Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2008/09

Egzamin z wyk ladu monograficznego Poje ecia, terminologia i notacja: Podstawy algebry ogóolnej i teorii kategorii semestr zimowy 2008/09 Przyjmujemy zwyk la definicjee sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorfizmu; poniżej wykorzystujemy standardowaa notacje z wyk ladu. Rozważmy dowolna sygnature Σ = S, Ω. Kwitnaca Σ-algebra to dowolna Σ-algebra, któorej elementy moga byćc paczkami, kwiatkami lub ga la azkami, któore moga na sobie wzajemnie rosnaćc. Ponadto, ga lazki moga byćc uciete. To znaczy, w kwitnacej Σ-algebrze A, dla każdego elementu a A s nośnika algebry, zachodzi dok ladnie jedna z trzech możliwości: albo a jest kwiatkiem, co be edziemy zapisywaćc jako K A (a); albo a jest paczkiem, co bedziemy zapisywaćc jako P A (a); albo a jest ga lazka a; wóowczas a może też byćc ucieta, co bedziemy zapisywaćc jako U A (a) (uwaga: uciete moga byćc tylko ga lazki). Ponadto, element a rodzaju s może rosnaćc na pewnym elemencie a tego samego rodzaju s, co bedziemy zapisywaćc jako R A (a) = a. Wymagamy, by wszystkie kwiatki i paczki ros ly na pewnych elementach (któore nie musza byćc ga la azkami). Σ-homomorfizm kwitnacych Σ-algebr h : A B to taki Σ-homomorfizm algebr h : A B, któory przeprowadza kwiatki na kwiatki (tzn., jeśli K A (a) to K B (h(a))), paczki na paczki lub kwiatki (tzn., jeśli P A (a) to P B (h(a)) lub K B (h(a))), a ga lazki na paczki, ga lazki lub kwiatki ale uciete ga lazki pozostajaa ucietymi ga lazkami (tzn., U A (a) implikuje U B (h(a))) oraz zachowuje elementy, na któorych rosna kwiatki i paczki (tzn., R A (a) = a implikuje R B (h(a)) = h(a )). Rozważamy Σ-formu ly nastepuja acej postaci: X.(K(T ) P(T )) K(t); gdzie X jest S-rodzajowym zbiorem zmiennych, a T, T i {t} sa zbiorami Σ-termóow ze zmiennymi z X. Gdy T = to formu le powyższej postaci nazywamy Σ-K-formu la i zapisujemy jako X.K(T ) K(t). Spe lnianie Σ-formu l przez kwitnace Σ-algebry A definiujemy jak nastepuje: A = X.(K(T ) P(T )) K(t) gdy K A (t A [v]) (tzn., wartośćc t A [v] termu t w algebrze A przy wartościowaniu v jest kwiatkiem) dla każdego wartościowania zmiennych v : X A takiego, że dla t T, K A (t A [v]) (tzn., t A [v] jest kwiatkiem) oraz dla t T, P A (t A [v]) (tzn., t A [v] jest pa aczkiem). Dla dowolnej sygnatury Σ i dowolnego zbioru Σ-formul Φ, definiujemy nastepuja ace kategorie: KPUAlg(Σ, Φ) kategoria wszystkich kwitnacych Σ-algebr spe lniajacych Φ, z homomorfizmami jak wyżej. KPAlg(Σ, Φ) pe lna podkategoria KPUAlg(Σ, Φ) wyznaczona przez wszystkie kwitnace Σ-algebry bez ucietych ga lazek. Alg(Σ, Φ) pe lna podkategoria KPUAlg(Σ, Φ) wyznaczona przez wszystkie kwitnace Σ-algebry, w któorych wszystkie elementy sa nieucietymi ga lazkami, któore nie rosna na niczym (czyli jest to pewna kategoria zwyk lych Σ-. Pusty zbióor formu l w powyższych oznaczeniach pomijamy; zatem na przyk lad Alg(Σ) jest kategoriaa wszystkich Σ-algebr (bez kwiatkóow, paczkóow i ucietych ga lazek, gdzie zadna ga lazka nie rośnie na niczym). Rozważamy też nastepuja ace funktory: G Σ,Φ : KPUAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ) funktor, któory zapomina o tym, że niektóore ga lazki sa uciete. 1

