Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski

Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ 3 Szeregi liczbowe n S n = a k. Uporządkowaną parę ciągów ((a n ) n=1, (S n) n=1 ) nazywamy szeregiem liczbowym i oznaczamy symbolem a k. Jeśli ciąg (S n ) n=1 jest zbieżny do pewnej liczby s, to szereg a k nazywamy zbieżnym do s. Granicę tę nazywamy sumą tego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy szeregiem rozbieżnym. Rozważmy ciąg (a n ) n=1, gdzie a n = 1. Ze znanych wzorów dla ciągu geometrycznego 2 n wynika, że S n = 1 2 1 ( ) n 1 2 1 1. 2 Stąd już bezpośrednio stwierdzamy, że szereg 1 jest zbieżny i jego granicą jest liczba 1. 2 k Niech (a n ) n=1 będzie dowolnym ciągiem geometrycznym o ilorazie q, gdzie q 1. Wtedy S n = a 1 1 qn 1 q. Z własności granic ciągów wnioskujemy, że szereg geometryczny a 1 q k 1 jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy q ( 1, 1). W pozostałych przypadkach szereg jest rozbieżny. Sumą tego szeregu (gdy q ( 1, 1)) jest a 1 1 q. Twierdzenie 3.1. Jeśli szereg a k jest zbieżny, to ciąg (a n ) n=1 jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.2. (Cauchy) Szereg a k jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ε>0 n 0 n>m>n 0 ( a m+1 + + a n < ε).

28 Jacek M. Jędrzejewski Dla szeregu zbieżnego a k i dowolnego n N określamy tzw. n-tą resztę szeregu następująco: r n = a k. k=n+1 Twierdzenie 3.3. Ciąg (r n ) n=1 reszt szeregu zbieżnego jest zbieżny do zera. Twierdzenie 3.4. (Kryterium porównawcze zbieżności szeregów liczbowych) Załóżmy, że ciągi (a n ) n=1 i (b n) n=1 Wtedy spełniają warunek n 0 n>n 0 (0 a n b n ). (1) jeśli szereg b k jest zbieżny, to szereg a k też jest zbieżny; (2) jeśli szereg a k jest rozbieżny, to szereg b k też jest rozbieżny. Twierdzenie 3.5. (Cauchy) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n 0 i lim sup n n a n = g, to: (1) jeśli g < 1, to szereg a k jest zbieżny, (2) jeśli g > 1, to szereg a k jest rozbieżny. Twierdzenie 3.6. (d Alembert) Jeśli dla szeregu a k spełnione są następujące warunki a n > 0 i lim sup n a n+1 a n = g, to: (1) szereg a k jest zbieżny, gdy g < 1, (2) szereg a k jest rozbieżny, gdy g > 1. Twierdzenie 3.7. Niech a k i b k będą szeregami zbieżnymi, c dowolną liczbą rzeczywistą. Wówczas szeregi są zbieżne oraz (a k + b k ), (a k b k ), (a k + b k ) = a k + b k, (a k b k ) = a k b k, (c a k ) = c a k. Ważnymi typami szeregów są szeregi postaci 1 gdy α > 0 n α n=1 (c a k ) zwane szeregami harmonicznymi rzędu α. Dla tych szeregów spełnione są następujące warunki: Jeśli α (0, 1], to rozważany szereg jest rozbieżny.

