Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Transkrypt

1 Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki Szczecin 2011 Opracował: Dr inż. Artur Berliński

2 Wprowadzenie do ćwiczeń laboratoryjnych Metody i narzędzia pracy W trakcie ćwiczeń laboratoryjnych omawiane są konkretne przykłady, z zakresu zastosowań aktualnie rozważanego modelu optymalizacyjnego, różnorodnych sytuacji decyzyjnych, występujących w zadaniach zarządzania i organizacji przedsiębiorstwem. W każdym przykładzie wyróżniane są przy tym następujące etapy: - sformułowanie problemu decyzyjnego (sytuacji decyzyjnej), - budowa modelu matematycznego sytuacji decyzyjnej, - wybór narzędzi teoretycznych oraz programu komputerowego do rozwiązywania problemu, - wprowadzanie danych do komputera i rozwiązywanie problemu, - analiza uzyskanego rozwiązania i wszelkich parametrów z nim związanych, - wnioski odnośnie decyzji przyjmowanej do realizacji. W trakcie zajęć wykorzystywane są narzędzia komputerowe, w szczególności SOLVER w pakiecie EXCEL. Zaliczenie Zajęcia kończy pisemne kolokwium zaliczeniowe. Organizowane jest ono w laboratorium komputerowym w terminie ostatniego spotkania i trwa 90 minut. Obowiązują na nim zadania podobne do tych rozpatrywanych w trakcie zajęć. Cel poznawczy i kształcący Po zaliczeniu przedmiotu studenci powinni umieć: a/ budować liniowe modele optymalizacyjne opisujące najprostsze sytuacje decyzyjne spotykane w praktyce, b/ dobierać właściwe narzędzia (programy komputerowe) służące do rozwiązywania zbudowanych modeli optymalizacyjnych, c/ korzystać z programów komputerowych rozwiązujących liniowe modele optymalizacyjne, w szczególności: - poprawnie wprowadzać dane i sterować procesem rozwiązywania, - właściwie interpretować i wykorzystywać wyniki uzyskane w rozwiązaniach. Literatura: [1] Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN 2007 [2] Zawadzka, Ludmiła. Metody ilościowe w organizacji i zarządzaniu. Cz. 1. [3] Filipowicz B.: Badania operacyjne. Wybrane metody obliczeniowe i algorytmy. Cz. I, Kraków [4] Siudak, Marek.: Badania operacyjne /. Warszawa : Oficyna Wydaw. Politechniki Warszawskiej, [5] Sawik Tadeusz, Badania operacyjne dla inżynierów zarządzania, Wyd. AGH, Kraków >2<

3 Programowanie liniowe Programowanie liniowe jest to sformułowanie problemu decyzyjnego w postaci zadania optymalizacji matematycznej. Oznacza zbiór matematycznych modeli, opisujących rozpatrywaną sytuację decyzyjną oraz zestaw metod szukania minimów lub maksimów funkcji kryterialnych. Zagadnienie programowania liniowego to szczególny przypadek zagadnienia programowania matematycznego, w którym wszystkie związki zachodzące między zmiennymi mają charakter liniowy. Metoda geometryczna Zadanie programowania liniowego (PL) można zinterpretować i rozwiązać geometrycznie. W tym celu zagadnienie PL należy przedstawić w postaci kanonicznej gdzie przestrzeń rozwiązań 2 X R jest przestrzenia działania: n 2 b R, c R Interpretacja geometryczna zadania PL: W przestrzeni działań, jeśli zbiór rozwiązań dopuszczalnych: n 2 b R, c R n 2 (przy czym b R, c R jest ograniczony), to tworzy on wielościan wypukły S. Wyrażenie z=c*x określa w przestrzeni R 2 rodzinę równoległych hiperpłaszczyzn, przy czym wektor - c prostopadły do tych hiperpłaszczyzn wskazuje kierunek malenia funkcji z. Wychodząc z pewnej hiperpłaszczyzny należącej do tej rodziny i mającej wspólne punkty z wieloscianem S, przy przesuwaniu jej rónolegle w kierunku malenia z, można dojść do takiego jej położenia, że staje się ona hiperpłaszczyzną podpierającą. Jeśli ta hiperpłaszczyzna ma tylko jeden punkt wspólny ze zbiorem X 0 to punkt ten będzie punktem wierzchołkowym i zadanie PL ma jedyne rozwiązanie optymalne. >3<

