Jerzy śyŝyński Matematyczne miary wzrostu a liczba e

Podobne dokumenty
i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0

Wstęp Rozdział 2 Wpływ inflacji na koszt użycia kapitału Inflacja i koszt użycia kapitału Finansowanie pożyczkami...

Wykład 6 Pochodna, całka i równania różniczkowe w praktycznych zastosowaniach w elektrotechnice.

Finanse. cov. * i. 1. Premia za ryzyko. 2. Wskaźnik Treynora. 3. Wskaźnik Jensena

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)

Temat: Pochodna funkcji. Zastosowania

Inwestycje. MPK = R/P = uc (1) gdzie uc - realny koszt pozyskania kapitału. Przyjmując, że funkcja produkcji ma postać Cobba-Douglasa otrzymamy: (3)

RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE

Analiza wybranych własności rozkładu reszt

ĆWICZENIE 11 OPTYMALIZACJA NIEZAWODNOŚCIOWA STRUKTURY ELEKTRONICZNEGO SYSTEMU BEZPIECZEŃSTWA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Elektroenergetyki, Zakład Elektrowni i Gospodarki Elektroenergetycznej

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Ekonomiczno-techniczne aspekty wykorzystania gazu w energetyce

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Jerzy Czesław Ossowski Katedra Ekonomii i Zarzdzania Przedsibiorstwem Wydział Zarzdzania i Ekonomii Politechnika Gdaska

q s,t 1 r k 1 t k s q k 1 q k... q n 1 q n q 1 i ef e, v 1 q,

Finanse ubezpieczeń społecznych

LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Arytmetyka finansowa Wykład 5 Dr Wioletta Nowak

Analiza opłacalności inwestycji logistycznej Wyszczególnienie

cx siła z jaką element tłumiący działa na to ciało.

2. Tablica routingu dla pewnej sieci złożonej z czterech węzłów wygląda następująco:

Projektowanie procesu doboru próby

Termodynamika. Część 10. Elementy fizyki statystycznej klasyczny gaz doskonały. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

I. KINEMATYKA I DYNAMIKA

Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia

C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:

Europejska opcja kupna akcji calloption

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

ZASTOSOWANIA POCHODNEJ

- Jeśli dany papier charakteryzuje się wskaźnikiem beta równym 1, to premia za ryzyko tego papieru wartościowego równa się wartości premii rynkowej.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)

Ćwiczenia 3 ( ) Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Zarządzanie ryzykiem. Lista 3

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

gdzie E jest energią całkowitą cząstki. Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Ryzyko stopy procentowej. Struktury stóp procentowych. Konwersje

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez

Wpływ rentowności skarbowych papierów dłużnych na finanse przedsiębiorstw i poziom bezrobocia

Wykład 2 Wahadło rezonans parametryczny. l+δ

Podstawy elektrotechniki

Proces stochastyczny jako funkcja dwóch zmiennych. i niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych T. Proces stochastyczny jest to funkcja

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

Wykład 5. Kryzysy walutowe. Plan wykładu. 1. Spekulacje walutowe 2. Kryzysy I generacji 3. Kryzysy II generacji 4. Kryzysy III generacji

INWESTYCJE. Makroekonomia II Dr Dagmara Mycielska Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak



PODSTAWY MATEMATYKI FINANSOWEJ Materiał dydaktyczny dla studentów. Wszelkie prawa zastrzeżone Jerzy Żyżyński

BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

Granica funkcji - Lucjan Kowalski GRANICA FUNKCJI

Farmakokinetyka furaginy jako przykład procesu pierwszego rzędu w modelu jednokompartmentowym zawierającym sztuczną nerkę jako układ eliminujący lek

METODA ZDYSKONTOWANYCH SALD WOLNYCH PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH

Ekonometryczne modele nieliniowe

DYNAMIKA KONSTRUKCJI

Inwestycje. Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

ψ przedstawia zależność

POMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU

REGULAMIN PSKO I. Kryteria i wymagania dla zawodników Optimist PSKO. II. Mistrzostwa PSKO. III. Puchar Polski PSKO

Podstawowe człony dynamiczne

Funkcje IV. Wymagania egzaminacyjne:

Fizyka promieniowania jonizującego. Zygmunt Szefliński

Krzysztof Piontek Weryfikacja modeli Blacka-Scholesa dla opcji na WIG20

Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie!