Z Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) Alg(Σ) funktor, któory zapomina o podziale elementóow na kwiatki, paczki i ga lazki, oraz o tym, że elementy moga rosnaćc jeden na drugim. Zadanie: Ze szkicem rozwiazań (mam nadzieje, że bez wiekszych b ledóow :-) Któore z poniższych stwierdzeń sa prawdziwe dla dowolnej sygnatury Σ? Udowodnij lub uzasadnij odpowiedź negatywna. 1. Kategoria KPUAlg(Σ) jest NIE: Niech Σ bedzie sygnaturaa ze sta laa c, a A i B kwitnacymi Σ-algebrami takimi, że K A (c A ) oraz U B (c B ). Dla żadnej kwitnacej Σ-algebry C nie moga istniećc jednocześnie Σ-homomorfizmy h 1 : A C i h 2 : B C. Zatem w KPUAlg(Σ) nie istnieje ani obiekt końcowy, ani koprodukt A i B. 2. Dla dowolnego zbioru Σ-K-formu l Φ, kategoria KPAlg(Σ, Φ) jest TAK: Rozważmy w KPAlg(Σ, Φ) dowolny diagram D ze zbiorem wierzcho lkóow N. Niech P z Σ-homomorfizmami π n : P Z Σ,Φ (D n ), n N, bedzie granicaa diagramu Z Σ,Φ (D) w Alg(Σ) (ta granica istnieje na mocy faktu znanego z wyk ladu). Zdefiniujmy jak nastepuje kwitnaca a Σ-algebree P KPAlg(Σ) taka, że Z Σ, (P ) = P : dla a P, K P (a) wtedy i tylko wtedy, gdy K Dn (π n (a)) dla wszystkich n N; dla a P, P P (a) wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich n N, K Dn (π n (a)) lub P Dn (π n (a)), ale też dla pewnego n N nie zachodzi K Dn (π n (a)); dla a, a P, R P (a) = a wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich n N, R Dn (π n (a)) = π n (a ). Wóowczas, π n : P D n sa homomorfizmami kwitnacych Σ-algebr i tworza stożek w KPAlg(Σ). Co wiecej, dla dowolnej Σ-K-formu ly ϕ X.K(T ) K(t), jeśli dla wszystkich n N, D n = ϕ to także P = ϕ. Niech bowiem v: X P i K P (t P [v]) dla t T. Wóowczas dla wszystkich n N, K Dn (π n (t P [v])) i K D n (t P [v;π n]) (bo oczywiście π n (t P [v]) = t P [v;π n]), wiec także K Dn (t P [v;π n ]) i K Dn (π n (t P [v])) (bo π n (t P [v]) = t P [v;π n ]), i dalej, z definicji P, K P (t P [v]). Zatem, P KPAlg(Σ, Φ). Latwo sprawdzićc, że stożek π n : P D n, n N, jest granicaa D w KPAlg(Σ, Φ): dla dowolnego stożka h n : Q D n, n N, nad D w KPAlg(Σ, Φ), jedyny Σ-homomorfizm k: Z Σ,Φ (Q) P w Alg(Σ) taki, że dla n N, k;π n = h n, jest też (jedynym) homomorfizmem kwitnacych Σ-algebr k: Q P o tej w lasności. TAK: Najpierw pokażemy kozupe lnośćc KPAlg(Σ) (czyli dla przypadku Φ = ). Rozważmy w KPAlg(Σ) dowolny diagram D ze zbiorem wierzcho lkóow N. Niech C z Σ-homomorfizmami n : Z Σ, (D n ) C, n N, bedzie kogranicaa diagramu Z Σ, (D) w Alg(Σ) (ta kogranica istnieje na mocy faktu znanego z wyk ladu). Niech teraz bedzie najmniejszaa kongruencja na C taka, że dla wszystkich n 1, n 2 N, a 1, a 1 D n1 takich, że R Dn1 (a 1 ) = a 1, oraz a 2, a 2 D n 2 takich, że R Dn2 (a 2 ) = a 2, jeśli n 1 (a 1 ) n2 (a 2 ) to n1 (a 1 ) n 2 (a 2 ). Niech C/ be edzie algebraa ilorazowa, a dla n N, niech n: D n C/ bedzie z lożeniem n z naturalnym homomorfizmem ilorazowym [ ] : C C/. Zdefiniujmy jak nastepuje kwitnaca a Σ-algebree C KPAlg(Σ) taka, że Z Σ, (C ) = C/. Najpierw zdefiniujmy dwa (wielorodzajowe) podzbiory K C/ i KP C/ : K = {[ n (a)] n N, a D n i K Dn (a)} 2

