Analiza matematyczna I

Analiza matematyczna I 1

Spis treści 1 Wstep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 4 1.1 Oznaczenia..................................... 4 1.2 Zbiory liczbowe................................... 4 1.3 Kwantyfikatory................................... 4 1.4 Iloczyn kartezjański................................. 4 1.5 Dzia lania w zbiorze R............................... 5 1.6 Porzadek..................................... 5 1.7 Przedzia ly...................................... 6 1.8 Kresy zbiorów.................................... 6 2 Ciagi liczbowe 11 2.1 Definicje i oznaczenia................................ 11 2.2 Ciagi monotoniczne................................. 11 2.3 Ciagi zbieżne.................................... 12 2.4 Ciagi o granicach niew laściwych.......................... 17 2.5 Symbole nieoznaczone............................... 18 2.6 Podciagi....................................... 21 2.7 Ciagi Cauchy ego.................................. 22 2.8 Granica górna i dolna ciagu............................ 23 2.9 Porównywanie ciagów: O duże i o ma le.................... 24 3 Granice funkcji 25 3.1 Definicje granicy.................................. 25 3.2 Granice jednostronne................................ 30 3.3 Granice niew laściwe w punkcie w laściwym.................... 32 3.4 Granice w laściwe w punkcie niew laściwym.................... 33 3.5 Granice niew laściwe w punkcie niew laściwym.................. 34 3.6 C.d. arytmetyki granic funkcji.......................... 36 3.7 Asymptoty...................................... 37 4 Ciag lość funkcji 39 4.1 Definicje ciag lości funkcji w punkcie........................ 39 4.2 Ciag lość funkcji elementarnych cz. I........................ 40 4.3 Ciag lość jednostronna................................ 41 4.4 W lasności funkcji ciag lych cz. I.......................... 42 4.5 Ciag lość funkcji elementarnych cz. II....................... 45 2

4.5.1 Funkcja wyk ladnicza e x........................... 45 4.5.2 Funkcji logarytmiczna ln(x)........................ 49 4.5.3 Funkcja wyk ladnicza a x.......................... 49 4.5.4 Funkcja logarytmiczna log a x........................ 50 4.5.5 W lasności funkcji hiperbolicznych..................... 51 4.6 W lasności funkcji ciag lych cz. II.......................... 51 5 Różniczkowalność funkcji 54 5.1 Definicja pochodnej funkcji w punkcie....................... 54 5.2 Definicja funkcji różniczkowalnej w punkcie.................... 55 5.3 Pochodne funkcji elementarnych.......................... 57 5.4 W lasności funkcji różniczkowalnych........................ 61 5.5 Pochodne wyższych rzedów............................ 63 3

1 Wst ep. Ograniczenia i kresy zbiorów. 1.1 Oznaczenia Niech A, B- zbiory - A B - suma zbiorów - A B - iloczyn zbiorów - A B -różnica zbiorów 1.2 Zbiory liczbowe - N - zbiór liczb naturalnych tzn. N = {1, 2, 3,...} - Z - zbiór liczb ca lkowitych tzn. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} - Q - zbiór liczb wymiernych - R - zbiór liczb rzeczywistych - C - zbiór liczb zespolonych 1.3 Kwantyfikatory - - dla każdego - kwantyfikator ogólny (szkolne oznaczenie - ) - - istnieje - kwantyfikator szczególny (szkolne oznaczenie - ) -! - istnieje jedyny - istnieje dok ladnie jeden 1.4 Iloczyn kartezjański Iloczyn kartezjański zbiorów A i B nazywamy A B = {(a, b) : a A, b B}. 4

1.5 Dzia lania w zbiorze R, które spe lniaja nastepuj ace warunki zwane aksjomatami liczb rzeczywistych: 1. x, y, z R x + (y + z) = (x + y) + z - l aczność dodawania 2. x, y R x + y = y + x - przemienność dodawania 3. 0 x R x + 0 = 0 + x = x, 0-element neutralny dodawania 4. x R x R x + ( x) = x + ( x) = 0, x- element przeciwny 5. x, y, z R x (y z) = (x y) z - l aczność mnożenia 6. x, y R x y = y x - przemienność mnożenia 7. 1 x R x 1 = 1 x = x, 1-element neutralny mnożenia 8. x R {0} x 1 R x x 1 = x 1 x = 1, x 1 -element odwrotny 9. x, y, z R x(y + z) = xy + xz - rodzielność mnożenia wzgl edem dodawania 1.6 Porzadek Zawsze o dwóch różnych liczbach rzeczywistych możemy powiedzieć, która z nich jest wi eksza. Aksjomaty porzadku liniowego 1. x R x x -zwrotność 2. x, y, z R x y y z = x z -przechodniość 3. x, y R x y y x -spójność 4. x, y R x y y x = x = y -antysymetria 5. x, y, z R x y = x + z y + z 6. x, y R 0 x 0 y = 0 xy 5

Wartość bewzgledna (modu l) liczby x R definiujemy nastepuj aco: { x dla x 0, x := x dla x < 0. Lemat 1.1. Dla dowolnych x, y R, 0 y mamy: 1. x x x 2. x y y x y 3. x y x y x y 4. x, y R x + y x + y 5. x, y R x y x y 1.7 Przedzia ly otwarty (a, b) = {x R : a < x < b} domkniety [a, b] =< a, b >= {x R : a x b} (a, b] = {x R : a < x b}, [a, b) = {x R : a x < b}, (, b] = {x R : x b} [a, + ) = {x R : x a} 1.8 Kresy zbiorów Definicja 1.2. Zbiór X R, X =, nazywamy ograniczonym z góry, jeśli M R x X x M. Liczbe M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru X. Przyk lad 1.3. Niech X = {x R : x 2 < 2} = {x R : 2 < x < 2} Liczba M = 2 jest ograniczeniem górnym zbioru X, M / X. 6

Definicja 1.4. Zbiór X R, X =, nazywamy ograniczonym z do lu, jeśli m R x X m x. Liczb e m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X. Przyk lad 1.5. W powyższym przyk ladzie liczba m = 2 jest ograniczeniem dolnym zbioru X, m / X. Definicja 1.6. Zbiór X R, X =, nazywamy ograniczonym, jeśli m R, M R x X m x M. Twierdzenie 1.7. Niepusty zbiór X R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy 0 P < + x X x P. Dowód. (= ) Jeśli X jest ograniczony, to istnieja m, M R takie, że x X m x M. Niech P := max{ m, M }. Wtedy: x X x M M P Zatem ( =) Jeżeli x X x X x m m P x X x P. x P, to x X P x P. Zatem P jest ograniczeniem dolnym, P ograniczeniem górnym zbioru X. Twierdzenie 1.8. Suma, różnica, iloczyn zbiorów ograniczonych (zawartych w R) jest zbiorem ograniczonym. Definicja 1.9. Dla dowolnego niepustego podzbioru X R definiujemy jego kres górny ( supremum ), który oznaczamy przez sup X. 1) Jeżeli zbiór X NIE jest ograniczony z góry, to przyjmujemy, że α = sup X := +. 2) Jeżeli zbiór X jest ograniczony z góry, to liczb e α nazywamy kresem górnym zbioru X, jeśli: α jest ograniczeniem górnym zbioru X, dla każdego ograniczenia górnego M zbioru X zachodzi α M. Oznaczenia: α = sup X ( lacińskie supremum zbioru X) 7

Aksjomat kresu górnego. górny. Każdy niepusty zbiór X R ograniczony z góry posiada kres Przyk lad 1.10. Niech X = {x R : x 2 < 2} = {x R : 2 < x < 2}. Liczba α = 2 jest kresem górnym zbioru X. Uwaga 1.11. Kres górny zbioru X jest najmniejszym ograniczeniem górnym zbioru X. Lemat 1.12. Jeżeli α = sup X, to - x X, x α, - ε > 0 x X x α ε. Definicja 1.13. Dla dowolnego niepustego podzbioru X R definiujemy jego kres dolny ( infimum ), który oznaczamy przez inf X. 1) Jeżeli zbiór X NIE jest ograniczony z do lu, to przyjmujemy, że β = inf X :=. 2) Jeżeli zbiór X jest ograniczony z do lu, to liczb e β nazywamy kresem dolnym zbioru X, jeśli: β jest ograniczeniem dolnym zbioru X, dla każdego ograniczenia dolnego M zbioru X zachodzi M β. Oznaczenia: β = inf X ( lacińskie infimum zbioru X) Aksjomat kresu dolnego. dolny. Każdy niepusty zbiór X R ograniczony z do lu posiada kres Przyk lad 1.14. Niech X = {x R : x 2 < 2} = {x R : 2 < x < 2}. Liczba β = 2 jest kresesm dolnym zbioru X. Uwaga 1.15. Kres dolny zbioru X jest najwi ekszym ograniczeniem dolnym zbioru X. Lemat 1.16. Jeżeli β = inf X, to 8

