Analiza Matematyczna Wykªad

Aliz Mtemtycz Wykªd Spis tre±ci 1 Wst p 1 2 Ci gi liczbowe 2 3 Gric ci gu 4 4 Gric fukcji 6 5 Asymptoty fukcji 9 6 Ci gªo± fukcji 10 7 Pochod fukcji 11 8 Ekstrem fukcji 13 9 Cªk ieozczo 16 10 Cªk ozczo Riem 17 11 Szeregi liczbowe 19

1 Wst p 1 Wst p Ozczei: R zbiór liczb rzeczywistych; Q zbiór liczb wymierych; Z zbiór liczb cªkowitych; N zbiór liczb turlych; (, b) przedziª otwrty o ko«cch, b, czyli zbiór {x R: < x < b}; [, b] przedziª domki ty o ko«cch, b, czyli zbiór {x R: x b}; lub; i; = je»eli..., to... ; wtedy i tylko wtedy, gdy; istieje... ; dl k»dego... ; Deicj 1. Niech zbiory X, Y b d iepuste. Fukcj f okre±lo zbiorze X o wrto±cich w zbiorze Y zywmy przyporz dkowie k»demu elemetowi x X dokªdie jedego elemetu y Y, co zpisujemy f : X Y. Wrto± fukcji f w pukcie x ozczmy przez f(x). Deicj 2. Niech fukcj f : X Y. Wówczs zbiór X zywmy dziedzi fukcji f i ozczmy przez D f, z± zbiór Y jest jej przeciwdziedzi. Ntomist zbiór zywmy zbiorem wrto±ci fukcji f. {y Y : x X y = f(x)} = {f(x) Y : x X} Deicj 3. Wykresem fukcji f : X Y zywmy zbiór {(x, y) X Y : x X, y = f(x)}. Deicj 4. Niech fukcj f : X Y. Obrzem zbioru A X w fukcji f zywmy zbiór {f(x) Y : x A}, z± przeciwobrzem zbioru B Y w fukcji f jest zbiór {x X : f(x) B}. Ret Wiertelk 1

2 Ci gi liczbowe Deicj 5. Mówimy,»e fukcj f : X Y jest "", co zpisujemy f : X Y, wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = Y, czyli D f = Y. Ozcz to,»e dl k»dego y Y istieje x X tki,»e y = f(x), co w zpisie mtemtyczym wygl d st puj co: y Y y = f(x). x X Deicj 6. Mówimy,»e fukcj f : X Y jest ró»owrto±ciow wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolych rgumetów x 1, x 2 X z tego,»e s oe ró»e (x 1 x 2 ) wyik,»e f(x 1 ) f(x 2 ), czyli Mo»emy zpis to rówow»ie (x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )). x 1,x 2 X (f(x 1) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 ). x 1,x 2 X Deicj 7. Fukcj, któr jest jedocze±ie ró»owrto±ciow i "" b dziemy zyw wzjemie jedozcz. Uwg 1. Od tej pory przez fukcj b dziemy rozumie fukcj rzeczywist, czyli f : A R, gdzie A R. 2 Ci gi liczbowe Deicj 8. Ci giem liczbowym zywmy fukcj okre±lo zbiorze liczb turlych o wrto±cich w zbiorze liczb rzeczywistych (czyli : N R). Wrto± tej fukcji dl liczby turlej zywmy tym wyrzem ci gu i ozczmy przez zmist (). Ci g o tkich wyrzch zpisujemy ( ) N. Obrzowo ci g mo»emy trktow jko zbiór poumerowych liczb rzeczywistych. Ci gi mo»emy dodw, odejmow, mo»y, dzieli orz mo»y przez liczb w st puj cy sposób: ( ) N + (b ) N := ( + b ) N ( ) N (b ) N := ( b ) N ( ) N (b ) N := ( b ) ( ) N ( ) N := gdy b 0 dl N (b ) N b N r ( ) N := (r ) N. Ret Wiertelk 2