KP = {[ n (a)] n N, a D n i (P Dn (a) lub K Dn (a))}. Definiujemy teraz: dla a C, K C ([a] ) wtedy i tylko wtedy, gdy [a] K; dla a C, P C ([a] ) wtedy i tylko wtedy, gdy [a] KP, ale [a] K; dla a, a C, R C ([a] ) = [a ] wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego n N, oraz a n, a n D n zachodzi R Dn (a n ) = a n oraz n (a n ) a i n (a n) a. UWAGA: latwo sprawdzićc, że jeśli [a] jest w C kwiatkiem lub paczkiem, to na czymś rośnie. Teraz, n: D n C, n N, sa homomorfizmami kwitnacych Σ-algebr i tworza kostożek w KPAlg(Σ). Latwo sprawdzićc, że kostożek n: D n P, n N, jest kogranicaa D w KPAlg(Σ): dla dowolnego kostożka h n : D n Q, n N, nad D w KPAlg(Σ), jedyny Σ-homomorfizm k: C Z Σ, (Q) w Alg(Σ) taki, że dla n N, n ;k = h n ma jadro zawierajace. Istnieje zatem jedyny Σ- homomorfizm k : C/ Z Σ,Φ (Q) taki, że [ ] ;k = k. Co wiecej, k : C Q jest homomorfizmem kwitnacych Σ-algebr. Zachodzi też n;k = n ;k = h n, dla n N i k jest jedynym homomorfizmem kwitnacych Σ-algebr o tej w lasności. Zatem KPAlg(Σ) jest kozupe lna. Dalej, skorzystajmy z faktu w dowodzonego poniżej: inkluzja I Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ) ma lewy sprzeżony F Σ,Φ : KPAlg(Σ) KPAlg(Σ, Φ), przy czem z lożenie I Σ,Φ ;F Σ,Φ jest identycznościa na KPAlg(Σ, Φ). Teraz, ponieważ lewe sprzeżone zachowujaa kogranice, kogranicaa dowolnego diagramu w KPAlg(Σ, Φ) jest obraz wzgledem F Σ,Φ jego kogranicy w KPAlg(Σ) co dowodzi kozupe lności KPAlg(Σ, Φ). 3. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, kategoria KPAlg(Σ, Φ) jest NIE: Niech Σ bedzie sygnaturaa ze sta lymi a, b, c. Rozpatrzmy Σ-formu le ϕ K(a) P(b) K(c) (przy oczywistych konwencjach notacyjnych dla pustych i singletonowych zbioróow zmiennych i termóow). Niech A, B, C, D beda kwitnacymi Σ-algebrami takimi, że: K A (a A ), P A (b A ) i K A (c A ), K B (a B ), K B (b B ) i c B jest ga lazka a w B, P C (b C ), a C i c C sa ga lazkami w C, K D (a D ), b D i c D sa ga lazkami w D oraz istnieja homomorfizmy kwitnacych Σ-algebr h 1 : C A i h 2 : C B oraz h 1 : D A i h 2 : D B.1 Wóowczas A, B, C, D KPAlg(Σ, {ϕ}). W KPAlg(Σ, {ϕ}) nie istnieje produkt A i B: gdyby bowiem P z homomorfizmami π 1 : P A i π 2 : P B by l takim produktem, to istnia lyby homomorfizmy kwitnacych Σ-algebr k: C P oraz k : D P, i wóowczas w P : a P jest kwiatkiem (bo k jest homomorfizmem kwitnacych b P jest paczkiem (bo k i π 1 sa homomorfizmami kwitnacych c P jest ga la azka a (bo π 2 jest homomorfizmem kwitnacych. Zatem P = ϕ sprzecznośćc. NIE: Niech Σ bedzie sygnaturaa ze sta lymi a, b, c. Rozpatrzmy Σ-formu le ϕ P(a) P(b) K(c). Niech A, B, C, D beda kwitnacymi Σ-algebrami takimi, że: P A (a A ), b A i c A sa ga lazkami w A, P B (b B ), a B i c B sa ga lazkami w B, 1 Takie algebry zawsze można skonstruowaćc. Na potrzeby tych kontrprzyk ladóow można przyjaćc, że sygnatura Σ jest jednorodzajowa i nie zawiera innych operacji niż wymienione sta le, a algebry majaa nośniki trzyelementowe, z lożone ze wzajemnie róożnych wartości tych sta lych, z któorych każda rośnie na niej samej. 3

