Egzamin z wykªadu monogracznego. Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12. Poj cia, terminologia i notacja:

Transkrypt

1 Egzamin z wykªadu monogracznego Poj cia, terminologia i notacja: Teoria kategorii w podstawach informatyki semestr zimowy 2011/12 Przyjmujemy zwykª denicj sygnatury algebraicznej Σ, Σ-algebry i Σ-homomorzmu; wykorzystujemy standardow notacj z wykªadu. Krata zupeªna P = P, to zbiór P z relacj (cz ±ciowego) porz dku P P tak,»e ka»dy podzbiór X P ma kres górny X w P (co implikuje istnienie kresów dolnych). Okratowan sygnatur nazwiemy ka»d par Σ, P, gdzie Σ to sygnatura algebraiczna a P to krata zupeªna. Niech Σ, P, gdzie Σ = S, Ω i P = P,, b dzie tak okratowan sygnatur. P-okratowan Σ-algebr nazwiemy par A, p, gdzie A to Σ-algebra, a p = p s : A s P s S jest rodzin funkcji odwzorowuj cych elementy no±ników algebry w krat. Σ-homomorzm h: A B jest przyzwoitym homomorzmem P-okratowanych Σ-algebr A, p i B, q je±li dla ka»dego rodzaju s S i a A s, p s (a) q s (h(a)). P-okratowana Σ-algebra A, p jest przyzwoita gdy dla ka»dej operacji f : s 1... s n s w Σ i elementów a 1 A s1,..., a n A sn, p si (a i ) p s (f A (a 1,..., a n )) dla i = 1,..., n. Deniujemy nast puj ce kategorie: Set S : kategoria S-rodzajowych zbiorów i funkcji mi dzy nimi, jak zwykle. Alg(Σ, P): kategoria P-okratowanych Σ-algebr i zwykªych Σ-homomorzmów mi dzy ich algebrami, PAlg(Σ, P): kategoria P-okratowanych Σ-algebr i przyzwoitych homomorzmów mi dzy nimi. PPAlg(Σ, P): kategoria przyzwoitych P-okratowanych Σ-algebr i przyzwoitych homomorzmów mi dzy nimi. Mo»e warto zauwa»y,»e PPAlg(Σ, P) jest (peªn ) podkategori kategorii PAlg(Σ, P), która z kolei jest (niekoniecznie peªn ) podkategori kategorii Alg(Σ, P). Dalej, deniujemy trzy oczywiste funktory przyporz dkowuj ce algebrom ich (S-rodzajowe) no±niki a homomorzmom (S-rodzajowe) funkcje, którymi one s : G Σ,P : Alg(Σ, P) Set S PG Σ,P : PAlg(Σ, P) Set S PPG Σ,P : PPAlg(Σ, P) Set S Okratowane nierówno±ci s postaci X.t t, gdzie X jest S-rodzajowym zbiorem (zmiennych), a t T Σ (X) s i t T Σ (X) s s Σ-termami (o niekoniecznie wspólnym rodzaju) ze zmienymi X. P- okratowana Σ-algebra A, p speªnia tak nierówno±, A, p = X.t t, gdy dla ka»dego warto±ciowania zmiennych v : X A, p s (t A [v]) p s (t A [v]), gdzie jak zwykle t A[v] i t A [v] to warto±ci termów t i t, odpowiednio, w algebrze A przy warto±ciowaniu v. Niech Φ b dzie zbiorem takich okratowanych nierówno±ci. Deniujemy Alg(Σ, P, Φ), PAlg(Σ, P, Φ) i PPAlg(Σ, P, Φ) jako peªne podkategorie zdeniowanych ju» kategorii Alg(Σ, P), PAlg(Σ, P) i PPAlg(Σ, P), odpowiednio, wyznaczone przez okratowane algebry speªniaj ce wszystkie nierówno±ci w