2 Ci gi liczbowe Oczywi±cie wolo m dzieli tylko przez ci g o wszystkich wyrzch ró»ych od zer! Deicj 9. Ci g ( ) N jest ogriczoy z doªu wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczb rzeczywist m R tk,»e wszystkie wyrzy cigu s od iej wi ksze, tz. m R > m. N Deicj 10. Ci g ( ) N jest ogriczoy z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istieje liczb rzeczywist M R tk,»e wszystkie wyrzy cigu s od iej miejsze, tz. M R < M. N Deicj 11. Ci g ( ) N jest ogriczoy wtedy i tylko wtedy, gdy jest ogriczoy z doªu i góry, tz. m,m R m < < M. N Uwg 2. W powy»szej deicji mo» tk dobr stªe m, M R, by m = M. Ztem ci g jest ogriczoy, gdy M R < M. N Deicj 12. Ci g ( ) N jest ros cy wtedy i tylko wtedy, gdy < +1, N tomist jest mlej cy wtedy i tylko wtedy, gdy > +1. N Deicj 13. Ci g ( ) N jest ieros cy wtedy i tylko wtedy, gdy +1, N tomist jest iemlej cy wtedy i tylko wtedy, gdy +1. N Deicj 14. Przez ci g mootoiczy b dziemy rozumie ci g, który jest ros cy lub mlej cy lub ieros cy lub iemlej cy. Ret Wiertelk 3

3 Gric ci gu 3 Gric ci gu Deicj 15. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric wª±ciw g R wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby ε > 0 od pewego miejsc zchodzi ierówo± g < ε, tz. ε>0 0 N g < ε. > 0 Obrzowo, liczb g jest gric ci gu ( ) N, je±li dlekie wyrzy tego ci gu zjduj si blisko liczby g. Uwg 3. Ci g zywmy zbie»ym wtedy i tylko wtedy, gdy m gric g R. Deicj 16. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric + wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby M R od pewego miejsc zchodzi ierówo± > M, tz. M R 0 N > M. > 0 Deicj 17. Mówimy,»e ci g ( ) N m gric wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dej liczby M R od pewego miejsc zchodzi ierówo± < M, tz. M R 0 N > 0 < M. Uwg 4. Fkt,»e ci g ( ) N m gric g (gdzie g R lub g = + lub g = ) b dziemy zpisyw g lub = g. Deicj 18. Ci g ( ) N jest rozbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy ie m gricy. Twierdzeie 1 (o jedozczo±ci gricy). Je±li ci g posid gric, to tylko jed. Twierdzeie 2. Je±li ci g jest zbie»y do gricy g, to rówie» k»dy jego podci g jest zbie»y do gricy g. Twierdzeie 3. K»dy ci g zbie»y do gricy g R jest ogriczoy. Twierdzeie 4. Je±li ci g jest mootoiczy i ogriczoy, to jest zbie»y. Twierdzeie 5 (o trzech ci gch). Niech b d de trzy ci gi ( ) N, (b ) N, (c ) N. Je±li dl prwie wszystkich N zchodz ierówo±ci b c orz = g i c = g, to wtedy b = g. Ret Wiertelk 4

3 Gric ci gu Twierdzeie 6 (BolzoWeierstrss). K»dy ci g ogriczoy posid podci g zbie»y. Wªso± 1. Dziªi gricch. 1. Niech = i b = b, gdzie, b, c R. Wówczs Je±li b 0, to wtedy 2. Niech = 0 () je±li > 0 dl N, to (b) je±li < 0 dl N, to Wªso± 2. ( + b ) = + b ( b ) = b (c ) = c ( b ) N = b ( 1 ( 1 ( b ) = b ) = + ) = α = dl α > 0 α = 0 dl α < 0 = 0 dl < 1 = dl > 1 ie istieje dl 1 1 = 1 = 1 dl > 0 = 1 ( 1 + ) 1 = e Uwg 5. W trkcie liczei gric mo»emy uzysk st puj ce symbole ieozczoe:, 0,, 0 0, 1, 0 0, 0. Ret Wiertelk 5

4 Gric fukcji 4 Gric fukcji Deicj 19. Niech ε > 0. Przedziª (x 0 ε, x 0 + ε) zywmy otoczeiem puktu x 0 i zpisujemy O(x 0, ε), z± sum przedziªów (x 0 ε, x 0 ) (x 0, x 0 + ε) zywmy s siedztwem puktu x 0 i zpisujemy S(x 0, ε). Deicj 20. Pukt x 0 R zywmy puktem skupiei zbioru A R wtedy i tylko wtedy, gdy w k»dym jego s siedztwie S(x 0, ε) istiej pukty ze zbioru A tz. ε>0 S(x 0, ε) A. Twierdzeie 7. Pukt x 0 R jest puktem skupiei zbioru A R wtedy i tylko wtedy, gdy istieje ci g (x ) N o wyrzch ze zbioru (A \ {x 0 }) zbie»y do x 0. Deicj 21. Pukt x 0 zywmy puktem izolowym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 A orz x 0 ie jest puktem skupiei zbioru A. Deicj 22 (Heie). Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X. Mówimy,»e liczb g R jest gric (w sesie Heiego) fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego ci gu (x ) N o wyrzch ze zbioru (X \ {x 0 }) zbie»ego do x 0 zchodzi x f(x ) = g. Symboliczie x x 0 f(x) = g (x ) N (X\{x 0 }) ( x = x 0 f(x ) = g). Deicj 23 (Cuchy). Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X. Mówimy,»e liczb g R jest gric (w sesie Cuch'ego) fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego otoczei O(g, ε) puktu g istieje s siedztwo S(x 0, δ) puktu x 0 tkie,»e f(s(x 0, δ) X) O(g, ε). Mo» to zpis f(x) = g (0 < x x 0 < δ f(x) g < ε). x x 0 ε>0 δ>0 x X Uwg 6. Deicj Heiego i Cuchy'ego gricy fukcji w pukcie s rówow»e. Deicj 24. Fukcj f w pukcie x 0 m gric lewostro rów g (co zpisujemy x x 0 f(x) = g) wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N (X (,x 0 )) ( x = x 0 f(x ) = g) Ret Wiertelk 6

