q s,t 1 r k 1 t k s q k 1 q k... q n 1 q n q 1 i ef e, v 1 q,

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "q s,t 1 r k 1 t k s q k 1 q k... q n 1 q n q 1 i ef e, v 1 q,"

Miłosz Żukowski
5 lat temu
Przeglądów:

1 Maemayka finanowa i ubezpieczeniowa - 3 Przepływy pienięŝne 1 Warość akualna i przyzła przepływów dykrenych i ciągłych Oprocenowanie - dykonowanie ciągłe ze zmienną opą (iłą). 1. Sopy przedziałami ałe ZałóŜmy, Ŝe zmiany opy procenowej naępują w momenach T, a kapializacja je ciągła. Oznaczmy: i n, r n - efekywna opa procenowa na okre n, ; i n ef - równowaŝna roczna efekywna opa procenowa (obowiązująca ylko w okreie n,!), n - równowaŝna roczna iła oprocenowania (ciągła opa) (obowiązująca ylko w okreie n,!), i n nom - równowaŝna roczna nominalna opa procenowa (obowiązująca ylko w okreie n,!), q n 1 i n ef e n - roczny czynnik kumulujący, v n q 1 n - roczny czynnik dykonujący. Mamy: 1 r n 1 i n nom n 1 i n ef n e n n Oznaczmy: q, - czynnik kumulujący na okre,, gdzie k 1 k... n v, q 1, - czynnik dykonujący na okre,. Wedy: q, 1 r k 1 k k k 1 1 r k... 1 r 1 r n n n ef 1 i k 1 k j k 1 i ef j j 1 j e k 1 k j j 1 j n n j k W zczególności, gdy 1 i n ef n q k 1 q k... q q n q 1 i ef e, v 1 q, 1 2

2 o: q, q e, v, v e q 1 i ef e, v 1 q 1 r e d 1 i nom d 1 i ef d q, e, v, e 2. Sopy zmieniające ię dowolnie (całkowalne funkcje i, Przy poniŝzych oznaczeniach: i, d r - efekywna opa procenowa w momencie ( na okre, d, d ; i ef - równowaŝna roczna efekywna opa procenowa w momencie ; - równowaŝna roczna iła oprocenowania (ciągła opa) w momencie ; q roczny czynnik kumulujący w momencie ; v roczny czynnik dykonujący w momencie ; mamy: 3. Przepływy pienięŝne (Cah Flow): Srumień przepływów pienięŝnych P P, P 1, P 2,..., P, o ciąg wpływów P n oraz wydaków P n, naępujących w momenach T. Oznaczmy przez F P warość rumienia P na momen, T wyliczaną przy zadanych czynnikach kumulujących q n, i dykonujących v,n. Mamy: 3 4

3 F P P n q n, P n v,n n n T, T, Gdy opy procenowe w kolejnych laach ą jednakowe, zn. i i 1... i 1 i, q 1 i e, Uwaga Przy kapializacji ciągłej zawze mamy: F P F P q,, F P F P v, o: v q 1 F P,i P n q n q P n v n n T n T ;T W zczególności : F P - warość akualna (przy (Preen Value) w momencie : F P P n v,n n T F P T - warość przyzła (przy T (Fuure Value) w momencie T : F P T P n q n,t n T Gdy ponado n n n, 1, 2,...,, o: F P,i 1 i n P n 1 1 i n q P n v n. n Dla rumienia P ciągłych płaności z inenywnością p P pd - wpłaa w momencie d za okre, d, d, przy dowolnych iłach oprocenowania (ciągłych opach),, T (! funkcja 5 6

4 całkowalna) i ciągłej kapializacji : F P -kapiał począkowy, - roczna iła oprocenowania w momencie ( na okre, d, e d - czynnik kumulujący w momencie, q, n 1 r czynnik kumulujący na okre, n ; K P kapiał (wpłaa) począkowy, K n kapiał zgromadzony w okreie, n. mamy płaności w okreie ; F P Pq, q p F e p e 4. RóŜnicowe równanie na przyro kapiału: Dla rumienia przepływów P P, P 1, P 2,..., P, przy zmianach opy procenowej i kapializacjach w momenach oznaczmy: r i, n opa efekywna na okre, n n 1, 2,..., ; (przyjmujemy dodakowo r ; Przyro kapiału w okreie, n przy oprocenowaniu kładanym: K n K K r P n (oeki K r wpłaa P n czyli n 1, 2,..., K n K 1 r P n n 1, 2,..., MnoŜąc n e równanie przez czynnik q n, RD 1 r m 1 r n 1 r... 1 r