4 Algorytm metody geometrycznej (1) narysuj obszar rozwiązań dopuszczalnych i określ jego wierzchołki jeżeli obszar rozwiązań jest pusty - wszystkie rozwiązania są niedopuszczalne - ponownie rozważ sformułowanie ograniczeń (2) narysuj 2 różne wykresy Funkcji Celu (FC) i określ kierunek optymalizacji (max vs. min) jeżeli problem dotyczy maksymalizacji FC równolegle przesuń linię reprezentującą FC w kierunku przyrostu jej wartości jeżeli problem polega na minimalizacji FC przesuń linię w kierunku przeciwnym, tj. zmniejszania się wartości FC (3) przesuń funkcję celu znajdując ostatni wierzchołek w przypadku, gdy FC jest równoległa do jednego z boków Obszaru Rozwiązań Dopuszczalnych (ORD), wówczas problem posiada szereg rozwiązań alternatywnych leżących pomiędzy wierzchołkami ORD. Równania prostych, które przecinają się w punkcie wierzchołkowym tworzą układ równań określających współrzędne punktu optymalnego Dobór struktury asortymentowej (Alokacja środków produkcji) Cel problemu: optymalny rozdział surowców, zdolności produkcyjnej maszyn oraz dysponowanego czasu pracy ludzi pomiędzy poszczególne wyroby (produkty), jakie może produkować firma. Kryterium optymalizacji: maksymalizacja zysku. Ograniczeniami są ilości posiadanych środków produkcji oraz technologia produkcji stosowana w firmie. Zmienną decyzyjną x j jest wielkość produkcji j-tego wyrobu. Dane potrzebne do rozwiązania problemu: technologia produkcji [a ij ] = A; ilość i-tego środka produkcji potrzebna do wyprodukowania jednostki j-tego wyrobu ilość posiadanych środków produkcji [b i ] = B zysk jednostkowy [c j ] = C; zysk ze sprzedaży jednostki j-tego wyrobu, c j = (cena - koszt jednostkowy produkcji) Metody: Programowanie liniowe. Metoda graficzna (geometryczna): przy dwu wyrobach, dla dowolnej liczby zmiennych np. metoda simpleks. Programowanie parametryczne. Wyniki: X = [x j ] - wielkość produkcji poszczególnych wyrobów, F(X)=Z(X)=max - maksymalna wartość funkcji celu - największy zysk możliwy do uzyskania w danych warunkach, analiza wrażliwości (wyniki programowania parametrycznego). Interpretacja wyniku: optymalny plan produkcji. Problemy do rozwiązania w ramach ćwiczeń laboratoryjnych Zapisać modele matematyczne, w konwencji problemu alokacji środków produkcji, oraz opracować rozwiązanie, posługując się interpretacją geometryczną zadania, następujących sytuacji decyzyjnych: Zadanie 1 Optymalizacja produkcji mebli: Fabryka mebli wytwarza szafy w dwóch gatunkach. Do ich produkcji zużywa odpowiednio: Szafa typu 1 Szafa typu 2 Surowiec (drewno m3) Energia kwh Praca godz >4<