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Makroekonomia 1 Wykład 14 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa

Obligacja i jej cena wewnętrzna

Makroekonomia 1 Wykład 15 Inflacja jako zjawisko monetarne: długookresowa krzywa Phillipsa

4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

lim lim 4) lim lim lim lim lim x 3 e e lim lim x lim lim 2 lim lim lim Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x x 6x

ĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym

Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz

2009 ZARZĄDZANIE. LUTY 2009

Krzywe na płaszczyźnie.

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

4) lim. lim. lim. lim. lim. x 3. e e. lim. lim x. lim. lim. lim. lim 2. lim. lim. lim. Zadanie 1 Wyznacz dziedziny następujących funkcji: log x.

Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1151, 2011/12 Wydział Elektroniki Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz

2. Architektury sztucznych sieci neuronowych

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme)

Jerzy Czesław Ossowski Politechnika Gdańska. Dynamika wzrostu gospodarczego a stopy procentowe w Polsce w latach

Uogólnione wektory własne

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

Funkcja nieciągła. Typy nieciągłości funkcji. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Zasada zachowania pędu i krętu 5

Postęp techniczny. Model lidera-naśladowcy. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Rachunek Różniczkowy

WYKŁAD FIZYKAIIIB 2000 Drgania tłumione

ZASTOSOWANIE MIAR OCENY EFEKTYWNOŚCI EKONOMICZNEJ DO PLANOWANIA ORAZ OCENY DZIAŁAŃ DYWESTYCYJNYCH W GOSPODARSTWACH ROLNICZYCH *

sin b) Wyznaczyć taką funkcję pierwotną do funkcji sin ( =, która przechodzi przez punkt (0,0)

Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 3. Dynamiczny model DAD/DAS, część 2. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona

Transkrypt:

Jrzy śyŝyński Maayczn iary wzrosu a liczba. Wzros w niskończni długi czasi Przyjijy, Ŝ chcy obliczyć, jaka js warość kapiału lub jakijkolwik innj rzczy, kóra charakryzuj się procs wzrosu w sały pi, po upłynięciu pwnj liczby okrsów czasu okrs czasu nazwiy aki odcink czasu, jaki upływa iędzy koljnyi kapializacjai, czyli doliczniai narosłych odsk do kapiału w szczgólny przypadku oŝ o być rok. JŜli liczba okrsów kapializacji js równa odwroności sopy procnowj, a kapiał począkowy PV, o warość kapiału końcowgo FV js przybliŝni liczby : () FV r / np. przypuśćy, Ŝ a ijsc kapializacja roczna, wdy: 2 2,25 2 - js o oprocnowani lub roczn po wzrosu 50%, działając przz dwa laa; 0-0% działając przz dzisięć la; 0 2,593742 00 2,70484 00 - % działając przz so la id. Koljn warości są za lnai ciągu: n (6.2) 2,7828... n Liczba a oznacza, Ŝ dana wilkość (na przykład kapiał) wzrosła 2,7828 razy; w ujęciu procnowy wskaźnik wzrosu wyniósł 27,83% (on bazowy 00%). Efkywna sopa procnowa jako osaczna sopa wzrosu będzi za równa: (6.3) ( ),7828 7,828%, co oznacza, Ŝ osaczn, suaryczna sopa wzrosu (zwrou) wynosi 7,828%, Liczba okrśla za kroność wzrosu przy niskończonj liczbi kapializacji uaj niskończonj liczbi la, skoro jdn okrs kapializacji odpowiadał jdnu rokowi. Granica a a inrsującą inrprację: oznacza bowi, Ŝ niskończni woln po wzrosu (niskończni ała sopa procnowa) w niskończony czasi ni da wzrosu zrowgo, co wydawałoby się na pozór snsown, lcz wzros nico niŝszy niŝ 2,72 razy, czyli o nicał 72%.

