matematyka inżynierska

Transkrypt

1 matematka iżierska wkład dla studetów Wdziału Mechaiczego Politechiki Wrocławskiej część Wiktor Stefurak Wrocław 5 r.

2 Spis rzecz Fukcje dskrete Dskretzacja Próbkowaie..... Kwatzacja... Iterpolacja.... Iterpolacja wielomiaowa Wielomia w postaci aturalej Iterpolacja wielomiaami Czebszewa pierwszego rodzaju Iterpolacja wielomiaem Lagrage a Wielomia Newtoa Schemat Aitkea Schemat Neville a Iterpolacja fukcjami trgoometrczmi Iterpolacja Podsumowaie Aproksmacja Aproksmacja liiowa Aproksmacja z wagami Aproksmacja - jakobia Aproksmacja fukcjami imi iż wielomia Wbór postaci fukcji aproksmującej Aproksmacja - podsumowaie Różiczkowaie fukcji dskretej Pierwsza pochoda fukcji dskretej Druga pochoda fukcji dskretej Pochoda fukcji dskretej - podsumowaie Całkowaie fukcji dskretej Metoda prostokątów: Modfikowaa metoda prostokątów Metoda trapezów Metoda Simpsoa /3... 9

3 5.5 Metoda Simpsoa 3/ Metoda Mote Carlo Aaliza widmowa Szeregi Fouriera Wprowadzeie wartości współczików Fouriera Postać zespoloa trasformat Fouriera Dskrete przekształceie Fouriera Rówaia ieliiowe Metoda bisekcji Metoda "regula falsi" Metoda sieczch Metoda stczch Metoda kolejch przbliżeń... 3

4 Spis przkładów Przkład - Iterpolacja wielomiaami aturalmi... 3 Przkład - Iterpolacja wielomiaami Czebszewa Przkład 3 - Iterpolacja wielomiaami Czebszewa Przkład 4 - Iterpolacja wielomiaem Lagrage'a Przkład 5 - I wzór Newtoa Przkład 6 - Iterpolacja wg I wzoru Newtoa Przkład 7 -Schemat Aitkea Przkład 8 - Schemat Neville'a... 5 Przkład 9 - Iterpolacja wielomiaami trgoometrczmi Przkład. Aproksmacja wielomiaem kwadratowm Przkład. Aproksmacja z wagami Przkład. Aproksmacja - Jakobia Przkład 3. Aproksmacja fukcja ieliiowa - przkład A... 7 Przkład 4. Aproksmacja fukcja ieliiowa - przkład B Przkład 5. Aproksmacja fukcja ieliiowa - przkład C Przkład 6. Aproksmacja fukcja ieliiowa - przkład D Przkład 7.Aproksmacja fukcja ieliiowa - przkład E... 8 Przkład 8. Rozwiięcie w szereg Fouriera fukcji prostokątej... Przkład 9. Rozwiąć w szereg Fouriera fukcję ft-t... 4 Przkład - Bisekcja... 3 Przkład. Metoda "regula falsi"... 7 Przkład. Metoda sieczch... 9 Przkład 3. Metoda stczch... Przkład 4. Metoda kolejch przbliżeń... 4 Spis Tabel Tabela. Przkładow ciąg wartości fukcji dskretej... 6 Tabela. Częstotliwości próbkowaia dźwięku... 9 Tabela 3. Liczba bitów przetworika, a liczba poziomów kwatzacji... Tabela 4. Fukcja spróbkowaa i waruki iterpolacji... 3 Tabela 5. Krzwa agrzewaia się łożska... 5 Tabela 6. Dae wjściowe... 3 Tabela 7. Dae do iterpolacji metodą wielomiaów Czebszew I rodzaju Tabela 8.Tablica progreswch różic skończoch dla węzłów Tabela 9. Przkładowa tabela różic wsteczch... 4 Tabela. Fukcja spróbkowaa z krokiem stałm... 4 Tabela. I wzór Newtoa - dae do obliczeń Tabela. Tabel wartości dla przkładu iterpolacji I wzorem Newtoa Tabela 3. Różice wstecze Tabela 4. Schemat Aitkea Tabela 5 Iterpolacja trgoometrcza - dae Tabela 6. Dae do aproksmacji z wagami Tabela 7. Defiicje pochodch fukcji dskretej Tabela 8. Wjściowa fukcja dskreta i wiki aaliz widmowej

5 Tabela 9. Sgał harmoicz jak poprzedio, próbkowa z częstotliwością,66667 Hz okres próbkowaia,9375 s... Tabela. Koleje kroki iteracji dla przkładu... 4 Tabela. Koleje kroki iteracji - metoda "regula falsi"... 8 Tabela. Wiki obliczeń metodą sieczch... 9 Tabela 3. Wiki obliczeń metodą stczch.... Tabela 4. Koleje kroki iteracji metoda kolejch przbliżeń... 5 Spis rsuków Rs.. Obraz graficz fukcji ciągłej i dskretej... 9 Rs.. Dskretzacja w pętli while... do oraz w w pętli od... ilość powtórzeń... Rs. 3. Wkres fukcji dskretej ze stałm okresem próbkowaia... Rs. 4. Defiicje fukcji trgoometrczch... Rs. 5. Wkres fukcji sius ciągłej fukcji kąta... Rs. 6. Fukcja harmoicza - zmiaa dziedzi... 3 Rs. 7. Widmo amplitudowo- i fazowo-częstotliwościowe... 3 Rs. 8. Widmo sgału okresowego, będącego sumą sgałów harmoiczch poliharmoiczego4 Rs. 9. Ziekształceie obrazu dskretego fukcji ciągłej w zależości od okresu próbkowaia si*pi*t/t; T=s... 4 Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład... 5 Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład... 5 Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład Rs. 3. Przkład błędego próbkowaia... 6 Rs. 4. Niejedozaczość odwzorowaia fukcji podczas próbkowaia... 6 Rs. 5. Przkład wkresu fukcji f = - 3^3 + 5^ 5 prz różm okresie próbkowaia; a Δ =,8 ; b Δ =... 8 Rs. 6. Fukcja skwatowaa i przkład jej realizacji pomiar wsokości lustra wod w zbioriku... Rs. 7. Fukcja spróbkowaa i skwatowaa... Rs. 8. Fukcja ciągła zdskretzowaa i jej fukcja iterpolująca... Rs. 9. Krzwa agrzewaia się łożska dae w tabeli Rs.. Iterpolacja krzwej agrzewaia się łożska z tabeli 5 wielomiaem dziewiątego stopia a pierwszch puktach... 6 Rs.. Efekt Ruge'go... 7 Rs.. Fukcja spróbkowaa ze zmiem okresem próbkowaia... 7 Rs. 3. Iterpolacja przedziałami a 4 puktach... 9 Rs. 4. Iterpolacja liiowa... 3 Rs. 5. Ilustracja graficza przkładu Rs. 6. Geometrcza iterpretacja schematu Aitkea Rs. 7. Ilustracja parzstości fukcji Rs. 8. Wkres wielomiau trgoometrczego dla fukcji z przkładu Rs. 9. Ilustracja twierdzeia Stoa-Weierstrassa Rs. 3. Zbiór wartości uzskach z ekspermetów, dobrze aproksmowal prostą Rs. 3. Fukcja dskreta dobrze aproksmowala wielomiaem drugiego stopia Rs. 3. Wkres fukcji aproksmującej G dla przkładu... 6 Rs. 33. Wielomia aproksmując trzeciego stopia dla dach z przkładu... 6 Rs. 34. Wkres wielomiau aproksmującego czwartego stopia dla dach z przkładu