x X, β x, ε > 0 x X x β + ε. Przyk lad 1.17. 1. X = (, 1); kres dolny β = / X, kres górny α = 1 / X. 2. X = [1, 2]; kres dolny β = 1 X, kres górny α = 2 X. 3. X = (, + ); kres dolny β = / X, kres górny α = + / X. 4. X = N; kres dolny β = 1 X, kres górny α = + / X. Oznaczenia 1.18. Niech X, Y R, λ R X + Y := {x + y; x X, y Y }, λx := {λx; x X}. Twierdzenie 1.19. Niech X, Y R bed a zbiorami niepustymi. Wówczas 1. sup(x + Y ) = sup X + sup Y, 2. inf(a + B) = inf X + inf Y, 3. jeśli X Y, to sup X inf Y, gdzie X Y oznacza, że dla x X, y Y x y. 4. 5. sup(λx) = inf(λx) = { λ sup X dla λ 0 λ inf X dla λ < 0. { λ inf X dla λ 0 λ sup X dla λ < 0. Twierdzenie 1.20. (Zasada Archimedesa) Dowód Dane sa y R i x > 0. (a) Najpierw udowodnimy, że x > 0 y R n Z (n 1)x y < nx. k Z y kx. (1.1) Przypuśmy, że to nie jest prawda tzn. k Z y > kx. Niech A = {kx : k Z} R. Ten zbiór jest ograniczony z góry przez y. Zatem z aksjomatu kresu górnego wynika, że istnieje α = sup A. Wtedy α x nie jest kresem górnym (korzystamy z za lożenia, że x > 0, czyli α x < α). Zatem na mocy Lematu 1.12 istnieje a A takie, że a = kx > α x. Stad 9

(k + 1)x > α. Niech b := k + 1, wtedy b Z oraz bx > α, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ α = sup A. (b) Teraz udowodnimy, że m Z y mx. (1.2) Przypuśmy, że to nie jest prawda tzn. m Z y < mx. Niech A = {mx : k Z} R. Ten zbiór jest ograniczony z do lu przez y. Zatem z aksjomatu kresu dolnego wynika, że istnieje β = inf A. Wtedy β + x nie jest kresem dolnym (korzystamy z za lożenia, że x > 0, czyli β < β + x). Zatem na mocy Lematu 1.16 istnieje c A takie, że c = mx < β + x. Stad (m 1)x < β. Niech c := m 1, wtedy c Z oraz cx < β co prowadzi do sprzeczności, ponieważ β = inf A. Teza wynika z (1.1) i (1.2). 10

2 Ciagi liczbowe 2.1 Definicje i oznaczenia Definicja 2.1. Ciagiem liczbowym o wyrazach rzeczywistych nazywamy każda funkcje f : N R. Przyk lad 2.2. f : N R, f(n) = 1 n czyli 1, 1 2, 1 3, 1 4,.... f : N R, f(n) = n n czyli 1, 2, 3 3, 4 4.... Oznaczenia 2.3. f(n) = a n - n-ty wyraz ciagu. Oznaczenie ciagu: {a n } n N lub ( a n )n N. 2.2 Ciagi monotoniczne Definicja 2.4. Ciag {a n } n N nazywamy - rosnacym, jeśli n N a n+1 > a n, - malejacym, jeśli n N a n+1 < a n, - niemalejacym, jeśli n N a n+1 a n, - nierosnacym, jeśli n N a n+1 a n. Pierwsze dwa rodzaje ciagów nazywamy ciagami ściśle monotonicznymi Zadanie 2.5. Wykazać monotoniczność ciagów a n = n 2 n + 1, b n = n α, ciagu określonego rekurencyjnie x 1 = 2, x n+1 = 2 + x n. Czy ciag ( 1)n jest monotoniczny? Definicja 2.6. Ciag {a n } n N jest ciagiem ograniczonym z góry, jeśli M R n N a n M. ograniczonym z dolu, jeśli m R n N a n m. ograniczonym, jeśli jest ograniczony z do lu i z góry. Zatem ciag {a n } n N jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy M R n N a n M. Zadanie 2.7. Czy nastepuj ace ciagi n 11

a > 1, a n = n a n, a R, b n = an n!, sa ograniczone? Definicja 2.8. Niech dany bedzie ciag {a n } n N i rosnacy ciag liczb naturalnych {n k } k N. Wtedy ciag {a nk } nk N nazywamy podciagiem ciagu {a n } n N. Przyk lad 2.9. { 1 } n n N. Rozpatrzmy ciag postaci { 1 } 2n n N. Jest to podciag ciagu { 1 } n n N. 2.3 Ciagi zbieżne Definicja 2.10. Ciag {a n } n N nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje liczba g R taka, że Liczbe g nazywamy granica ciagu {a n } n N. ε > 0 n 0 = n 0 (ε) n n 0 a n g < ε. Oznaczenia 2.11. Zapis symboliczny lim a n = g lub a n g. Interpretacja granicy a n g < ε ε < a n g < ε g ε < a n < g + ε a n (g ε, g + ε). Dla n n 0 każdy wyraz a n (g ε, g + ε). Zadanie 2.12. Udowodnić, że ciag a n = 1 jest zbieżny do g = 0, czyli n ε > 0 n 0 N n n 0 a n 0 = 1 n < ε. Jak dobrać n 0 do ε > 0? Odp. Zapis 1 n < ε oznacza, że 1 ε < n. Z zasady Archimedesa zastosowanej do y = 1 ε i x = 1 wynika, że istnieje n 0 N takie, że n 0 1 1 ε < n 0. Wtedy dla każdego n > n 0 zachodzi n 0 1 1 < n ε 0 < n.. Zatem ε > 0 n 0 N n > n 0 a n 0 = 1 n < ε. 12

Zadanie 2.13. Korzystajac z definicji granicy udowodnić, że lim 1 2n 1 = 0, lim 1 n 2 = 0, lim (0, 7)n = 0. Twierdzenie 2.14. Ciag zbieżny {a n } n N ma dok ladnie jedna granice. Dowód. Przypuśmy, że ciag jest zbieżny do g 1 R i do g 2 R, g 1 = g 2. Można przyjać, że g 1 < g 2. Niech ε = g 2 g 1, czyli ε > 0. Z definicji granicy wynika, że 3 oraz n 1 N n n 1 g 1 ε < a n < g 1 + ε n 2 N n n 2 g 2 ε < a n < g 2 + ε. Niech n 3 := max{n 1, n 2 }. Wtedy dla każdego n n 3 mamy a n < g 1 + ε < g 2 ε < a n. Otrzymaliśmy sprzeczność a n < a n, która kończy dowód. Lemat 2.15. Każdy podciag ciagu zbieżnego jest również zbieżny do tej samej granicy. Dowód. Za lożmy, że ciag a n g R. Weźmy dowolny podciag {a nk } k N. Niech ε > 0. Wówczas istnieje n 0 N takie, że a n g < ε dla n n 0. Ponieważ ciag n k jest rosnacy, to istnieje k 0 N takie, że n k0 n 0. Wówczas, jeśli n k n k0, to n k n 0, a stad a nk g < ε, co dowodzi, że a nk g. Wniosek 2.16. Jeżeli ciag {a n } n N zawiera co najmniej dwa podciagi zbieżne do różnych granic, to ciag {a n } n N nie ma granicy. Twierdzenie 2.17. Jeżeli ciag {a n } n N jest zbieżny, to jest ograniczony. Dowód. Za lóżmy, że lim a n = g. Weżmy ε = 1. Wówczas istnieje n 0 N takie, że a n g < 1 dla n n 0. Stad a n 1 < g < a n + 1 dla n n 0. Niech M bedzie najwieksz a z liczb a 1, a 2,... a n0, g + 1. (2.1) Wtedy dla każdego n n 0 mamy a n M. Jeśli n n 0, to M g 1 g 1 < a n < g + 1 g + 1 M. (2.2) Z (2.1) i ( 2.2) wynika, że n N a n M, co oznacza, że ciag {a n } n N jest ograniczony. 13

