1 ], C = [ kω ], D = [0] (65)

52 Wykład Modelowanie układów dynamicznych Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2017