6 Rs. 35. Wielomia aproksmujące drugiego stopia z wagami różmi i rówmi Rs. 36. Obraz fukcji często aproksmowaej fukcjami: =a ; =a b ; = a +a +a... 7 Rs. 37. Wielomia aproksmując = a +a +a a tle pierwotej fukcji dskretej... 7 Rs. 38. Fukcja tpu =b*a^ a tle fukcji dskretej z poprzediego przkładu Rs. 39. Aproksmacja dach z przkładu A fukcją wkładiczą postaci =a b Rs. 4. Obraz fukcji zazwczaj aproksmowaej wielomiaem stopia drugiego lub trzeciego Rs. 4. Wkres kwadratowego wielomiau aproksmującego a tle pierwotej fukcji dskretej.. 75 Rs. 4. Wkres wielomiau stopia trzeciego a tle pierwotej fukcji dskretej Rs. 43. Fukcja dskreta do przkładu C Rs. 44. Fukcja aproksmująca = b +a log a tle fukcji pierwotej Rs. 45. Fukcja aproksmująca =b*^a Rs. 46. Fukcja aproksmująca postaci =a/+b Rs. 47. I przkład postaci fukcji dskretej i jej aproksmat Rs. 48. Przkład fukcji dskretch i zależości dobrze je aproksmującch... 8 Rs. 49. Geometrcza iterpretacja pochodej... 8 Rs. 5. Iterpretacja różicowa pochodej... 8 Rs. 5. Graficza iterpretacja gradietu... 8 Rs. 5. Pierwsza pochoda liczoa z różic progreswch Rs. 53. Pierwsza pochoda liczoa z różic wsteczch Rs. 54. Różice wartości pochodej dla tego samego węzła liczoej z różic progreswch i wsteczch Rs. 55. Różice w wartościach pierwszch pochodch liczoch z różic skończoch Rs. 56. Geometrcza iterpretacja całki ozaczoej Rs. 57. Całkowaie metodą prostokątów... 9 Rs. 58. Modfikowaa metoda prostokątów... 9 Rs. 59. Całkowaie metodą trapezów... 9 Rs. 6. Całkowaie metodą Simpsoa / Rs. 6. Całkowaie metodą Simpsoa 3/ Rs. 6. Metoda Mote Carlo liczeia całki Rs. 63. Sgał okresow Rs. 64. Drgaia stru gitar Rs. 65.Wkres fukcji z rówań Rs. 66.Fukcja piłokształta Rs. 67.Wkres wartości amplitud harmoiczch fukcji składowch... Rs. 68. Fukcja prostokąta... Rs. 69, Trasformata odwrota... 3 Rs. 7. Fukcja ft=t... 4 Rs. 7. Odwrota trasformata Fouriera fukcji z Rs Rs. 7. Okresowa fukcja dskreta... 7 Rs. 73. Widmo fukcji z Tabela Rs. 74. Powielaie sgału w DFT... 9 Rs. 75. Przkład fukcji okresowej - fukcja dskreta i jej widmo amplitudowe... Rs. 76. Ilustracja twierdzeia Bolzao-Cauch'ego... Rs. 77. Schemat metod bisekcji... 3 Rs. 78. Ilustracja rozwiązaia przkładu... 5 Rs. 79. Wbór krańców w "regula falsi"

7 Rs. 8. Metoda "regula falsi" algortm dla f *f>... 6 Rs. 8. Schemat graficz metod sieczch... 9 Rs. 8. Ilustracja graficza i algortm metod stczch... Rs. 83. Metoda kolejch przbliżeń - algortm zbież... 3 Rs. 84. Metoda kolejch przbliżeń - algortm rozbież... 3 Rs. 85. Metoda kolejch przbliżeń... 4 Rs. 86. Wbór postaci przkształceia

8 Fukcje dskrete W dalszej części wkładu posługiwać będziem się pojęciem fukcji, rozumiaej jako zależość pomiędz pewmi wielkościami fizczmi. Fukcją lub iaczej, odwzorowaiem zbioru X w zbiór Y azwam przporządkowaie każdemu elemetowi ze zbioru X jedego elemetu ze zbioru Y f:x Y Zbiór X azwam dziedzią fukcji f i ozaczam go jako D f atomiast elemet dziedzi azwam argumetami. Zbiór Y azwam zbiorem wartości fukcji f:x Y Zbiór wartości ozaczam przez fx łac. fuctio 'czość' od fugi 'wkować; zarządzać; sprawować urząd'; W. Kopaliński Słowik wrazów obcch Czasami jedak pojawi się pojęcie sgału i zgodie z teorią sgałów bo częściowo będziem z iej korzstać prztaczam defiicję tego pojęcia: SYGNAŁ proces zmia pewej wielkości fizczej lub stau obiektu fizczego w czasie lub w przestrzei. Sgał jest ośikiem iformacji. Przwkliśm do tego, że w algebrze korzstam z fukcji ciągłch. Że wiele zjawisk w mechaice cz wtrzmałości materiałów opisujem fukcjami ciągłmi, ale jedak iemal zawsze mam do czieia z fukcjami, które mają wartości tlko w ściśle określoch puktach. Tak dzieje się wted, gd dokoujem obliczeń metodami umerczmi prz pomoc komputera. Żada fukcja w reprezetacji komputerowej jeśli awet jest aalitczą fukcją ciągłą ie ma wartości dla każdej wartości argumetu, bo obliczeia igd b się ie skończł. Fukcje sgał dskrete otrzmujem rówież jako wik ekspermetu, poieważ iemal zawsze pomiar odbwają się prz pomoc mierików i rejestratorów cfrowch lub a zasadzie okresowego odcztu wskazań mierików aalogowch. Co więc azwam fukcją dskretą lub sgałem dskretm? Co to jest fukcja już mówiliśm, ależ więc wjaśić pochodzeie drugiego człou azw: Discretio łac. oddzielie, rozróżieie W. Kopaliński Słowik wrazów obcch Dskret = ieciągł 8

9 Przjmiem astępującą defiicję: Fukcją dskretą i = f i azwam fukcję, która przjmuje wartości i tlko dla określoch wartości argumetu i, które azwać będziem węzłami. Wartości fukcji i azwać będziem wartościami węzłowmi. W reprezetacji komputerowej każdą fukcję ciągłą zastępuje się ciągiem wartości fukcji dla wbrach wartości argumetu. Podobie wgląda postać fukcji zdjętej w pomiarach Rs. 5 5 i- i i i Rs.. Obraz graficz fukcji ciągłej i dskretej W przedziale zach wartości argumetu i- i wartość ie jest zaa. Proces zamia fukcji ciągłej a dskretą azwam dskretzacją. Właściwie po co zamieiać zaą am fukcje ciągłą a ciąg jej wartości? Fukcję ciągłą zazwczaj moża różiczkować, całkować, a przede wszstkich z postaci aalitczej wzaczć moża jej wartość dla DOWOLNEJ wartości argumetu. Dskretzacja fukcji ciągłej jeśli rzeczwiście potrafim opisać ją jedą zależością stosowaa jest wówczas, gd koszt wzaczeia jej wartości jest duż, czli imi słow, gd akład prac koiecz do wzaczeia wartości fukcji jest zacz. Łatwiej jest wted zdobć się a jedorazow wsiłek stabelarzowaia fukcji i odcztwaia z iej wartości metodą iterpolacji o czm dalej. Dskretzacja fukcji ciągłej ma rówież miejsce wted, gd opis zjawiska jest bardzo złożo i parametr fukcji uzskiwae są z wielu rówań i wreszcie wted, gd zamierzam sporządzić wkres fukcji. W przpadku ekspermetu jest to właściwie obecie jeda metoda odwzorowaia.. Dskretzacja Zamiaa fukcji ciągłej w ciąg wartości liczbowch może odbwać się a kilka sposobów. Najczęściej spotkam w obliczeiach umerczch jest próbkowaie, ale w pewch stuacjach zamiaa ta może odbwać się w procesie kwatowaia lub w połączoch procesach próbkowaia i kwatowaia. 9