4 Gric fukcji lub rówow»ie ε>0 δ>0 (x (x 0 δ, x 0 ) f(x) g < ε). x X Deicj 25. Fukcj f w pukcie x 0 m gric prwostro rów g (co zpisujemy x x + 0 f(x) = g) wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N (X (x 0, )) ( x = x 0 f(x ) = g) lub rówow»ie ε>0 δ>0 (x (x 0, x 0 + δ) f(x) g < ε). x X Twierdzeie 8. Niech f : X R, gdzie X R, orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbiorów X (, x 0 ) i X (x 0, ). Wówczs x x 0 f(x) = g x x 0 f(x) = x x + 0 Deicj 26 (Heie). Niech f : X R, gdzie X R. f(x) = g f(x) = g ( x = f(x ) = g) x + (x ) N X f(x) = g ( x = f(x ) = g) x (x ) N X Deicj 27 (Cuchy). Niech f : X R, gdzie X R. f(x) = g x + ε>0 x f(x) = g ε>0 N R N R x X x X (x > N f(x) g < ε), (x < N f(x) g < ε). Twierdzeie 9. Niech f(x) =, g(x) = b orz, b R. Wówczs 1. (f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = + b, 2. (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = b, 3. (f(x) g(x)) = f(x) g(x) = b, f(x) f(x) 4. g(x) = g(x) = b je±li g(x) 0 dl pewego x S(x 0ε) orz b 0. x x 0 Twierdzeie 10. Niech f, g : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. Je»eli g jest fukcj ogriczo orz f(x) = 0, to (f(x) g(x)) = 0. Ret Wiertelk 7

4 Gric fukcji Twierdzeie 11 (o trzech fukcjch). Niech f, g, h: X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R i c R. Je»eli f(x) = c i h(x) = c x x 0 orz f(x) g(x) h(x) dl x X\{x 0 }, to g(x) = c. x x 0 Uwg 7. Powy»sze twierdzei 9, 10, 11 s rówie» prwdziwe dl gric jedostroych orz dl gric w iesko«czoo±ci. Deicj 28 (Cuchy). Niech fukcj f : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. f(x) = + x x 0 M R f(x) = x x 0 M R x + x + x x f(x) = + M R f(x) = M R f(x) = + M R f(x) = M<0 δ>0 δ>0 N R N R N R N<0 x X (0 < x x 0 < δ f(x) > M) x X (0 < x x 0 < δ f(x) < M) x X x X x X x X (x > N f(x) > M) (x > N f(x) < M) (x < N f(x) > M) (x < N f(x) < M) Deicj 29 (Heie). Niech fukcj f : X R orz x 0 R b dzie puktem skupiei zbioru X R. f(x) = + x x 0 (x ) N (X\{x 0 }) f(x) = x x 0 (x ) N (X\{x 0 }) ( x = x 0 f(x ) = + ) ( x = x 0 f(x ) = ) f(x) = + ( x = + f(x ) = + ) x + (x ) N X f(x) = ( x = + f(x ) = ) x + (x ) N X f(x) = + ( x = f(x ) = + ) x (x ) N X f(x) = ( x = f(x ) = ) x (x ) N X Ret Wiertelk 8

