Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metod obliczeiowe wkład r 3 iterpolacja i aproksmacja fkcji model regresji
Jeśli i = f( i )(i=,,) dla pewej fkcji f() to mówim iż fkcja g() iterpolje fkcję f() w węzłach i (i=,,) 3 Zadaie Iterpolacji Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3,5,5 (, ),5 3 4 5 6 Dach jest + pktów (węzłowch) (, ),,(, ) poszkjem takiej fkcji g()w obrębie fkcji pewej staloej klas dla której g( i )= i (i=,,), mówim wówczas iż fkcja g() iterpolje wartości i w węzłach i (i=,,) Przbliżeie fkcji skomplikowaej fkcją prostszą
3 Iterpolacja wielomiaowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Najprostsz przpadek iterpolacja liiowa - zadaie iterpolacji dla dwóch pktów (, ),(, ) rozwiązaiem w klasie wielomiaów pierwszego stopia jest fkcja liiowa, której wkres przechodzi przez pkt (, ),(, ) 4,5 4 (, ) 3,5 3,5,5 (, ),5 (, ) 3 4 5
Iterpolacja wielomiaowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 4 Wzaczaie współczików wielomia iterpolacjego poprzez rozwiązaie kład rówań liiowch a a a a a a a a a a a a p... ) ( a a a..................,5,5,5 3 3 4 5 6 (, )
5 Iterpolacja wielomiaowa Zjawisko Rgego, wzrost stopia wielomia Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 4 4 3,5 3,5 3 3,5,5,5,5,5,5 3 4 5 6 3 4 5 6
6 Kbicze fkcje sklejae Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 określeie fkcji sklejach 3 stopia (cbic splie) zachowaa ciągłość fkcji i jej pochodch do stopia włączie wkres wielomiaów stopia co ajwżej 3 f( 4 ) f( 3 ) f() f( ) f( ) drgie pochode rówe f( ) 3 4
7 Fkcje sklejae (splie) Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Kostrkcja fkcji sklejaej Dach + pktów węzłowch (,f( )),,(,f( )) w każdm podprzedziale [ i-, i ] (i=,...,) określam wielomia s i () stopia k wartości w węzłach zewętrzch spełiają warek iterpolacji : s f, s f wartości drgich pochodch w węzłach zewętrzch spełiają warek atralości :,,,, s s w węzłach wewętrzch wartości fkcji, wartości pierwszch pochodch i wartości drgich pochodch są rówe są rówe :,,..., s s f i i i i i i,,,,,,..., s s i,,...,,, i i i i s s i gd stopień wielomia k =3 fkcje sklejae azwać będziem kbiczmi fkcjami sklejami. Wówczas 3,,..., s a b c d i i i i i i i i i i i i i do wzaczeia łączie 4 współczików - iewiadomch
8 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Kbicze fkcje sklejae, a wielomia 4 4 3,5 3,5 3 3,5,5,5,5,5,5 3 4 5 6 3 4 5 6 fkcja sklejaa wielomia iterpoljąc fkcja sklejaa wielomia iterpoljąc
9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Iterpolacja fkcji wiel zmiech Iterpolacja dwliiowa - rozszerzeie iterpolacji liiowej. Iterpolacja fkcji dwóch zmiech. złożeie dwóch iterpolacji liiowch. przeprowadza się dwie iterpolacje liiowe dla jedego kierk (p. wzdłż osi OX w kładzie kartezjańskim), astępie dla tak zskach wartości przeprowadza się iterpolację liiową dla drgiego kierk (osi OY). Iterpoljem wartość fkcji w pkcie P iterpolacja liiowa wzdłż osi OX: iterpolacja liiowa wzdłż osi OY:
Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Iterpolacja fkcji wiel zmiech Iterpolacja dwliiowa - rozszerzeie iterpolacji liiowej. Iterpolacja fkcji dwóch zmiech. Iterpolacja powierzchie -go stopia (kwadrki) powierzchie bikbicze powierzchie sklejae
Krzwe Béziera Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Pierre Bézier - fracski iżier firm Realt, Pal de Castelja - iżier firm Citroë.