10 .. Próbkowaie Próbkowaie Proces tworzeia fukcji dskretej sgału dskretego reprezetującej fukcję ciągłą za pomocą ciągu wartości azwach próbkami. Liczbowe odwzorowaie fukcji ciągłej dskretzacja dokowae droga obliczeń umerczch realizowach w dowol sposób obliczeia ręcze, obliczeia prz pomoc algortmu zapisaego w kokretm jęzku programowaia cz obliczeia realizowae arzędziem uiwersalm, zwam arkuszem kalkulacjm polega a wzaczeiu ciągu wartości i = f i dla argumetów i, oddaloch od siebie wartość Δ i = i i-. Taki proces dskretzacji azwam próbkowaiem, a wartość Δ i azwam krokiem lub okresem próbkowaia, poieważ co pewie krok - iekoieczie stał pobieram próbkę wartości fukcji. W obliczeiach umerczch ajczęściej posługujem się stałm krokiem próbkowaia, co wika z kostrukcji jęzków programowaia. Koleje wartości fukcji i = fi wlicza się w pętli, p. wg schematu od do, powiększając wartość argumetu. Algortm takiego postępowaia przedstawioo a Rs.. I schemat pętli w jęzkach programowaia polega a wzaczaiu kolejch wartości argumetu poprzez określoa liczbę powtórzeń operacji dodawaia stałego okresu próbkowaia do wartości początkowej argumetu Rs.. Poieważ posłużliśm się pojęciem algortmu, pora prztoczć jego defiicję. ALGORYTM W.Kopaliński Słowik wrazów obcch.. mat. formuła, wzór, schemat, program obliczaia, mechaiczego rozwiązwaia daego tpowego zadaia mat. if. sposób rozwiązaia jakiegoś zadaia, któr może bć zrealizowa w postaci programu komputerowego śrdw. łac. algorismus algortm od arab. przdomka matematka pers. abu-dżafar Mohammed ib Mũsa al-chwãrizmi ok.85 r. przdomek Algoritmi Defiicja algortmu wg ecklopedii PWN Przepis rozwiązaia daego zagadieia matematczego; metoda postępowaia zawierająca wszstkie formuł obliczeiowe, określająca kolejość ich stosowaia, waruki, prz którch stosuje się tę lub ią formułę, zasad przechodzeia od jedego etapu procesu obliczeiowego do astępch oraz iformacje o rodzajach i własościach odpowiedich obiektów matematczch: liczb, wektorów, macierz, a także tablic, które są dami początkowmi zadaia lub pojawiają się podczas obliczeń

11 Algortm musi charakterzować się astępującmi cechami: jedozaczość - jedozacza droga postępowaia wiodąca do wzaczoego celu, ma początek i koiec - algortm Euklidesa dla p. par liczb i 5 jest ieskończo, efektwość - wmagaie, b wszstkie operacje bł wstarczająco proste i b czas osiągaia celu bł określo i skończo, masowość - możliwość rozwiązwaia całej klas podobch zadań ie tlko dla jedego, uikalego zestawu dach. START START Cztaj p;k Cztaj t;deltat;k =p =+delta p=; delta=; k=; while <=k do begi =+delta =f ed i= t=t+i*deltat =ft t=; deltat=; k=; for i= step util k do begi t=+i*delta =f ed >k tak KONIEC i>k tak KONIEC Nie Nie =p Pisz t, Pisz t, Rs.. Dskretzacja w pętli while... do oraz w w pętli od... ilość powtórzeń W badaiach doświadczalch próbkowaie polega a odcztaiu wartości mierzoej zazwczaj co pewie odstęp czasu Δt iekoieczie stał, rówież zwa okresem próbkowaia. Na Rs. 3 pokazao wkres fukcji dskretej = f, uzska przez próbkowaie drogą obliczeń lub pomiarów ze stałm krokiem próbkowaia.

12 3 4 ` Δ Δ Δ Δ Rs. 3. Wkres fukcji dskretej ze stałm okresem próbkowaia W przpadku obliczeń umerczch bwa, że okres próbkowaia ie jest stał. Na krańcach przedziałów czasami pukt się zagęszcza, b prz wgładzaiu fukcji uikąć jej rozbiegaia Efekt Ruge'go, co będzie zilustrowae podczas omawiaia zagadieia iterpolacji. Próbkowaie w obliczeiach umerczch jest ajczęściej stosowaą metodą dskretzacji. Wprowadza jedak oa rzko silego ziekształceia fukcji odwzorowwaej, dlatego próbkowaie musi odbwać się z zastosowaiem pewch krteriów. Zaim omówim te błęd, zajmiem się opisem ruchu harmoiczego, poieważ wstępuje o powszechie w wielu zjawiskach w mechaice gr. harmoia 'spojeie, łącze; związek; zgoda; harmoia'. Gwoli przpomieia a Rs. 4 pokazao defiicje fukcji trgoometrczch. Rs. 4. Defiicje fukcji trgoometrczch Fukcję trgoometrczą sius lub cosius, bo jest to ta sama fukcja przesuięta w fazie zilustrowao a Rs. 5 jako fukcję kąta. W praktce opiswaa jest często w dziedziie czasu lub odwzorowwaa jeszcze iaczej. Pukt zazaczoe a wkresie są wartościami fukcji próbkowaej z okresem próbkowaia Δφ = 5 si Rs. 5. Wkres fukcji sius ciągłej fukcji kąta Zmiaa dziedzi z w dziedzię czasu - opiera się a założeiu, że okres fukcji wosi T.

13 ,8,6,4?, , -,4 -,6 -,8 - Rs. 6. Fukcja harmoicza - zmiaa dziedzi Zakładając, że promień wodząc obraca sie ze stała prędkością kątową ω wiem, że kąt φ przebędzie w czasie a peł obrót wkoa w czasie Podstawiając. otrzmujem: si = si t = si Prędkość kątową ω azwam pulsacją lub częstością kołową, która zawiera iformację o tm, ile pełch obrotów o kąt π wkoał promień wodząc w ciągu sekud. Często posługujem sie pojęciem częstotliwości f wrażaej w Hz, która mówi o tm, ile okresów fukcji mieści się w jedej sekudzie, czli: f= T Podstawiając f do rówaia mam: si =si π f t Zamiast wkresu w fukcji czasu, moża posłużć się przedstawieiem fukcji harmoiczej w dziedziie częstotliwości widmo amplitudowo- częstotliwościowe Rs. 7. Przebieg czasow Widmo amplitudowe Widmo fazowe?φ A A A φ? t φ f f =/T f f =/T T Rs. 7. Widmo amplitudowo- i fazowo-częstotliwościowe 3

14 Rs. 8. Widmo sgału okresowego, będącego sumą sgałów harmoiczch poliharmoiczego Fukcji harmoiczej będziem w dalszej części wkładu często użwać do ilustracji pewch zagadień. Wspomiao już, że próbkowaie może bardzo ziekształcić obraz odwzorowwaej fukcji. Na Rs. 9 pokazao fukcję o okresie T = s próbkowaą z różm okresem częstotliwością. Pierwsz wkres dość dobrze układa się w postać siusoid, atomiast drugi wkres ma wraź charakter trójkąt, a pozostałe dwa wkres sugerują raczej zależość liiową.,5,5 -,5 - -,5 dt=, s,5,5,5 3,5,5 -,5 - -,5 dt=,5 s 4 6 3,6,4 dt=,3 s -,5, - dt=,995 s Rs. 9. Ziekształceie obrazu dskretego fukcji ciągłej w zależości od okresu próbkowaia si*pi*t/t; T=s Ziekształceie postaci fukcji może powodować fałszw jej opis. Jeśli zbiór wartości pochodzi p. z pomiarów, możem zmierzoej fukcji przpisać ią postać, iż ma oa w rzeczwistości. Na kolejch rsukach Rs.,Rs.,Rs. 3 jest ilustracja tego zjawiska. 4

15 T=3 s; dt =,85 s,,8,6,4,, , -,4 -,6 -,8 -,, T=57 s; dt =,85 s,8,6,4,, , -,4 -,6 -,8 -, Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład T=3 s; dt =,75 s,,8,6,4,, -, -,4 -,6 -,8 -, 5 5 5, T=33, s; dt =,75 s,8,6,4,, -, ,4 -,6 -,8 -, Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład, -,5 Fukcja harmoicza o okresie T = 3s=siπ/3*t dt =,998 s , -,5 -, -,5 -,3 -,35 -,4, -,5 liiowa =-,49/96,8*t ; dt =,998 s , -,5 -, -,5 -,3 -,35 -,4 Rs.. Niejedozaczość próbkowaia - przkład 3 5