Φ. Wprowadzamy nast puj ce oznaczenia na oczywiste funktory b d ce ograniczeniami funktorów zdeniowanych powy»ej do odpowiednich podkategorii: G Σ,P,Φ : Alg(Σ, P, Φ) Set S PG Σ,P,Φ : PAlg(Σ, P, Φ) Set S PPG Σ,P,Φ : PPAlg(Σ, P, Φ) Set S Morzmem okratowanych sygnatur Σ.P i Σ, P, gdzie Σ = S, Ω, Σ = S, Ω, P = P, i P = P,, jest para σ, k : Σ, P Σ, P, gdzie σ : Σ Σ jest morzmem sygnatur algebraicznych, za± k : P P (tak, ma by kontrawariantnie) jest funkcj ci gª (zachowuj c kresy górne i dolne podzbiorów P ). Dla ka»dego morzmu σ, k : Σ, P Σ, P jak wy»ej, deniujemy funktor reduktu:

2 R σ,k : Alg(Σ, P ) Alg(Σ, P) na P -okratowanych Σ -algebrach A, p Alg(Σ, P ), deniujemy R σ,k ( A, p ) = A σ, p σ(s) ;k : A σ s P s S gdzie A σ to Σ-algebra zdeniowana jako σ-reduct Σ -algebry A ; na Σ -homomorzmach R σ,k jest po prostu reduktem wzgl dem σ, R σ,k (h ) = h σ. Funktor R σ,k zachowuje przyzwoito± okratowanych algebr i ich homomorzmów, co pozwala zdeniowa nast puj ce funktory jako jego ograniczenia do odpowiedniej podkategorii: PR σ,k : PAlg(Σ, P ) PAlg(Σ, P) PPR σ,k : PPAlg(Σ, P ) PPAlg(Σ, P) Zadanie: 1. Które z poni»szych kategorii s Z. zupeªne KZ. kozupeªne dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i, gdzie stosowne, zbioru okratowanych nierówno±ci Φ? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn. (a) Alg(Σ, P) (b) PAlg(Σ, P) (c) PPAlg(Σ, P) (d) Alg(Σ, P, Φ) (e) PAlg(Σ, P, Φ) (f) PPAlg(Σ, P, Φ) 2. Które z poni»szych funktorów maj lewy sprz»ony dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i, gdzie stosowne, zbioru okratowanych nierówno±ci Φ? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn. (a) G Σ,P : Alg(Σ, P) Set S (b) PG Σ,P : PAlg(Σ, P) Set S (c) PPG Σ,P : PPAlg(Σ, P) Set S (d) G Σ,P,Φ : Alg(Σ, P, Φ) Set S (e) PG Σ,P,Φ : PAlg(Σ, P, Φ) Set S (f) PPG Σ,P,Φ : PPAlg(Σ, P, Φ) Set S 3. Które z poni»szych funktorów maj lewy sprz»ony dla ka»dego morzmu okratowanych sygnatur σ, k : Σ, P Σ, P? Udowodnij lub uzasadnij odpowied¹ negatywn. (a) R σ,k : Alg(Σ, P ) Alg(Σ, P) (b) PR σ,k : PAlg(Σ, P ) PAlg(Σ, P) (c) PPR σ,k : PPAlg(Σ, P ) PPAlg(Σ, P) Uwagi: Mo»na korzysta z omawianych na wykªadzie konstrukcji i twierdze«bez powtarzania ich dowodów. Odpowiedzi na powy»sze pytania nie s niezale»ne. Na przykªad, w oczywisty sposób mog by powi zane zadania 1.KZ.f i 1.KZ.c: dowód kozupeªno±ci kategorii PPAlg(Σ, P, Φ) pokazywaªby te» kozupeªno± PPAlg(Σ, P), a kontrprzykªad na kozupeªno± kategorii PPAlg(Σ, P) byªby te» kontrprzykªadem na kozupeªno± PPAlg(Σ, P, Φ). W takich przypadkach wystarczy to po prostu wskaza, nie powtarzaj c argumentacji. Tak naprawd jest tu wi c mniej pyta«ni» mogªoby si wydawa na pierwszy rzut oka.

