Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A.
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy funkcję ϕ: ( α, 0) (0, α) R zdefiniowaną wzorem ϕ() := f (a + ) f (a)
Niec f : A R, a A i załóżmy, że istnieje α > 0 taka, że (a α, a + α) A. Definicja Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie a nazywamy funkcję ϕ: ( α, 0) (0, α) R zdefiniowaną wzorem ϕ() := f (a + ) f (a) Definicja Jeżeli istnieje granica (w sensie właściwym) lim ϕ(), 0 to mówimy, że f jest różniczkowalna w punkcie a, a liczbę f (a) := lim 0 ϕ() nazywamy pocodną funkcji f w punkcie a.
Funkcja pocodna Definicja Funkcja f : A R jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A.
Funkcja pocodna Definicja Funkcja f : A R jest różniczkowalna, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie zbioru A. Definicja Jeżeli f : A R jest różniczkowalna, to definiuje ona funkcję f : A R x f (x), którą nazywamy funkcją pocodną funkcji f.
Interpretacja geometryczna 3 Q 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna Q 3 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna Q 3 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 Q 2 3 2 1 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 Q 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 2 Q 1 3 2 2 1 1 1 2 2 f a f a P 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 2 1 3 2 2 1 1 1 2 Q 2 P 19 4 f a f a Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 P Q 19 4 f a f a Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna 3 2 1 3 2 2 1 1 1 2 2 P Q 19 4 Równanie siecznej PQ y f (a) = f (a + ) f (a) (x a)
Interpretacja geometryczna P = (a, f (a)) Q = (a +, f (a + )) Zakładając, że funkcja f jest ciągła zacodzi implikacja 0 Q P, czyli sieczna PQ dąży do stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P.
Interpretacja geometryczna Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)), której równanie ma postać y f (a) = f (a)(x a).
Interpretacja geometryczna Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to istnieje styczna do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)), której równanie ma postać y f (a) = f (a)(x a). Wniosek Jeżeli f jest różniczkowalna w punkcie a, to liczba f (a) jest współczynnikiem kierunkowym prostej l stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (a, f (a)). Innymi słowy f (a) = tg (γ), gdzie γ jest kątem jaki tworzy styczna l z osią x.
Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła.
Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła.
Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne: m : R R m(x) := x 1.5 1.0 0.5 2
Różniczkowalność a ciągłość Twierdzenie Jeżeli funkcja f : A R jest różniczkowalna w punkcie a A, to jest w tym punkcie ciągła. W konsekwencji: Jeśli f jest różniczkowalna, to jest ciągła. Funkcje ciągłe, które nie są różniczkowalne: s : R R { x sin 1 s(x) := x, dla x 0; 0, dla x = 0. 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.1 0.2
Różniczkowanie funkcji elementarnyc
Różniczkowanie kombinacji liniowej funkcji Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz α, β R, to funkcja αf + βg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a).
Różniczkowanie kombinacji liniowej funkcji Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz α, β R, to funkcja αf + βg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a). Uwaga Powyższe twierdzenie orzeka, że różniczkowanie jest operacją liniową.
Różniczkowanie iloczynu Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a, to fg jest różniczkowalna w tym punkcie oraz (fg) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a).
Różniczkowanie ilorazu Twierdzenie Jeżeli funkcje f, g : A R są różniczkowalne w punkcie a oraz g(a) 0, to f /g jest różniczkowalna w tym punkcie oraz ( ) f (a) = f (a)g(a) f (a)g (a) g g(a) 2.