16 Fukcja harmoicza o okresie T = 3s=siπ/3*t dt =,998 s, ,5 -, -,5 -, -,5 -,3 -,35 -,4,4 Fukcja liiowa o rówaiu =,49/96,8*t dt = 3,,35,3,5,,5,,5, Rs. 3. Przkład błędego próbkowaia Próbkowaie sgału możem prowadzić z dowolą częstotliwością. Jedm ograiczeiem fizczm są możliwości aszego sprzętu gd mowa o ekspermecie lub dspoowal czas obliczeń. Nie każda jedak częstotliwość próbkowaia pozwoli a odtworzeie orgialego sgału. Jeśli dspoujem tlko próbkami sgału, ie zając postaci fukcji wjściowej, może się okazać, że próbki te mogą bć iereprezetatwe. Jakaś fukcja może "udawać" drugą, podszwając się pod ią. Wobraźm sobie, że wartości zdjęte w pomiarach układał się w taki ciąg, jak w Tabela : Tabela. Przkładow ciąg wartości fukcji dskretej i i,866,866 -,866 -,866,866,866 Wiem, że jest to siusoida - jedak jaka? Pasuje tu zarówo siusoida o okresie T=7s, jak i siusoida T = s Rs. 4. Któr więc sgał został zmierzo? Zapewe asza iterpretacja wskazwałab a fukcję "woliejszą", choć z fizki zjawiska wika, że bła to fukcja "szbsza".,8,6,4,,5,5 dskreta sius,5,5 -, -, , , ,6 -, ,5 - -,5 dskreta sius Rs. 4. Niejedozaczość odwzorowaia fukcji podczas próbkowaia 6

17 Z tego przkładu wika, że próbkowaie ze zbt iską częstotliwością prowadzi do błędej iterpretacji częstotliwości sgału odtworzoego. Przjęliśm iższą wartość od rzeczwistej. Zjawisko ukrwaia się fukcji pod ią postacią zgodą z wartościami węzłowmi azwam aliasigiem. Twierdzeie Kotielikowa-Shaoa, zae rówież jako twierdzeie Whittakera-Nquista- Kotielikova-Shaoa lub twierdzeie o próbkowaiu, mówi o tm, jakie waruki ależ spełić podczas próbkowaia sgału ciągłego t, b z uzskaego sgału dskretego i t i moża bło wierie te sgał odtworzć. Warukiem trasformacji odwrotej jest spełieie waruku: Częstotliwość próbkowaia jako odwrotość okresu próbkowaia, czli odstępu w czasie pomiędz kolejmi próbkami w sgale obserwowam. musi bć co ajmiej dwukrotie wższa od ajwższej częstotliwości Zgodie z twierdzeiem Shaoa, w celu uikięcia aliasigu, sgał musi bć próbkowa z częstotliwością większą iż dwukrotość ajwższej częstotliwości wstępującej w sgale. Moża je ziterpretować rówież tak, że maksmala częstotliwość, jaką da się odtworzć z sgału próbkowaego z częstotliwością f pr jest połową tej częstotliwości próbkowaia. TWIERDZENIE O PRÓBKOWANIU Sgał ciągł może bć poowie odtworzo z sgału dskretego, jeśli bł próbkowa z częstotliwością co ajmiej dwa raz większą od graiczej częstotliwości swego widma. Maksmala częstotliwość sgału, która może bć właściwie bez aliasigu ziterpretowaa prz określoej częstotliwości próbkowaia osi azwę częstotliwości Nquista i jest rówa połowie częstotliwości próbkowaia. Twierdzeie Kotielikowa-Shaoa mówi o tm, jaką ajwższą częstotliwość może mieć sgał próbkowa z zadaą częstotliwością, b moża bło odtworzć go bez ziekształceń. Twierdzeie mówi o tm, jaka powia bć częstotliwość próbkowaia, gd zam ajwższą składową częstotliwości w sgale mierzom. KRYTERIUM NYQUISTA Próbkując sgał z określoą częstotliwością moża wierie zidetfikować tlko te częstości, które są przajmiej dwukrotie miejsze od częstotliwości próbkowaia. Najwższą, poprawie rejestrowaą częstotliwością jest, zwaa częstotliwością Nquista 7

18 Sgał o częstotliwości wższej od częstotliwości Nquista ukażą się ziekształcoe w postaci aliasów, o częstotliwościach pomiędz a. Częstotliwość aliasu wzaczć moża z zależości: gdzie: f a częstotliwość aliasu, - liczba całkowita, f pr częstotliwość próbkowaia, f częstotliwość sgału mierzoego, prz czm *fpr jest wielokrotością częstotliwości próbkowaia, ajbliższą częstotliwości sgału mierzoego. Jeśli próbkujem z częstotliwości fpr= Hz sgał o częstotliwości f =7 Hz, to ze wzoru Nquista wiem, że asz sgał leż w paśmie ie do odtworzeia. Zamiast aszego sgału zobaczm jego alias: fa = * - 7 = 3 Hz ALIASING Nieodwracale ziekształceie sgału w procesie próbkowaia spowodowae iespełieieiem waruku Nquista. Niejedozaczości związae z próbkowaiem dotczą ie tlko fukcji harmoiczch. Częstm przpadkiem jest rówież "gubieie" miejsc zerowch lub ekstremów lokalch. Przkład takiej deformacji pokazao a Rs =-3^3+5^--5; d =,8 a b =-3^3+5^--5; d = Rs. 5. Przkład wkresu fukcji f = - 3^3 + 5^ 5 prz różm okresie próbkowaia; a Δ =,8 ; b Δ = Częstotliwość próbkowaia związaa jest z częstotliwością aalizowaego sgału. Na przkład w aalizie dźwięku, ze względu a cech zmsłu słuchu ie zakres częstotliwości w przpadku mow, muzki... stosuje się róże częstotliwości próbkowaia Tabela. 8

19 Tabela. Częstotliwości próbkowaia dźwięku Czętotliwość Przeaczeie sgału 8 khz - telefoia 6 khz - komuikacja mediala,5 khz - komputer osobiste 3 khz - cfrowe radio i telewizja 44, khz - płt CD audio 48 khz - magetofo cfrowe DAT, Digital Audio Tape,HDTV 96 khz - DVD Próbkować moża z dowolie wsoką częstotliwością. Ograiczeiem są jedie możliwości sprzętu i dostępa przestrzeń dskowa. 9

20 ódło elemet Źr Foto.. Kwatzacja Próbkowaie ie jest jedą metodą dskretzacji. W obliczeiach i pomiarach stosuje się rówież i sposób zamia fukcji ciągłej a dskretą. Sposób te azwa się kwatzacją od łac. quatum ile - W. Kopaliński Słowik wrazów obcch". Kwatzacja Nieodwracale ieliiowe odwzorowaie statcze zmiejszające dokładość dach przez ograiczeie ich zbioru wartości. Zbiór wartości wejściowch dzielo jest a rozłącze przedział. Każda wartość wejściowa wpadająca w określom przedziale jest w wiku kwatzacji odwzorowaa a jedą wartość wjściową przpisaą temu przedziałowi, czli tak zwa poziom reprezetacji. W rozumieiu potoczm proces kwatzacji moża przrówać do "zaokrąglaia" wartości do określoej skali. Wartości wejściowe muszą bć jedozaczie kojarzoe z poziomami reprezetacji, dlatego przedział dopuszczalch wartości wejściowch jest dzielo a podprzedział. Pukt podziału azwam poziomami deczjmi, którch liczba jest o jede miejsza od liczb poziomów reprezetacji. Każda wartość ależąca do daego podprzedziału jest zastępowaa przez poziom reprezetacji przpisa do daego przedziału. Poziomem reprezetacji może bć góra lub dola graica przedziału, jedak ajczęściej jest ią wartość ze środka przedziału. Powoduje to miimalizację błędu średiokwadratowego, ale pod warukiem, że rozkład prawdopodobieństwa wartości wejściowch jest stał w dam przedziale. Waruek te jest w przbliżeiu spełio, jeśli szerokości przedziałów kwatzacji są "bardzo małe". Przkładem kwatzacji jest pokaza a Rs. 6 sposób pomiaru objętości ciecz w zbioriku. Rs. 6. Fukcja skwatowaa i przkład jej realizacji pomiar wsokości lustra wod w zbioriku Omówioe procedur moża skojarzć. Fukcja może bć spróbkowaa i skwatowaa, i wted wraźie widocz jest problem kojarzeia wartości próbki z poziomem deczjm.

