Obity typu Mołnija Maciej Ubaniak IFM PAN Poznań Dysk z Neby, ok. 600 pne paktyczne zastosowanie mechaniki nieba
Obity typu Mołnija paktyczne zastosowanie mechaniki nieba Obity kepleowskie Zabuzone obity kepleowski Obity typu Mołnija
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - Z zasady zachowania momentu pędu { h= v m=const h = v m postopadłe do h =0 ównanie płaszczyzny postopadłej do h M - nieuchoma masa Ruch w polu siły centalnej Mm F = G 3 jest dwuwymiaowy uch odbywa się w płaszczyźnie
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - Z zasady zachowania momentu pędu { h= v m=const h = v m postopadłe do h =0 ównanie płaszczyzny postopadłej do h M - nieuchoma masa Ruch w polu siły centalnej Mm F = G 3 jest dwuwymiaowy uch odbywa się w płaszczyźnie
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - = e e e Biegunowy układ współzędnych e = x cos y sin e = x sin y cos d = e e dt d x cos y sin dt = x sin y cos e = e v = e e a = e e e e d e = x sin y cos dt e = e e =
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - e e e = e a = e e e e Biegunowy układ współzędnych e = x cos y sin e = x sin y cos e = e
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - a = e e e e G M F = gawitacja 3 m G M G M e = 3 F = a m e e =0 Biegunowy układ współzędnych e = x cos y sin e = x sin y cos Równanie uchu w układzie biegunowym { GM = =0
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - Równanie uchu w układzie biegunowym e e { GM =0 = = GM e cos Biegunowy układ współzędnych e = x cos y sin e = x sin y cos d = = =0 dt h = GM e cos
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - = h GM e cos kzywe stożkowe: e - mimośód e< elipsa e= paabola e> hipebola 0 - Satelity pouszają się po elipsach - -4-3 - - 0
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - Zagadnienie dwu ciał nie dotyczy sztucznych satelitów Ziemi masa Ziemi 5,976 04 kg 3 masa satelity 0 kg Zagadnienie dwu ciał m m d =f = f dt d dt : m m d d f f = = f m m m m dt dt = Równanie analogiczne do ównania uchu w polu siły centalnej { } m m d = f m m dt Ruch względny odbywa się po elipsie
Obity Kepleowskie-uch w polu siły centalnej typu - masa masa śodek masy uch względny Oientacja elipsy nie zmienia się z czasem Pzykład uchu dwóch ciał oddziałujących siłą typu - (stosunek mas 4:) względem układu inecjalnego punkt co 0000 Δt
Stabilność obit kołowych w polu siły centalnej typu n Równanie uchu w układzie biegunowym: { GM = f = =0 h = f c 3 c Na obicie kołowej: h := =0 c - pomień obity kołowej =0 x wpowadzamy odstępstwa od kształtu koła h x = f c x 3 c x ozwinięcie w szeeg Tayloa 3 h x [ 4 f ' c ] x=0 c 3 f c x [ f ' c ] x=0 c h 3h x 6h x x 3 4 5 = f c c c c f ' c x f ' ' c x
Stabilność obit kołowych w polu siły centalnej typu n 3 f c x [ f ' c ] x=0 c x k x=0 k 0 oscylato hamoniczny k 0 ozwiazanie nieoganiczone K<0 obita niestabilna względem małych oscylacji Waunek stabilności obit kołowych: f = c n c 0 n c c n c 0 3 n c n 3 3 f c f ' c 0 c Obity kołowe są stabilne w polu siły centalnej typu n dla n>-3
Stabilność obit kołowych w polu siły centalnej typu n Apsyda jeden z dwóch skajnych punktów obity eliptycznej Kąt apsydalny, ψ (apsydialny) kąt opisywany pzez wekto pzy pzejściu między dwoma sąsiednimi apsydami 3 f c x [ f ' c ] x=0 c = T { f ' c = 3 C f c T= { 3 f c f ' c c } d h =0 c dt c } h =0 3 = f c c { f c c }
Stabilność obit kołowych w polu siły centalnej typu n { f ' c = 3 C f c f = c = } n c 0 By obita była zamknięta = {3 n }0.5 musi być liczbą wymieną ( n =n ) 0.5 { 3 n } n= obity kepleowskie : = n= 4 : = i apogeum
Stabilność obit kołowych w polu siły centalnej typu n Punkt co 0000 Δt GM m F G= = obita zamknięta F G= G M m 0.5G M m 4 Punkt co 000 Δt obita otwata
Sztuczne satelity Ziemi Stosowanie satelitów telekomunikacyjnych postulowane było już w oku 945:,,Let us now suppose that such a station wee built in this obit. It could be povided with eceiving and tansmitting equipment (the poblem of powe will be discussed late) and could act as a epeate to elay. tansmissions between any two points on the hemisphee beneath, using any fequency which will penetate the ionosphee. If diective aays wee used, the powe equiements would be vey small, as diect line of sight tansmission would be used. Thee is the futhe impotant point that aays on the eath, once set up, could emain fixed indefinitely. (A. C. Clake, Wieless Wold, 945.0) Popozycja obit geostacjonanych: It will be obseved that one obit, with a adius of 4,000 km, has a peiod of exactly 4 hous. A body in such an obit, if its plane coincided with that of the eath's equato, would evolve with the eath and would thus be stationay above the same spot on the planet. It would emain fixed in the sky of a whole hemisphee and unlike all othe heavenly bodies would neithe ise no set. (A. C. Clake, Wieless Wold, 945.0) Fig.. Typical exta-teestial elay sevices. Tansmission fom A being elayed to point B and aea C; tansmission fom D being elayed to whole hemisphee. (Wieless..)
