DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji,

Transkrypt

1 TEMATYKA: Współliniowość Współpłaszczyznowość Ćwiczenia nr DEFINICJE: Punkt, prosta, płaszczyzna i przestrzeń są pojęciami pierwotnymi przyjmowanymi bez definicji, Podstawowe aksjomaty (zdanie, którego prawdziwość przyjmuje się bez dowodu) geometrii: a) Przez każdy punkt płaszczyzny przechodzi nieskończenie wiele prostych, b) Przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta, c) Przez punkt nieleżący na prostej przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do tej prostej, d) Przez każde dwa punkty przestrzeni przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn, e) Przez każde trzy punkty, nie należące do jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna, f) Przez punkt nie leżący na płaszczyźnie przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna równoległa do tej płaszczyzny. Równanie prostej przechodzącej przez dwa dowolne punkty przestrzeni: x x A x A x B y y A y A y B z z A z A z B Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy nie współliniowe punkty: x y z x x y y z z x x x y y z z y z 0 x x y y z z x y z x y z Współliniowość w D: mówimy, że punkty A, B, C płaszczyzny R są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty, Współliniowość w D: mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R są współliniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty, Współpłaszczyznowość w D: mówimy, że punkty A, B, C, D przestrzeni R są współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punkty,

2 ZADANIA:. Napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: a) P (; ) oraz P (7; -), b) P (; ; -4) oraz P (7; -; 0).. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: P (; ; -7), P (4; -; ), P (0; 0; -6).. Zbadać, czy punkty P (-4; -), P (0; ), P (8; ) leżą na jednej prostej. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. 4. Zbadać, czy punkty P (-; -), P (; 7), P (6; ) leżą na jednej prostej. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy.. Zbadać, czy punkty P (0; 0; 0), P (4; ; ), P (8; 6; 4) leżą na jednej prostej. 6. Zbadać, czy punkty P (0; 0; 0), P (; ; ), P (7; ; ), P 4 (9; ; 4) leżą na jednej płaszczyźnie. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. 7. Zbadać, czy wektory a [; ; ], b [4; 7; ], c [8; ; ] leżą na jednej płaszczyźnie. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. 8. Dane są dwie proste w przestrzeni: x L : 6 y 8 z 7 L : x y 4 z Zbadać, czy proste L i L są współpłaszczyznowe. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy.

3 ROZWIĄZANIA ZADAŃ:. Napisać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: a) P (; ) oraz P (7; -), b) P (; ; -4) oraz P (7; -; 0). a) P (; ) oraz P (7; -): x x y y z z x x x y y z z 7 y x ( ) (x ) 8 ( ) (y ) 8 x 6 y + y 8 8 x + y 4 0 y 8 x x + y równanie ogólne prostej - równanie kierunkowe prostej - równanie odcinkowe prostej t x x x x x 7 t y y y { y y ( ) x y 8, t R t x x t { 8 t y y + 8 t - równanie parametryczne prostej b) P (; ; -4) oraz P (7; -; 0): x x y y z z x x x y y z z 7 y z ( 4) ( ) 4 0 x y 8 z (x ) (y ) 0 (z + 4) 4. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty: P (; ; -7), P (4; -; ), P (0; 0; -6). x x y y z z x y z ( 7) x x y y z z 4 ( 7) 0 x x y y z z ( 7)

4 x y z + 7 x y 6 6 (x ) 0 (y ) (z + 7) 8 (z + 7) + 0 (x ) (y ) 6 x y + 0 z 7 8 z x 0 y + 4 x y 9 z 4 0. Zbadać, czy punkty P (-4; -), P (0; ), P (8; ) leżą na jednej prostej. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy.. Sposób (sprawdzamy, czy trzeci punkt należy do prostej opisanej równaniem utworzonym na podstawie dwóch pierwszych punktów): x x y y x ( 4) x x y y 4 0 y ( ) x y + (x + 4) ( ) ( 4) (y + ) x 8 4 y 4 4 y x 4 0 y x 0 (y ) (x 8) 4 0. Sposób (sprawdzamy równoległość wektorów) Z punktów P (-4; -), P (0; ), P (8; ) tworzymy dwa wektory np. P P (4; ) i P P (8; 4) i sprawdzamy czy są liniowo zależne obliczając wyznacznik: y ( )det x 4 x y det Sposób (punkty są współliniowe, gdy wyznacznik (*) równy jest 0!!! ): x Pi y Pi 4 4 ( )det x Pj y Pj det 0 0 x Pk y Pk 8 8 ( 4) + ( ) ( 4) 0 ( ) 4 det Odp. Punkty P, P, P leżą na jednej prostej. 4

