Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym. Defiiujemy iąg {s } N przyjmują s = a s 2 = a a 2 s 3 = a a 2 a 3...... s = a a 2 a...... Nazywamy go iągiem sum zęśiowyh iągu {a } N, albo szeregiem o wyrazie ogólym a. Tak zdefiioway iąg zapisujemy w postai ieskońzoej sumy a. Szereg te azywamy zbieżym, jeśli iąg {s } N jest zbieży. Jego graię azywamy sumą szeregu. Jeśli wię s = s to piszemy a = s. Z twierdzeia Cauhy ego wyika, że Stwierdzeie. Szereg a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego ε > 0, istieje N ε, że dla dowolyh m > > N ε a a 2 a m < ε. Stwierdzeie 2. Warukiem koiezym zbieżośi szeregu a jest by a = 0. Iymi słowy, jeśli szereg a jest zbieży, to jego wyraz ogóly dąży do zera. Powyższy waruek ie jest wystarzająym, poieważ z waruku a = 0 ie wyika zbieżość szeregu a. Te waruek spełiają szeregi zbieże, ale istieją rówież szeregi rozbieże, które te waruek także spełiają. Przykład. (a) Rozważmy szereg. Jego wyraz ogóly rówy jest ozywiśie zbieży do zera, ale sam szereg jest rozbieży. Rzezywiśie, pogrupujmy koleje składiki w poday iżej sposób = 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6... Jeśli poszzególe składiki w wierszah po prawej stroie rówośi (pozyają od drugiego), zastąpimy ostatim składikiem z każdego wiersza, tz. składikiem ajmiejszym, to suma lizb w
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) tyh wierszah będzie rówa 2, a przeież jest ih ieskońzeie wiele. Zatem suma tak otrzymaego szeregu jest rówa. Ostatezie wię, suma szeregu jest także rówa jest to szereg rozbieży. Te szereg azywamy szeregiem harmoizym, a koleje sumy zęśiowe azywamy lizbami harmoizymi: H =, H 2 = 2, H 3 = 2 3,.... Odgrywają oe ważą rolę w szaowaiu złożoośi różyh algorytmów. (b) Wyraz ogóly szeregu zyieia z szeregiem zbieżym. Faktyzie, Stwierdzeie 3. Jeżeli szeregi (a b ) a i (a b ) = 2 jest rówież zieży do zera. Tym razem mamy jedak do 2 = 2 2 3 2 4 2 5 2 2 3 3 4 4 5 = = ( 2) ( 2 3) ( 3 4) ( 4 5) = 2. a i b są zbieże i jest dowolą lizbą ałkowitą, to szeregi (a b ) są zbieże oraz a b, a = a, (a b ) = a b. Defiija 2. Nieh a będzie iągiem lizbowym o wyrazah ieujemyh. Szereg postai ( ) a = a a 2 a 3 a 4 azywamy szeregiem aprzemieym. Twierdzeie 4. Jeżeli szereg aprzemiey ( ) a spełia waruki Przykład 2. Z ostatiego twierdzeia wyika, że szeregi a a 2 a 3 oraz a = 0 () ( ) = 2 3 4, ( ) 2 = 3 5 7 są zbieże. Moża udowodić, że pierwszy z ih jest zbieży do log e 2, a drugi do π 4. Twierdzeie 5. (N. H. Abel) Jeżeli iąg {a } N spełia waruki (), atomiast szereg b b 2 b 3 jest ograizoy, to szereg a b a 2 b 2 a 3 b 3 jest zbieży. Twierdzeie 6. (O porówywaiu szeregów) Jeżeli dla każdego N 0 b a a 2 jest zbieży, to rówiwż szereg b b 2 jest zbieży i b a a i szereg 2