P C (a C ), K C (b C ) i c C jest ga lazka a w C, K D (a D ), P D (b D ) i c D jest ga la azka a w D, oraz istnieja Σ-homomorfizmy kwitnacych algebr h 1 : A C i h 2 : B C oraz h 1 : A D i h 2 : B D.1 Wóowczas A, B, C, D KPAlg(Σ, {ϕ}). W KPAlg(Σ, {ϕ}) nie istnieje koprodukt A i B: gdyby bowiem P z homomorfizmami 1 : A P i 2 : B A by l takim koproduktem, to istnia lyby homomorfizmy kwitnacych Σ-algebr k: P C oraz k : P D, i wóowczas w P : P P (a P ) (bo 1 i k sa homomorfizmami kwitnacych P P (b P ) (bo 2 i k sa homomorfizmami kwitnacych c P jest ga la azka a (bo k jest homomorfizmem kwitnacych. Zatem P = ϕ sprzecznośćc. 4. Dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, kategoria Alg(Σ, Φ) jest NIE: Niech Σ bedzie sygnaturaa ze sta laa c, a Φ niech zawiera formu le K(c) (przy oczywistych konwencjach notacyjnych dla formu l z pustymi zbiorami zmiennych i termóow). Wóowczas Alg(Σ, Φ) jest kategoriaa pusta, w szczegóolności nie ma w niej ani obiektu końcowego, ani poczatkowego. 5. Funktor Z Σ, : KPAlg(Σ) Alg(Σ) ma TAK: Lewym sprzeżonym do Z Σ, jest funktor N Σ : Alg(Σ) KPAlg(Σ), któory każdaa Σ-algebree A czyni kwitnaca a Σ-algebraa N Σ (A), uznajac wszystkie jej elementy za ga lazki, któore na niczym nie rosna. Jednościa jest rodzina homomorfizmóow identycznościowych. Jeśli bowiem A Alg(Σ), B KPAlg(Σ) i h: A Z Σ, (B) w Alg(Σ), to także h: N Σ (A) B w KPAlg(Σ), i oczywiście jest to jedyny morfizm w KPAlg(Σ) taki, że id A ;h = h. (b) prawy sprze NIE: Z Σ, nie zachowuje kogranic, patrz konstrukcja kogranic w KPAlg(Σ) powyżej. 6. Dla dowolnego zbioru Σ-K-formu l Φ, funktor Z Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) Alg(Σ) ma TAK: Funktor Z Σ, : KPAlg(Σ) Alg(Σ) ma lewy sprzeżony (patrz powyżej). Wystarczy zatem pokazaćc, że inkluzja I Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ) też ma lewy sprzeżony F Σ,Φ : KPAlg(Σ) KPAlg(Σ, Φ). Niech A KPAlg(Σ). Niech Σ + bedzie sygnaturaa algebraicznaa powsta la a przez dodanie do Σ symboli funkcyjnych R s : s s, dla każdego rodzaju s w Σ. Rozpatrzmy algebree Σ + -termóow z elementami A jako zmiennymi, T Σ +( A ). Niech (wielorodzajowa) relacja T Σ +( A ) T Σ +( A ) i (wielorodzajowe) zbiory K, KP T Σ +( A ) beda najmniejsze takie, że: 2 a a dla a A, jest symetryczna i przechodnia, jest congruentna wzgle edem operacji w Σ, jeśli t t i R(t) R(t) to R(t) R(t ), dla każdej n-argumentowej operacji f w Σ oraz a 1,..., a n A (odpowiednich rodzajóow), f A (a 1,..., a n ) f(a 1,..., a n ), dla a, a A takich, że R A (a) = a, R(a) a, dla a A takich, że K A (a), a K, 2 Dla czytelności pomijam indeksy wskazujace rodzaje. 4

dla a A takich, że P A (a), a KP, K KP, dla każdej Σ-K-formu ly X.K(T ) K(t) w Φ, dla każdego wartościowania v: X T Σ +( A ), jeśli t T Σ + ( A ) [v] K dla wszystkich t T to także t TΣ + ( A )[v] K, jeśli t KP to R(t) R(t). Niech teraz D bedzie Σ-algebraa Σ + -termóow o nośniku D = {t t t} T Σ +( A ) (zbióor ten jest zamkniety ze wzgledu na operacje w Σ). Relacja jest kongruencja na D. Niech D/ bedzie Σ-algebraa ilorazowa. Zdefinujmy jak nastepuje kwitnaca a Σ-algebree F Σ,Φ (A) taka, że Z Σ, (F Σ,Φ (A)) = D/ : dla t D, K FΣ,Φ (A)([t] ) wtedy i tylko wtedy, gdy t K dla pewnego t D takiego, że t t; dla t D, P FΣ,Φ (A)([t] ) wtedy i tylko wtedy, gdy t KP dla pewnego t D