5 Fabryka dysponuje ilością: 1800m3 drewna, 1900 kwh energii oraz 1600 godzinami pracy. Ile należy wyprodukować szaf 1 i 2 gatunku, aby zysk była maksymalny. Zysk jednostkowy ze sprzedaży szafy 1 wynosi 30zł, a szafy 2 20zł. Zadanie 2 Zdolność produkcyjna zakładu umożliwia wytwarzanie 200 silników elektrycznych typu A lub 600 silników elektrycznych typu B miesięcznie. Ustalić, ile silników elektrycznych każdego typu powinien zakład produkować. aby osiągnąć maksimum produkcji towarowej przy następujących warunkach dodatkowych: o silniki obu typów maja. identyczna, cenę; o cena silnika typu A jest trzy razy większą od ceny silnika typu B. o ceny silników typu A i B pozostają, do siebie w stosunku jak 9:2. Zadanie 3 Oddział mechaniczny może wytworzyć w ciągu zmiany 600 detali nr 1 lub 1200 detali nr 2. Zdolność produkcyjna oddziału obróbki cieplnej, gdzie muszą trafić oba detale w tym samym dniu, pozwala wykonać w ciągu zmiany 1200 detali nr 1 lub 800 detali nr 2. Ceny obu detali są identyczne. Określić dzienny program produkcji detali, maksymalizujący produkcję towarową zakładu, przy następujących warunkach dodatkowych: o Oba oddziały pracują na jedną zmianę. o Oddział mechaniczny pracuje na trzy zmiany, a oddział obróbki cieplnej na dwie zmiany. o Przedsiębiorstwo pracuje na dwie zmiany i w tym czasie musi wytworzyć nie więcej aniżeli 800 szt. detali nr 1 i nie więcej aniżeli 1OOOszt. detali nr 2. >5<

6 Zadanie 4 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby: A i B. W procesie produkcji tych wyrobów zużywa się wiele środków, spośród których dwa są limitowane robocizna oraz surowiec X. Limity te wynoszą: robocizna roboczogodzin, surowiec jednostek. Na wykonanie wyrobu A potrzeba 6 roboczogodzin oraz 10 jednostek surowca X, a na wykonanie wyrobu B potrzeba 6 roboczogodzin oraz 5 jednostek surowca X. Ze względu na ograniczenia popytowe produkcja wyrobu B nie może przekroczyć 4000 sztuk. Cena sprzedaży obydwu wyrobów jest taka sama i wynosi 100 zł/szt. Ułożyć LZD, jeżeli celem przedsiębiorstwa jest maksymalizacja przychodu. Jak zmieni się zadanie jeśli ze względów technologicznych należałoby produkować co najmniej trzy razy więcej wyrobu A niż wyrobu B? Zadanie 5 Przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A i B zużywając w tym celu 3 rodzaje surowców S1, S2, S3, których zasoby wynoszą: S1 4kg, S2 9kg i S3 3kg. Do produkcji wyrobu A zużywa się 3kg S1, 4kg S2 i 1kg S3. Do produkcji wyrobu B zużywa się 1kg S1, 3kg S2 i 2kg S3. Koszt zakupu kilograma surowca wynosi: S1 10 PLN, S2 20 PLN, S3 20 PLN. Przychód ze sprzedaży jednostki wyrobu to: 150 PLN za wyrób A oraz 120 PLN za wyrób B. Wyrobu B nie należy produkować więcej aniżeli 5 jednostek. Określić asortyment produkcji metodą geometryczną wiedząc, że przedsiębiorstwo dąży do maksymalnego zysku. o jakie jest rozwiązanie optymalne? o ile wynosi maksymalny zysk dla rozwiązania optymalnego? o które surowce zostały w pełni wykorzystane? o co stałoby się ze zbiorem rozwiązań dopuszczalnych ZRD, z rozwiązaniem optymalnym i z wartością funkcji celu, gdyby: konieczne było całkowite zużycie surowca S1? zysk z tytułu sprzedaży wyrobu A wynosił 30zł, a nie 20zł? konieczna była produkcja dokładnie 5 sztuk wyrobu B? o jak można zmienić wagi funkcji celu, aby rozwiązanie optymalne pozostało takie samo? >6<