Twierdzenie 2.18. Jeżeli ciagi {a n } n N, {b n } n N sa zbieżne i α R, to i) zbieżne sa ciagi {a n + b n } n N, {αa n } n N, {a n b n } n N ii) oraz zachodza równości: lim (a n + b n ) = lim a n + lim b n, lim α(a n) = α lim a n, lim (a n b n ) = ( lim a n ) ( lim b n ), lim a n = lim a n. iii) jeśli lim b n = 0 to ciag { an b n } n N jest zbieżny oraz a n lim = lim a n. b n lim b n Uwaga 2.19. a n 0 wtedy i tylko, gdy a n 0. Twierdzenie 2.20. (twierdzenie o trzech ciagach) Jeżeli ciagi {a n } n N, {b n } n N sa zbieżne, lim a n = lim b n i n N a n c n b n, to ciag {c n } n N jest zbieżny i lim c n = lim a n = lim b n. Dowód. Weźmy ε > 0. Z zalożenia, że lim a n = g i lim c n = g wynika, że istnieja n 1, n 2 N takie, że a n g < ε dla n n 1 i c n g < ε dla n n 2. Niech n 3 = max{n 1, n 2 }. Wówczas dla n n 3 mamy Stad b n g < ε dla n n 3. ε < a n g b n g c n g < ε. Twierdzenie 2.21. Jeśli ciag a n 0 oraz ciag {b n } n N jest ograniczony, to ciag a n b n 0. Dowód. Ponieważ ciag {a n } jest ograniczony, wiec istnieje 0 M < + takie, że a n M dla wszystkich n N. Zatem 0 a n b n = a n b n a n M. (2.3) Ponieważ a n 0, to z twierdzenia 2.18 podpunkt (ii) wynika, że a n 0. Stad i z twierdzenia 2.18 podpunkt (ii) zastosowanego do α = M otrzymamy, że a n M 0. Stosujac twierdzenia o trzech ciagach do (2.3) otrzymamy, że a n b n 0, a stad a n b n 0 (z Uwagi 2.19). 14

Twierdzenie 2.22. (twierdzenie o zachowaniu znaku nierówności przy przejściu do granicy) Jeżeli ciagi {a n } n N i {b n } n N sa zbieżne i to lim a n lim b n. n N a n b n, Dowód. Niech a := lim a n, b := lim b n. Przypuśmy, że nie zachodzi teza tzn. a > b. Weżmy ε := (a b) (zauważmy, że ε > 0). Ponieważ oba ciagi 2 {a n } n N i {b n } n N sa zbieżne, to istnieje n 1 N takie, że a n a < ε dla n n 1 oraz istnieje n 2 N takie, że b n b < ε dla n n 2. Stad dla n n 3 = max{n 1, n 2 } mamy b n (b n b) + b < ε + b = b + a b 2 = a + b 2 a b = a = a ε < a (a n a) a n. 2 Zatem b n < a n co przeczy za lożeniu, że a n b n, czyli twierdzenie jest prawdziwe. Zadanie 2.23. lim Udowodnić n a = 1 (dla a > 0), lim n n = 1, 1 lim n sin 1 n = 0. Wykazać, że dla a > 1 jest lim n a n = 0. Wykazać, że dla a R jest lim an n! = 0. Znaleźć granice wyrażeń n 2 + 3 2n 2 100n + π, 120n 3 n + 1 n 5 + 3 0, 5 n n, n2 + n + 1 n, 5 n+3 + 3 5 n 2, n 2 a n (a > 1), n 2 n + π n,, 2πn5 + n + 5 4n 5 n 4 13, 3 n3 n 2 + n + 7 3 n 3 + 3, n 5n 3 n. Twierdzenie 2.24. Jeśli ciag {a n } n N jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny. 15

Dowód. Za lożmy, że ciag {a n } n N jest niemalejacy i ograniczony. W przypadku, gdy ciag {a n } n N jest nierosnacy, dowód jest analogiczny. Niech A = {a n ; n N}. Ponieważ zbiór A jest ograniczony, wiec z aksjomatu kresu górnego istnieje α = sup A. Udowodnimy, że a n α. Weźmy ε > 0. Z Lematu 1.12 wynika, że istnieje n 0 takie, że α ε < a n0. Wówczas dla n n 0 mamy, α ε < a n α α + ε, a zatem a n α < ε dla n n 0. Uwaga 2.25. Ciag monotoniczny jest zbieżny gdy jest ograniczny. Dowód. (= ) Z twierdenia 2.17 wynika, że każdy ciag zbieżny jest ograniczony. ( =) Ta implikacja wynika z twierdzenia 2.24. Przyk lad 2.26. Przyk lady zastosowań twierdzenia o zbieżności ciagów monotonicznych. Wykazać zbieżność ciagów: n 1 n a n = k, b p k 2 n = 10 (p k k Z [0, 9]), c n = n k=2 k=1 ( 1 1 ) k k=1 określonego rekurencyjnie d 1 = 2, d n+1 = 2 + x n. Ciag Eulera i liczba e ( symbol oznacza iloczyn). Rozważmy ciag a n = ( 1 + 1 n) n+1. Na ćwiczeniach udowodnimy, że ciag {a n } n N jest malejacy. monotoniczny, to ma granice, która oznaczymy przez ( e := lim 1 + 1 n+1. n) Ponieważ jest ograniczony i Nastepnie udowodnimy, że ( e = lim 1 + 1 n. n) 16

Ciag b n = ( 1 + n) 1 n jest rosn acy i ograniczony. Ten ciag odgrywa bardzo ważna role i później bedziemy wielokrotnie sie do niego odwo lywać. Liczba e, zdefiniowana wyżej, jest także bardzo ważna sta la, zwana sta l a Eulera. Sta la Eulera jest liczba niewymierna i w przybliżeniu równa e 2.71828182845.... Zadanie 2.27. Znaleźć granice ciagów: ( 1 + 1 ) n ( ) n ( ) n n + 3 n 1,,, 3n n + 1 n + 1 ( 1 + 1 n 2 ) n, n (ln(n + 3) ln n). 2.4 Ciagi o granicach niew laściwych Definicja 2.28. Ciag {a n } n N jest zbieżny do + jeśli M > 0 N n > N a n > M. Definicja 2.29. Ciag {a n } n N jest zbieżny do jeśli M > 0 N n > N a n < M. Twierdzenie 2.30. (Arytmetyka granic niew laściwych) 1. Jeśli lim a n = a, gdzie < a + i lim b n = + to lim (a n + b n ) = +. 2. Jeśli lim a n = a, gdzie a < + i lim b n = + to lim (a n b n ) =. 3. Jeśli lim a n = a, gdzie 0 < a < + i lim b n = ± to lim (a n b n ) = ±. 4. Jeśli lim a n = a, gdzie a < 0 i lim b n = ± to lim (a n b n ) =. 5. Jeśli lim a n = a R i lim b n = ± oraz b n = 0, to lim a n bn = 0. 6. Jeśli lim a n = a, gdzie 0 < a + i lim b n = 0 b n > 0, to lim a n bn 7. Jeśli lim a n = a, gdzie 0 < a + i lim b n = 0 b n < 0, to lim a n bn 8. Jeśli lim a n = a, gdzie < a 0 i lim b n = 0 b n > 0, to lim a n bn 9. Jeśli lim a n = a, gdzie < a 0 i lim b n = 0 b n < 0, to lim a n bn 17 = +. =. =. = +.

Kolejne twierdzenie jest uogólnieniem Twierdzenia 2.30. Twierdzenie 2.31. 1. Jeśli ciag a n +, a ciag {b n } n N jest ograniczony z do lu, to ciag a n + b n +. 2. Jeśli ciag a n, a ciag {b n } n N jest ograniczony z góry, to ciag a n + b n. 3. Jeśli ciag a n +, a ciag {b n } n N poczawszy od pewnego wskaźnika jest ograniczony z do lu przez liczbe dodatnia (z góry przez liczbe ujemna), to iloczyn a n b n jest ciagiem zbienym do + (do ). Twierdzenie 2.32. Zadanie 2.33. Zbadać zbieżność ciagów p n, ( 1) n n 2, n 3 + 2 n 2 + 5, x n = n k=1 1 k, x n = a n (a R). Bezpośrednio z definicji ciagów zbieżnych do + lub wynika nastepuj acy lemat. Lemat 2.34. Niech {a n } n N, Jeśli a n + oraz a n b n, to b n +. Jeśli b n oraz a n b n, to a n. 2.5 Symbole nieoznaczone {b n } n N bed a ciagami liczb rzeczywistych. Wówczas: Dla pewnych dzia lań na ciagach nie można z góry przewidzieć granicy wyniku tych dzia lań, pomimo, że znamy granice poszczególnych ciagów. Np. rozważmy dwa ciagi {a n } n N i {b n } n N, oba daż ace do niekończoności tzn. a n + i b n +. Zbadamy róźnice (a n b n ). Ile wynosi lim (a n b n )? Z poniższych przyk ladów bedzie wynikać, że różnica a n b n może mieć granice w laściwa (tzn. jest liczba skończona), może mieć granice niew laściwa ± lub może nie istnieć. Wówczas mówimy, że jest symbolem nieoznaczonym. Mamy siedem takich nieoznaczoności:, 0, 0 0,, 1, 0, 0 0. Dla każdego z powyższych symboli nieoznaczonych podamy przyk lady ilustrujace teze, że nie można podać uniwersalnej regu ly mówiacej ile wynosi granica wykonywanych dzia lań w tym przypadku. 18

lim a n = +, lim b n = +, NIEOZNACZONOŚĆ typu [ ]. a n = n 2, b n = n 2 = lim (a n b n ) = lim (n 2 n 2 ) = 0 a n = n 2, b n = n = lim (a n b n ) = lim (n 2 n) = + a n = n, b n = n 2 = lim (a n b n ) = lim (n n 2 ) = a n = n, b n = (n a) a R = lim (a n b n ) = lim [n (n a)] = a a n = n + ( 1) n, b n = n = lim (a n b n ) = lim (n + ( 1) n n) = lim ( 1) n = nie istnieje lim a n = 0, lim b n = +, NIEOZNACZONOŚĆ typu [0 ]. a n = 1 n, b n = n 2 = lim (a n b n ) = lim ( n) = a n = 1 n, b n = n 2 = lim (a n b n ) = lim (n) = + a n = a n a R, b n = n = lim (a n b n ) = lim (a) = a a n = ( 1)n n, b n = n = lim (a n b n ) = lim ( 1) n lim a n = 0, lim b n = 0, NIEOZNACZONOŚĆ typu [ 0 0 ]. ( an nie istnieje a n = 1 n, b n = 1 ) = lim = lim ( n) = n 2 b n a n = 1 n, b n = 1 ( ) an = lim = lim (n) = + n 2 b n a n = a a R, n b n = 1 ( ) an = lim = lim (a) = a n b n a n = ( 1)n n, b n = 1 ( ) an = = lim ( 1) n nie istnieje n lim a n =, lim b n =, NIEOZNACZONOŚĆ typu [ ]. b n 19

