D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii angielskiej najczęściej używa się terminu "Badania Operacyjne" (Operational Research). W terminologii amerykańskiej - "Nauka o Zarządzaniu" (Management Science). Jedną z możliwych definicji badań operacyjnych przytoczymy za Harvey'em Wagner'em: Badania operacyjne - to naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji kierowniczych. Obszar wiedzy wykorzystywany w badaniach operacyjnych to spora część zakropkowanego obszaru na poniższym rysunku. Pole zastosowań badań operacyjnych obejmuje sporządzanie matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów (modeli) procesów decyzyjnych charakteryzujących się dużą złożonością (i często niepewnością). Takie opisy (modele) umożliwiają precyzyjne analizowanie złożonych procesów decyzyjnych i ułatwiają podejmowanie najlepszej decyzji.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [2] Podstawowym narzędziem badań operacyjnych jest model. Rzeczywistość można modelować trojako: 1. ikonicznie (obrazowo) - tj. przedstawiać przedmioty lub zdarzenia w zmienionej skali (np. mapa, model samochodu, itp.) 2. analogowo - tj. przedstawiać właściwości badanego zjawiska za pomocą własności innych zjawisk (np. dochodzenie do ceny równowagi na rynku danego dobra można przedstawić jako ruch poziomu cieczy w układzie naczyń połączonych, w którym mechanizmem wyrównującym cenę jest grawitacja), 3. symbolicznie (matematycznie) - tj. opisywać rzeczywistość za pomocą wzorów matematycznych (równań). W badaniach operacyjnych rzeczywistość modelowana jest symbolicznie. Model (tutaj) jest to równanie (lub układ równań) za pomocą którego odzwierciedlamy procesy decyzyjne i społeczno-gospodarcze zachodzące w życiu gospodarczym. Procesy decyzyjne dzielimy je na 4 podstawowe klasy. Podział jest ściśle związany z ilością i jakością informacji jaką dysponuje decydent w procesie podejmowania decyzji. Mówimy o podejmowaniu decyzji w warunkach: 1. pewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada jeden tylko wynik z prawdopodobieństwem równym jedności (mówimy, że proces jest zdeterminowany). 2. niepewności. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik (mówimy, że proces jest procesem stochastycznym). Nie znamy jednak prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić. 3. ryzyka. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik, ale znamy prawdopodobieństwo z jakim dany wynik może wystąpić. 4. częściowej informacji. Ma to miejsce wówczas, gdy każdej decyzji odpowiada więcej niż jeden wynik Nie znamy co prawda prawdopodobieństwa z jakim dany wynik może wystąpić, ale możemy próbować je oszacować dzięki znajomości niektórych charakterystyk nieznanego rozkładu prawdopodobieństwa, np. wartość oczekiwana, wariancja, mediana, dominanta, itp.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [3] Podejmowanie decyzji w warunkach pewności. Podejmowanie decyzji jest podstawowym elementem każdej działalności gospodarczej. Na ogół przy danych warunkach istnieje wiele decyzji dopuszczalnych, tj. ogólnie mówiąc decyzji które mogą być zrealizowane pomimo szeregu ograniczeń narzuconych decydentowi przez otoczenie jak i przez niego samego. Zrozumiałe jest wtedy poszukiwanie decyzji optymalnej. Jeśli mówimy o decyzji optymalnej to zakładamy, że określone zostało pewne kryterium rozstrzygające, która z decyzji dopuszczalnych jest tą decyzją najlepszą, tj. optymalną. Tak więc na zbiorze decyzji dopuszczalnych musi być określona pewna funkcja, nazywana funkcją kryterialną (funkcją celu), dla której należy znaleźć wartość największą (najmniejszą) w zbiorze decyzji dopuszczalnych. Narzędziem skutecznie wspomagającym proces wyboru decyzji optymalnej są metody programowania matematycznego (PM). Przedmiotem PM jest budowa modeli matematycznych (zadań PM) dla określonych sytuacji decyzyjnych, znajdowanie metod rozwiązywania tych modeli (zadań), rozwiązywanie