Modelowanie całkowitoliczbowe

Transkrypt

1 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni ale tylko w miejscowości, gdzie zbudowano nowa fabrykę. Zmienne decyzyjne, zysk NPV z każdej inwestycji oraz konieczne nakłady w mln zł. (w chwili obecnej) podane sa w poniższej tabeli 1: 2 Tabela 1: Dane do przykładu Decyzja Zmienne dec. Zysk Nakłady 1 Budowa fabryki w A 2 Budowa fabryki w B 3 Budowa hurtowni w A 4 Budowa hurtowni w B Na inwestycje firma może przeznaczyć 10 mln. zł. Wyznacz tak a lokalizację fabryk i ewentualnie hurtowni, aby zmaksymalizować zysk.

2 Model problemu: "! $%&(')+*,-&.&.&./01. 4 Zagadnienie stałych kosztów P 2 Firma tekstylna SZYK zamierza produkować trzy produkty:2 3 i. Do produkcji tych wyrobów potrzebne sa trzy rodzaje maszyn, które firma zamierza wynajać. Wynajęcie maszyn do produkcji wyrobów 4 i 2 kosztuje odpowiednio: 200, 150 i 100 zł.5 tydzień. Zmienne koszty produkcji tych wyrobów szcuje się odpowiednio na 6, 4 i 8 zł. a cena zbytu wynosi odpowiednio 12, 8 i 15 zł. Wyroby te produkuje się z materiału, którego tygodniowa dostawa nie przekracza a jednostkowe zużycie wynosi odpowiednio 4, 3 i 46. Ponadto zdolności produkcyjne firmy ogranicza zatrudnienie - dysponuje 150 roboczogodzinami tygodniowo. Pracochłonność wytwarzania jednej sztuki każdego wyrobu wynosi odpowiednio 3, 2 i 6 roboczogodzin. Sformułuj model maksymalizacji tygodniowego zysku firmy. Niech 8 będzie wielkościa produkcji wyrobu 2, gdzie 9 :/;<. Ponadto zdefiniujemy jeszcze dla 9 -/;< zmienna, która przyjmuje

3 5 wartość 1, gdy produkuje się produkt 2 a zero w przeciwnym przypadku. Model powyższego zagadnienia dla funkcji celu zysku (dochod - koszt zmienny - koszt wynajmu) jest następujacy: -% < &% / & ( ( % ( % ( % ( # (jeśli to - ) (jeśli to - ) (jeśli to - ) & całkowite, 4 $%&('). Z ograniczeń mamy, że ), ( i. Rozwiazanie optymalne to:,, -. 6 P 3 ZAGADNIENIE LOKALIZACJI Dane: n - liczba klientów zgłaszających zapotrzebowanie na produkt, m - liczba miejsc lokalizacji budowy nowych zakładów,! - popyt na produkt klienta j-tego *-&.&.&. / - podaż zakładu zlokalizowanego w i-tym miejscu lokalizacji, - koszt budowy zakładu w i-tym miejscu lokalizacji, - koszt produkcji jednostki produktu w i-tym miejscu lokalizacji,! - koszt transportu jednostki produktu z i-tego miejsca do j-tego klienta (i1,.&.&., m). Problem: Wyznaczyć miejsca lokalizacji budowy nowych zakładów i ilości produktu jaki ma zostać przewożony od nowo-wybudowanych zakładów do klientów tak, aby zminimalizawać łaczne koszty budowy nowych zakładów, koszty produkcji i transportu zaspakajając popyt klientów i nie przekraczając podaży nowo-wybudowanych zakładów. Zmienne decyzyjne:! - ilość produktu przewożona od zakładu zlokalizowanego w i-tym miejscu lokalizacji do j-tego klienta,

4 , jeśli w i-tym miejscu lokalizacji wybuduje się nowy zakład a 8 0 w przeciwnym przypadku. MODEL zagadnienia: /!! 8!!!! *,-&.&.&. /!! 9 # $%&(' 9 9 -&.&.&. -&.&.&./ -&.&.&./ *-&.&.&./ /. 8 Ograniczenia alternatywne Rozważmy następujący układ dwóch ograniczeń:. Chcemy aby co najmniej jedno z tych ograniczeń zostało spełnione (lecz niekoniecznie oba). Niech będzie dostatecznie dużą liczbą dodatnią. Spełnienie układu ograniczeń: lub

5 9 można osiągnąć poprzez następujący układ : # $%&('). 10 P 4 Firma AUTO SA produkuje trzy typy aut: combi, półciężarówki i ciężarówki. Zasobami limitującymi wielkość produkcji sa: zatrudnienie i ilość stali. Limity tych zasobów wynosza odpowiednio roboczogodzin i 6000 ton stali. Aby produkcja była ekonomicznie opłacalna należy produkować co najmniej 1000 aut w każdym typie. Pozostałe dane podane sa w tabeli 2. Tabela 2: Dane do zadania combi półciężarówki ciężarówki stal 1.5t 3t 5t 6000t rob. 30 godz. 25 godz. 40 godz zysk Wyznaczyć optymalny plan produkcji. Model problemu Niech & będzie liczba produkowanych przez firmę aut

6 11 odpowiednio combi, półciężarówek i ciężarówek. ( ). ) lub (1) lub (2) lub (3) 12 Warunki 1, 2 i 3 można zapisać następująco: 4 % # $%&(' Z danych zadania otrzymujemy, że ( :%(. Rozwiazanie optymalne jest następujace: ( :

7 13 Modelowanie implikacji - warunku "jeśli to " Rozważmy implikację postaci: Jeśli 4&.&.&./ to 4&.&.&./. Warunek ten możemy przy użyciu zmiennych binarnych zapisać w równoważnej postaci następująco: 4&.&.&./ 4&.&.&./ # $%&('). (4) (5) (6) 14 Spełnienie K z N ograniczeń Dany jest układ nierówności: &&.&.&./ &&.&.&./... &&.&.&./

8 Spełnienie dokładnie z tych ograniczeń realizuje następujący układ ograniczeń: 4&.&.&.3 4&.&.&.3 4&.&.&.3 # $%&(' -&.&.&./ 16 Funkcja o możliwych wartościach &&.&.&./ albo albo.&.&. albo 4&.&.&.! "! (Funkcja może być np. postaci: 4&.&.&. 1!.) Układ ograniczeń jest postaci: &&.&.&. # $%&(' -&.&.&./ lub Binarna reprezentacja zmiennej całkowitej