Krzwe Béziera Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 krzwa wielomiaowa (Pierre Bézier 97) powszechie stosowae w programach do projektowaia iżierskiego - programach CAD-owskich Najczęściej żwae są krzwe trzeciego stopia leżące a płaszczźie. Defiijąc krzwą trzeciego stopia określam 4 pkt (tzw. pkt kotrole) A, B, C i D, którch położeie wzacza przebieg krzwej. Krzwa ma swój początek w pkcie A i skierowaa jest w stroę pkt B. Następie zmierza w stroę pkt D dochodząc do iego od stro pkt C. Odciek AB jest stcz do krzwej w pkcie A, atomiast odciek CD jest stcz w pkcie D Krzwą Béziera trzeciego stopia określa astępjące rówaie: P(t)= A( t) 3 +3Bt( t) + 3Ct ( t)+ Dt 3 dla t. Czli: P (t)= A ( t) 3 + 3B t( t) + 3C t ( t) + D t 3 P (t)= A ( t) 3 + 3B t( t) + 3C t ( t) + D t 3 Krzwa ma swój początek w pkcie A (t = ) i koiec w pkcie D (t = ).
3 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Płat Béziera defiiowaie ograicza się do wskazaia siatki pktów kotrolch Każda siatka pktów kotrolch defiijąca płat Bèziera posiada wiersz i m kolm. Szczególm przpadkiem płata Bèziera jest postać bikbicza (płat jest 3 stopia w ob kierkach, mam 6 pktów kotrolch).
4 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Zadaie aproksmacji fkcji daa jest fkcja (jedej zmieej) f() określoa a przedziale [a,b] fkcja f() może bć zadaa w postaci dskretej (zbior pktów) {( i,f( i ))} i=,..., wzor aalitczego Zadaie aproksmacji: ależ dobrać taką fkcję aproksmjącą F() spośród fkcji określoej klas tak ab fkcja F() możliwie dokładie przbliżała przebieg fkcji (w oparci o staloe krterim) aproksmowaej f() w określom przedziale F f F
5 Zadaie aproksmacji fkcji Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 f miimalizacja sm kwadratów tch odległości 3 4 f m i f mi i i
6 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metoda ajmiejszch kwadratów Mając da zbiór fkcji bazowch {,, } m i siatkę pktów i, f i i przbliżam fkcję f() fkcją aproksmjącą postaci, c c c Określam współcziki c,...,c tak, b wrażeie: (przpadek dskret): bło jak ajmiejsze g,..., Metoda słżąca rozwiązai zadaia aproksmacji średiokwadratowej Metoda Najmiejszch Kwadratów (Gass Legedre, 86) f g k k m i k f g i i
Układ rówań ma dokładie jedo rozwiązaie jeśli {,, } jest liiowo iezależ Dla dowolch fkcji f(),g() prz daej siatce węzłów {,, } iloczem skalarm azwać będziem wrażeie Metoda ajmiejszch kwadratów Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 7 j f c i j j i i,...,,, ) ( ) ( :, i m i i g f g f f f f c c c,,,,,,,,,,,, i i c i g Wzaczeie fkcji aproksmjącej jako kombiacji liiowej fkcji bazowch sprowadza się do rozwiązaia kład rówań (wzaczeia współczików c,,c )
8 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Metoda ajmiejszch kwadratów - przkład dae są wiki pomiarów: 3 4 6 7 f() -. -.9 -.6.6.9 ależ zaleźć fkcję aproksmjącą postaci: f()= c + c (fkcje bazowe: =, = ) 3 4 6 7 f() -. -.9 -.6.6.9 () () 3 4 6 7 <f, >=-.-.9-.6+.6+.9= -. <f, >=-.-.9*3-.6*4+.6*6+.9*7=.7 <, >= 5, <, >= +3+4+6+7=, <, >= +3 +4 +6 +7 = otrzmjem kład rówań: 5 c c. c.7 c.54.553,5 =,553 -,54,5 -,5 4 6 8 - -,5 - -,5