ich, a w końcu weryfikacja otrzymanych rozwiązań i ich wykorzystanie. Ogólny problem PM można sformułować następująco: Znajdź wartość największą (najmniejszą) funkcji celu (1) f x1, x2,..., x n lub krócej f x przy warunku (2) x, x2,..., xn X T 1 lub krócej x X gdzie: X - zbiór decyzji dopuszczalnych (rozwiązań dopuszczalnych) x x x,..., x T n - decyzja (rozwiązanie) 1, 2 x j - zmienna decyzyjna (j=1,2,...,n)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [4] Zapis wprowadzony w (2), tj. dopuszczalną (rozwiązaniem dopuszczalnym). x X oznacza, że x jest decyzją o Jeżeli przez x oznaczymy decyzję optymalną to możemy krótko zdefiniować ją jako tą z decyzji dopuszczalnych, która daje nam największą (najmniejszą) wartość funkcji celu o o (3) x : x X f x max(min) f x f x Decyzja optymalna musi być decyzją dopuszczalną. Jeżeli istnieje choć jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest niepusty (X) wówczas zadanie PM jest zadaniem niesprzecznym i może posiadać skończone rozwiązanie optymalne lub nie posiadać skończonego rozwiązania optymalnego. Jeżeli natomiast nie istnieje ani jedna decyzja dopuszczalna, tj. jeżeli zbiór decyzji dopuszczalnych X jest pusty (X) wówczas zadanie PM jest zadaniem sprzecznym i nie posiada rozwiązania., tj. Komentarz do zapisu min lub max w zadaniach PM
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [5] Etapy wykorzystania metod PM w procesie podejmowania decyzji I. budowa modelu PM (zadania PM), II. rozwiązanie zadania PM, III. weryfikacja modelu i uzyskanego rozwiązania oraz IV. opracowanie systemu kontroli. W etapie I powinniśmy na początek ściśle sformułować: co jest celem działania, o czym mamy decydować, jakie są warunki w jakich działamy, jakie środki wchodzą w grę oraz kryterium umożliwiające ocenę decyzji. Budujemy zadanie PM wg następującej kolejności: 1. stworzenie listy zmiennych decyzyjnych, 2. sformułowanie funkcji celu (1) 3. sformułowanie równań lub nierówności określających zbiór decyzji dopuszczalnych X. W etapie II rozwiązujemy zbudowane zadanie PM w celu o określenia decyzji optymalnej x. Etap III jest jednym z najważniejszych etapów w poszukiwaniu decyzji optymalnej metodami programowania matematycznego. Chodzi tu o konfrontację uzyskanego rozwiązania z rzeczywistością gospodarczą w takim zakresie jak to jest tylko możliwe. Etap IV (opracowanie systemu kontroli) jest dynamiczną wersją etapu III (weryfikacji). Chodzi tutaj o to, że warunki w których podejmowana jest określona decyzja nie są statyczne i ulegają ciągłym zmianom. Może okazać się, że rozwiązanie uznane za optymalne "wczoraj" - "dziś" już nim nie jest.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [6] Liniowe modele decyzyjne [zadania programowania liniowego (PL)] Jeżeli w modelu PM (1)-(2): 1. funkcja celu (1) jest funkcją liniową oraz 2. równia i nierówności generujące zbiór decyzji dopuszczalnych X są formami liniowymi, to model PM nazywany jest modelem programowania liniowego (zadaniem PL). Przykład Mały zakład wytwarza dwa produkty A i B, których ceny zbytu wynoszą odpowiednio 3 $/szt. i 4 $/szt. Należy opracować dzienny plan produkcji zakładu tak, aby wartość produkcji liczona w cenach zbytu była możliwie największa. Produkcja jest limitowana głównie przez dwa czynniki: dostępny czas pracy maszyn i surowiec podstawowy. Dzienny limit czasu pracy maszyn wynosi 500 minut. Umowy z producentem surowca podstawowego wskazują, że każdego dnia zakład będzie miał do dyspozycji 350 kg tego surowca (bezpieczny poziom). Zakład jest zainteresowany takim programem dziennej produkcji, przy którym osiągał będzie zysk minimum 600 $. Sztuka wyrobu A wymaga 1 minuty czasu pracy maszyn, natomiast sztuka wyrobu B 2 minut. Na wyprodukowanie sztuki wyrobu A zużywa się 1 kg surowca specjalnego. Również sztuka wyrobu B wymaga 1 kg tego surowca. Jednostkowy zysk ze sztuki wyrobu A wynosi 2 $/szt., a ze sztuki wyrobu B 1 $/szt.