Sztuczne satelity Ziemi kótka histoia 948 wykozystanie Księżyca jako obiektu odbijającego fale adaowe; odbió sygnały (United States Amy Signal Cops). 954 tansmisja głosu tą samą dogą (U.S. Navy). 957.0.04 - Piewszy sztuczny satelita Ziemi Спутник (Sputnik ). Nachylenie obity ok. 65O; masa 84kg (Спутник 3 330 kg) 965.04.3 "Молния-" 3 (Mołnija- os. pioun) piewszy opeacyjny satelita typu Mołnija (tansmisja sygnału telewizyjnego) Międzynaodowa Stacja Kosmiczna (999..0) Źódło: STS-4 Shuttle Cew, NASA
Potencjał gawitacyjny Ziemi Księżyc jest daleko! Odległość Ziemia Księżyc: 356-407 03 km Wysokość satelitów nad powiezchnią Ziemi: LEO 000 km MEO 0000 km GEO 36000 km Potencjał jednoodnej kuli: GM m U R = R
Potencjał gawitacyjny Ziemi Księżyc jest daleko! Obót Ziemi dookoła własnej osi powadzi do jej spłaszczenia. Pomień ównikowy: R=6378 km Pomień biegunowy: P=6357 km Spłaszczenie Ziemi: R P : 98 P Spłaszczenie Ziemi zmienia chaakte jej potencjału gawitacyjnego
Potencjał gawitacyjny Ziemi W pzybliżeniu elipsoidy nie uwzględnia się geometycznych niejednoodności geoidy oaz niesymetyczności ozkładu gęstości Ziemi. Ze względu na symetię obotową potencjał Ziemi w pzybliżeniu elipsoidy, widziany pzez satelitę o małej masie i ozmiaach, zależy tylko od kąta biegunowego φ i odległości od śodka masy.
Potencjał gawitacyjny Ziemi pole i gawitacja nomalna Potencjał nomalny- potencjał gawitacyjny pochodzący od elipsoidy obotowej będącej pzybliżeniem geoidy: symetia obotowa stała watość na elipsoidzie Odstępstwa geoidy od elipsoidy nomalnej nie pzekaczają 00 m. {} GM GM R R U, = 3 sin J... J = R półoś wielka elipsoidy nomalnej -6 J=08.6.. 0 J3= -.5... 0-6 F =,, U = { { G M 3 G M 3 cos J Req 4 3 G M cos sin J R 4 eq } I x I y I z M R }
Potencjał gawitacyjny Ziemi pole i gawitacja nomalna Potencjał nomalny- potencjał gawitacyjny pochodzący od elipsoidy obotowej będącej pzybliżeniem geoidy: symetia obotowa stała watość na elipsoidzie Odstępstwa geoidy od elipsoidy nomalnej nie pzekaczają 00 m. J = Pzyspieszenie w modelu,,j nie jest skieowane do śodka masy Ziemi { { G M F =,, U = R półoś wielka elipsoidy nomalnej 3G M 3cos J Req 4 3G M cos sin J Req 4 I x I y I z M R } } F 4
Potencjał gawitacyjny Ziemi pole i gawitacja nomalna z Pzyspieszenie w modelu,,j nie jest skieowane do śodka masy Ziemi linie siły adialnej (składowa φ jest zeowa) elipsoida Ziemi x Gaf pzedstawiający φ składową siły gawitacyjnej (tzn. postopadłą do składowej adialnej)
Potencjał gawitacyjny Ziemi W większości paktycznych zastosowań wyznaczając uch satelitów Ziemi uwzględnić należy tylko oddziaływanie gawitacyjne (GM i J ) oaz wpływ opoów atmosfey. Wpływ atmosfey jest istotny dla wysokości poniżej 000 km. Pictue : M. Capdeou Satellites Obits and Missions 005, Spinge Fance. Spinge
Obity typu Mołnija Obity geostacjonane (A. Clake, 945) nie dają się stosować do zapewnienia łączności na obszaach polanych (powyżej szeokości geogaficznej 55o dostępność jest utudniona [3]). Altenatywy: obity typu Tunda (nachylenie ok. 90o) obity typu Mołnija żódłó www.eumetsat.int Czynnik -4 związany z odstępstwami od kulistości powoduje, że paamety obit ulegają zmianom { G M 3 G M 3cos J Req F = 4 { } } 3 G M cos sin J R eq 4