9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Model regresji - wprowadzeie dae są dae ekspermetale, wiki pomiarów celem pomiarów wkrcie i opisaie za pomocą fkcji aalitczch zależości =f(,..., ) miedz iezależmi parametrami (zmiemi objaśiającmi),..., oraz parametrem od ich zależm (zmieą objaśiaą) wkrcie istieia zależości korelacja staleie postaci fkcji która ją opisje regresja zadaie wzaczeia model regresji polega a wzaczei kokretej zależości fkcjej p. regresja jedowmiarowa: zależość fkcja =f() jedowmiarowa regresja liiowa: zależość fkcja = a +a zbadai arzędziami rachk prawdopodobieństwa jakości wzaczoego model regresji
Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a + a próbka r 3 3 4 4 5 5 6 5 7 7 8 8 9 8 3 3 poszkiwa model regresji wkres rozrzt 4 4 współczik korelacji,96 8 8 6 6 4 4 4 6 8 4 4 6 8 4
Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a + a próbka r 3 3 4 4 5 5 6 5 7 7 8 8 9 8 3 3 wkres rozrzt - empircza liia regresji 4 =,967 współczik korelacji,96 8 6 4 4 6 8 4
Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a +a próbka r 3 9 3 5 4 4 5 6 6 7 7 8 9 8 5 3 model regresji wkres rozrzt 4 współczik korelacji =, 8 8 6 4 6 4 4 6 8 4 4 6 8 4
3 Model regresji - wprowadzeie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 dae parametr, poszkiwaa zależość fkcja: = a +a próbka r 3 9 3 5 4 4 5 6 6 7 7 8 9 8 5 3 model regresji wkres rozrzt - empircz model regresji 4 8 8 6 4 6 4 =,879 + 5,5385 współczik korelacji =, 4 6 8 4 4 6 8 4
4 Korelacja liiowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dae dwie zmiee losowe X, Y reprezetjące parametr współczik korelacji liiowej mierz siłę zależości międz zmiemi X, oraz Y tworzącmi dwwmiarową zmieą losową przjmje wartości z przedział [-,] im wartość współczika bliższa krańcom przedział, tm związek korelacj siliejsz współczik Pearsoa współczik korelacji liiowej w próbie (zależ od liczebości prób) 3 r i i i i i i i i i i i i i i i,5,5,5,5,5,5
5 Model regresji liiowej Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dwie zmiee X,Y : poszkjem zależości liiowej pomiędz zmiemi X i Y:,5 b b,5,5 i b b, i,..., i i,5,5,5 -,5 Metoda ajmiejszch kwadratów - metoda estmacji parametrów model regresji wzaczeie takich parametrów b, b że sma kwadratów odchleń (SSE) pomiędz rzeczwistmi a teoretczmi wartościami zmieej Y jest ajmiejsza SSE i ( i ( i )) i ( i b b i ) mi
6 Regresja liiowa badaie jakości wzaczoego model Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 współczik determiacji (R ) iformje jaka część zmieej Y jest wjaśioa poprzez oszacowae rówaie regresji przez zaobserwowae w próbie zmia wartości zmiech objaśiającch przjmje wartości z zakres od do, gd R = : dae leżą dokładie a liii" regresji (zmieość jest wjaśioa w %); R = : regresja iczego ie wjaśia, dae są ieskorelowae;,9 R < : bardzo dobre,,8 R <,9 : dopasowaie dobre,,7 R <,8 : dopasowaie zadawalające w iektórch zastosowaiach.