3 Szkic rozwi zania: Fakt 1 Dla dowolnej sygnatury algebraicznej Σ, kategoria Alg(Σ) jest zupeªna i kozupeªna. Dowód: Standardowy fakt i konstrukcje z wykladu. Fakt 2 Dla dowolnego morzmu sygnatur algebraicznych σ : Σ Σ, funktor σ-reduktu ma lewy sprz»ony F σ : Alg(Σ) Alg(Σ ) z jedno±ci η σ. Dowód: Standardowy fakt i konstrukcja z wykladu. Fakt 3 Dla dowolnej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru okratowanych nierówno±ci Φ, kategorie Alg(Σ) i Alg(Σ, P, Φ) s równowa»ne. Dowód: Równowa»no± jest dana przez funktor zapominaj cy o okratowaniu algebr i np. F : Alg(Σ) Alg(Σ, P, Φ), gdzie F (A) = A, p, gdzie dla s S i a A s, p (a) = = P. Wtedy F (A) = Φ, a dla ka»dej okratowanej algebry A, p Alg(Σ, P, Φ), homomorzm identyczno±ciowy id A : A, p A, p jest izomorzmem w Alg(Σ, P, Φ). Z Faktów 1 i 3 dostajemy pozytywne odpowiedzi na pytania 1.Z.a, 1.Z.d, 1.KZ.a, 1.KZ.d, a z Faktów 2 i 3 pozytywne odpowiedzi na pytania 2.a, 2.d i 3.a. Pozytywn odpowied¹ na pytanie 1.Z.e, oraz wynikaj c z tego natychmiast pozytywn odpowied¹ na pytanie 1.Z.b, daje nast puj cy fakt: Fakt 4 Kategoria PAlg(P, Σ, Φ) jest zupeªna dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru okratowanych nierówno±ci Φ. Dowód: Niech D b dzie dowolnym diagramem w PAlg(P, Σ, Φ), gdzie graf diagramu G(D) ma wierzchoªki N i kraw dzie E. Niech A(D) b dzie diagramem w Alg(Σ) tego samego ksztaªtu, gdzie D n = A n, p n i A(D) n = A n dla n N oraz A(D) e = D e dla e E. Niech A 0 z rzutowaniami π n : A 0 A n, n N, bedzie granic A(D) w Alg(Σ) (patrz Fakt 1). Niech dalej p 0 b dzie nast puj cym okratowaniem A 0 : dla s S, a A 0 s, p 0 (a) = {p n (π n (a)) n N} (dokªadniej: (p 0 ) s (a) = {(p n ) s ((π n ) s (a)) n N} podobnie b de pomijaª odpowiednie indeksowanie rodzajami poni»ej). Wtedy dla dowolnej nierówno±ci X.t t w Φ oraz warto±ciowania v : X A 0, poniewa» A n = Φ dla n N, wi c mamy p n (π n (t A0 [v])) = p n (t An [v;π n ]) p n (t A n [v;π n ]) = p n (π n (t A 0 [v])). Zatem p 0 (t A0 [v]) = {p n (π n (t A0 [v])) n N} {p n (π n (t A 0 [v])) n N} = p 0 (t A 0 [v]). Dostali±my wi c A 0, p 0 = Φ. Dalej, homomorzmy π n : A 0 A n, n N, s przyzwoite i tworz sto»ek nad D w PAlg(P, Σ, Φ). Niech f n : A, p A n, p n, n N, b dzie dowolnym sto»kiem nad D w PAlg(P, Σ, Φ). Niech wtedy h: A A 0 b dzie jedynym homomorzmem takim,»e dla n N, h;π n = f n. Wtedy dla s S i a A s, dla n N, p(a) p n (f n (a)) = p n (π n (h(a))), wi c p(a) {p n (π n (a)) n N} = p(h(a)). Zatem h: A, p A 0, p 0 