21 Δ Δ Rs. 7. Fukcja spróbkowaa i skwatowaa Kwatowaie fukcji ciągłej drogą obliczeń umerczch jest procesem złożom. Najpierw fukcję się próbkuje taki jest charakter obliczeń umerczch, a potem kwatuje, zaliczając próbkę do kokretego poziomu deczjego. Należ pamiętać o tm, że takie odwzorowaie jest odwzorowaiem stratm - ie moża dokładie odtworzć fukcji sgału skwatowaego. Odwzorowaie to jest tm bliższe orgiału, im więcej jest poziomów deczjch. W pomiarach związae jest to z ilością bitów przetworika aalogowo-cfrowego czli ilością poziomów możliwch do zapisaia - tabela. Tabela 3. Liczba bitów przetworika, a liczba poziomów kwatzacji Liczba bitów Liczba poziomów 4 4 =6 8 8 = 8 = = 65536

22 Iterpolacja Fukcja dskreta i = f i ma wartości określoe dla skończoego ciągu wartości argumetu i, zwach węzłami: =,,, Dla ich iż węzłowe wartości argumetu wartość fukcji = f ie jest określoa. Nie jest rówież określoa dla wartości argumetu spoza zbioru węzłów. Wartość fukcji =f moża wzaczć dla dowolej wartości argumetu z przedziału wartości zach, stosując iterpolację. INTERPOLACJA Zastąpieie fukcji dskretej fukcją ciągłą zwaą fukcją iterpolującą, która zachowuje węzłowe wartości fukcji dskretej. Fukcja iterpolującą w przedziałach pomiędz węzłami ajczęściej przebiega iaczej, iż pierwota fukcja ciągła, którą zamieioo a ciąg wartości w procesie dskretzacji. i 3 Fukcja pierwota f Zdskretzowaa fukcja f Fukcja iterpolująca 3 i Rs. 8. Fukcja ciągła zdskretzowaa i jej fukcja iterpolująca W procesie iterpolacji przjmuje się postać fukcji iterpolującej i ajczęściej wkorzstuje się wielomia algebraicze, trgoometrcze lub fukcje wmiere. Dskretzacja fukcji ciągłej f ma miejsce często wted, gd fukcja jest aalitczie złożoa i koszt wzaczeia wartości fukcji dla kokretej wartości argumetu jest zacz. Opłaca się wówczas fukcje stabelarzować w wbram zakresie wartości argumetu. Jeżeli zajdzie potrzeba wzaczeia wartości fukcji dla argumetu spoza zaego przedziału < mi, ma >, wówczas iterpolacja będzie tańsza iż wzaczeie wartości fukcji f dla kokretego. Zabieg taki może wmagać miejszego akładu prac, ale wzaczoa wartość zawsze obarczoa jest błędem. Iterpolacje stosujem rówież i wted, gd opis matematcz jakiegoś zjawiska ie jest możliw. Gd zagadieie jest opisae p. hierarchiczie parametr wikają z wartości fukcji pośredich

23 a zależość końcowa iemożliwa jest do scaloego opisu aalitczego. Jeda droga pozostaje aaliza umercza i wikiem jej zawsze jest fukcja dskreta. Powtarzaie tak złożoej procedur wmaga zbt dużego kosztu, więc obliczeia przeprowadzam raz, a wartości pośredie dostajem z fukcji iterpolującej. Iterpolację stosujem więc wted, gd: trzeba zastąpić fukcję złożoą, dla której wzaczeie wartości wmaga dużego akładu prac, prostszą, ależ obliczć wartości fukcji dskretej dla argumetów ich iż węzł, trzeba rozwiązać rówaie f = iterpolacja odwrota.. Iterpolacja wielomiaowa Mam ciąg wartości fukcji = f, określoch dla kokretch wartości argumetu z zadaego przedziału <, >, czli mam + puktów. Szukam fukcji ciągłej W o zadaej postaci, która w węzłach przjmie ich wartości. Mam więc układ + rówań, z którego wzaczć moża + wartości. Problem polega więc tlko a tm, jak przjmiem postać fukcji W, która musi mieć + parametrów, b wkorzstać peł układ rówań. Tabela 4. Fukcja spróbkowaa i waruki iterpolacji i = f = f i = fi = f W W = W = Wi = i W = W procesie iterpolacji ajczęściej przjmujem wielomiaową postać fukcji iterpolującej 3 3 Z układu rówań Tabela 4 moża wzaczć wartości współczików ai. Wielomia uogólio ma więc postać. 4 Fukcje azwam fukcjami bazowmi, a współczikami wielomiau. Rówaie 3 moża zapisać macierzowo 5 5 gdzie: 3

24 Macierz fukcji bazowch Φ jest wektorem wierszowm o wmiarach +, atomiast macierz współczików A jest wektorem kolumowm o wmiarach +. Wchodząc z waruku rówości wartości wielomiau iterpolującego W i z wartościami węzłowmi i 6 układ rówań z Tabela 4 sprowadzić moża do postaci 7. 6 gdzie : X - macierz iterpolacja o rozmiarach A - macierz współczików - wektor kolumow o + wierszach Y - macierz wartości w węzłach fukcji iterpolowaej - wektor kolumow o + wierszach Jeżeli wzaczik macierz X ma wartość różą od zera: to wzaczć moża wartości macierz współczików z rówaia 8. Podstawiając wzaczoe wartości A do rówaia 7 otrzmam

25 .. Wielomia w postaci aturalej W iterpolacji problemem jest wbór postaci fukcji bazowch z postaci - aturalą :. Przjmiem ajprostszą wielomia iterpolując będzie miał postać : Macierz iterpolacja ma więc postać : Wiem, że układ rówań 8 ma jedo rozwiązaie względem a i, jeśli wzaczik macierz X. Rozwiązaiem jest macierz 3 współczików A: 3 Iterpolacja dużch zbiorów dach daje iestet duże macierze, które trzeba odwrócić. Czasami macierze te są źle uwarukowae i podczas ich odwracaia wstępują błęd. Przkładem takich dach jest zbiór wartości z Tabela 5. Tabela 5. Krzwa agrzewaia się łożska temp. Łożska [ C] temp. Łożska [ C] temp. Łożska [ C] temp. Łożska [ C] temp. Łożska [ C] czas [s] czas [s] czas [s] czas [s] czas [s],6 5 3,5 46,7 8 79, 3 83,5,8 6 34, 5,7 9 8,6 4 83,6 4, 7 37,3 5 7, 83,3 5 83,6 3 5,7 8 39,9 6 74,3 83,3 4 8,5 9 4,7 7 77,3 8,4 5

26 Temperatura łożska [stopi C] Bardzo wsoki stopień wielomiau i asmptotcz wzrost temperatur ustalającej się a poziomie ok. 84 C spowodował olbrzmie błęd prz odwracaiu macierz. W efekcie wielomia iterpolacj, któr miał przechodzić przez wszstkie wartości węzłowe zupełie się od ich odsuął Rs W i i Czas [s] Rs. 9. Krzwa agrzewaia się łożska dae w tabeli 5 Dla tego samego zbioru wartości obiżeie stopia wielomiau do dziewiątego pierwszch węzłów dało dobre rozwiązaie, przedstawioe a rs. 5, 45, 4, 35, temp. Łożska [ C] w pkt 3, 5,, Rs.. Iterpolacja krzwej agrzewaia się łożska z tabeli 5 wielomiaem dziewiątego stopia a pierwszch puktach Im zjawiskiem jest tzw. efekt Ruge go Rs.. Polega oa a tm, że w przpadku wielomiaów wsokiego stopia astępuje rozfalowaia wartości prz krańcach przedziału. Zjawisko to widocze jest wted, gd węzł rozłożoe są rówomierie stał okres próbkowaia. Jeśli węzł prz krańcach przedziału się zagęści umieszczając je w puktach Czebszewa o czm późiej, wówczas tego efektu moża uikąć. Na Rs. pokazao fukcję dskretą uzskaą poprzez próbkowaie ze stałm okresem fukcji i wielomia ją aproksmując W. Rs. pokazuje tę samą fukcję, ale próbkowaą ze zmiem okresem węzł w puktach Czebszewa i jej wielomia aproksmując W. W obu przpadkach stopień wielomiau jest te sam wielomia aturale. 6