5 Asymptoty fukcji 5 Asymptoty fukcji Deicj 30. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w przedzile (u, u + ε). Je»eli x u x u f(x) = lbo f(x) =, + + to wtedy prost x = u jest symptot pioow prwostro fukcji f. Deicj 31. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w przedzile (u ε, u). Je»eli x u x u f(x) = lbo f(x) =, to wtedy prost x = u jest symptot pioow lewostro fukcji f. Uwg 8. Prost x = u, któr jest jedocze±ie ymptot prwostro i lewostro zywmy symptot pioow obustro lub krótko symptot pioow. Deicj 32. Prost y = + x + b + jest symptot uko± fukcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy (f(x) x (+ x + b + )) = 0. Deicj 33. Prost y = x + b jest symptot uko± fukcji f w wtedy i tylko wtedy, gdy x (f(x) ( x + b )) = 0. Uwg 9. Je»eli liczb + (lub ) w rówiu symptoty uko±ej jest rów 0, to wówczs symptot uko± zywmy symptot poziom. Twierdzeie 12. Prost y = + x + b + jest symptot uko± fukcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) x x = + orz (f(x) + x) = b +. x Uwg 10. Prwdziwe jest logicze twierdzeie o symptotch uko±ych w. Twierdzeie 13. Prost y = b + jest symptot poziom fukcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x) = x b+. Uwg 11. Prwdziwe jest logicze twierdzeie o symptotch poziomych w. Ret Wiertelk 9

6 Ci gªo± fukcji 6 Ci gªo± fukcji Deicj 34 (Heie). Zªó»my,»e fukcj f : A R orz x 0 A. Fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x ) N x x 0 = f(x ) f(x 0 ). Deicj 35 (Cuchy). Zªó»my,»e fukcj f : A R orz x 0 A. Fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 δ>0 x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε. Uwg 12. Je»eli fukcj f : A R orz x 0 A jest puktem izolowym, to fukcj f jest ci gª w pukcie x 0. Twierdzeie 14. Je»eli fukcj f jest okre±lo przedzile (x 0 ε, x 0 +ε), to fukcj f jest cigª w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x x 0 f(x) = f(x 0 ). Deicj 36. Fukcj f jest ci gª wtedy i tylko wtedy, gdy jest ci gª w k»dym pukcie swojej dziedziy. Twierdzeie 15. Je»eli fukcje f : A R orz g : A R s ci gªe, to rówie» fukcje f + g, f g, f g, f/g (o ile istieje) s cigªe. Twierdzeie 16 (Weierstrss). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b], to jest tym przedzile ogriczo orz osi g swoje kresy tz. c [,b] d [,b] x [,b] f(c) f(x) f(d). Twierdzeie 17 (Drboux). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz f() f(b), to dl k»dej liczby y pomi dzy f() i f(b) istieje liczb c [, b] tk,»e f(c) = y. Twierdzeie 18 (o miejscch zerowych). Je»eli fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz f() f(b) < 0, to istieje liczb c [, b] tk,»e f(c) = 0. Ret Wiertelk 10

7 Pochod fukcji 7 Pochod fukcji Deicj 37. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Liczb f(x 0 + h) f(x 0 ) h zywmy ilorzem ró»icowym fukcji f w pukcie x 0 dl przyrostu h. Pochod f (x 0 ) fukcji f w pukcie x 0 zywmy gric ilorzu ró»icowego, przy h d» cym do zer, czyli f f(x 0 + h) f(x 0 ) (x 0 ) =. h 0 h Uwg 13. Je±li fukcj f m pochod w pukcie x 0, to mówimy,»e f jest ró»iczkowl w pukcie x 0. Fukcj zywmy ró»iczkowl, je±li jest ró»iczkowl w k»dym pukcie swojej dziedziy. Fukcj, któr dowolemu puktowi x z dziedziy fukcji f (ró»iczkowlej) przyporz dkowuje pochod tej fukcji w pukcie x zywmy pochod fukcji f. Twierdzeie 19. Je±li fukcj f jest ró»iczkowl w pukcie x 0, to jest w tym pukcie ci gª. Wiosek 1. K»d fukcj ró»iczkowl jest ci gª. Uwg 14. Istiej fukcje ci gªe, które ie s ró»iczkowle (p. f(x) = x ). Iterpretcj geometrycz pochodej Niech f b dzie fukcj ci gª w pewym przedzile I, z± x 0 puktem wew trzym tego przedziªu. Pochod sko«czo f (x 0 ) jest wspóªczyikiem kierukowym styczej do wykresu fukcji f w pukcie o odci tej x 0, czyli w pukcie o wspóªrz dych (x 0, f(x 0 )). Stycz t m rówie y f(x 0 ) = f (x 0 ) (x x 0 ) gdzie (x, y) jest dowolym puktem styczej. W szczególo±ci, gdy f (x 0 ) = 0, to stycz w pukcie o odci tej x 0 jest poziom. Fizyczy ses pochodej Je±li t ozcz czs, s(t) dªugo± drogi, jk ciªo przebyªo od pocz tku ruchu do chwili t, to s(t + h) s(t) jest dªugo±ci drogi przebytej w czsie h od chwili t do chwili Ret Wiertelk 11