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Twierdzeie 7. (a) (Kryterium D Alamberta) Jeżeli szereg a a 2 o wyrazah dodatih spełia waruek a <, a to jest zbieży. Jeżeli te szereg spełia waruek to jest rozbieży. Jeśli wreszie a >, a a =, a to kryterium ie daje odpowiedzi. (b) (Kryterium Cauhy ego) Jeżeli szereg a a 2 o wyrazah dodatih spełia waruek to jest zbieży. Jeżeli te szereg spełia waruek a <, a >, to jest rozbieży. Jeśli wreszie to kryterium ie daje odpowiedzi. a =, Twierdzeie 8. Jeżeli iąg {a } N o wyrazah dodatih spełia waruek a = g, to a = g. W szzególośi, każdy szereg spełiająy waruek D alamberta spełia rówież waruek Cauhy ego. Przykład 3. Skutezość powyższyh kryteriów łatwo sprawdzić a przykładzie badaia zbieżośi astępująyh szeregów: (a)!, > 0, (b)!, (), 0 < <, (d) α, α > 0, Ad a) Wyraz ogóly tego szeregu ma postać a=!, zatem w kryterium D Alamberta mamy a a = ()!! Stąd, a moy tego kryterium, szereg jest zbieży. Podobie łatwo zastosować kryterium Cauhy ego. a = ( = ( )!! ) = = 0.! =! = 0. Ad b) Wyraz ogóly ma postać b =!. Z kryterium D Alamberta otrzymujemy, że jest to szereg zbieży, poieważ a a = ()! ()! a ( )!!( ) = = ( )! ( ) ( )! = 3
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) = ( ) = ( ) = e. Zastosowaie kryterium Cauhy ego sprowadza się do polizeia graiy!, o ie jest ozywiste. Odwołajmy się zatem tylko do twierdzeia 8. Twierdzeie 9. (Kryterium Raabe go) Nieh a > 0 dla wszystkih lizb aturalyh. Jeżeli a >, (2) a to szereg a jest zbieży. Jeżeli atomiast to szereg a jest rozbieży. a, (3) a Dowód. Załóżmy ajpierw, że spełioa jest zależość (2). Wtedy, dla pewej lizby rzezywistej t > 0 istieje lizba aturala N, że dla wszystkih > N zahodzi ierówość a > ( t) a tz. W szzególośi Po dodaiu stroami dostajemy Wylizają z ostatiej ierówośi s mamy a ( )a > ta. (N )a N (N 2)a N2 > ta N2 (N 2)a N (N 3)a N3 > ta N3 ( 2)a 2 ( )a > ta ( )a a > ta (N )a N a > t(s s N ) s < N t s N. Prawa stroa tej ierówośi ie zależy od. Zatem szereg a jest ograizoy i tym samym zbieży. Załóżmy teraz, że spełioa jest ierówość (3). Wtedy istieje lizba aturala N, taka że dla wszystkih > N zahodzi ierówość a, a 4
Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) skąd otrzymujemy a a. Rozpiszmy tę ierówość dla kolejyh wartośi większyh od N. i po przemożeiu stroami dostajemy zyli a N a N2 N2 N a N2 a N3 N3 N2 a 2 a 2 a a a N a N, a a N N. Szereg, którego wyrazami są prawe stroy ostatiej ierówośi jest szeregiem rozbieżym, wię rówież szereg jest rozbieży. Twierdzeie 0. (Kryterium Cauhy ego o zagęszzaiu) Nieh a 0 i ieh iąg {a } N będzie ierosąy. Wówzas szereg a jest zbieży wtedy i tylko wtedy, gdy szereg 2 a 2 jest zbieży. Dowód. Nieh Poieważ a a 2 a 3 0, wię Z drugiej stroy: s = a a 2 a, t = 2a 2 4a 4 8a 8 a 2. s 2 = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 a 6 a 7 ) (a 2 a 2 ) a 2a 2 4a 4 8a 8 2 a 2 = a t. s 2 = a a 2 (a 3 a 4 ) (a 5 a 6 a 7 a 8 ) (a 2 a 2 ) a a 2 2a 4 4a 8 2 a 2 = a 2 t. Pierwsza ierówość ozaza, że jeśli iąg {t } jest ograizoy, to ograizoy jest iąg {s }. Druga, odwrotie jeśli ograizoy jest iąg {s }, to takim jest {t }. Przykład 4. Defiija 3. Szereg (log 2 ) α, α > a azywamy bezwzględie zbieżym, jeśli zbieży jest szereg Szereg, który jest zbieży, ale ie jest bezwzględie zbieży azywamy warukowo zbieżym. a. Opraował: Czesław Bagiński 5