( ) a n = n 2 an, b n = n = lim = lim (n) = + b n ( ) an a n = a a n R, b n = n = lim = lim (a) = a b n ( ) ) a n = n + ( 1)n n an, b n = n = lim = lim (1 + ( 1)n = nie istnieje 2 2 lim a n = 1, lim b n = +, NIEOZNACZONOŚĆ typu [1 ]. a n = 1 + 1 ( n, b b n = n = lim (a n n ) = lim 1 + 1 n = e n) b a n = 1 b n = n = lim (a n n ) = lim (1 n ) = 1 a n = 1 + 1 ( n, b n = n 2 b = lim (a n n ) = lim a n = 1 + ( 1)n n, b n = n = lim (a n b n ) = lim b n 1 + 1 n ) n 2 ( 1 + ( 1) n lim a n =, lim b n = 0, NIEOZNACZONOŚĆ typu [ 0 ]. = + ) n nie istnieje a n = 2 n2, b n = 1 n b = lim (a n n ) = lim (2 n ) = + a n = n, b n = 0 b = lim (a n n ) = lim (n 0 ) = 1 a n = a n a > 1, a n = (3 + ( 1) n ) n, b n = 1 n b n = 1 n = lim (a n b n ) = lim (a) = a = lim (a n b n ) = lim (3 + ( 1) n ) nie istnieje lim a n = 0, lim b n = 0, NIEOZNACZONOŚĆ typu [00 ]. a n = 1 n, b n = 1 n b = lim (a n n ) = lim ( 1 n ) = 1 n a n = 0, b n = 1 n a n = a n a (0, 1), = lim (a n b n ) = lim (0 1 n ) = 0 b n = 1 n 20 = lim (a n b n ) = lim (a 1 n ) = a

2.6 Podciagi Definicje podciagu podaliśmy poprzednio (patrz Definicja 1.8) oraz udowodniliśmy lemat 2.15. Teraz chcemy dodać, że lemat 2.15 jest prawdziwe także, gdy g = ±. Twierdzenie 2.35. Jeżeli każdy podciag ciagu {a n } n N jest zbieżny do tej samej granicy g, to dany ciag {a n } n N jest zbieżny do granicy g. Granica g R lub g = ±. Twierdzenie 2.36. (Bolzano-Weierstrassa) Z każdego ciagu ograniczonego można wybrać podciag zbieżny. Zanim udowodnimy powyższe twierdzenie podamy jeszcze nastepuj ac a definicje. Definicja 2.37. Niech A R oraz {a n } n N bedzie dowolnym ciagiem rzeczywitym. Wówczas prawie wszystkie wyrazy ciagu {a n } n N należa do A, gdy k N n k a n A. nieskończenie wiele wyrazów ciagu {a n } n N należy do A, gdy k N n k a n A. Uwaga 2.38. Jeżeli prawie wszystkie wyrazy ciagu {a n } n N należa do A, to nieskończenie wiele wyrazów ciagu tego ciagu należy do A. Dowód Tw. 2.36 Niech 0 M < + bedzie liczba rzeczywista taka, że a n M dla wszystkich n N. Niech A = {a R : a a n dla nieskończenie wielu n N} = {a R; k N n k a a n }. Ponieważ M a n M dla każdego n N, to M A oraz a < M + 1 (także dla każdego a A). Niech α = sup A. Ustalmy ε > 0. Wtedy istnieje a A takie, że α ε < a α. Zatem α ε < a n dla nieskończenie wielu n N. Ponieważ α + ε / A, wiec α + ε a n tylko dla skończenie wielu n N. Stad α ε < a n < α + ε dla nieskończenie wielu n N. Zatem k N n k a n α < ε. Korzystajac z tego faktu dla ε = 1 otrzymujemy, że istnieje n 1 N takie, że a n1 α < 1. Nastepnie znajdziemy n 2 > n 1 takie, że a n2 α < 1/2. Postepuj ac w sposób indukcyjny dla dowolnej liczby naturalnej k znajdziemy n k > n k 1 takie, że 0 a nk α < 1/k 0. Z twierdzenia o trzech ciagach otrzymamy, że a nk α 0. Zatem a nk α. 21

2.7 Ciagi Cauchy ego Definicja 2.39. Ciag {a n } n N spe lnia warunek Cauchy ego, jeśli ε > 0 n 0 = n 0 (ε) m, n n 0 a m a n < ε. Twierdzenie 2.40. Każdy ciag zbieżny spe lnia warunek Cauchy ego. Dowód. Za lóżmy, że a n g. Niech ε > 0. Wówczas istnieje n 0 N takie, że a n g < ε/2 dla n n 0. Weżmy dowolne m, n n 0. Wtedy z nierówności trójkata a m a n = (a m g) + (g a n ) a m g + a n g < ε 2 + ε 2 = ε. Czyli ε > 0 n 0 = n 0 (ε) m, n n 0 a m a n < ε. Twierdzenie 2.41. Każdy ciag Cauchy ego jest ograniczony. Dowód. Niech {a n } n N spe lnia warunek Cauchy ego. Weżmy ε = 1. Wówczas istnieje n 0 N takie, że a n a m < 1 dla m, n, n 0. Stad a n0 1 < a n < a n0 + 1 dla n n 0. Niech M bedzie najwieksz a z liczb a 1, a 2,..., a n0 + 1. Wtedy dla każedego n < n 0 mamy a n M. Jeśli n n 0, to M a n 1 a n0 1 < a n < a n0 + 1 a n0 + 1 M. Zatem dla każdego n N mamy a n M. Twierdzenie 2.42. Każdy ciag Cauchy ego jest zbieżny. Dowód. Niech {a n } n N spe lnia warunek Cauchy ego. Z Twierdzenia 2.41 wynika, że ciag {a n } n N jest ograniczony. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa ciag {a n } n N zawiera podciag a nk, który jest zbieżny. Niech a nk g. Pokaźemy, że ciag a n g. Weźmy ε > 0. Z definicji warunku Cauchy ego i definicji granicy istnieja n 0, n 1 N takie, że oraz a n a m < ε 2 a nk g < ε 2 dla m, n n 0 (2.4) dla n k n 1. (2.5) 22

Niech n 2 N b edzie takie, że n 2 max{n 0, n 1 }. Wówczas dla dowolnego n n 2 (korzystamy z (2.4) i (2.5)) mamy a n g a n a n2 + a n2 g < ε 2 + ε 2 = ε. Definicja 2.43. Taka w lasność zbioru liczb rzeczywistych R nazywamy jego zupe lnościa. Uwaga 2.44. Zbiór liczb wymiernych Q nie jest zupe lny, to znaczy w obrebie zbioru liczb wymiernych nie każdy ciag Cauchy ego ma granice należac a do Q. Zadanie 2.45. Korzystajac z kryterium Cauchy ego zbadać zbieżność ciagów: x n = n k=1 1 k, y n = n k=1 1 k 2, z n = n k=1 sin k k 2. 2.8 Granica górna i dolna ciagu Definicja 2.46. Mówimy, że g R {, + } jest punktem skupienia ciagu {a n } n N, jeśli istnieje podciag {a nk } nk N taki, że a nk g. Definicja 2.47. Jeżeli ciag {a n } n N jest ograniczony z góry, to granica górna ( lac. limes supremum) ciagu {a n } n N nazywamy kres górny zbioru wszystkich punktów skupienia ciagu {a n } n N tzn. lim sup a n := sup{g : a nk g}. Jeżeli ciag {a n } n N nie jest ograniczony z góry, to lim sup a n := +. Uwaga 2.48. Dla każdego ciagu istnieje jego granica górna. Definicja 2.49. Jeżeli ciag {a n } n N jest ograniczony z do lu, to granica dolna ( lac. limes infimum) ciagu {a n } n N nazywamy kres dolny zbioru wszystkich punktów skupienia ciagu {a n } n N tzn. lim inf a n := inf{g : a nk g}. Jeżeli ciag {a n } n N nie jest ograniczony z do lu, to lim inf a n :=. 23