7 Pochod fukcji t + h. Ilorz ró»icowy s(t + h) s(t) h jest wówczs pr dko±ci ±redi ruchu w czsie od chwili t do chwili t + h, z± gric s(t + h) s(t) h 0 h jest pr dko±ci chwilow w chwili t. Ztem pochod drogi po czsie jest pr dko± chwilow, czyli Alogiczie ilorz s (t) = v(t). v(t + h) v(t) h zywmy przyspieszeiem ±redim, z± przyspieszeie chwilowe, ozcze zwyczjowo symbolem (t) wyr» si wzorem Ozcz to,»e h 0 v(t + h) v(t). h v (t) = (t). Wzory pochode fukcji elemetrych (c) = 0 dl c R (x m ) = mx m 1 (e x ) = e x (l x) = 1 x dl x > 0 (si x) = cos x (rc si x) 1 = 1 x 2 (cos x) = si x (rc cos x) = 1 1 x 2 (rc tg x) = 1 1 + x 2 (rc ctgx) = 1 1 + x 2 Reguªy obliczi pochodych Je»eli istiej pohode f (x), g (x) orz c R, to (c f(x)) = c f (x) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x) (f(x) g(x)) = f (x) g(x) + f(x) g (x) ( ) f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x) g(x) g 2 (x) Ret Wiertelk 12

8 Ekstrem fukcji Twierdzeie 20 (o ró»iczkowlo±ci fukcji zªo»oej). Je»eli fukcj f jest ró»iczkowl w pukcie x 0 orz fukcj g jest ró»iczkowl w pukcie y 0 = f(x 0 ), to zªo»eie g(f) jest fukcj ró»iczkowl w pukcie x 0 orz [g(f(x 0 ))] = g (f(x 0 )) f (x 0 ). Twierdzeie 21 (Rolle'). Je»eli fukcj f jest ci gª w przedzile [, b] i ró»iczkowl w k»dym pukcie przedziªu (, b) orz f() = f(b), to istieje tki pukt c (, b),»e f (c) = 0. Twierdzeie 22 (Lgrge' o wrto±ci ±rediej). Zªó»my,»e fukcj f jest ci gª w przedzile [, b] i ró»iczkowl w k»dym pukcie przedziªu (, b). Wówczs istieje tki pukt c (, b),»e f (c) = f(b) f() b Twierdzeie 23 (wioski z twierdzei Lgrge'). Zkªdmy,»e fukcj f jest ci gª przedzile [, b] orz ró»iczkowl przedzile (, b). 1. Je±li f (x) = 0 dl wszystkich x (, b), to f jest stª przedzile (, b). 2. Je±li f (x) > 0 dl wszystkich x (, b), to f jest ros c przedzile (, b). 3. Je±li f (x) < 0 dl wszystkich x (, b), to f jest mlej c przedzile (, b). Twierdzeie 24 (reguª de l'hospitl). Je±li istiej grice f(x) = g(x) = 0 (lbo f(x) = ±, x 0, to wówczs 8 Ekstrem fukcji g(x) = ± ) orz fukcje f i g s ró»iczkowle w pukcie f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x). Deicj 38. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Mówimy,»e fukcj f m mksimum lokle w pukcie x 0, je»eli dl k»dego x z pewego s siedztw puktu x 0 (czyli (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 +δ)) speªio jest ierówo± f(x) < f(x 0 ), mo»emy to zpis st puj co δ 0 < x x 0 < δ = f(x) < f(x 0 ). x R Ret Wiertelk 13

8 Ekstrem fukcji Deicj 39. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo w pewym otoczeiu puktu x 0. Mówimy,»e fukcj f m miimum lokle w pukcie x 0, je»eli dl k»dego x z pewego s siedztw puktu x 0 (czyli (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 +δ)) speªio jest ierówo± f(x) > f(x 0 ), mo»emy to zpis st puj co δ 0 < x x 0 < δ = f(x) > f(x 0 ). x R Uwg 15. Je±li fukcj f m miimum lub mksimum w pukcie x 0, to mówimy,»e f m ekstremum w pukcie x 0. Twierdzeie 25 (wruek koieczy istiei ekstremum, czyli Fermt). Je±li fukcj f m ekstremum w pukcie x 0 orz jest ró»iczkowl w pukcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Twierdzeie 26 (I wruek dostteczy istieie mksimum). Niech fukcj f b dzie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) > 0 dl x < x 0 ; 3. f (x) < 0 dl x > x 0, to fukcj f m mksimum lokle w pukcie x 0. Twierdzeie 27 (I wruek dostteczy istieie miimum). Niech fukcj f b dzie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) < 0 dl x < x 0 ; 3. f (x) > 0 dl x > x 0, to fukcj f m miimum lokle w pukcie x 0. Twierdzeie 28 (II wruek dostteczy istieie ekstremum). Niech fukcj f b dzie -kotie ró»iczkowl w pukcie x 0. Je»eli 1. f (x 0 ) = f (x 0 ) =... = f ( 1) (x 0 ) = 0; 2. f () (x 0 ) 0; Ret Wiertelk 14