2 2. Niskończona liczba kapializacji kapializacja ciągła W powyŝszy ujęciu iliśy procs dyskrny. Jśli naoias zaias zwiększać liczbę la, zwiększyy liczbę kapializacji w obrębi jdngo roku, o orzyay w granicy procs ciągły. Punk wyjścia nich będzi wzros o 00% w ciągu roku, czyli dwukrony: 2 - js o oprocnowani 00% działając przz rok, przy kapializacji rocznj; 2 2,25 2 - o dwukrona kapializacja w ciągu roku, przy y say oprocnowaniu roczny; 365 2,74567 365 - o kapializacja dzinna. A więc w granicy, gdy liczba kapializacji, ay: 2,7828... jako kapializację ciągłą, kóra daj wskaźnik wzrosu 2,7.. razy, a sopę wzrosu 7,83%. 3. Zwilokronion po wzrosu (kroność wzrosu) i nakładani p wzrosu Zgodni z zasadai granic ciągów z liczbą orzyujy fk dla wzrosu zwilokroniongo: (6.5) n k k k li n k (2,7828...) Tak więc dla podwojongo w y say czasi pa wzrosu roczngo lub sopy procnowj, orzyay 2 7,389056..., czyli wzros 7,39 razy, zaś suaryczną sopę wzrosu: ( 2 ) 6,389.. 638,9%. Analogiczni, przy podwojony do 200% roczny pi i ciągłj kapializacji, orzyay osaczny wzros 2 7,389056.... Jśli wzros js fk działania kilku, na przykład dwóch czynników powodujących wzros w róŝnych pach, o ay składani wzrosu: k

3 n n a b a n n b a b Przykład: PKB ralni (w cnach sałych) wzrosło o 5%, al cny wzrosły o 3,5%, wdy PKB noinalni (w cnach biŝących) wzrosło o 8,5%. Cykliczn, wilokron powarzani okrślonj skwncji pa: n a n k a k 4. Kapializacja ciągła przz la Zobaczy raz, co będzi, jśli 00% oprocnowani z ciągłą kapializacją będzi działać przz la. Wdy orzyay suaryczny wzros (6.6)... (2,7828...) razy zaś osaczna sopa wzrosu wynisi: ( ). 4. Kapializacja ciągła przy roczny pi (sopi procnowj) r Jśli zaś noinalna sopa wynisi ni 00% lcz np. r 0,05 (5%), o zgodni z zasadą kroności wzrosu, suaryczny wzros jdnoskowj warości wynisi: (6.7) np. dla 0 i r 0,05: zaś suaryczną sopę wzrosu: ( r 0,050 V ) ( 0,5 0,050 r,,6487 ) 0,6487 Ławo oŝy sprawdzić, Ŝ przy dzinnj kapializacji sopy rocznj 0,05% orzyay liczbę bardzo bliską j wilkości. 5. Naychiasowa sopa wzrosu Kapializacja odsk o przykład szczgólny ogólnijszj kagorii, jaką js wzros wykładniczy.,.

4 Nich będzi dana pwna wilkość począkowa A (na przykład równa kapiałowi począkowu PV). Wdy wzros w okrsi la przy sopi procnowj r będzi dany jako: (6.9) V A Dla funkcji A r, kóra okrśla V w dany onci, po wzrosu V js dan jako pochodna: dv r (6.0) ra rv d Sopa wzrosu js jdnak okrślona jako wilkość względna: zn w sosunku do warości V. Za: dv d rv (6.) sopa wzrosu V r V V Współczynnik r w snsi ogólny sanowi więc chwilową sopę wzrosu funkcji V. Pojęci sopy wzrosu wyaga zrozuinia nasępujących kwsii : ) Trzba rozróŝnić iędzy on a okrs. Zinna V, oznaczająca suę piniędzy lub wilkość populacji, js wilkością ypu zasób, a więc okrśla ilość czgoś w dany onci czasu. W kaŝdy onci V przyjuj okrślona warość. Naoias ziana V okrśla sruiń, ówi więc, jaka wilkość zasobu pojawiła się w dany przdzial czasu. Za ziana V usi odnosić się do jakigoś przdziału czasu, powidzy roku. 2) Sopa wzrosu wyznaczona przz r js chwilową sopą wzrosu, bo przz ciągłą kapializację ay funkcję ciągłą, kórą oŝy róŝniczkować. 3) Jśli r js usalon, o sopa wzrosu js sała, aka saa dla wszyskich onów. W rzczywisości jdnak, oczywiści, sopa wzrosu oŝ się ziniać. 4) Mio Ŝ sopa wzrosu a charakr chwilowy, js okrślona w punkci czasu, o jj wilkość oznacza przyros procnowy w przdzial czasu, na jdnoskę czasu zwykl w roku. Wzros z swj naury oŝ nasępować jdyni w pwny czasi. Powidzni, Ŝ V a sopę wzrosu r w chwili o, ak naprawdę oznacza, Ŝ jśli sopa r, kóra pojawiła się w y onci pozosawałaby ni ziniona przz całą jdnoskę czasu (rok), o V wzrosłoby do końca dango roku o rv( o ). 5) Dla funkcji wykładniczj V A r r procnowa sopa wzrosu js sała dla wszyskich punków. Naoias bzwględna wilkość przyrosu V zwiększa się z upływ czasu, gdyŝ sała A.C. Chiang, Podsawy konoii aaycznj, PWE, Warszawa 994, s. 283.