27 Stał okres próbkowaia W Rs.. Efekt Ruge'go Pukt Czebszewa W -czebszewa dskreta Rs.. Fukcja spróbkowaa ze zmiem okresem próbkowaia... Pukt Czebszewa Optmale położeia węzłów staowią zera wielomiaów Czebszewa pierwszego rodzaju, którch postać trgoometrcza podaa jest iżej : Zera wielomiaów czli wartości węzłów wzacza się z zależości: gdzie: - liczba puktów; m - ideks puktu. 7

28 Poieważ pukt Czebszewa ależą do przedziału <-,> a asza fukcja ma wartości określoe w przedziale węzłów <a,b> trzeba wartości m przeskalować. Skalowaie z przedziału <-,> a <a,b>: Ostateczie: Skalowaie z przedziału <a,b> a <-,>: Optmale położeie węzłów moża wzaczć wg wzoru: Węzł są zagęszczoe a krańcach przedziału. Ze względu a kłopot z odwracaiem dużch macierz oraz a efekt Ruge'go, któr w pomiarach jest ie do uikięcia z powodu iemal powszechej rejestracji wartości mierzoch co stał okres czasu, taktowa zegarem urządzeń pomiarowch, iterpolację przeprowadza się a ograiczoej liczbie węzłów, a którch rozpia się wielomia iterpolacj. Zmiejszeie stopia wielomiau ozacza też miejszą macierz do odwróceia. W zasadzie ie stosuje się stopi wższch iż piąt. Ozacza to jedak, że cał zbiór węzłów aproksmować ależ przedziałami, co w kosekwecji prowadzi do ich współczików wielomiau dla każdego z iterpolowach zakresów Rs. 3. Oczwiście z wzaczoego wielomiau iterpolacjego skorzstać moża tlko w zakresie węzłów, użtch do iterpolacji. poza tm zakresem wielomia ie przechodzi przez wartości węzłowe. Patrząc a Rs. 3 dochodzim do wiosku, że fukcję iterpolującą moża "posklejać" z fragmetów różch wielomiaów wzaczoch dla kolejch, przległch podzbiorów wartości węzłowch. Tak właśie powstała metoda fukcji sklejach, o której już mówić ie będziem. 8

29 próbki W dla 4 puktów pukt startow próbki W dla 4 puktów pukt startow próbki W dla 4 puktów pukt startow próbki W dla 4 puktów pukt startow Rs. 3. Iterpolacja przedziałami a 4 puktach... WADY INTERPOLACJI WIELOMIANAMI NATURALNYMI Procedura wzaczaia wartości współczików wmaga odwracaia macierz iterpolacjej. Odwracaie macierz jest operacją kosztową i podczas odwracaia macierz dużch stopi wstępują błęd. Macierz iterpolacja ie zawsze jest dobrze uwarukowaa 9

30 ...3 Iterpolacja liiowa Jeżeli stopień wielomiau ograiczm do pierwszego: wówczas mówim o iterpolacji liiowej, która stosowaa jest dość często. Dokładość tego odwzorowaia silie zależ od wielkości kroku próbkowaia. Prz małm kroku daje zazwczaj akceptowalą dokładość. Wartości współczików wielomiau możem wzaczć jak poprzedio, możem rówież policzć je wprost z rówaia prostej Rs. 4. i+ i Rs. 4. Iterpolacja liiowa Przkład - Iterpolacja wielomiaami aturalmi Dla ilustracji różch metod iterpolacji dokoam "ręczch" obliczeń a tm samm zbiorze wartości. Zakładam, że mam fukcję zdskretzowaą, której wartości zebrae są w Tabela 6. Tabela 6. Dae wjściowe węzł wartości węzłowe i i+ Szukam wrazów macierz A z rówaia 4: 4 gdzie: B układ rówań 4 miał rozwiązaie, ależ sprawdzić, cz wzaczik macierz X róż jest od zera. Potrzeb jest o rówież do zalezieia macierz odwrotej X -. 3

31 WYZNACZANIE MACIERZY ODWROTNEJ gdzie: det X - wzaczik macierz X D T - traspoowaa macierz dopełień algebraiczch macierz X DOPEŁNIENIE ALGEBRAICZNE MACIERZY W algebrze liiowej dopełieie algebraicze elemetu ij daej macierz kwadratowej X stopia jest iloczem - i+j oraz miora M ij czli wzaczika podmacierz stopia - powstałego z usuięcia i- tego wiersza oraz j-ej kolum macierz X. WYZNACZNIK MACIERZY Wzaczikiem azwam takie odwzorowaie, które daej macierz X = [ ij ] przporządkowuje dokładie jedą liczbę rzeczwistą detx. 5 Obliczam wzaczik macierz X. Poieważ jest to macierz 33, wkorzstam metodę Sarrusa Uwaga - tlko dla macierz 33 Jeśli mam macierz większą, darujm sobie "ręcze" rachuki. Jeśli możem skorzstać z Ecela, to wzaczik obliczam prz pomoc fukcji WYZNACZNIK.MACIERZY zakres pamiętając, że jest to fukcja tablicowa, którą wprowadza się do zazaczoego obszaru i kończ wprowadzaie sekwecją klawisz CTR+SHIFT+ENTER Wartość tego wzaczika obliczć moża rówież z defiicji 5: Wzaczik jest róż od zera - układ rówań ma jedo rozwiązaie ze względu a a i. Odwracam macierz X. W tm celu obliczam dopełieia algebraicze wszstkich wrazów macierz X. 3

32 Mając wszstkie wraz macierz dopełień moża zaleźć jej postać traspoowaą, potrzebą do wzaczeia macierz X -. ; ; ; Obliczam macierz współczików A. Ostateczie wielomia iterpolacj ma postać 6: 6 Węzł fukcji dskretej ależą do przedziału <,3> i dla dowolej wartości z tego przedziału wzaczć możem wartość W, która jest przbliżoą wartością fukcji dskretej dla daego. Jeśli potrzeba am jest przbliżoa wartość fukcji dla =,5, obliczam ją z wielomiau iterpolującego: Na Rs. 5 pokazao wkres fukcji dskretej, wielomia iterpolując oraz wzaczoą, iterpolowaą wartość,5. Oczwiście gałąź krzwej a lewo od w kieruku wskazam strzałką NIE MOŻE BYĆ STOSOWANA do wzaczaia przbliżoej wartości fukcji. Podobie jest z obszarem a prawo od 3 w kieruku wskazam strzałką. Wielomia iterpolacj miał przechodzić przez zadae węzł. I a tm polega istota iterpolacji. 3

33 , Dskreta ii W wartość iterpolowaa Rs. 5. Ilustracja graficza przkładu.. Iterpolacja wielomiaami Czebszewa pierwszego rodzaju Poprzedio wspomieliśm, że iterpolacja wielomiaami wsokich stopi prowadzi do efektu Rugego, któr moża uikąć stosując zmie krok próbkowaia i że rozwiązaiem może bć przjęcie węzłów w zerach wielomiaów Czebszewa pierwszego rodzaju. Wielomia iterpolacj wraża sie klasczm wzorem 7: 7 Fukcje bazowe są wielomiaami Czebszewa I rodzaju. W postaci rekurecjej, wgodej w obliczeiach, opisuje się je astępującmi wzorami 8: 8 Wielomia te mają wartości określoe dla. Jeśli fukcja dskreta rozpięta jest a węzłach, to ależ je przeskalować: Przeliczając "w drugą stroę" mam: Oczwiście zgodie z założeiami przekształceia wielomia musi spełiać waruki rówości w węzłach z fukcją dskretą: Współcziki rówań: wielomiau wzaczae są jak p. w przpadku wielomiaów aturalch z układu 33