Uwaga 2.50. Dla każdego ciagu istnieje jego granica dolna. Zadanie 2.51. Wykazać prawdziwość Uwagi 1.1 i Uwagi 1.2. Lemat 2.52. lim inf a n lim sup a n. Ciag {a n } n N jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy lim inf n N a n = lim sup n N a n. Zadanie 2.53. Znaleźć granice górna i dolna ciagów:. ( n 3 + 1 2nπ sin 2n 3 n 2 + 5 3, (1 + ( 1)n ) 1 1 ) n, 2 n n + 5 n ( 1)n, n a n = ( 1) k, a n = (n 2 + 1) ( 1)n. k=1 2.9 Porównywanie ciagów: O duże i o ma le Definicja 2.54. Dane sa ciagi {a n } n N i {b n } n N. Mówimy, że ciag a n jest O duże ciagu b n, jeśli L 0 n 0 N n n 0 a n L b n. Oznaczenia 2.55. Zapis symboliczny a n = O(b n ). Lemat 2.56. Jeśli wyrazy ciagu {b n } n N sa różne od zera, to a n = O(b n ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciag an jest ograniczony. b n Definicja 2.57. Dane sa ciagi {a n } n N i {b n } n N. Mówimy, że ciag a n jest o ma le ciagu b n, jeśli ε > 0 n ε, n n ε a n ε b n. Oznaczenia 2.58. Zapis symboliczny a n = o(b n ). Lemat 2.59. Jeśli wyrazy ciagu {b n } n N sa różne od zera, to a n = o(b n ) wtedy i tylko wtedy, gdy ciag an jest ograniczony. b n Zadanie 2.60. Uzasadnić: 2n+1 = O(n) 5 + n n 2 0, 5 = O ( ) 1 n, ( 1) n = O(1) n = o(n 2 ), ( ) 1 1 n = o 2 n, 2 n = o(1). 24

3 Granice funkcji 3.1 Definicje granicy Definicja 3.1. Niech X R, x 0 R. Punkt x 0 nazywamy punktem skupienia zbioru X, jeśli istnieje ciag {x n } n N taki, że x n X dla każdego n N, x n = x 0 dla każdego n N, lim x n = x 0. Przyk lad 3.2. Niech X = {1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}. Wtedy x 0 = 0 jest punktem skupienia tego zbioru ale x 0 / X Przyk lad 3.3. Niech X = (0, 1). Wtedy każdy punkt x X jest punktem skupienia, ponieważ np. ciag x n := x + 1 X n dla n > n 0 (gdzie 1 n 0 < min{ x 1, x 0 }), x n = x oraz x n x. punkty x 0 = 0 i y 0 = 1 sa punktami skupienia zbioru X, ponieważ ciag x n := 1 dla n n 2 należy do X i zbiega do x 0 = 0, zaś ciag y n := 1 1 dla n 2 należy do X i n zbiega do y 0 = 1 Przyk lad 3.4. Niech X = { 1} [0, 1]. Wtedy punkt x 0 = 1 nie jest punktem skupienia zbioru X. Definicja 3.5. Zbiór punktów skupienia zbioru X oznaczamy przez X d. Przyk lad 3.6. (0, 1] d = [0, 1], (( 1, 1) {2}) d = [ 1, 1], { 1 n ; n N}d = {0}, Q d = R, Z d =. Twierdzenie 3.7. X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X wtedy i tylko wtedy, gdy ε > 0 kula K(x 0, ε) = (x 0 ε, x 0 + ε) zawiera co najmniej jeden punkt ze zbioru X różny od x 0. 25

Podamy teraz definicje w laściwe (skończone) granicy funkcji w punkcie. Definicja 3.8. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice (w laściwa) g R w punkcie x 0, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [0 < x x 0 < δ = f(x) g < ε]. Wówczas piszemy lim x x0 f(x) = g lub f(x) g. Definicja 3.9. (wg Heinego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice (w laściwa) g R w punkcie x 0, jeśli [ ] {x n } n N X {x 0 }; lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g. Wówczas piszemy lim x x0 f(x) = g lub f(x) g. Twierdzenie 3.10. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie jest równoważna definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. Przyk lad 3.11. Korzystajac z definicji Cauchy ego uzasadnić istnienie granicy lim x 2 (5 3x) = 1. Odp. Mamy wykazać, że ε > 0 δ > 0 x X [0 < x 2 < δ = (5 3x) 1 < ε]. Ustalmy ε > 0. Jak dobrać δ = δ(ε)? Niech δ := ε/3. Wtedy x 2 < δ = ε 3 ε 3 < x 2 < ε 3 ε 3 > x + 2 > ε 3 2 + ε 3 > x > 2 ε 3 6 + ε > 3x > 6 ε. Dla x 2 < δ = ε 3 mamy f(x) 1 = 5 3x + 1 = 6 3x < 6 + [ 6 + ε] = ε oraz Zatem f(x) 1 = 5 3x + 1 = 6 3x > 6 + [ 6 ε] = ε. ε > 0 δ = ε 3 > 0 x X [0 < x 2 < δ = f(x) 1 < ε.] 26

Przyk lad 3.12. Korzystajac z definicji Heinego uzasadnic, że lim x 2 x 2 = 4. Odp. Niech {x n } n N bedzie dowolnym ciagiem takim, że x n 2. Wtedy istnieje ciag y n taki, że x 2 = 2 y n, gdzie y n 0. Zatem f(x n ) = x 2 n = (2 y n ) 2 = 4 2y n + yn 2 4 gdy n, ponieważ y n, yn 2 0. Twierdzenie 3.13. (O arytmetyce granic). Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, f : X R, g : X R. Za lóżmy, że lim x x0 f(x) = a R oraz lim x x0 g(x) = b R. Wówczas: lim x x0 f(x) = a, lim x x0 αf(x) = αa dla dowolnego α R, lim x x0 (f(x) ± g(x) = a ± b, lim x x0 f(x) g(x) = a b, f(x) lim = a x x0, gdy b = 0. g(x) b Przyk lad 3.14. Obliczyć granice funkcji: lim x x0 2f(x)g 2 (x) ( lim x x0 2 1 + 1 f(x) 2g(x) jeśli wiadomo, że lim x x0 f(x) = 3, lim x x0 g(x) = 4. Korzystamy z twierdzenia 3.13. Wtedy ) lim 2f(x)g 2 (x) = 2 lim f(x) [ lim g(x) lim g(x)] = 2 3 4 2 = 96 x x 0 x x0 x x0 x x0 ( 1 lim x x 0 f(x) + 1 ) ( ) 1 = 2g(x) lim x x0 f(x) + 1 = 1 2 lim x x0 g(x) 3 + 1 8 = 11 24. Przyk lad 3.15. Wykażemy, że lim x 0 sin x x = 1. Skorzystamy z nastepuj acych nierówności: sin x < x < tg(x) dla 0 < x < π 2. (3.1) 27

Stad 1 sin x > 1 x > 1 tg(x) dla 0 < x < π 2. (3.2) Pomnożymy strony nierówności (3.2) przez sin x, które jest dodatnie dla 0 < x < π. St ad 2 [ ] [ ] sin x sin x 1 > > cos x = 0 < 1 < 1 cos x. x x Ale 1 cos x = 2 sin 2 ( x) < 2 sin( x). Korzystaj ac 2 2 z (3.1) otrzymamy 2 sin( x ) < x. Zatem 2 0 < 1 sin x x < x. Dla π 2 < x < 0 mamy sin x > x > tg(x) (3.3) Postepuj ac analogicznie otrzymamy, że sin x x 1 Warto zauważyć, że sin( x) x < x. (3.4) = sin(x) x skad wynika, że (3.4) zachodzi także dla π < x < 0. Aby udowodnić, że lim 2 x 0 musimy wykazać: [ ] ε > 0 δ > 0 x X 0 < x 0 < δ = sin x x 1 < ε W tym celu dla danego ε > 0 możemy za δ = min{ε, π}. Wtedy sin x 2 x sin x x 1 < ε. Przyk lad 3.16. Czy istnieje lim x 0 sin( 1 ) dla x = 0? x Skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji w punkcie. 2 Niech x n = 0. Wtedy (4n+1)π ( ) ( ) 1 (4n + 1)π ( sin = sin = sin 2nπ + π ) ( π ) = sin = 1. 2 2 2 x n 28 sin x x = 1 1 < x < δ ε czyli