8 Ekstrem fukcji 3. jest liczb przyst, to fukcj f m ekstremum lokle w pukcie x 0. Je±li f () (x 0 ) > 0, to jest to miimum, tomist gdy f () (x 0 ) < 0, to jest to mksimum. Deicj 40. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo pewym przedzile (, b). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wypukª w pukcie x 0 (, b), je»eli wykres fukcji f zjduje si d stycz do tego wykresu w pukcie (x 0, f(x 0 )). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wypukª przedzile (, b), je»eli jest wypukª w k»dym pukcie tego przedziªu. Deicj 41. Zªó»my,»e fukcj f jest okre±lo pewym przedzile (, b). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wkl sª w pukcie x 0 (, b), je»eli wykres fukcji f zjduje si pod stycz do tego wykresu w pukcie (x 0, f(x 0 )). Mówimy,»e ci gª fukcj f jest wkl sª przedzile (, b), je»eli jest wkl sª w k»dym pukcie tego przedziªu. Twierdzeie 29. Niech f b dzie dwukrotie ró»iczkowl przedzile (, b). Je»eli 1. f (x) > 0 dl x (, b), to fukcj f jest wypukª; 2. f (x) < 0 dl x (, b), to fukcj f jest wkl sª. Deicj 42. Je»eli fukcj f jest wkl sª przedzile (x 0 δ, x 0 ) orz wypukª przedzile (x 0, x 0 +δ) (lub odwrotie), to mówimy,»e pukt x 0 jest puktem przegi ci fukcji f. Twierdzeie 30 (wruek koieczy istiei puktu przegieci). Je±li x 0 jest puktem przegi ci fukcji f orz f jest dwukrotie ró»iczkowl w pukcie x 0, to f (x 0 ) = 0. Twierdzeie 31 (wruek dostteczy istieie puktu przegi ci). Niech fukcj f b dzie dwukrotie ró»iczkowl w otoczeiu puktu x 0. Je»eli speªioe s wruki 1. f (x 0 ) = 0; 2. f (x) > 0 dl x < x 0 i f (x) < 0 dl x > x 0 (lub odwrotie), to pukt x 0 jest puktem przegi ci fukcji f. Ret Wiertelk 15

9 Cªk ieozczo 9 Cªk ieozczo Deicj 43. Mówimy,»e fukcj F : (, b) R jest fukcj pierwot fukcji f : (, b) R, je»eli dl k»dego x (, b) speªio jest rówo± F (x) = f(x). Twierdzeie 32. Je±li fukcj F : (, b) R jest fukcj pierwot fukcji f : (, b) R, to k»d fukcj postci G(x) = F (x) + C, gdzie C R, rówie» jest fukcj pierwot fukcji f. Deicj 44. Cªk ieozczo fukcji f : (, b) R zywmy rodzi wszystkich fukcji pierwotych fukcji f i ozczmy symbolem f(x)dx = F (x) + C. Twierdzeie 33. Je±li fukcj f : (, b) R jest ci gª, to posid fukcj pierwot, czyli istieje cªk ieozczo fukcji f. Podstwowe wªso±ci cªek ieozczoych f (x)dx = f(x) + C; f(x)dx = f(x)dx (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx; Cªki elemetre 0dx = C, 1 dx = l x + C, x si xdx = cos x + C, x m dx = 1 m + 1 xm+1 + C dl m 1, e x dx = e x + C, cos xdx = si x + C, ) = rc tg x + C ( 1 1 dx = rc si x + C, 1 x 2 1 + x 2dx Twierdzeie 34 (o cªkowiu przez podstwieie). Niech fukcje g, h b d ci gªe orz fukcj h b dzie odwrcl. Wówczs g(h(x)) h (x)dx = g(t)dt. Twierdzeie 35 (o cªkowiu przez cz ±ci). Niech fukcje f i g mj ci gªe pochode. Wówczs f (x) g(x)dx = f(x) g(x) f(x) g (t)dt. Ret Wiertelk 16