Jeśli α (1, ), to rozważany szereg jest zbieżny. Notatki z analizy 29 Szeregiem anharmonicznym nazywamy szereg postaci ( 1) n 1 n. α Jest on szeregiem zbieżnym. n=1 Rozważymy teraz trochę ogólniejsze zagadnienie związane z podobnego typu szeregami. Szeregiem naprzemiennym nazywamy szereg postaci ( 1) k+1 a k, gdzie (a n ) n=1 jest pewnym ciągiem liczb nieujemnych. Twierdzenie 3.8. (Kryterium Leibniza) Jeśli ciąg (a n ) n=1 jest nierosnącym i zbieżnym do zera ciągiem liczb nieujemnych, to szereg naprzemienny ( 1) k+1 a k jest zbieżny. Definicja 3.2. Szereg a k nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli zbieżny jest szereg a k. Definicja 3.3. Szereg a k nazywamy warunkowo zbieżnym, jeśli jest on zbieżny, ale nie jest zbieżny szereg a k. Na koniec tego rozdziału zacytujemy dwa twierdzenia o szeregach warunkowo zbieżnych. Przez permutację zbioru X rozumiemy każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję przekształcającą zbiór X na siebie. Twierdzenie 3.9. (o szeregach bezwarunkowo zbieżnych) Szereg liczbowy jest bezwarunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezwzględnie zbieżny. Ponadto, jeśli szereg a k jest bezwzględnie zbieżny, to przy dowolnej pemutacji (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych a kn = a k. Twierdzenie 3.10. (Riemann) Jeśli szereg a k jest warunkowo zbieżny, to dla dowolnego α R istnieje permutacja (k n ) n=1 zbioru liczb naturalnych taka, że a kn = α.

ROZDZIAŁ 4 Granica funkcji 1. Granice funkcji Definicja 4.1. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną, jeżeli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony. Definicja 4.2. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z dołu, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z dołu. Definicja 4.3. Funkcję f : E R nazywamy ograniczoną z góry, jeśli zbiór wartości tej funkcji jest ograniczony z góry. Oznacza to, że funkcja f : E R jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją liczby c i d takie, że dla każdej liczby x ze zbioru E spełniony jest warunek c f(x) d. Definicja 4.4. Funkcję f : [a, b] R nazywamy rosnącą, jeżeli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) < f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy malejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 < x 2 = f(x 1 ) > f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy niemalejącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Funkcję f : [a, b] R nazywamy nierosnącą, jeśli x 1,x 2 [a,b](x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 )); Definicja 4.5. Niech f : E R będzie funkcją określoną w pewnym podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 funkcji f w punkcie x 0, jeśli punktem skupienia zbioru E. Liczbę g nazywamy granicą ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)).

32 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) = g. x x 0 Warunek użyty w tej definicji jest nazywany warunkiem Cauchy ego. W literaturze znany jest też inny warunek określający granicę funkcji zwany warunkiem Heinego. Mówi on o granicy funkcji w języku ciągów. Twierdzenie 4.1. Jeśli x 0 jest punktem skupienia zbioru E, to funkcja f : E R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. Twierdzenie 4.2. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w danym punkcie. Twierdzenie 4.3. Każda funkcja f : (a, b) R mająca granicę w punkcie x 0 R jest ograniczona w pewnym otoczeniu tego punktu. Twierdzenie 4.4. Załóżmy, że funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d. Jeśli istnieje liczba δ > 0 taka, że f(x) g(x) dla x E (x 0 δ, x 0 + δ) \ {x 0 }, to lim f(x) lim g(x). x x 0 x x0 Twierdzenie 4.5. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli dwie funkcje f : E R i g : E R mają tę samą granicę α w punkcie x 0 E d i funkcja h : E R spełnia warunek f(x) h(x) g(x) dla x (E (x 0 δ, x 0 + δ)) \ {x 0 } dla pewnej liczby δ > 0, to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę i jest ona równa α. Z własności działań algebraicznych na granicach ciągów wynika następne twierdzenie. Twierdzenie 4.6. Jeśli funkcje f : E R i g : E R mają granice w punkcie x 0 E d, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim x x 0 x x0 f(x) + x x0 lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x 0 x x0 x x0 lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x 0 x x0 x x0 Jeśli ponadto lim x x0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x E, to ( ) f lim (x) = lim x x 0 f(x) x x 0 g lim x x0 g(x).