5 4. Zbadać, czy punkty P (-; -), P (; 7), P (6; ) leżą na jednej prostej. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. x Pi y Pi det x Pj y Pj det 7 x Pk y Pk Odp. Punkty P, P, P nie leżą na jednej prostej ponieważ detm 0.. Zbadać, czy punkty P (0; 0; 0), P (4; ; ), P (8; 6; 4) leżą na jednej prostej.. Sposób (sprawdzamy, czy trzeci punkt należy do prostej opisanej równaniem utworzonym na podstawie dwóch pierwszych punktów): x x A y y A z z A x 0 y 0 z 0 x A x B y A y B z A z B x 4 y z (x 8) 4 (y 6) (z 4). Sposób (sprawdzamy równoległość wektorów) P P P P [0, 0, 0] P [4 0, 0, 0] P [8 4, 6, 4 ] P P [4,, ] [4,, ] [, 4 4, 4 4] [0, 0, 0]. Sposób (wykorzystujemy rachunek macierzowy) Jeżeli punkty P, P, P nie leżą na jednej prostej, to znaczy, że wyznaczają jednoznacznie tylko jedną płaszczyznę. Jeżeli trzy punkty nie wyznaczają jednoznacznie jednej płaszczyzny, to znaczy, że leżą na jednej prostej. x x P y y P z z P x 0 y 0 z 0 x y z det x P x P y P y P z P z P det det 4 x P x P y P y P z P z P

6 x y z x y det x 4 + y 8 + z z 6 x 4 4 y x + 6 y + 4 z x 6 y 4 z 0 Odp. Nie istnieje równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty, czyli punkty P, P, P są współliniowe w przestrzeni R. 6. Zbadać, czy punkty P (0; 0; 0), P (; ; ), P (7; ; ), P 4 (9; ; 4) leżą na jednej płaszczyźnie. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. (punkty są współpłaszczyznowe, gdy wyznacznik (*) lub (**) równy jest 0!!!) x x y y z z (*) x x y y z z 7 x 4 x y 4 y z 4 z x y z x (**) y z x y z 7 x 4 y 4 z ( ) + x M + ( ) + y M + ( ) + z M + ( ) +4 M 4 M 4 M M M ( 4)

7 Odp. Punkty P, P, P, P 4 nie są współpłaszczyznowe w przestrzeni R. 7. Zbadać, czy wektory a [; ; ], b[4; 7; ], c[8; ; ] leżą na jednej płaszczyźnie. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. (wektory są współpłaszczyznowe, gdy wyznacznik (*) równy jest 0!!!) a x a y a z a [a x a y a z], (*) b x b y b z 0, gdzie: b [b x b y b z ], c x c y c z c [c x c y c z], Odp. Wektory nie leżą na jednej płaszczyźnie ponieważ wyznacznik jest różny od Dane są dwie proste w przestrzeni: x L : 6 y 8 z 7 L : x y 4 z Zbadać, czy proste L i L są współpłaszczyznowe. Obliczenia przeprowadzić wykorzystując rachunek macierzowy. Dwie proste w przestrzeni są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy, gdy przecinają się lub są do siebie równoległe. Z definicji: równanie prostej przechodzącej przez punkt A(x A ; y A ; z A ), której kierunek określa ustalony niezerowy wektor: a [α x A x B β y A y B γ z A z B ] nazywany wektorem kierunkowym prostej ma postać: x x A x A x B y y A y A y B z z A z A z B SPRAWDZENIE RÓWNOLEGŁOŚCI PROSTYCH: Wyznaczenie wektorów kierunkowych: 7

8 l [ 6 8 7] - wektor kierunkowy prostej L l [ ] - wektor kierunkowy prostej L Warunek równoległości prostych: L L l l [ 6 8 7] k [ ] { k R\{0} l k l 6 k k 6 8 k ( ) k 8 7 k k Wektory l, l nie są równoległe ponieważ nie istnieje k spełniające definicję równoległości wektorów w przestrzeni. SPRAWDZENIE WARUNKU PRZECINANIA SIĘ PROSTYCH: Wyznaczenie punktów P i P leżących na prostych, odpowiednio L i L : x x α x x α y y β y y β z z x L γ : 6 y 8 z 0 7 P [ y ] P [ 0] z 0 z z γ x L : y 4 z x x P [ y ] P [ 4] z Wyznaczenie wektora P [ ] [ 4 ] Warunek przecinania się dwóch prostych w przestrzeni: Proste L i L przecinają się, to znaczy nie są równoległe i leżą w tej samej płaszczyźnie. Oznacza to, że wektory: l, l, P [x x y y z z ] 8

9 Rys.. są komplanarne (współpłaszczyznowe). x x y y z z Wtedy wyznacznik: α β γ 0 α β γ Warunek przecinania się prostych: Odp. Proste L i L nie są współpłaszczyznowe ponieważ nie są równoległe ani nie przecinają się w żadnym punkcie. 9