10 Cªk ozczo Riem 10 Cªk ozczo Riem Deicj 45. Podziªem odcik [, b] cz ±ci zywmy zbiór P = {x 0, x 1,..., x }, gdzie = x 0 < x 1 <... < x = b. Deicj 46. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Sum gór Riem dl fukcji f zywmy S(f, P ) = M i (x i x i 1 ), gdzie P = {x 0, x 1,..., x } jest podziªem odcik [, b] cz ±ci orz i=1 M i = sup{f(x): x [x i 1, x i ]}. Sum dol Riem dl fukcji f zywmy s(f, P ) = m i (x i x i 1 ), gdzie P = {x 0, x 1,..., x } jest podziªem odcik [, b] cz ±ci orz i=1 m i = if{f(x): x [x i 1, x i ]}. Deicj 47. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Cªk gór Riem dl fukcji f zywmy f(x)dx = if P S(f, P ). Cªk dol Riem dl fukcji f zywmy f(x)dx = sup s(f, P ). P Deicj 48. Niech f b dzie fukcj ogriczo, okre±lo przedzile [, b]. Je»eli cªk gór Riem dl fukcji f jest rów cªce dolej Riem to t wspól wrto± zywmy cªk Riem i ozczmy f(x)dx = f(x)dx = f(x)dx. O fukcji f mówimy wtedy,»e jest cªkowl w sesie Riem. Ret Wiertelk 17

10 Cªk ozczo Riem Twierdzeie 36. Je±li fukcj f : (, b) R jest ci gª, to jest cªkowl w sesie Riem. Twierdzeie 37 (Newto-Leibiz). Niech fukcj f b dzie cªkowl przedzile [, b] orz F b dzie fukcj pierwot fukcji f. Wówczs f(x)dx = F (b) F (). Twierdzeie 38 (zsdicze twierdzeie rchuku cªkowego). Niech fukcj f b dzie ci gª przedzile [, b]. Wówczs fukcj F (x) = x f(t)dt jest fukcj ci gª. Podto fukcj F jest ró»iczkowl orz dl x 0 (, b) mmy F (x 0 ) = f(x 0 ). Podstwowe wªso±ci cªek ozczoych Twierdzeie 39. Niech fukcje f, g b d cªkowle przedzile [, b] orz c R. Wtedy b c f(x)dx = c (f(x) + g(x))dx = f(x)dx f(x)dx + g(x)dx; Twierdzeie 40. Niech fukcj f b dzie cªkowl przedzile [, b] orz c (, b). Wtedy f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. Twierdzeie 41. Niech fukcje f, g b d cªkowle przedzile [, b] orz f(x) g(x) dl x (, b). Wtedy f(x)dx g(x)dx. Ret Wiertelk 18

11 Szeregi liczbowe 11 Szeregi liczbowe Deicj 49. Przez szereg liczbowy iesko«czoy rozumiemy ci g sum cz - ±ciowych: S 1 = 1 S 2 = 1 + 2 S 3 = 1 + 2 + 3... S = 1 + 2 + 3 +... +... Liczby 1, 2, 3,... zywmy wyrzmi szeregu, z± S zywmy t sum cz ±ciow szeregu. Je»eli ci g sum cz ±ciowych (czyli ci g (S ) N ) jest zbie»y do liczby S (czyli S = S), to mówimy,»e szereg jest zbie»y orz = S. Twierdzeie 42 (wruek koieczy zbie»o±ci szeregu). Je±li szereg jest zbie»- y, to = 0. Wiosek 2. Je±li 0, to wtedy szereg ie jest zbie»y. Przykªd 1. Rozw»my szereg + 1 2 + 3. Poiew» + 1 2 + 3 = (1 + 1 ) (2 + 3 ) 1 + 1 2 + 3 wi c szereg + 1 ie speªi wruku koieczego zbie»o±ci szeregu. Ozcz 2 + 3 to,»e te szereg ie jest zbie»y. Przykªd 2. Rozw»my szereg + 1 2 + 3 = + 1 2 + 3. Poiew» (1 + 1 ) (2 + 3 ) 1 + 1 2 + 3 = 1 2 = 1 = 0 wi c szereg + 1 speªi wruek koieczy zbie»o±ci szeregu. Niestety ie 2 + 3 pozwl m to stwierdzi czy te szereg jest zbie»y czy ie. Ret Wiertelk 19