Notatki z analizy 33 2. Granice jednostronne Niech dana będzie funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R. Zauważamy, że w tym przypadku punkt x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + δ) i możemy rozważać granice względem tego zbioru w punkcie x 0. Taką granicę nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x 0. Oznaczamy ją symbolem lim f(x). Podobnie definiujemy granicę lewostronną funkcji f określonej w przedziale (x 0 δ, x 0 ). Tę granicę oznaczamy symbolem Mamy wtedy: lim f(x). g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0,x 0 +δ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)) i podobnie g = lim f(x) ε>0 δ>0 x (x 0 δ,x 0 ) ((0 < x x 0 < δ) = ( f(x) g < ε)). Łatwo przekonujemy się, że Twierdzenie 4.7. Jeśli f : (a, x 0 ) (x 0, b) R jest dowolną funkcją, to granica tej funkcji w punkcie x 0 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie granice lewostronna i prawostronna funkcji f w tym punkcie i są sobie równe. Korzystając z powyżej opisanych własności dotyczących granic funkcji określonych w dowolnym zbiorze E otrzymujemy następujące własności: Własność 4.1. Funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n > x 0, i lim n x n = x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.2. Funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n < x 0, i x n x 0 spełniony jest warunek lim f(x n) = g. n Własność 4.3. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę prawostronną (lewostronną) w danym punkcie.

34 Jacek M. Jędrzejewski Własność 4.4. Niech funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0 E. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to Własność 4.5. Niech funkcje f(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ 1 ), lim f(x) lim g(x). f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ 1 > 0 taka, że to f(x) g(x) dla x (x 0 δ 1, x 0 ), lim f(x) lim g(x). Własność 4.6. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają tę samą granicę prawostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja h : (x 0, x 0 + δ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (x 0, x 0 + δ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę prawostronną i jest ona równa α. Własność 4.7. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają tę samą granicę lewostronną α w punkcie x 0, a ponadto funkcja spełnia warunek h : (x 0 δ, x 0 ) R f(x) h(x) g(x) dla x (x 0 δ, x 0 ), to funkcja h ma w punkcie x 0 granicę lewostronną i jest ona równa α.

Notatki z analizy 35 Własność 4.8. Jeśli funkcje f : (x 0, x 0 + δ) R i g : (x 0, x 0 + δ) R mają granice prawostronne w punkcie x 0, to funkcje f +g, f g i f g mają granice prawostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) Jeśli ponadto lim x x + 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0, x 0 + δ), to Własność 4.9. Jeśli funkcje lim ( ) f g (x) = lim x x + f(x) 0 lim x x + g(x). 0 f : (x 0 δ, x 0 ) R i g : (x 0 δ, x 0 ) R mają granice lewostronne w punkcie x 0, to funkcje f + g, f g i f g mają granice lewostronne w tym punkcie oraz lim (f + g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim lim (f g)(x) = lim f(x) + lim f(x) lim f(x) lim g(x), g(x), g(x) Jeśli ponadto lim x x 0 g(x) 0, i g(x) 0 dla x (x 0 δ, x 0 ), to lim ( ) f (x) = lim x x f(x) 0 g lim x x g(x). 0 Na koniec tej części rozdziału odnotujmy pewne ważne granice, które będą przydatne w dalszej części wykładu. sin x lim x 0 x = 1, e x 1 lim x 0 x = 1.

36 Jacek M. Jędrzejewski 3. Granice w nieskończoności Definicja 4.6. Niech funkcja f będzie określona w pewnym przedziale (a, ). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (δ, )( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście, możemy się spodziewać odpowiedniego warunku Heinego dla tego typu granicy. Dowody tych własności są podobne do dowodów odpowiednich własności granicy funkcji w punkcie. Twierdzenie 4.8. Funkcja f : (a, ) R ma w nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = ma miejsce zbieżność lim f(x n) = g. n Twierdzenie 4.9. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w nieskończoności. Twierdzenie 4.10. Niech funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają granice w nieskończoności. Wtedy, jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (δ, ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie 4.11. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R mają tę samą granicę α w nieskończoności, a ponadto funkcja h : (a, ) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (a, ), to funkcja h ma w nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie 4.12. Jeśli funkcje f : (a, ) R i g : (a, ) R