7 Próbka Próbka Regresja liiowa 4 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 3 3 4 4 5 5 6 5 7 7 8 8 9 8 3 3 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 3 3 8 6 4 liia regresji wzaczoa a podstawie próbki 4 6 8 4
8 Regresja liiowa Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Próbka 3 3 4 4 5 5 6 5 7 7 8 8 9 8 3 3 Próbka 3 3 4 4 5 5 5 6 7 7 8 8 8 9 3 3 teoretcza liia regresji (odosząca się do poplacji geeralej): empircze rówaie regresji (rówaie regresji w próbce): b b 4 8 6 4 liia regresji wzaczoa a podstawie próbki 4 6 8 4 aproksmjąc teoretczą prostą regresji za pomocą empirczego rówaia, wzaczam współcziki b,b dla kokretej prób
9 Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Regresja liiowa werfikacja statstcza test istotości dla parametrów regresji aaliza reszt (reszt wi mieć rozkład ormal) Y 8 6 4 8 6 4 - -=.98 -=.8 =3.-. -4 3 4 5 6 X wzaczeie obszar (pasa) fości przjmjąc określo poziom fości p=- (p. p=,95) obszarem fości azwam obszar w którm z prawdopodobieństwem rówm poziomowi fości zajdje się iezaa teoretcza liia regresji
% 3 Regresja liiowa - przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, mierząc a różch głębokościach procetową zawartość piask aaliza prz żci MS Ecel 8 Nr próbki % zawartości głębokość [cm] piask w próbce 75 5 58 3 3 59 4 45 57 5 6 5 6 75 54 7 9 36 8 5 4 9 3 7 6 5 4 3 4 6 8 4 [cm]
% 3 Regresja liiowa - przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, mierząc a różch głębokościach procetową zawartość piask aaliza prz żci MS Ecel 8 Nr próbki % zawartości głębokość [cm] piask w próbce 75 5 58 3 3 59 4 45 57 5 6 5 6 75 54 7 9 36 8 5 4 9 3 7 6 5 4 3 = -,989 + 69,6 R² =,867 4 6 8 4 [cm]
3 Regresja liiowa przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, badao zależość dwóch parametrów stopia plastczości i spójości grt (zależość wzaczoo w oparci 7 prób i prób) 4 stopień plastczości - spójość 35 3 5 = 3,787-8, + 5,9 R² =,896 5 5,,4,6,8,,4-5 - = -3,478 + 35,799 R² =,85 7 prób
33 Regresja liiowa przkład Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Dokoao aaliz próbek grt, badao zależość dwóch parametrów stopia plastczości i spójości grt (zależość wzaczoo w oparci 7 prób i prób) stopień plastczości - spójość 4 35 3 5 = -44,63 + 43,3 R² =,348 5,,5,3,35,4,45,5,55,6 prób
34 Fkcje SciLaba Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 iterp() obliczeie wartości iterpoljącej fkcji sklejaej iterpd(), iterp3d() iterpolacja fkcjami sklejami iterpl() rozwiązaie zadaia iterpolacji liiowej a płaszczźie lsq() rozwiązaie rówaia postaci AX=B metodą ajmiejszch kwadratów lsq_splie() aproksmacja średiokwadratowa sześcieą fkcją sklejaą liear_iterp() rozwiązaie zadaia -wmiarowej iterpolacji liiowej spli(), splid(), spli3d() obliczeie współczików fkcji sklejaej, iterpoljącej podae pkt węzłowe regli(), regress() wzaczeie współczików regresji liiowej
35 Podsmowaie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Aproksmacja i iterpolacja, pojęcie model regresji Zadaie iterpolacji iterpolacja wielomiaowa wzór Lagrage a, postać macierz Lagrage a, wzór Lagrage a dla węzłów rówoodległch, wzór Iterpolacj Newtoa. Fkcje sklejae własości fkcji sklejach 3 stopia (cbic splie) Krzwa Béziera Aproksmacja ogóla postać zadaia aproksmacji. Zadaie aproksmacji liiowej pojęcie fkcji bazowch, postać rozwiązaia kład rówań liiowch adokreślo wgładzaie fkcji Zadaie aproksmacji średiokwadratowej: metoda ajmiejszch kwadratów ilocz skalar fkcji, fkcje ortogoale, własości wielomiaów Czebszewa. Zadaie aproksmacji jedostajej: sformłowaie zadaia Twierdzeie Weierstrassa
36 Podsmowaie Metod obliczeiowe - Bdowictwo semestr 4 - wkład r 3 Aproksmacja i iterpolacja, pojęcie model regresji Model regresji opisaie problem, podstawowe pojęcia statstki: poplacja geerala, jedostka statstcza, cech statstcze, próbka, badaie częściowe, pojęcie zmieej losowej i jej realizacji, teoretcza liia regresji, a empircze rówaie regresji, badaie korelacji a podstawie realizacji prób, sposób wzaczeia rówaia regresji metodą ajmiejszch kwadratów miar jakości przjętego model regresji wariacja resztkowa współczik determiacji werfikacja statstcza przjętego model regresji obszar fości i predkcji Modele ieliiowe regresji sprowadzaie do model liiowego