jest przyzwoity, co dowodzi,»e A 0, p 0 z rzutowaniami π n : A 0 A n, n N, jest granic D w PAlg(P, Σ, Φ) co z kolei ko«czy dowód. Fakt 5 Dla dowolnej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru nierówno±ci Φ, kategoria PPAlg(Σ, P, Φ) jest to»sama z kategori PAlg(Σ, P, Φ Φ P ), gdzie Φ P to zbiór wszystkich nierówno±ci postaci x 1 :s 1,..., x n :s n. x i f(x 1,..., x n ) dla operacji f : s 1 s n s w Σ ortaz i = 1,..., n. Dowód: Wprost z denicji. Fakty 4 i 5 natychmiast daj pozytywne odpowiedzi na pytania 1.Z.c i 1.Z.f. Kozupeªno±, jak cz sto, jest nieco trudniejsza. Na pocz tek do± ªatwa pozytywna odpowied¹ na pytanie 1.KZ.b:

4 Fakt 6 Kategoria PAlg(P, Σ) jest kozupeªna dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P. Dowód: Niech D b dzie dowolnym diagramem w PAlg(P, Σ), gdzie graf diagramu G(D) ma wierzchoªki N i kraw dzie E. Niech A(D) b dzie diagramem w Alg(Σ) tego samego ksztaªtu, gdzie D n = A n, p n i A(D) n = A n dla n N oraz A(D) e = D e dla e E. Niech A 1 z wªo»eniami ι n : A n A 1, n N, bedzie kogranic A(D) w Alg(Σ) (patrz Fakt 1). Niech dalej p 1 b dzie nast puj cym okratowaniem A 1 : dla s S, a A 1 s, p 1 (a) = {p n (a n ) ι n (a n ) = a, n N}. Wtedy oczywi±cie homomorzmy ι n : A n A 1, n N, s przyzwoite i tworz kosto»ek nad D w Alg(P, Σ,). Niech f n : A n, p n A, p, n N, b dzie dowolnym kosto»kiem nad D w Alg(P, Σ, Φ). Niech wtedy h: A 1 A b dzie jedynym homomorzmem takim,»e dla n N, ι n ;h = f n. Dla ka»dego s S i a A 1 s, je±li dla pewnego n N i a n A n s, ι n (a n ) = a, to p n (a n ) p(f n (a n )) = p(h(a)), wiec p 1 (a) p(h(a)). Zatem h: A 1, p 1 A, p jest przyzwoity, co dowodzi,»e A 1, p 1 z wªo»eniami ι n : A n A 1, n N, jest kogranic D w Alg(P, Σ,) co z kolei ko«czy dowód. Przyda si dalej nast puj cy fakt: Fakt 7 Dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru okratowanych nierówno±ci Φ, funktor wªo»enia J Σ,P,Φ : PAlg(Σ, P, Φ) PAlg(Σ, P) ma lewy sprz»ony F Σ,P,Φ : PAlg(Σ, P) PAlg(Σ, P, Φ) taki,»e J Σ,P,Φ ;F Σ,P,Φ = Id PAlg(Σ,P,Φ). Dowód: Niech A, p b dzie dowolna okratowan Σ, P -algebr. Zbiór wszystkich okratowa«σ-algebry A z porz dkiem po wspóªrz dnych tj. q q gdy dla wszystkich s S i a A s, q(a) q (a) tworzy krat zupeªn z kresami wyznaczanymi po wspóªrz dnych tj. dla dowolnej rodziny Q okratowa«algebry A, ( Q)(a) = {q(a) q Q} dla wszystkich s S i a A s. Rozwa»my nast puj c rodzin okratowa«algebry A: Q p+φ = {q p q, A, q = Φ}. Niech q p+φ = Q p+φ. Oczywi±cie id A : A, p A, q p+φ jest