Notatki z analizy 37 mają granice w nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( f g ) (x) = lim x f(x) lim x g(x). Definicja 4.7. Niech f będzie funkcją określoną w pewnym przedziale (, a). Liczbę g nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności ( ), jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x (, δ)( f(x) g < ε). lim f(x) = g. x Oczywiście wszystkie własności, które przedstawiliśmy dla granic w nieskończoności przenoszą się na granice funkcji w minus nieskończoności. Twierdzenie 4.13. Funkcja f : (, a) R ma w minus nieskończoności granicę g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że lim n x n = mamy: lim f(x n) = g. n Twierdzenie 4.14. Każda funkcja ma co najwyżej jedną granicę w minus nieskończoności. Twierdzenie 4.15. Niech funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności. Jeśli istnieje liczba δ taka, że f(x) g(x) dla x (, δ), to lim f(x) lim g(x). x x Twierdzenie 4.16. (Twierdzenie o trzech funkcjach) Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają tę samą granicę α w minus nieskończoności i funkcja h : (, a) R spełnia nierówność f(x) h(x) g(x) dla x (, a),

38 Jacek M. Jędrzejewski to funkcja h ma w minus nieskończoności granicę i jest ona równa α. Twierdzenie 4.17. Jeśli funkcje f : (, a) R i g : (, a) R mają granice w minus nieskończoności, to funkcje f + g, f g i f g mają granice w minus nieskończoności oraz Jeśli ponadto lim x g(x) 0, to lim (f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x), x x x lim (f g)(x) = lim f(x) lim g(x) x x x lim x ( ) f (x) = lim x f(x) g lim x g(x). 4. Granice niewłaściwe Definicja 4.8. Niech f : E R będzie funkcją określoną w podzbiorze E zbioru liczb rzeczywistych, dla którego x 0 jest punktem skupienia. Nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x x 0 Definicja 4.9. Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, gdzie E jest podzbiorem liczb rzeczywistych i x 0 punktem skupienia zbioru E, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w punkcie x 0, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E ((0 < x x 0 < δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x x 0 Jeśli zbiór E jest przedziałem (x 0, x 0 + a), to (wtedy oczywiście x 0 jest punktem skupienia przedziału (x 0, x 0 + a)) granica powyżej określona jest granicą prawostronną, gdy zaś zbiór E jest postaci E = (x 0 a, x 0 ), to taka granica jest granicą lewostronną. Podobnie określamy granice niewłaściwe w nieskończoności. Mamy wtedy następujące określenia:

nek: Notatki z analizy 39 Definicja 4.10. Niech E będzie podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych spełniającym waru- a R x E(a < x). Jeżeli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja 4.11. Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) > ε)). lim f(x) =. x Definicja 4.12. Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(a < x). Jeśli f : E R będzie daną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w nieskończoności, jeśli Symbolicznie oznaczamy wtedy ε>0 δ>0 x E (x > δ) = (f(x) < ε)). lim f(x) =. x Definicja 4.13. Niech E będzie podzbiorem zbioru R spełniającym warunek: a R x E(x < a). Jeśli f : E R jest dowolną funkcją, to minus nieskończoność nazywamy granicą funkcji f w minus nieskończoności, jeśli ε>0 δ>0 x E (x < δ) = (f(x) < ε)).

40 Jacek M. Jędrzejewski Symbolicznie oznaczamy wtedy lim f(x) =. x W każdym z powyższych przypadków możemy odnotować podstawowe twierdzenie charakteryzujące granice tak właściwe jak i niewłaściwe przy pomocy ciągów (metoda Heinego). Mamy więc: Twierdzenie 4.18. Funkcja f ma granicę g w punkcie x 0 R, jeśli dla każdego ciągu (x n ) n=1 takiego, że x n E, x n x 0 i lim n x n = x 0 również lim n f(x n ) = g. 5. Asymptoty Jeśli funkcja f : (x 0, x 0 + δ) R ma w punkcie x 0 granicę prawostronną równą + lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z prawej strony). Jeśli funkcja f : (x 0 δ, x 0 ) R ma w punkcie x 0 granicę lewostronną równą lub, to mówimy, że prosta o równaniu x = x 0 jest asymptotą pionową funkcji f (z lewej strony). Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, gdzie ϱ((x, f(x)), L) oznacza odległość punktu (x, f(x)) od prostej L. Prostą L nazywamy asymptotą pochyłą (ukośną) funkcji f : (a, ) R w minus nieskończoności, jeśli ϱ((x, f(x)), L) 0 przy x, Istnienie asymptot wynika z obliczenia dwóch specjalnych granic. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Twierdzenie 4.19. Prosta L o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji w nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy f : (c, ) R f(x) lim x x = a