5 (kumulujący na okre n, ) orzymujemy K n 1 r m K m 1 r m P n 1 r m n 1, 2,...,, czyli kolejno: K 1 1 r m K 1 r m m 1 m P 1 1 r m m 1 K 2 1 r m K 1 1 r m m 2 m 1 P 2 1 r m m 2... K 1 m1 1 r m K 2 P 1 m1 K K 1 m1 m2 1 r m 1 r m 1 r m P. Sumując ronami powyŝze równości orzymujemy K K m Sąd 1 r m K K 1 r m czyli m F P K n P n 1 r m. P n 1 r m S P n 1 r m 9 1

6 kapializacji ciągłej: RóŜniczkowe równanie na przyro kapiału: Dla rumienia ciągłych przepływów P z inenywnością p :, T R przy opach procenowych zmieniających ię w kaŝdym momencie i ciągłej kapializacji oznaczmy: i, r - efekywna opa procenowa w momencie (na okre,, ; i nom roczna nominalna opa w momencie, roczna iła oprocenowania w momencie, q, 1 r 1 i nom 1 i ef - czynnik kumulujący na okre,, K P kapiał (wpłaa) począkowy, P p - wpłaa w momencie,, K kapiał zgromadzony w okreie,. Przyro kapiału w okreie, przy K K K r p (oeki K r wpłaa p., T Sąd K K 1 r K K e Sąd K K p. K e 1 p e a zaem, poniewaŝ lim 1, orzymujemy równanie róŝniczkowe liniowe niejednorodne dk K p, T MnoŜąc o równanie przez czynnik całkujący q, e (odpowiadający granicy iloczynów 1 r e d, i RC 11 12

7 kumulujący na okre, ) orzymujemy dk e PoniewaŜ d e K e p e d e e o powyŝze równanie moŝna zapiać jako d K e p e., W zczególności, gdy, o K Ke p e K p e e Całkując względem w przedziale,, (czyli umując ronami ) powyŝze równanie orzymujemy Ke Ke zaem, T K Ke p e Pq, p q, p e, C # Przyro naliczonego kapiału w okreie, n przy przedziałami ałych opach i oprocenowaniu proym (kapializacja w momencie : K n K K k 1 P k r P n n 1, 2,..., gdzie: K k 1 P k r - oeki od wpła do momenu, P n - wpłaa w momencie n

8 Sumując ronami (względem n) kolejne równania a naępnie zmieniając kolejność umowania po k oraz po n oraz nazwy zmiennych umowania orzymamy K K 1 r P n 1 k n W zczególności, gdy r n i nom, o: K K 1 i nom Gdy ponado n n, oraz P n P, o K K 1 i nom P K 1 i nom P 1 2 r k P n 1 n i n 1 n inom 1 i nom Przyro naliczonego kapiału w okreie,, T, przy opach zmieniających ię w kaŝdym momencie i oprocenowaniu proym z kapializacją w momencie T : K K K p d r p gdzie r i nom e 1. Mamy i nom lim r lim e 1. Orzymujemy więc równanie róŝniczkowe, T dk K p d p, T 15 16

9 dk K p d p Całkując je względem w przedziale,, (czyli umując ronami ) i zamieniając najpierw kolejność, a naępnie nazwy zmiennych całkowania oraz w całce ierowanej orzymujemy K K 1 K 1 Zaem K K 1, T., T p d p d p 1 p 1 W zczególności, gdy, o K K 1 p 1. Gdy ponado p p, o K K 1 p 1 2 Zadanie Formułę z umami K K 1 r m m P n 1 r m S wyprowadzoną rumienia dykrenych przepływów P P, P 1, P 2,..., P z zaleŝności róŝnicowej, moŝna uzykać przez dykreyzację formuły z całkami K K e p e C 17 18

10 wyprowadzonej rumienia ciągłych przepływów P z inenywnością p :, R z zaleŝności róŝniczkowej. W ym celu wyarczy zdefiniować zmienną opę ciągłą (iłę oprocenowania) :, R jako funkcję chodkową, n, n, n 1, 2..., aką, Ŝe n e e n 1 r, oraz dobrać inenywność p :, R ak aby n p e n n p e n P n n p n e n P n. 1. Wykonać odpowiednie poawienia i obliczenia korzyając z właności całki: f n f 2. Przeprowadzić analogiczne obliczenia formuł uzykanych przy oprocenowaniu proym (- uwaga: czy ałą w podokreie inenywność moŝna dobrać ak, aby zaleŝała ylko od opy w ym podokreie i ray na koniec podokreu?) n 1, 2...,.. W zczególności inenywność moŝe być akŝe funkcją chodkową p p n, n, gdzie p n ławo wyliczyć z warunku 19 2

Podobne dokumenty

i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0

i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0 Maemayka finansowa i ubezpieczeniowa - 1 Sopy procenowe i dyskonowe 1. Sopa procenowa (sopa zwrou, sopa zysku) (Ineres Rae). Niech: F - kapiał wypoŝyczony (zainwesowany) w momencie, F T - kapiał zwrócony