przywoitym homomorzmem okratowanych algebr. Co wi cej, dla dowolnej okratowanej Σ, Φ -algebry B, q takiej,»e B, q = Φ, i przyzwoitego homomor- zmu h: A, p B, q, zachodzi p h;q oraz A, h;q = Φ. Zatem q p+φ h;q i h: A, q p+φ B, q jest przyzwoity. To pokazuje,»e A, q p+φ z jedno±ci id A : A, p A, q p+φ jest okratowan algebr w PAlg(Σ, P, Φ) woln nad A, p wzgl dem J Σ,P,Φ. Kªad c F Σ,P,Φ ( A, p ) = A, q p+φ, dostajemy J Σ,P,Φ ;F Σ,P,Φ = Id PAlg(Σ,P,Φ), bo je±li A, p = Φ to q p+φ = p. Teraz ju» ªatwo o pozytywn odpowied¹ na pytanie 1.KZ.e: Fakt 8 Kategoria PAlg(Σ, P, Φ) jest kozupeªna dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru okratowanych nierówno±ci Φ. Dowód: Niech D b dzie dowolnym diagramem w PAlg(Σ, P, Φ). Rozwa»my diagram J Σ,P,Φ (D) w PAlg(Σ, P). Z Faktu 6 ma on kogranic. Poniewa» lewe sprz»one zachowuj kogranice, wi c z Faktu 7 diagram F Σ,P,Φ (J Σ,P,Φ (D)) ma kogranic (która jest obrazem wzgl dem F Σ,P,Φ kogranicy diagramu J Σ,P,Φ (D) w PAlg(Σ, P)). Ale, wci» z Faktu 7, F Σ,P,Φ (J Σ,P,Φ (D)) = D, co ko«czy dowód. Fakty 8 i 5 natychmiast daj pozytywne odpowiedzi na pytania 1.KZ.c i 1.KZ.f. Pozytywn odpowied¹ na pytanie 2.e, oraz natychmiast wynikaj ce z niej pozytywne odpowiedzi na pytania 2.b, 2.f i 2.c (2.f przez Fakt 5) daje nast puj cy ªatwy fakt: Fakt 9 Funktor PG Σ,P,Φ : PAlg(Σ, P, Φ) Set S ma lewy sprz»ony dla ka»dej okratowanej sygnatury Σ, P i zbioru okratowanych nierówno±ci Φ. Dowód: Dla dowolnego zbioru X Set S, we¹my algebr Σ-termów T Σ (X) z jedno±ci η X : X T Σ (X). Niech p b dzie najmniejszym okratowaniem tej algebry, tzn. p (t) = = dla t T Σ (X). Wówczas T Σ (X), p = Φ i T Σ (X), p z jedno±ci η X : X PG Σ,P,Φ ( T Σ (X), p ) jest wolna nad X wzgl dem PG Σ,P,Φ, poniewa» dla dowolnej okratowanej algebry A, p, ka»dy Σ-homomorzm h: T Σ (X) A jest przyzwoitym homomorzmem h: T Σ (X), p A, p. Pytania 3.b i 3.c wydaj si trudne, wi c na pocz tek odpowiedzi na ich ªawiejsze przypadki:

5 Fakt 10 Dla dowolnej sygnatury Σ, krat zupelnych P i P oraz ci gªej funkcji k : P P, funktor PR id Σ,k : PAlg(Σ, P ) PAlg(Σ, P) ma lewy sprz»ony. Dowód: Niech k : P P bedzie zdeniowana jako k (e) = {e e k(e )}. Wówczas dla ka»dego e P, e k(k (e)), bo k(k (e)) = {k(e ) e k(e )} z ci gªo±ci k. Dla dowolnej okratowanej Σ, P -algebry A, p, rozwa»my okratowan Σ, P -algebr A, p;k. Z powy»szej wªasno±ci k mamy p p;k ;k, wi c id A : A, p PR id Σ,k( A, p;k ) = A, p;k ;k jest przyzwoitym homomorzmem okratowanych algebr. Co wi cej, dla dowolnej