( ) 1 Czyli lim f(x n ) = lim sin x n = lim 1 = 1. 2 Niech y n =. Wtedy (4n+3)π ( ) ( ) ( 1 (4n + 3)π sin = sin = sin 2nπ + 3π ) ( ) 3π = sin = 1. y n 2 2 2 ( ) 1 Czyli lim f(y n ) = lim sin y n = lim ( 1) = 1. Niech z n = 1 nπ. Wtedy ( 1 sin z n ) ( nπ = sin 2 ( ) 1 Czyli lim f(z n ) = lim sin z n = lim 0 = 0. Zatem lim x 0 sin( 1 ) nie istnieje!! x ) = sin (nπ) = 0. Przyk lad 3.17. Wykazać, że lim x 0 x sin( 1 ) = 0, x = 0. x Jest to oczywiste, ponieważ x sin( 1) < x bo sin( 1 ) 1. Wtedy w definicji granicy w x x x 0 = 0 należy przyjac δ = ε tzn. [ ( ) ( ) ε > 0 δ = ε x X 0 < x 0 < δ = 1 x sin 0 1 x = x sin < x < ε]. x Twierdzenie 3.18. (o trzech funkcjach) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X. Niech f, g, h : X R bed a funkcjami takimi, że x X f(x) g(x) h(x). Za lóżmy, że lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = g. Wtedy istnieje lim x x0 g(x) oraz lim x x0 g(x) = g. Przyk lad 3.19. Korzystajac z twierdzenia 3.18 (o trzech funkcjach) obliczyć granice lim x 0 x ( 2 2 + cos ( 1 x)). Odp. Dla każdego x R zachodzi: oraz x 2 (2 + cos x 2 (2 + cos ( )) 1 x 2 (2 + 1) = 3x 2 x ( )) 1 x 2 (2 1) = x 2. x 29

Stad na mocy tw. o trzech funkcjach mamy 0 = lim x 0 x 2 lim x 0 ( 2 + cos Zatem istnieje lim x 0 x 2 ( 2 + cos ( 1 x)) i jest równa 0. ( )) 1 lim 3x 2 = 0. x x 0 Definicja 3.20. Niech X R, f : X R. Powiemy, że funkcja f jest rosnaca, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X, x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) < f(x 2 ), malejaca, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X, x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) > f(x 2 ), niemalejaca, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X, x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) f(x 2 ), nierosnaca, jeśli dla dowolnych x 1, x 2 X, x 1 < x 2 mamy f(x 1 ) f(x 2 ), monotoniczna, jeśli jest spe lniony jeden z powyższych czterech warunków, ścisle monotoniczna, jeśli jest rosnaca lub malejaca. 3.2 Granice jednostronne Definicja 3.21. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X (x 0, + ), f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice prawostronna g R, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [x (x 0, x 0 + δ) = f(x) g < ε]. Wówczas piszemy lim x x + 0 f(x) = g lub f(x+ 0 ). Definicja 3.22. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru (, x 0 ) X, f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice lewostronna g R, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) g < ε]. Wówczas piszemy lim x x 0 f(x) = g lub f(x 0 ). Definicja 3.23. (wg Heinego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X (x 0, + ), f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice (w laściwa) g R, jeśli [ ] {x n } n N X (x 0, + ); lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g. Wówczas piszemy lim x x + 0 f(x) = g lub f(x 0+). 30

Definicja 3.24. (wg Heinego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X (, x 0 ), f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice (w laściwa) g R, jeśli [ ] {x n } n N X (, x 0 ); lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g. Wówczas piszemy lim x x 0 f(x) = g lub f(x 0 ). Twierdzenie 3.25. Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Wtedy f ma granice w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice lim x x + f(x) i 0 lim x x f(x) oraz lim 0 x x + f(x) = lim 0 x x f(x). 0 Przyk lad 3.26. Niech f(x) = sin ( 1 x) dla x > 0 i f(x) = xsin ( 1 x) dla x < 0. Postepuj ac analogicznie jak w poprzednich przyk ladach możemy pokazać, że lim x 0 f(x) = 0, natomiast lim x 0 + f(x) nie istnieje. Uwaga 3.27. Twierdzenia dotyczace granic funkcji podane wyżej zachodza także dla granic jednostronnych. Przyk lad 3.28. Korzystajac z tw. granice lim ( x 0 + x sin 2 1 x). o trzech funkcjach dla granic jednostronnych obliczyć Zauważmy, ze w tym przypadku nie można stosować twierdzenia o iloczynie granic, ponieważ nie istnieje lim x 0 sin ( 2 1 x). Dla x 0 mamy 0 ( ) 1 x sin 2 x x Zatem lim 0 lim x sin 2 x 0 + x 0 + ( ) 1 lim x. x x 0 + Pnieważ lim x 0 + x = 0, to korzystaj ac z Uwagi 3.27 otrzymamy, że lim ( x 0 + x sin 2 1 x) = 0. Twierdzenie 3.29. Niech X R, x 0 X jest punktem skupienia zbioru. Jeśli f : X R jest funkcja monotoniczna, to isnieja lim x x f(x) i lim 0 x x + f(x). Ponadto: 0 jeśli f jest rosnaca, to lim x x f(x) f(x 0) lim 0 x x + f(x). 0 jeśli f jest malejaca, to lim x x f(x) f(x 0) lim 0 x x + f(x). 0 31

3.3 Granice niew laściwe w punkcie w laściwym Definicja 3.30. Niech X R, x 0 R b edzie punktem skupienia zbioru X, f : X R. Mówimy, że funkcja f ma granice niew laściwa + w punkcie x 0 (w sensie Cauchy ego) jeśli M R δ > 0 x X [0 < x 0 x 0 < δ = f(x) > M]. Mówimy, że funkcja f ma granice niew laściwa w punkcie x 0 (w sensie Cauchy ego) jeśli M R δ > 0 x X [0 < x 0 x 0 < δ = f(x) < M]. Mówimy, że funkcja f ma granice niew laściwa + w punkcie x 0 (w sensie Heinego) jeśli [ ] {x n } n N X {x 0 }; ( lim x n = x 0 ) = ( lim f(x n ) = + ). Mówimy, że funkcja f ma granice niew laściwa w punkcie x 0 (w sensie Heinego) jeśli [ ] {x n } n N X {x 0 }; ( lim x n = x 0 ) = ( lim f(x n ) = ). Wówczas piszemy odpowiednio lim x x0 f(x) = + lub lim x x0 f(x) =. Przyk lad 3.31. Wykazać, że lim x 0 1 x = +. Mamy wykazać, że M R δ > 0 x X [0 < x x 0 < δ = f(x) > M]. Ustalmy M R. Jak dobrać δ = δ(m)=? Niech δ = 1 1. Wtedy, jeśli x 0 < δ = M f(x) 0 = 1 > 1 x 1 = M. M M = Uwaga 3.32. Oprócz granic niew laściwych w punkcie w laściwym wprowadza sie też poj ecie granic jednostronnych niew laściwych w tym punkcie. Przyk lad 3.33. Ile wynosza lim 1 x 0 i lim x x 0 1 +? x Pokażemy najpierw, że lim 1 x 0 + x niew laściwej Cauchy ego tzn. = +. Skorzystamy z definicji granicy prawostronnej M R δ > 0 x X [x (x 0, x 0 + δ) = f(x) > M]. 32

Ustalmy M R. Jak dobrać δ = δ(m)=? Niech δ = 1. Wtedy, jeśli x (0, δ) = x < δ = M 1 M x 1 M = M M. Analogicznie postepujemy aby pokzać, że lim 1 x 0 x =. Skorzystamy z definicji granicy lewostronnej niew laściwej Cauchy ego tzn. M R δ > 0 x X [x (x 0 δ, x 0 ) = f(x) < M]. Ustalmy M R. Jak dobrać δ = δ(m)=? Niech δ = 1. Wtedy, jeśli x ( δ, 0) = x > M δ = 1 = f(x) = 1 < 1 M x 1 = M M. M Uwaga 3.34. Twierdzenie 3.25 zachodzi także dla granic niew l asciwych tzn. granica niw laściwa lim x x0 f(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice jednostronne i sa sobie równe. Wniosek 3.35. Funkcja f(x) = 1 nie ma granicy w zerze, ponieważ lim x x 0 1 x lim 1 x 0 + = +. x = = 3.4 Granice w laściwe w punkcie niew laściwym Definicja 3.36. Niech f : R R, g R. Mówimy, że funkcja f ma granic e g w + (w sensie Cauchy ego) jeśli ε > 0 M R x X [x M = f(x) g < ε]. Mówimy, że funkcja f ma granic e g w (w sensie Cauchy ego) jeśli ε > 0 M R x X [x M = f(x) g < ε]. Mówimy, że funkcja f ma granic e g w + (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N R; [(x n + ) = f(x n ) + )]. Mówimy, że funkcja f ma granic e g w (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N R; [(x n ) = f(x n ) g)]. Wówczas piszemy odpowiednio lim x + f(x) = g lub lim x f(x) = g. Przyk lad 3.37. Wykazać, że lim x + 1 x = 0 i lim x 1 x = 0. 33