takiego, że t t, ale dla żadnego takiego t nie zachodzi t K; dla t, t D, R FΣ,Φ (A)([t] ) = [t ] wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego t 0 takiego, że t 0 t, R(t 0 ) t. Po pierwsze, zauważmy, że F Σ,Φ (A) jest dobrze zdefiniowanaa kwitnaca a Σ-algebra, któora spe lnia wszystkie formu ly w Φ. Dalej, ponieważ latwo sprawdzićc, że jest identycznościa na A to bez zmniejszania ogóolności (z dok ladnościaa do izomorfizmu) dla a A możemy utożsamiaćc a z [a] ; w szczegóolności, Z Σ, (A) jest wóowczas podalgebraa D/. Niech η A : Z Σ, (A) D/ bedzie inkluzja. Latwo sprawdzićc z definicji F Σ,Φ (A), że η A : A F Σ,Φ (A) jest homomorfizmem w KPAlg(Σ, Φ). Zauważmy jeszcze, że jeśli A spe lnia wszystkie formu ly w Φ, to η A jest identycznościa kwitnacych Σ-algebr. Teraz: F Σ,Φ (A) z jednościa η A : A F Σ,Φ (A) jest obiektem wolnym nad A wzgledem funktora I Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ). Niech bowiem B KPAlg(Σ, Φ) i niech h: A B bedzie homomorfizmem kwitnacych Σ-algebr. W naturalny sposóob B daje cześciowa Σ + -algebree B +, gdzie wszystkie operacje z Σ sa zdefiniowane jak w B, a operacje R sa zdefiniowane zgodnie z funkcja rośnie na w kwitnacej algebrze B. Przez indukcje wzgledem definicji D,, K i KP w T Σ +( A ) latwo pokazaćc, że: dla t D, t B +[h], wartośćc termu t w algebrze cze eściowej B + przy wartościowaniu zmiennych h: A B, jest określona; dla t, t D, jeśli t t to t B +[h] = t B + [h]; dla t D, jeśli t K to K B (t B +[h]); dla t D, jeśli t KP to K B (t B +[h]) lub P B (t B +[h]). Z tego już wynika, że homomorfizm h: A B rozszerza sie e jednoznacznie do homomorfizmu h : F Σ,Φ (A) B takiego, że η A ;h = h, co kończy dowod. (b) prawy sprze NIE: patrz argument powyżej dla szczegóolnego przypadku (Φ = ). 7. Funktor G Σ, : KPUAlg(Σ) KPAlg(Σ) ma TAK: Funktor inkluzji J Σ : KPAlg(Σ) KPUAlg(Σ) jest lewym sprzeżonym do G Σ,, z jednościa, któora jest rodzina homomorfizmóow identycznościowych. Niech bowiem A KPAlg(Σ), B KPUAlg(Σ) i h: A G Σ, (B) w KPAlg(Σ). Wóowczas także h: A B w KPUAlg(Σ), i oczywiście jest to jedyny morfizm w KPUAlg(Σ) taki, że id A ;G Σ, (h) = h. UWAGA: Tak samo: dla dowolnego zbioru Σ-formu l Φ, funktor G Σ,Φ : KPUAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ, Φ), któory zapomina o tym, że niektore ga lazki sa u lamane, ma lewy sprzeżony, któory jest funktorem inkluzji J Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) KPUAlg(Σ, Φ). 5

(b) prawy sprze NIE: Gdyby istnia l prawy sprze eżony do G Σ,, to zachowywa lby on granice, wie ec ponieważ KPAlg(Σ) jest zupe lna (patrz powyżej), to istnia lby obiekt końcowy w KPUAlg(Σ, ) a nie istnieje, patrz powyżej. 8. Dla dowolnego zbioru Σ-K-formu l Φ, funktor G Σ,Φ : KPUAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ) ma TAK: Przedstawmy G Σ,Φ jako z lożenie G Σ,Φ = G Σ,Φ ;I Σ,Φ, gdzie G Σ,Φ : KPUAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ, Φ) zosta l zdefiniowany powyżej, a I Σ,Φ : KPAlg(Σ, Φ) KPAlg(Σ) jest funktorem inkluzji. Ponieważ G Σ,Φ i I Σ,Φ majaa lewe sprzeżone (patrz powyżej) to i ich z lożenie ma lewy sprz (b) prawy sprze NIE: patrz szczegóolny przypadek (Φ = ) powyzej. 6