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [7] 1. lista zmiennych decyzyjnych x 1 - dzienna produkcja wyrobu A [szt.] x 2 - dzienna produkcja wyrobu B [szt.] 2. funkcja celu (wartość produkcji w cenach zbytu) w(x 1, x 2 ) = w(x) = 3 x 1 + 4 x 2 max [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych (maszyny) x 1 + 2 x 2 500 [minuta] (surowiec) x 1 + x 2 350 [kg] (min. zysk) 2 x 1 + x 2 600 [$] (warunki x 1 0 [szt.] brzegowe) x 2 0 [szt.] Ilustracja zbioru decyzji dopuszczalnych X Decyzja optymalna o o, x 1150 o o x 1 250 x2 100 w x1 2
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [8] Rozwiązywanie zadań PL Zadania PL rozwiązujemy: 1. metodą graficzną (2 zmienne decyzyjne) 2. metodą simpleks (klasyczną, zrewidowaną, zmodyfikowaną). Metoda graficzna
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [9] Klasyczna metoda simpleks w(x 1,x 2 ) = w(x) = 3 x 1 + 4 x 2 max (maszyny) x 1 + 2 x 2 500 (surowiec) x 1 + x 2 350 (min. zysk) 2 x 1 + x 2 600 (warunki brzegowe) x 1 0, x 2 0 Postać kanoniczna po dołączeniu 4 nowych zmiennych (3 swobodne i jedna sztuczna) jest następująca: w = 3 x 1 +4 x 2 +0s 1 +0s 2 +0s 3 Mt 3 max x 1 +2 x 2 + s 1 = 500 x 1 + x 2 + s 2 = 350 2 x 1 + x 2 s 3 +t 3 = 600 x 1 0, x 2 0, s 1 0, s 2 0, s 3 0, t 3 0 Interpretacja zmiennych swobodnych s 1 - niewykorzystany fundusz czasu pracy maszyn (limit 500 min) (ang. slack (luz)), s 2 - niewykorzystany zasób surowca (limit 350 kg) (ang. slack (luz)), s 3 - przekroczenie minimalnej kwoty zysku (żądanie 600 $) (ang. surplus (nadwyżka)).
B c i D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [10] Znajdowanie rozwiązania optymalnego zadania PL klasyczną metodą simpleks baza c 3 4 0 0 0 j M zm. baz. P1 x 1 P2 x 2 P3 s 1 P4 s 2 P5 s 3 P6 wart. zm. baz. B t 3 x i ilor. wyj. 0 P3 s 1 1 2 1 0 0 0 500 500 0 P4 s 2 1 1 0 1 0 0 350 350 M P6 t 3 2 1 0 0 1 1 600 300 z j 2M3 M4 c 0 0 M 0 600 j 0 P3 s 1 0 3/2 1 0 1/2 1/2 200 133 1/3 0 P4 s 2 0 1/2 0 1 1/2 1/2 50 100 3 P1 x 1 1 1/2 0 0 1/2 1/2 300 600 z j M x y c 0 5/2 0 0 3/2 M+3/2 900 x j 0 P3 s 1 0 0 1 3 1 1 50 4 P2 x 2 0 1 0 2 1 1 100 3 P1 x 1 1 0 0 1 1 1 250 z j c 0 0 0 5 1 M1 1150 x j Optymalny program dziennej produkcji jest następujący: 1. 250 sztuk wyrobu A oraz 100 sztuk wyrobu B. 2. Maksymalna wartość produkcji w cenach zbytu wynosi 1150 $. 3. Limit czasu pracy maszyn (500 min.) nie będzie wykorzystany w ilości 50 minut. 4. Dzienny zasób surowca (350 kg) będzie wykorzystany w całości. 5. Minimalny poziom zysku (600 $) nie będzie przekroczony. B i ik x
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [11] Przykład 2 Model programowania liniowego (liniowy model decyzyjny) Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P1 i P2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200 $, a koszty 300 $. Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500 $, a koszty 600 $. Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby a. osiągnąć maksymalny zysk b. osiągnąć minimalny koszt
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [12] MODEL DECYZYJNY (a) - przykład 2 1. lista zmiennych decyzyjnych P1 - intensywność procesu P1 [godz.] P2 - intensywność procesu P2 [godz.] 2. funkcja celu (zysk z uruchomienia procesów P1 i P2) Z(P1,P2) = 200P1 + 500P2 max [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych (paliwo X) 100P1 + 50P2 4000 [galon] (paliwo Y) 30P1 + 40P2 2400 [galon] (ropa A) 1P1 + 4P2 320 [baryłka] (ropa A) 3P1 + 2P2 240 [baryłka] (warunki P1 0 [godz.] brzegowe) P2 0 [godz.] MODEL DECYZYJNY (b) - przykład 2 ZMIENIA SIĘ TYLKO FUNKCJA CELU 1. lista zmiennych decyzyjnych - bez zmian 2. funkcja celu (koszty uruchomienia procesów P1 i P2) K(P1,P2) = 300P1 + 600P2 min [$] 3. ograniczenia określające zbiór planów dopuszczalnych - pozostają bez zmian