Notatki z analizy 41 oraz lim (f(x) ax) = b. x Twierdzenie 4.20. Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptotą funkcji f : (, c) R w minus nieskończoności wtedy i tylko wtedy, gdy oraz f(x) lim x x = a lim (f(x) ax) = b. x Definicja 4.14. Prostą L nazywamy styczną do wykresu funkcji f : (a, b) R w punkcie (x 0, f(x 0 )), jeśli stosunek odległości dowolnego punktu (x, f(x)) na wykresie funkcji f od prostej L do odległości tego punktu od punktu (x 0, f(x 0 )) ma granicę przy x dążącym do x 0 i granica ta jest równa zeru. Symbolicznie, gdy ϱ(p, L) lim x x 0 ϱ(p, p 0 ) = 0, gdzie p = (x, f(x)), p 0 = (x 0, f(x 0 )) i ϱ oznacza odległość euklidesową na płaszczyźnie.

ROZDZIAŁ 5 Funkcje ciągłe Definicja 5.1. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w punkcie x 0 (a, b), jeśli ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Warunek użyty w tej definicji nosi nazwę warunku Cauchy ego. Definicja 5.2. Funkcję f : [x 0, b) R nazywamy ciągłą z prawej strony (prawostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (x 0,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.3. Funkcję f : (a, x 0 ] R nazywamy ciągłą z lewej strony (lewostronnie ciągłą) w punkcie x 0, jeśli ε>0 δ>0 x (a,x 0 ) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Oczywiście zauważamy bez trudu, że funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie ciągła z lewej i z prawej strony jednocześnie. W przypadku funkcji f : [a, b] R mówimy, że jest ciągła w punkcie a, gdy jest w nim prawostronnie ciągła, a ciągła w punkcie b, gdy jest w nim lewostronnie ciągła. Poniższe twierdzenie podaje warunek (nazywany warunkiem Heinego) równoważny ciągłości funkcji w danym punkcie sformułowany w języku ciągów. Twierdzenie 5.1. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 ciąg (f(x n )) n=1 f(x 0 ). jest zbieżny do Twierdzenie 5.2. Funkcja f : (x 0, b) R jest ciągła prawostronnie w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0 ). Twierdzenie 5.3. Funkcja f : (a, x 0 ) R jest lewostronnie ciągła w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu (x n ) n=1 zbieżnego do x 0 i takiego, że x n x 0 dla n N, ciąg (f(x n )) n=1 jest zbieżny do f(x 0). Twierdzenie 5.4. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b), to istnieje granica funkcji f w punkcie x 0 i jest równa f(x 0 ).

44 Jacek M. Jędrzejewski Twierdzenie 5.5. Jeśli w punkcie x 0 (a, b) istnieje granica funkcji f : (a, b) R i jest równa f(x 0 ), to funkcja f jest ciągła w punkcie x 0. W języku otoczeń ciągłość funkcji można wyrazić następująco: Twierdzenie 5.6. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 przedziału (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia V punktu x 0 istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(u) V. Z powyższej własności łatwo wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie 5.7. Jeśli funkcja f : (a, b) R jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i f(x 0 ) 0, to istnieje otoczenie U punktu x 0 takie, że f(x) 0 gdy x U. Twierdzenie 5.8. Jeśli funkcje f : (a, b) R i g : (a, b) R są ciągłe w punkcie x 0 (a, b), to ciągłe w tym punkcie są również następujące funkcje f + g, f g, f g, f, max(f, g), min(f, g). Ponadto, jeśli g(x) 0 dla x (a, b), to również funkcja f g jest ciągła w punkcie x 0. Twierdzenie 5.9. Niech dane będą funkcje: f : (a, b) (c, d), i g : (c, d) R. Jeśli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 (a, b) i funkcja g jest ciągła w punkcie f(x 0 ), to funkcja g f jest ciągła w punkcie x 0. Definicja 5.4. Funkcja f : (a, b) R nazywa się ciągła w przedziale (a, b), jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału. Funkcję f : [a, b] R nazywamy ciągłą w przedziale [a, b], jeśli jest ciągła w każdym punkcie przedziału (a, b) oraz w punktach a i b jednostronnie ciągła. Łatwo stwierdzamy, że funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy jeśli x 0 (a,b) ε>0 δ>0 x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy x 0 [a,b] ε>0 δ>0 x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Definicja 5.5. Funkcję f : (a, b) R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale (a, b), ε>0 δ>0 x 0 (a,b) x (a,b) ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε). Funkcję f : [a, b] R nazywamy jednostajnie ciągłą w przedziale [a, b], jeśli ε>0 δ>0 x 0 [a,b] x [a,b] ( x x 0 < δ = f(x) f(x 0 < ε).