Aby udowodnić, że lim x + 1 x = 0, wystarczy pokazać, że ε > 0 M R x X [x M = f(x) g < ε]. Ustalmy ε > 0 Jak dobrać M = M(ε)? Niech M = 2. Jeśli x M = 2 = f(x) g = ε ε 1 0 = 1 = 1 ε < ε. x x x 2 W przypadku drugiej granicy postepujemy analogicznie. Powinniśmy pokazać, że ε > 0 M R x X [x M = f(x) g < ε]. Ustalmy ε > 0. Jak dobrać M = M(ε)? Niech M = 2. Jeśli x M = 2 ε ε 1 0 = 1 = 1 ε < ε. x x x 2 Przyk lad 3.38. Obliczyć lim x + cos( 1 x ). = f(x) g = Pokażemy, że. lim x + cos( 1) = 1. Ustalmy ε > 0. Wtedy przyjmiemy, że M := 2. x ε zatem jeśli x M = 2, to ε ( ) ( ) ( ) ( ) f(x) 1 = 1 cos 1 1 1 1 x = 2 sin 2 = 2 sin 2 < 2 sin < 2 1 2x 2x 2x 2x = 1 x ε 2 < ε. Przyk lad 3.39. Korzystajac z definicji Heinego pokazać, że nie istnieje lim x + sin(x). oraz Niech x n := ( 2n + 2) 1 π, yn = ( 2n + 2) 3 π. Wtedy lim sin(x n) = lim ((2n sin + 12 ) )π = sin π n + n + 2 = 1 lim sin(y n) = lim ((2n sin + 32 ) )π = sin 3π n + n + 2 = 1. Poniewaź lim n + sin(x n ) = lim n + sin(y n ), to f nie ma granicy w +. 3.5 Granice niew laściwe w punkcie niew laściwym Definicja 3.40. Niech f : R R. Mówimy, że funkcja f ma granic e + w + (w sensie Cauchy ego) jeśli N R M R x X [x M = f(x) N]. Wówczas piszemy lim x + f(x) = +. 34

Mówimy, że funkcja f ma granice w + (w sensie Cauchy ego) jeśli N R M R x X [x M = f(x) N]. Wówczas piszemy lim x + f(x) =. Mówimy, że funkcja f ma granice + w (w sensie Cauchy ego) jeśli N R M R x X [x M = f(x) N]. Wówczas piszemy lim x f(x) = +. Mówimy, że funkcja f ma granice w (w sensie Cauchy ego) jeśli N R M R x X [x M = f(x) N]. Wówczas piszemy lim x f(x) =. Mówimy, że funkcja f ma granice + w + (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N X; [(x n + ) = f(x n ) + )]. Wówczas piszemy lim x + f(x) = +. Mówimy, że funkcja f ma granice w + (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N X; [(x n + ) = f(x n ) )]. Wówczas piszemy lim x + f(x) =. Mówimy, że funkcja f ma granice + w (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N X; [(x n ) = f(x n ) + )]. Wówczas piszemy lim x f(x) = +. Mówimy, że funkcja f ma granice w (w sensie Heinego) jeśli {x n } n N X; [(x n ) = f(x n ) )]. Wówczas piszemy lim x f(x) =. 35

3.6 C.d. arytmetyki granic funkcji Przypomnijmi nastepuj ace twierdzenie. Twierdzenie 3.41. (o trzech funkcjach) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X. Niech f, g, h : X R bed a funkcjami takimi, że x X f(x) g(x) h(x). Za lóżmy, że lim x x0 f(x) = lim x x0 h(x) = g. Wtedy istnieje lim x x0 g(x) oraz lim x x0 g(x) = g. Uwaga 3.42. Twierdzenie 3.18(o trzech funkcjach) jest prawdziwe dla granic w laściwych i niew laściwych zarówno w punkcie w laściwym jak i niew laściwym (tzn. x 0 = ± ). Zachodzi ponadto dla granic jednostronnych. Twierdzenie 3.43. (o dwóch funkcjach) Niech X R, x 0 R {, + } jest punktem skupienia zbioru X. Niech f, g : X R bed a funkcjami takimi, że x X f(x) g(x). Jeżeli lim x x0 f(x) = +, to lim x x0 g(x) = +. Jeżeli lim x x0 g(x) =, to lim x x0 f(x) =. Uwaga 3.44. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic jednostronnych. Twierdzenie 3.45. (Arytmetyka granic niew laściwych) Niech X R, x 0 R {, + } jest punktem skupienia zbioru X, f, g : X R. Wówczas: 1. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie < a + i lim x x0 g(x) = +, to lim x x0 (f(x) + g(x)) = +. 2. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie a < + i lim x x0 g(x) = +, to lim x x0 (f(x) g(x)) =. 3. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie 0 < a < + i lim x x0 g(x) = ±, to lim x x0 (f(x) g(x)) = ±. 4. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie a < 0 i lim x x0 g(x) = ±, to lim x x0 (f(x) g(x)) =. 36

5. Jeśli lim x x0 f(x) = a R i lim x x0 g(x) = ± oraz g(x) = 0, to lim x x0 f(x) g(x) = 0. 6. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie 0 < a + i lim x x0 g(x) = 0, g(x) > 0, to lim x x0 f(x) g(x) = +. 7. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie 0 < a + i lim x x0 g(x) = 0, g(x) < 0, to lim x x0 f(x) g(x) =. 8. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie < a 0 i lim x x0 g(x) = 0, g(x) > 0, to lim x x0 f(x) g(x) =. 9. Jeśli lim x x0 f(x) = a, gdzie < a 0 i lim x x0 g(x) = 0, g(x) < 0, to lim x x0 f(x) g(x) = +. 3.7 Asymptoty Definicja 3.46. Niech f : X R, a R. Prosta x = a jest asymptota pionowa lewostronna funkcji f w punkcie a, jeśli lim x a f(x) = ±. Definicja 3.47. Niech f : X R, a R. Prosta x = a jest asymptota pionowa prawostronna funkcji f w punkcie a, jeśli lim x a + f(x) = ±. Przyk lad 3.48. Funkcja f(x) = tg(x), x ( π, + π) ma asymptote 2 2 pionow a prawostronna x = π i asymptote 2 pionow a lewostronna x = + π. 2 Zadanie 3.49. Czy funkcja g(x) = 1, x R {0}, ma asymptote x pionow a? Definicja 3.50. Niech f : X R, a R. Prosta x = a jest asymptota pionowa funkcji f w punkcie a, jeśli lim x a f(x) = + (odp. lim x a f(x) = ). Definicja 3.51. Niech f : X R, a R Prosta x = a jest asymptota pozioma funkcji f w punkcie + (odp. w ), jeśli lim x + f(x) = a (odp. lim x f(x) = a). Przyk lad 3.52. Funkcja f(x) = 1, x R {0}, ma asymptote x poziom a y = 0 dla x i x +. Analogicznie funkcja f(x) = 1 sin(x). x W poprzednim podrozdziale policzyliśmy granice tych funkcji. Zadanie 3.53. Czy funkcja f(x) = arctg(x), x R ma asymptoty poziome?. 37

Definicja 3.54. Niech f : X R, a R. Prosta y = ax + b jest asymptota ukośna funkcji f w punkcie + (odp. w ), jeśli lim x + [f(x) (ax + b)] = 0 (odp. lim x [f(x) (ax + b)] = 0). Twierdzenie 3.55. Prosta y = ax + b jest asymptota ukośna funkcji f w ± wtedy i tylko f(x) wtedy, gdy jeśli lim x ± = a i lim x x ± (f(x) ax) = b. 38

4 Ciag lość funkcji 4.1 Definicje ciag lości funkcji w punkcie Definicja 4.1. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 X jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Mówimy, że funkcja f jest ciag la w punkcie x 0, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [ x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < ε]. Wówczas piszemy f C({x 0 }). Definicja 4.2. (wg Heinego) Niech X R, x 0 X jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Mówimy, że funkcja f jest ciag la w punkcie x 0, jeśli [ ] {x n } n N X; lim x n = x 0 = lim f(x n ) = f(x 0 ). Wówczas piszemy f C({x 0 }). Twierdzenie 4.3. Definicja Cauchy ego ciag lości funkcji w punkcie jest równoważna definicji Heinego ciag lości funkcji w punkcie. Definicja 4.4. Niech X R, f : X R. Mówimy, że funkcja f jest ciag la na zbiorze X, jeśli jest ciag la w każdym punkcie zbioru X. Ozn. f C(X). Twierdzenie 4.5. (O dzia laniach na funkcjach ciag lych) Niech X R, x 0 X jest punktem skupienia zbioru X, f, g : X R. Za lóżmy, że f i g sa funkcjami ciag lymi w x 0. Wówczas: 1. f(x) jest ciag la w x 0, 2. αf(x) jest ciag la w x 0, dla dowolnego α R, 3. (f ± g) jest ciag la w x 0, 4. f g jest ciag la w x 0, 5. f jest ci ag la g w x 0, o ile g(x 0 ) = 0. Zadanie 4.6. Czy implikacja odwrotna do implikacj wymienionej w punkcie (1) jest prawdziwa? Twierdzenie 4.7. (O ciag lości superpozycji) Niech X 1, X 2 R, f : X 1 X 2, g : X 2 R. Jeśli f jest ciag la w punkcie x 0 X 1 i g jest ciag la w y 0 = f(x 0 ) X 2, to g f jest ciag la w x 0. 39