34 Poieważ wartości węzłów mieszczą sie w graicach <-,>, więc wraz macierz Φ i jej macierz odwrotej mieszczą się rówież w tch graicach, co powoduje, że iterpolacja tmi wielomiaami jest miej wrażliwa a błęd zaokrągleń. Przkład - Iterpolacja wielomiaami Czebszewa Mam dae jak w Tabela 7 Tabela 7. Dae do iterpolacji metodą wielomiaów Czebszew I rodzaju Czas [s] t t t t 3 t Temp.[ C] Jest to fukcja postaci rozpięta a węzłach. Musim przeskalować wartości tak, b mieścił się w zakresie : Tak skalując węzł dostaiem ciąg wartości: Poieważ postać rekurecja 8 jest bardzo wgoda jest do obliczeń umerczch, to korzstam z iej w przpadku obliczeń zautomatzowach program w jakimś jęzku lub formuł w arkuszu kalkulacjm. B pokazać postaci fukcji bazowch wzaczm je dla aszego przpadku kolejo: Macierz Φ jest astępująca: 34

35 Macierz odwrota Φ - ma wartości rówież mieszczące się w graicach <-,>: Φ - =,66667,333333,333333, , ,33333,333333, ,5,5,5 -,6667, ,33333,66667, ,33333,5 -,33333,83333 Mając macierz współczików A, moża zaleźć wartość iterpolowaą dla każdego Dla Przkład 3 - Iterpolacja wielomiaami Czebszewa Niezależie od postaci fukcji bazowch wielomia iterpolacje maja taką samą postać aalitczą. Sprawdźm, cz wielomia Czebszewa dla dach z Przkład będzie dokładie taki sam. Dla ułatwieia powtórzoo tabelę wartości fukcji z przkładu Tabela 6.. węzł wartości węzłowe Fukcje bazowe mają postać 9: 9 Skalujem wartości węzłów tak, b bł zawarte w graicach <-,>: Wartości przeskalowae w kolejch puktach liczm tak: 35

36 Obliczam wartości podstawiając przeskalowae wartości i do wzorów 9. Mam więc układ rówań postaci, możem przekształcić go do postaci i zaleźć wartości współczików a i. Rozwiązując te układ rówań dostajem wartości współczików a i : Wielomia W po podstawieiu 9 i do wrażeia 7 sprowadzim do postaci algebraiczej 3: 3 Podstawiając sprowadzim wielomia do postaci: 4 Algebraiczie jest to taki sam wielomia, jak wzaczo dla tch dach z wielomiaów aturalch...3 Iterpolacja wielomiaem Lagrage a Iterpolacja wielomiaami aturalmi jest pracochłoe i wmaga odwracaia macierz. Wspomialiśm już, że bwa to przczą błędów. Poszukiwao więc iej postaci fukcji bazowch, które ułatwiałb obliczeia. Pa Lagrage przjął wielomia w postaci 5, gdzie fukcje bazowe mają specficza postać, przedstawioą rówaiami 6. W tm zapisie przjęliśm jawą wartość w miejscu iewstępującch różic. Ułatwia to prezetację zapisu. 36

37 37 Wielomia iterpolując ma ogólą postać jak poprzedio: 5 a fukcje bazowe są iloczami różic pomiędz wartością bieżącą argumetu i wartościami węzłów 6: W każdej z fukcji bazowch ie wstępuje czik. Macierz iterpolacja Φ ma postać 7. 7 Zając wartość węzłów, wzaczm wraz macierz.,,,,,,,,, Wika z tego, że macierz iterpolacja jest macierzą diagoalą ma wartości róże od zera tlko a główej przekątej 8 8

38 38 Każda z fukcji bazowch i i ma wartość, atomiast pozostałe się zerują. Prz takiej postaci macierz łatwo wzaczć współcziki wielomiau iterpolacjego z rówaia 9. Rówaie to po rozwiięciu ma postać 3. 9 a a a a 3 Z defiicji działaia możeia macierz wika, że: a a o a a a a 3 Wielomia iterpolacj ma więc postać 3. dla j=,,,..., 3 Sumując wraz po i, otrzmujem postać wielomiau 33 j W i i j j i i j j i,,,, ; 33 Jak widać wielomia Lagrage a w stosuku do wielomiaów aturalch wmagają prostszch operacji. Brak jest odwracaia macierz, woszącego często duże błęd. Metoda Lagrage a ie ma istotch wad. Zaletą jej jest możliwość prowadzeia obliczeń ręczie, awet a zaczch zbiorach dach.

39 Przkład 4 - Iterpolacja wielomiaem Lagrage'a Korzstając z metod Lagrage a wzaczm wielomia iterpolacj dla dach z Przkład. Dla ułatwieia prztoczm dae poowie Tabela 6. Węzł Wartości węzłowe Wzaczam wartości fukcji bazowch dla kolejch węzłów Zając wartości fukcji i i obliczm wartość współczików ai wielomiau iterpolacjego a 8 a a,5 Wielomia iterpolacj ma więc postać 36. W a a a W 3 8 3,5 36 Chcąc wzaczć wartość iterpolowaą wartość f,5 podstawim w miejsce liczbę,5. f,5,5,5 3 8,5,5 3,5,5,5,5,5 8,5,5,5,5,5,5 6,5 6,65 Wik jest te sam, co w przkładzie. Pomimo, że wizualie postać wielomiau Lagrage a jest pozorie ia, to jedak jest to adal te sam wielomia, co w przkładzie. Sprawdźm, sprowadzając postać 36 do postaci aturalej. W W ,5 3 4,5 W 4,5 7,5 9 Jest to dokładie ta sama postać co w rówaiu 6. 4,

40 ..4 Wielomia Newtoa Iterpolacja metodą Newtoa stosowaa jest dla fukcji dskretch, spróbkowach stałm krokiem h i i idem dla i,,,. Zaim opiszem oba z wzorów Newtoa, wprowadzim pojęcie różic skończoej...4. Różice skończoe. Różicą skończoą progreswą rzędu pierwszego dla argumetu i azwam różicą wartości węzłowch 38. i f i h f i i i dla i =,,..., 38 Różice skończoe wższch rzędów defiiuje się rekurecjie. Np. różica skończoa rzędu drugiego ma postać 39. i i i i 39 gdzie: i i i i i i Ostateczie otrzmujem wrażeie 4: i i i i i i i i 4 Podobie defiiujem różicę skończoą rzędu k 4. k k k i k i k i k i j i k j j 4 Mając zbiór węzłów i i wartości węzłowch i buduje się tablicę różic skończoch Tabela 8, które wkorzstam w pierwszm wzorze Newtoa. Tabela 8.Tablica progreswch różic skończoch dla węzłów. i 3 i i ide i i i i i 4

41 Podobie defiiuje się różice wstecze. Różica pierwszego stopia tak, jak poprzedio jest różicą wartości fukcji i i poprzedzającej jej wartości i 4. i i i 4 Aalogiczie, jak dla różic progreswch, defiiujem koleje stopie różic wsteczch, korzstając z zależości rekurecjej 43. k k k i i 43 i Jak w przpadku różic progreswch budujem tablicę skończoch różic wsteczch Tabela 9, którą to ograiczm do p. 6 puktów. Tabela 9. Przkładowa tabela różic wsteczch ide i i i i 3 i i 5 i I wzór Newtoa. I wzór Newtoa stosowa jest w iterpolacji fukcji dskretej spróbkowaej z krokiem stałm dla górej części tabeli wartości. Fukcja iterpolowaa ma wartości węzłowe odległe od siebie o h=idem Tabela. Tabela. Fukcja spróbkowaa z krokiem stałm ide i i h h h Podstawiając wzaczć moża wartości q dla kolejch węzłów 44. h q 4

42 4 dla h q dla h h h q dla h h h q dla q 44 Wielomia Newtoa ma postać taką, jak każd wielomia iterpolacj 45. q a q a q a q a q W 45 Fukcje bazowe wrażają się astępującmi formułami 46: Podstawiając 46 do 45 mam 47. q q q q a q q a a q a q W 47 Parametr q w węzłach przjmuje wartości, które są liczbami całkowitmi 48. h h h q h h h q h h h q h q 48 ] [ 3 q q q q q q q q q q q q q q q 46