Notatki z analizy 45 Oczywiście, z definicji ciągłości i jednostajnej ciągłości wynika, że każda funkcja jednostajnie ciągła w pewnym przedziale jest w tym przedziale ciągła (niezależnie, czy jest to przedział otwarty, czy domknięty). Podamy teraz pewne charakteryzacje funkcji ciągłych w podprzedziałach zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie 5.10. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru otwartego jest otwarty. Podzbiór zbioru R nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie jest zbiorem otwartym. Inaczej mówiąc, podzbiór E zbioru liczb rzeczywistych jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. Bezpośrednio z powyższej definicji, własności przeciwobrazów funkcji i wzorów de Morgana wynika następujące twierdzenie. Twierdzenie 5.11. Funkcja f : [a, b] R jest ciągła w przedziale [a, b] wtedy i tylko wtedy, gdy przeciwobraz każdego zbioru domkniętego jest domknięty. Twierdzenie 5.12. Funkcja f : (a, b) R jest ciągła w przedziale (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby α zbiory {x (a, b) : f(x) < α}, {x (a, b) : f(x) > α} są otwarte. Definicja 5.6. O funkcji f : (a, b) R mówimy, że ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału (a, b) takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Mówimy, że funkcja f : [a, b] R ma własność Darboux, jeśli dla każdych punktów α, β z przedziału [a, b] takich, że α < β i f(α) f(β) oraz każdej liczby c leżącej między f(α) i f(β) istnieje punkt ξ (α, β) taki, że f(ξ) = c. Twierdzenie 5.13. (Tw. Darboux) Każda funkcja ciągła w przedziale (otwartym lub domkniętym) ma własność Darboux. Niech f : [a, b] R będzie dowolną funkcją. Jeśli istnieje element x 1 [a, b] taki, że f(x 1 ) = sup {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 1 ) nazywamy maksimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 1 punktem, w którym istnieje maksimum.

46 Jacek M. Jędrzejewski Jeśli istnieje punkt x 2 [a, b] taki, że f(x 2 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, to wartość f(x 2 ) nazywamy minimum funkcji f w przedziale [a, b], a punkt x 2 punktem, w którym istnieje minimum. Przez ekstremum rozumiemy maksimum lub minimum. Jasnym jest, że nie każda funkcja posiada punkty maksymalny i minimalny. Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma maksimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) zawarte w (a, b) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Punkt x 0 (a, b) nazywamy punktem, w którym funkcja f : (a, b) R ma minimum lokalne, jeśli istnieje otoczenie (x 0 δ, x 0 + δ) takie, że f(x) f(x 0 ) dla x (x 0 δ, x 0 + δ). Łatwo zauważyć, że pojęcia maksimum i maksimum lokalne są różne, nie zawsze maksimum (czasami nazywane maksimum globalnym) musi być maksimum lokalnym i odwrotnie. Te same uwagi dotyczą minimum i minimum lokalnego. Twierdzenie 5.14. (Tw. Weierstrassa) Każda funkcja ciągła określona w przedziale domkniętym (i ograniczonym) jest ograniczona oraz istnieją punkty ξ 1, ξ 2 [a, b] takie, że f(ξ 1 ) = inf {f(x) : x [a, b]}, f(ξ 2 ) = sup {f(x) : x [a, b]}. Z powyższego twierdzenia wynika, że każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym osuiąga swoje maksimum i minimum. Twierdzenie 5.15. (Tw. Heinego) Każda funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest jednostajnie ciągła w tym przedziale.