5 procnowa sopa r będzi liczona dla zwiększających się podsaw (na przykład rosnącj warości kapiału i kapializowanych odsk). Tak więc na przykład, dla danj funkcji: y 769 0, 035 oŝy bzpośrdnio odczyać jako sopę wzrosu 0,035, czyli 3,5% za dany okrs (w y przypadku wzros PKB w 2003 r. w sosunku do 2002 r.). 6. Wzros ciągły a wzros dyskrny Wzros ciągły js idalizacją, kóra uoŝliwia sosowani aparau aayczngo analizy aaycznj (pochodnych), bardzo wygodngo do odlowania procsów. Jdnak w rzczywisości procsy konoiczn ujujy w sposób dyskrny, czyli przdziałai czasu. JdnakŜ, io o, oŝliw i uzasadnion js sosowani ciągłj wykładniczj funkcji wzrosu. Gdy częsoliwość kapializacji js duŝa (na przykład kapializacja dzinna), o przybliŝni funkcją ciągłą js jak najbardzij właściw ( js okrślon z dokładnością do 4/000). PrzybliŜni ciągł js jdnak oŝliw akŝ dla procsów dyskrnych o nijszj częsości, np. rocznj. ZałóŜy, Ŝ dany js goryczny procs wzrosu, polgający na roczny naliczaniu odsk wdług rocznj sopy i. Koljn sany procsu (w koljnych laach) okrślon są przz ciąg: (6.2) A, A ( i), A ) 2 ( i, A ) 3 ( i,..., A ( i) May za klasyczny fk procnu składango. Jśli oznaczyy: o san w roku js okrślony jako: (6.3) ( i) b, V ( ) Ab MoŜna jdnak wyznaczyć aką warość r, Ŝ: (6.4) ( i) b Wdy san w roku będzi dany jako: r (6.5) A( i) Dla ałych i, do 0%, r i, np: A r ( 0, 05), 05 0, 05, 0527 Tak więc dla niskigo roczngo pa (niskij sopy procnowj) i niwilkij

6 liczby la oŝna przyjąć, Ŝ i r, czyli sopa procnowa js równa wykładnikowi liczby. Dla większych warości i rozbiŝność js za duŝa, więc rzba dobrać r jako: (6.6) r ln( i). Tak obliczon warości r y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ: (6.7) dla i 0, 02 (sopa roczna 2%) r 0,098026 dla i 0, 05 (sopa 5%) r 0,04879 dla i 0, (sopa 0%) r 0,0953 dla i 0,5 (sopa 50%) r 0,405465 dla i 5 (sopa 500%) r,79759 Tak więc funkcja wykładnicza, odpowidnio dobrana, oŝ rprznować dowolny procs konoiczny, akŝ dyskrny. 7. Dyskonowani a wzros ujny - rozpad Procs odwrony w sosunku do wzrosu js wzros ujny, czyli znijszani się obiku. To jdnak ni o sao, co dyskono. Jśli: (6.8) o warość począkową orzyay jako: V ) A( i, V (6.9) A V ( i ( i) ) Wdy sopa procnowa i saj się sopą dyskona (sopą dyskonową). Dyskonowani js więc obliczni warości począkowj kapiału oprocnowango dodanią sopą procnową i. Dla przypadku uciąglnia funkcją wykładniczą, jśli po laach kapiał wynosi: r V A, orzyujy: (6.20) V r A V r W y przypadku wykładnik ujny -r js sopą ciągłgo dyskona. Odpowiada ona wykładnikowi r z znaki inus, i wynika z logaryowania warości ułakowj: (6.2) r ln. ( i) Tak więc: dla i 0, 02 podsawiay 0 098026,