okratowanej Σ, P -algebry B, q i przywoitego homomorzmu h: A, p PR id Σ,k( B, q ) = B, q;k, dla ka»dego s S i a A s, p(a) k(q(h(a))). Zatem k (p(a)) q(h(a)), co pokazuje,»e h: A, p;k B, q jest przyzwoitym homomorzmem okratowanych Σ, P -algebr. Z tego ju» ªatwo wynika,»e A, p;k z jedno±ci id A : A, p PR id Σ,k( A, p;k ) jest wolna nad A, p wzgl dem PR id Σ,k, co ko«czy dowód. Fakt 11 Funktor PR σ,id P : PAlg(Σ, P) PAlg(Σ, P) ma lewy sprz»ony dla dowolnych sygnatur Σ, Σ, ich morzmu σ : Σ Σ i kraty zupelnej P. Dowód: Dla dowolnej okratowanej Σ, P -algebry A, p, niech F σ (A) z jedno±ci η σ A : A F σ(a) σ bedzie algebr woln nad A wzgl dem funktora σ-reductu (patrz Fakt 2). Zdeniujmy okratowanie p algebry F σ (A) jak nast puje: dla s S, a F σ (A) s, p (a ) = {p s (a) s S, σ(s) = s, a A s, (η σ A ) s(a) = a }. Wówczas η σ A : A, p PR σ,id P ( F σ (A), p ) jest przywoitym homomorzmem okratowanych Σ, P - algebr. Dalej, dla dowolnej okratowanej Σ, P -algebry B, q i przywoitego homomorzmu f : A, p PR σ,id P ( B, q ) okratowanych Σ, P -algebr, niech f : F σ (A) B bedzie jedynym Σ -homomorzmem takim,»e η σ A ;f σ = f. Dla s S, a F σ (A) s, je±li dla pewnych s S i a A s mamy σ(s) = s i (ηa σ ) s(a) = a, to p s (a) q s (f s (a)) = q s (f s (a )). Zatem p s (a ) q s (f s (a )), wi c f : F σ (A), p B, q jest przywoitym homomorzmem okratowanych Σ, P -algebr. To dowodzi,»e F σ (A), p z jedno±ci ηa σ : A, p PR σ,id P ( F σ (A), p ) jest wolna nad A, p wzgledem PR σ,id P i ko«czy dowód. Dla ka»dego morzmu okratowanych sygnatur σ, k : Σ, P Σ, P mamy PR σ,k = PR σ,id P ;PR id Σ,k, wi c Fakty 10 i 11 daj pozytywn odpowied¹ na pytanie 3.b. Nast puj cy fakt daje pozytywn odpowied¹ na pytanie 3.c i ko«czy rozwi zanie zadania egzaminacyjnego: Fakt 12 Funktor PPR σ,k : PPAlg(Σ, P ) PPAlg(Σ, P) ma lewy sprz»ony dla ka»dego morzmu okratowanych sygnatur σ, k : Σ, P Σ, P. Dowód: Niech Φ P b dzie zbiorem okratowanych nierówno±ci, który deniuje kategori PPAlg(Σ, P ) jako PAlg(Σ, P, Φ P ), patrz Fakt 5. Z Faktów 7, 10 i 11, funktor J Σ,P,Φ ;PR σ,k : PAlg(Σ, P, Φ P P ) = PPAlg(Σ, P ) PAlg(Σ, P) ma lewy sprz»ony. Šatwo sprawdzi,»e dla dowolnej przyzwoitej okratowanej Σ, P -algebry A, p, PPR σ,k ( A, p ) = PR σ,k (J Σ,P,Φ ( A, p )), wi c dla dowolnej przyzwoitej okratowanej Σ, P -algebry A, p, przywoita P okratowana Σ, P -algebra A, p z jedno±ci η A : A, p PR σ,k (J Σ,P,Φ ( A, p )) wolna nad A, p P wzgl dem J Σ,P,Φ ;PR σ,k jest te» wolna nad A, p wzgl dem PPR P σ,k co ko«czy dowód.