Dowód. Z definicji ciag lości funkcji g w punkcie y 0 wynika, że ε > 0 δ > 0 y X 2 [ y y 0 < δ = g(x) g(x 0 ) < ε]. (4.1) Z definicji ciag lości funkcji f w punkcie x 0 wynika, że Stad z (4.1) i (4.2) wynika δ > 0 η > 0 x X 1 [ x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) < δ]. (4.2) ε > 0 η > 0 x X 1 x x 0 < η = f(x) f(x 0 ) = y y 0 < δ co oznacza, że g f jest ciag la w x 0. = (g f)(x) (g f)(x 0 ) < ε 4.2 Ciag lość funkcji elementarnych cz. I Lemat 4.8. Niech f : X R, f(x) = const, to f C(X). Lemat 4.9. Niech f : R R, f(x) = x, to f C(R). Dowód. Pokażemy, że dla dowolnego x 0 R, f C({x 0 }). Ustalmy x 0 R. Wtedy ε > 0 δ > 0 (przyjać δ = ε) takie, że x R [ x x 0 < δ = f(x) f(x 0 ) = x x 0 < δ = ε]. Ponieważ x 0 R jest dowolnym punktem, zatem f C(R). Z powyższego twierdzenia i twierdzenia 4.5 wynika, że Twierdzenie 4.10. Każdy wielomian jest funkcja ciag l a na R. Dowód. Niech α R. Wtedy f(x) = αx C(R) (z drugiego podpunktu tw. 4.5). Ponadto dla każdego n N, funkcja f(x) = x n jest ciag la na R (z czwartego podpunktu tw. 4.5). Stad na mocy trzeciego podpunktu f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 jest funkcja ciag l a na R. Twierdzenie 4.11. Funkcje trygonometryczne sa funkcjami ciag lymi w swojej dziedzinie. 40

Dowód. Pokażemy, że sin x C(R). Dowód dla cos x jest analogiczny. Niech x 0 R. Mamy pokazać, że ε > 0 δ > 0 x R [ x x 0 < δ = sin x sin x 0 < ε]. Wiemy, że ( ) ( ) ( ) sin x sin x 0 = x 2 sin x0 x + x0 cos x 2 2 2 sin x0 2 x x 0 2 2. Wystarczy przyjac δ := ε. Wtedy sin x sin x 0 x x 0 < δ = ε. Funkcje tgx i ctgx sa ciag le w swojej dziedzinie. Wynika to z ciag lości funkcji sin x, cos x oraz z twierdzenia 4.5. Zadanie 4.12. Podać przyk lad funkcji, która nie jest ciag la w żadnym punkcie swojej dziedziny. Odp. Funkcja Dirichleta χ(x) := 4.3 Ciag lość jednostronna { 1 dla x Q 0 dla x R Q. Definicja 4.13. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 X jest punktem skupienia zbioru X (x 0, + ), f : X R. Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciag la w x 0, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [x [x 0, x 0 + δ) = f(x) f(x 0 ) < ε]. Definicja 4.14. (wg Cauchy ego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru (, x 0 ) X, f : X R. Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciag la w x 0, jeśli ε > 0 δ > 0 x X [x (x 0 δ, x 0 ] = f(x) f(x 0 ) < ε]. Definicja 4.15. (wg Heinego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X (x 0, + ), f : X R. Mówimy, że funkcja f jest prawostronnie ciag la x 0, jeśli [ ] {x n } n N X [x 0, + ); lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g. Definicja 4.16. (wg Heinego) Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X (, x 0 ), f : X R. Mówimy, że funkcja f jest lewostronnie ciag la w x 0, jeśli [ ] {x n } n N X (, x 0 ]; lim x n = x 0 = lim f(x n ) = g. 41

Twierdzenie 4.17. Niech X R, x 0 R jest punktem skupienia zbioru X, f : X R. Wtedy f jest ciag la w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciag la. Zadanie 4.18. Czy nastepuj ace funkcje sa jednostronnie ciag le? { x 3 x > 0, f(x) = x x 0. { arctang( 1) x R {0} g(x) = x π x = 0. 2 Znaleźć asymptoty wykresu funkcji f(x) i g(x). 4.4 W lasności funkcji ciag lych cz. I Wykażemy teraz użyteczny lemat mówiacy, że jeśli funkcja ciag la jest dodatnia (ujemna) w pewnym punkcie, to jest także dodatnia (ujemna) w pewnym otoczeniu tego punktu. Lemat 4.19. (o zachowaniu znaku w otoczeniu) Jeśli X R, x 0 X oraz funkcja f : X R jest ciag la w punkcie x 0, to: 1. jeśli f(x 0 ) > 0, to istnieje δ > 0 taka, że dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) zachodzi, że f(x) > 0. 2. jeśli f(x 0 ) < 0, to istnieje δ > 0 taka, że dla każdego x (x 0 δ, x 0 + δ) zachodzi, że f(x) < 0. Dowód. Za lóżmy, że gdy f(x 0 ) > 0. Dowód w drugim przypadku jest analogiczny. Z ciag lości funkcji w punkcie x 0 wynika, że ε > 0 δ > 0 x R, [ x x < δ = f(x) f(x 0 ) < ε]. Weźmy ε > 0 takie, że 0 < ε < f(x 0 ). Wtedy istnieje δ > 0 taka, że dla x x 0 < δ zachodzi ε < f(x) f(x 0 ) < ε. Zatem ε + f(x 0 ) < f(x) < ε + f(x 0 ). Lewa nierówność dowodzi, że f(x) > 0 dla x (x 0, δ, x 0 + δ). Definicja 4.20. Mówimy, że A R jest zbiorem zwartym, jeśli z każdego ciagu {x n } A można wybrać podciag {x nk } zbieżny do granicy g A. Przyk lad 4.21. Zbiór A = (0, 1) R nie jest zwarty. Uwaga 4.22. Każdy odcinek I = [a, b] R (a =, b = + ) jest zwarty. 42

Twierdzenie 4.23. Niech X R. domkniety i ograniczony. Zbiór X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest Twierdzenie 4.24. (Tw. Weierstrassa I) Niech I = [a, b] R (a =, b = + ). Jeśli f C(I), to f jest ograniczona tzn. istnieje 0 M < + takie, że dla każdego x [a, b] zachodzi f(x) M. Dowód. Przypuśmy, że f nie jest ograniczona (jest to dowód nie wprost), czyli M R x M [a, b] : f(x M ) > M. (4.3) Niech M = n N. Wtedy istnieje x n [a, b]. Tak otrzymamy ciag {x n } n N [a, b]. Z twierdzenia Bolzano-Weierstrasa można wybrać z ciagu {x n } n N podciag zbieżny x nk x 0 [a, b]. Z ciag lości funkcji f w punkcie x 0 wynika, że lim nk f(x nk ) = f(x 0 ) co przeczy (4.3), ponieważ n k, to f(x nk ) > n k dla n wiekszych od pewnego n 0. Otrzymana sprzeczność kończy dowód. Prawdziwa jest twierdzenie ogólniejsze.. Twierdzenie 4.25. Jeśli A R jet zwarty i f C(A) to f jest ograniczona tzn. istnieje 0 M < + takie, że dla każdego x A zachodzi f(x) M. Twierdzenie 4.26. (Tw. Weierstrassa II) Niech I = [a, b] R (a =, b = + ). Jeśli f C(I), to funkcja f osiaga swoje kresy, to znaczy, że istnieja punkty x m, x M I takie, że f(x m ) = inf x I f(x) i f(x M ) = sup x I f(x). Dowód. Z poprzedniego twierdzenia Weierstrassa wiemy, że zbiór wartości f([a, b]) jest ograniczony. Zatem istnieje M R taki, że sup f(x) = M. x [a,b] To oznacza, że dla każdego x [a, b] zachodzi f(x) M. Przypuśćmy, że nie istnieje taki punkt x 0 [a, b], dla którego f(x 0 ) = sup x [a,b] f(x). Stad x [a, b] f(x) < M. 1 Rozważmy funkcje pomocnicza g : [a, b] R, g(x) =. Jest to funkcja ci ag la M f(x) jako iloraz funkcji ciag lych, ponadto jest dobrze zdefiniowana, bo f(x) = M. Z Twierdzenia Weierstrassa I wynika, że g jest ograniczona tzn. M 1 > 0 x [a, b] g(x) M 1 = x [a, b] f(x) M 1 M 1 < M. 43