7 (6.22) dla i 0, 05 podsawiay dla i 0, podsawiay dla i 0,5 podsawiay dla i 5 podsawiay 0 04879, 0 0953, 0 405465, 79759, Jak widziy, ak obliczon warości r ni róŝnią się od podanych wyŝj w (6) i oczywiści y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ. Dla ałych warości i oŝy za, jak poprzdnio, przybliŝać wykładnik r przz sopę i. PonoŜni wykładnika r przz odpowidni daj wynik dla danj liczby la. Czy inny js jdnak ujna sopa procnowa, kóra odpowiada ujnu wzrosowi : (6.23) ( i) b Wdy san w roku będzi dany jako: (6.24) Dla ałych i, do 0%, r i : A( i) ( 0, 05) 0, 95 A r 0, 05 r 0, 95229 Z go oczywiści ujn po (sopa) wzrosu wynosi: ( r ) ( 0, 95229 ) 0, 05 Dla wyŝszych warości ujngo wzrosu r róŝni się od i, rzba za jgo warość wyznaczać przy poocy funkcji ln: (6.25) r ln( i). Podobni jak dla wzrosu dodanigo, warości r y bardzij róŝnią się od i, i js ono większ, na przykład: (6.26) dla i 0, 02 (sopa roczna -2%) r -0,020203 dla i 0, 05 (sopa -5%) r -0,05293 dla i 0, (sopa -0%) r -0,0536 dla i 0,5 (sopa -50%) r -0,69347 dla i 0,99 (sopa -99%) r -4,6057 Wzros ujny usi być oczywiści nijszy od, gdyŝ z względu na własności funkcji ln, usi być spłniony warunk ( i) >0. Tak więc o il w forul (6.9) sopa procnowa oŝ przkraczać 00%, o uaj usi być nijsza od 00%. Jak jdnak ławo zauwaŝyć, ujny wzros ni js y say, co dyskonowani. Js on bowi obciąŝni ujną sopą procnową - w finansach js o więc działani wdług zasady dyskona handlowgo, jaką sosuj się w sosunku do

8 insrunów dyskonowych w forul (30) (porównaj (35)). Naoias dyskono aayczn js obliczni warości począkowj przz odwrócni procsu powsawania warości końcowj, kóra js wyniki działania dodanij sopy procnowj jak o js podan w wzorz (), (62) z kórych wynikają (3) i (63). W y przypadku - ujngo i - odpowiadająca u sopa ujna -r js za, w odróŝniniu od sopy ciągłgo dyskona, sopą znijszania się. Pojęci ujngo wzrosu js jdnak wwnęrzni sprzczn, dlago nazwiy j rozpad, a okrślającą go ujną sopę - sopą rozpadu (ra of dcay) 2. W poniŝszj abli zsawion zosały warości r dla róŝnych i, dla przybliŝń funkcją wykładniczą procsów wzrosu, rozpadu i dyskona. Tablica. Przykładow warości wykładnika liczby dla róŝnych sóp i Sopa procnowa i 0,02 0,05 0, 0,2 0,5 0,99 2 5 wzros r ln( i) 0,0980 0,04879 0,0953 0,8232 0,40547 0,6884 0,6935,0986,7976 dyskono -0,0980-0,04879-0,0953-0,8232-0,40547-0,6884-0,6935 -,0986 -,7976 r ln ( i) rozpad r ln( i) -0,02020-0,0529-0,0536-0,2234-0,6935-4,6057 Ni isnij 2 Chiang (Podsawy konoii aaycznj, PWE, Warszawa 994, s. 285) błędni nazywa sopą rozpadu warość r wynikającą z dyskonowania, czyli z foruły (54).