11 Szeregi liczbowe Wªso± 3. Je±li szereg jest zbie»y orz c R, to szereg c rówie» jest zbie»y. Wªso± 4. Je±li szereg jest rozbie»y orz c 0, to szereg c rówie» jest rozbie»y. Deicj 50. Szereg postci Wªso± 5. Szereg hrmoiczy Przykªd 3. Rozw»my szereg 1 3. Poiew» α = 3, ztem jest to szereg hrmoiczy rz du 3, wi c jest o zbie»y. Przykªd 4. Rozw»my szereg 2. Poiew» 2 = 1 to szereg hrmoiczy rz du 2, czyli rozbie»y. 1 zywmy szergiem hrmoiczym rz du α. α 1 jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy α > 1. α 2 ztem α = 2, wi c jest Deicj 51. Szereg postci q 1 zywmy szeregiem geometryczym. Wªso± 6. Szereg geometryczy q 1 jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy q < 1. Przykªd 5. Rozw»my szereg ( ) 1 2 5. Poiew» q = 2 3 3 szereg zbie»y. Przykªd 6. Rozw»my szereg 2 2 3+1. Poiew» 2 2 3 = 4 4 4 1 = +1 3 2 3 1 9 3 = 4 1 9 ( ) 1 4 3 < 1, wi c jest to ztem q = 4 3 1, wi c jest to szereg rozbie»y. Twierdzeie 43 (kryterium porówwcze). Je±li dl szeregu istieje szereg b, który jest zbie»y orz b dl N, to szereg jest rówie» zbie»y. Je±li dl szeregu istieje szereg b, który jest rozbie»y orz b > 0 dl N, to szereg jest rówie» rozbie»y. Przykªd 7. Rozw»my szereg 2 + 3 5 5 + 44. Poiew» 0 2 + 3 2 + 3 5 5 + 44 5 5 + 4 5 4 5 = 5 = 1 5 4 Ret Wiertelk 20

11 Szeregi liczbowe orz szereg 1 4 2 + 3 5 5 jest zbie»y. + 44 Przykªd 8. Rozw»my szereg jest to szereg hrmoiczy rz du 4 (czyli zbie»y), wi c szereg + 1 2 + 3 2 + 3 + 1 2 + 3. Poiew» 2 + 3 2 = 4 = 1 2 4 1 orz szereg 1 jest to szereg hrmoiczy rz du 1 (czyli rozbie»y), wi c szereg + 1 2 jest rozbie»y (pomimo tego,»e speªi wruek koieczy!). + 3 Twierdzeie 44 (kryterium d'alembert). Dl szeregu rozw»my gric g = +1. Je»eli g < 1, to szereg jest zbie»y. Je»eli g > 1, to szereg jest rozbie»y. Je»eli g = 1, to le»y zstosow ie kryterium. Przykªd 9. Rozw»my szereg Poiew» g = +1 ( + 1)! = ( + 1)! = ( + 1)! = = wi c szereg (1 + 1 ) =!. Wtedy =!, +1 =! = ( + 1) = (+1) 1 (1 + 1 ) = 1 e < 1 ( + 1)! ( + 1) ( + 1) [(1 + 1 )] =! jest zbie»y mocy kryterium d'alembert. Przykªd 10. Rozw»my szereg 2 3. Wtedy = 2 3, +1 = 2(+1) ( + 1) 3. Poiew» g = +1 = 2 3 = [(1 + 1 = )]3 wi c szereg 2 (+1) ( + 1) 3 3 2 = 2 3 3 (1 + 1 )3 = 2 2 ( + 1) 3 3 2 = ( + 1)! ( + 1) (+1).! = 2 3 ( + 1) 3 = 2 (1 + 1 )3 = 2 1 = 2 > 1 2 3 jest rozbie»y mocy kryterium d'alembert. Ret Wiertelk 21

11 Szeregi liczbowe Twierdzeie 45 (kryterium Cuchy'ego). Dl szeregu rozw»my gric g =. Je»eli g < 1, to szereg jest zbie»y. Je»eli g > 1, to szereg jest rozbie»y. Je»eli g = 1, to le»y zstosow ie kryterium. Przykªd 11. Rozw»my szereg ( 2 ) 3 1 ( 2 ) 3 1 3 5 2. Wtedy = 3 5 2. Poiew» g = ( = 2 ) 3 1 ( 3 5 2 = 2 ) 3 1 ( 3 5 2 = 2 (1 1 ) 3 ) 2 2 ( 3 5) = 2 ( (1 1 ) 3 ) ( ) 3 = 2 ( 3 5) = 1 ( ) 3 1 5 = < 1 5 2 wi c szereg ( 2 ) 3 1 3 5 2 jest zbie»y mocy kryterium Cuchy'ego. Przykªd 12. Rozw»my szereg 3 2 2 3. Wtedy = 32 2 g = = 3 2 = 2 3 9 3. Poiew» 8 = 9 8 = 9 8 > 1 wi c szereg 3 2 2 3 jest rozbie»y mocy kryterium Cuchy'ego. Ret Wiertelk 22