43 43 Wielomia iterpolacj moża zapisać macierzowo jako 49: 49 gdzie: Φ- kwadratowa macierz wartości fukcji bazowch ++ A - macierz współczików wielowartościowa kolumowa + - macierz wartości węzłowch kolumowa + Rozpisując wraz macierz mam 5: a a a q q q q q q q q q 5 Wstawiając do 5 wartości fukcji bazowch dla parametrów q wzaczoch z 48 mam 5. a a a a a a ! Weźm macierz 33 i wzaczm wartości współczików a. a a a a Wzaczam wartości a odpowiedio możąc wraz macierz: a a a a a a Przekształcając otrzmujem: a a a progreswa różia a a

44 Porządkując wartości mam: Aalogiczie dostaiem wzór a współczik 5: 5 Procedura wzaczaia wartości współczików wielomiau jest więc bardzo prosta. Budujem dla swoich dach tablicę różic skończoch, wzaczając koleje ich wartości, a współcziki wielomiau obliczam z zależości 5. Zaletą tego algortmu jest to, że wartości współczików łatwo jest policzć dla rozszerzoego zakresu węzłów. Nie trzeba całej procedur powtarzać. Łatwo jest iterpolować fukcję wielomiau wbraego rzędu a wbrach węzłach, co pokażem a przkładach. Przkład 5 - I wzór Newtoa ide Wzaczć wartość dla =,5 stosując I wzór Newtoa. Dae do obliczeń zawarto w Tabela. Tabela. I wzór Newtoa - dae do obliczeń i i i i = = = Wartości współczików ai wzaczam z zależości 5. = 4 Wartość iterpolowaą,5 W,5 wzaczam, przjmując q : q h,5,5 44

45 i podstawiając wliczoą wartość do wzoru 47 mam: W q a a q a q q W,5 4 4,5 4,5,5, ,375 6,65 Wartość oczwiście taka sama, jak wzaczoa dla tch dach we wcześiejszch przkładach imi wielomiaami. Wielomia sprowadzo do postaci aturalej musi mieć oczwiście tę samą postać co w przkładzie. Podstawiając q do 47 otrzmujem astępującą postać wielomiau: h W a a a W 4 4 4,5 W ,5 W 4 4,5 3,5 9 W 4,5 7,5 9 Jest to aalitczie dokładie te sam wielomia co w przkładzie. Iterpolacja wielomiaem wg I wzoru Newtoa umożliwia dowol wbór stopia wielomiau k <=, jeśli puktów jest +. Musim oczwiście pamiętać o tm, że przjęcie stopia wielomiau k< wmaga k+ puktów. Ozacza to, że w przpadku iterpolacji w końcowej, prawej części zbioru węzłów, może am "zabrakąć" puktów, b użć wielomiau stopia k. Brak am progreswch różic skończoch. Dlatego dla wartości z prawej stro przedziału użwam różic wsteczch i opartego a ich II wzoru Newtoa. Przkład 6 - Iterpolacja wg I wzoru Newtoa Tabela zawiera stabelarzowaą fukcję, która spróbkowaa jest z krokiem stałm h= Tabela. Tabel wartości dla przkładu iterpolacji I wzorem Newtoa Δ Δ Δ 3 Δ 4 Δ 5 Δ 6 Δ 7 Δ 8 Δ 9 a b c, 6,5 8,6 -,4,7-5,6 76,8-79, 358,4-645, 7,5 5, 6,,3 -,88 5, -,4 79, -86,7,6,3 6,5 -,56 8,3-5, 76,8-7, ,9 7,8-6,4 5,76 -,88 5,6-3, ,7,78 -,8-7,,7-5, ,5,5-7,4-4,4 -, , -5,9-4,8-6, , -67,7-58, ,6-6, ,9 45

46 Iterpolując tę fukcję wielomiaem 3 stopia rozpiętm a węzłach,,,3 klamra a w Tabela otrzmam wartości współczików wliczoe z pierwszego wiersza tabeli: i wielomia w postaci: gdzie: Zmieiając zakres węzłów - rozpiam wielomia a węzłach 4,5,6,7 klamra b w tabeli - mam wartości współczików wliczoe z różic skończoch z wiersza 5 tabeli: i wielomia w postaci: gdzie: ; = 64, więc Próba wzaczeia wielomiau iterpolacjego stopia 3 a węzłach od 7 począwsz musi zakończć się iepowodzeiem - brak jedego węzła - i w tm przpadku trzeba przejść a II wzór Newtoa opart a różicach wsteczch II wzór Newtoa - różice wstecze Iterpolując fukcję dskretą w prawej części przedziału węzłów korzstam z II wzoru Newtoa, któr prztoczm bez wprowadzaia. Podstawiając: II wór Newtoa opart a różicach wstecz ma postać: Dla dach z poprzediego przkładu zbudujem tablicę różic skończoch i wzaczm wartości współczików dla wielomiau stopia 3, rozpiętego a węzłach 5,6,7,8 Tabela 3 46

47 Tabela 3. Różice wstecze , 7,5 6,5,6 5, 8, ,9,3 6, -, ,7 7,8 6,5,3, ,5,78-6,4 -,56 -,88-5, ,,5 -,8 5,76 8,3 5, 76, , -5,9-7,4-7, -,88-5, -,4-79, 8 8-8,6-67,7-4,8-4,4,7 5,6 76,8 79, 358, ,9-6,3-58,6-6,8 -,4-5, -3,7-7,5-86,7-645, Wartości współczików wliczam z różic skończo z ostatiego wiersza zakresu: Mam więc wielomia postaci: gdzie: Zalet Iterpolacji metodami różic skończoch Raz policzoe różice skończoe dla węzłów,,..., umożliwiają iterpolację wielomiaem dowolego stopia k dla dowolego podzbioru węzłów. Moża powiększać zbiór węzłów rozszerzając go w prawo Metoda wgoda do obliczeń ręczch i umerczch..5 Schemat Aitkea. Wzaczaie wartości wielomiau Lagrage a dla dowolej wartości argumetu dość pracochłoe., jest Metoda Aitkea pozwala a wzaczeie wartości iterpolowaej tego wielomiau bez koieczości wzaczaia współczików i jego pełej postaci. 47

48 Żeb obliczć wartość wielomiau opartego a węzłach wzacza się wartość wielomiaów kolejch stopi, przechodzącch przez zadae węzł, dla kokretego puktu. Defiiujem wielomia stopia, oparte a węzłach - wielomia pierwszego stopia rozpięt a puktach - wielomia stopia drugiego przechodząc przez - wielomia stopia przechodząc przez pukt gdzie Wartości tch wielomiaów dla zadaej wartości argumetów wzaczam ze wzorów Wartości wielomiaów umieszczam w tabeli trójkątej i obliczam od gór w prawo koleje wraz dla zadaej wartości Tabela 4. Tabela 4. Schemat Aitkea W, W, W,, 3 W 3, 3 W,, 3 W,,, 3 4 W 4, 4 W,, 4 W,,, 4 W,,,3, 4 W, W,, W,,, W,,,3, W,,, 48

49 Przkład 7 -Schemat Aitkea Wzaczć metodą Aitkea wartość wielomiau iterpolacjego W dla puktu, 5 dla dach z przkładu Tabela 6 - wartości powtórzoo w tabeli iżej. Nr i Rozwiązaie: i 4 8 W, 3 3 W 3, 5 W 6, 65,,,,, Zawarte w tablic wielomia wzaczam astępująco: W W W 4,5 8,5 i,, j 4 3,5 3,5 3 i,, j W W, 3,5 3,5,5 3 3,5,,, 6,65 Oczwiście wik jest dokładie taki sam, jak w przkładach poprzedich. Oszczędziliśm trochę a rachukach, poieważ koleje wartości wielomiaów zawierał wartości już wliczoe. Algortm Aitkea jest skutecz zarówo w obliczeiach ręczch, jak i umerczch. Na Rs. 6 pokazao geometrczą iterpretację schematu Aitkea dskreta wo w w 3 4 Rs. 6. Geometrcza iterpretacja schematu Aitkea 49