Elementy obitalne obit eliptycznych a półoś wielka e ekscentyczność i nachylenie względem płaszczyzny ównika ω kąt apsydalny Ω kąt nodalny żódło: spaceflight.nasa.gov/ealdata/elements/gaphs.html
Obity typu Mołnija zmiany elemenów obity Współzędne katezjańskie: Kepleowskie elementy obitalne: { x t, y t, z t, x t, y t, z t } {a t, e t,i t, t, t, M t } = U 0 U p U p U 0 { a = g, e = g, i =g 3 =g 4, =g 5, M n0 =g 6 Elementy oskulacyjne (a,e,i,..) odpowiadają paametom obity Kepleowskiej po jakiej podążałby satelita po ustaniu zabuzenia Up. Rachunek zabuzeń powadzi do następujących zależności (pzybliżenie elipsoidy, ząd): a =0 e =0 i =0 =... {} 3 R = n J 5 cos i 3 / a 4 e M =...
Obity kepleowskie pecesja nodalna 6 Ω - kąt nodalny widok z boku Obita: a-90000km, b-35000, nachylenie 40o
Obity kepleowskie pecesja nodalna Pecesja nodalna otacza Ziemię,,koszykiem'' z elips oskulacyjnych Obita: a-90000km, b-35000, nachylenie 40o
Obity kepleowskie pecesja apsydalna 6 widok z boku 6 Obita: a-90000km, b-35000, nachylenie 40o widok z nomalnej do płaszczyzny uchu obity pzechodzącej pzez Ziemię
Obity typu Mołnija pecesja apsydalna {} 3 R = nj 3/ a 4 e 5cos i i 63.43 o i 6.6 o Pictue : M. Capdeou Satellites Obits and Missions 005, Spinge Fance. Spinge 63.43o ównik =0
Obity typu Mołnija pecesja apsydalna i 63.43 o =0 63.43o ównik Duża ekscentyczność obity skutkuje znaczną óżnicą wysokości w apogeum (ok. 40 000km) i w peigeum (ok. 500 km)
Obity typu Mołnija peiod ok. 77 min konstelacja tzech satelitów (Δt = 39 min) zapewnia ciągłe pokycie ze względu na dużą ekscentyczność satelita znaczną część obiegu spędza w okolicach apogeum nad biegunem* * dugie pawo Keplea
Obity typu Mołnija peiod ok. 77 min konstelacja tzech satelitów (Δt = 39 min) zapewnia ciągłe pokycie ze względu na dużą ekscentyczność satelita znaczną część obiegu spędza w okolicach apogeum nad biegunem* * dugie pawo Keplea
WNIOSKI Obity kepleowskie w polach typu niestabilne -n (n -3) są Ze względu na spłaszczenie Ziemi jej pole gawitacyjne nie ma chaakteu - Obity typu Mołnija pozwalają zedukować wpływ spłaszczenia ziemi na uch satelitów
Liteatua [] Б.Е.Черток, Ракеты и люди. Горячие дни холодной войны, Москва "МАШИНОСТРОЕНИЕ", 999; www.tc.u/encyk/bibl/chetok/kniga-3/obl.html [] N. Sneeuw, Geodesy and Geodynamics, notatki do wykładu, Geodätisches Institut, Univesität Stuttgat, www.uni-stuttgat.de/gi/education/shot_desciptions.en.html [3] M. Capdeou, Satellites Obits and Missions, Spinge, Fance 005 [4] Wikipedia, wikipedia.og [5] część ilustacji wykonano za pomocą pogamu POV-Ray, www.povay.og [6] S. A. Whitmoe, Astodynamics, web.nps.navy.mil/śsewb/aa436/aa436.html [7] stony www National Space Agnecy USA, nasa.gov [8] M. Guntman, pliki wideo astonauticsnow.com/vp/ [9] R. Fitzpatick, Analytical Classical Dynamics, www.lulu.com/items/volume_63/380000/380546//pint/336b.pdf [0] Landesamt fü Achäologie Sachsen-Anhalt, dysk z Neby, www.lda-lsa.de/himmelsscheibe_von_neba/#content