Metody Ilościowe w Socjologii

Transkrypt

1 Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny

2 AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych IV. Programowanie matematyczne, optymalizacja

3 Wybrana literatura 1. Badania operacyjne, red. K. Kukuła, PWN, Warszawa 2002 (i późn.) 2. Badania operacyjne, red. E. Ignasiak, PWE, Warszawa 1996 (i późn.) 3. Trzaskalik T.: Modelowanie optymalizacyjne, Absolwent, Łódź Trzaskalik T.: Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem, PWE, Warszawa Kopańska-Bródka D.: Wprowadzenie do badań operacyjnych, Wyd. AE Katowice, Katowice 1998

4 Podstawowe definicje BADANIA OPERACYJNE są nauką zajmującą się analizą celowych działalności (operacji), generowaniem i oceną ilościową różnych decyzji. Jej zadaniem jest wspomaganie procesu podejmowania decyzji.

5

6

7 Metodologia W ramach badań operacyjnych została wypracowana specjalna metodologia, tzw. metodologia badań operacyjnych, która sprowadza się do następujących etapów: 1. Formułowanie problemu decyzyjnego, 2. Budowa modelu matematycznego lub jego analogu w wersji symulacyjnej, 3. Pozyskanie i przetwarzanie informacji wyjściowej niezbędnej do ustalenia parametrów modelu, 4. Procedura obliczeniowa lub postępowanie symulacyjne za pomocą wybranego algorytmu, 5. Analiza jakości rozwiązań modelu, 6. Weryfikacja modelu sprawdzenie jego adekwatności, 7. Wdrożenie rozwiązania.

8 Wybrane zagadnienia 1. Programowanie matematyczne liniowe, całkowitoliczbowe, dynamiczne, kwadratowe 2. Zagadnienia transportowe 3. Problem maksymalnego przepływu 4. Problem komiwojażera 5. Analiza sieciowa przedsięwzięć 6. Teoria kolejek 7. Teoria gier 8. Analiza wielokryterialna

9 Programowanie matematyczne k j b opt f j,..., 1 ) ( ) ( = g j (ma lub min) m k j b k j b j j 1,..., ) ( 1,..., ) ( + = = = j j g g

10 Program matematyczny min

11 Zagadnienia Do najważniejszych zagadnień programowania liniowego można zaliczyć:* Zagadnienie optymalnego wykorzystania urządzeń produkcyjnych Zagadnienie transportowe Zagadnienie optymalnego załadunku Zagadnienie optymalnego rozdziału jednorodnych zasobów Model optymalnego asortymentu produkcji Model optymalnego składu mieszanki (diety) Zagadnienie optymalnego rozdziału czynności Zagadnienie optymalnego rozkroju Wybór optymalnej struktury zasiewów * wszelkie informacje w dalszej części na podstawie niepublikowanego skryptu z programowania matematycznego K. Jakowskiej-Suwalskiej

12 Zagadnienie optymalnego wykorzystania urządzeń produkcyjnych Przedsiębiorstwo może wytwarzać N wyrobów na M urządzeniach. Istnieje K sposobów wytworzenia każdego z n wyrobów ( n = 1,2,...,N ). W czasie a kmn wytwarzana jest jednostka n-tego wyrobu na m-tym urządzeniu, k-tym sposobem ( n=1,2,...,n ; m=1,2,...m ; k=1,2,...,k ). W planowanym okresie T na m-tym urządzeniu można wytwarzać wyroby w ciągu b m jednostek czasu ( m=1,2,...m ). Z jednostki produkcji n-tego wyrobu k-tym sposobem przedsiębiorstwo osiąga zysk w wysokości s kn ( k=1,2,...,k; n=1,2,...,n ) jednostek pieniężnych. Sformułować model optymalnego planu wykorzystania mocy produkcyjnej urządzeń przedsiębiorstwa, przyjmując jako kryterium optymalności wielkość zysku.

13 Zagadnienie optymalnego wykorzystania urządzeń produkcyjnych Model optymalnego planu wykorzystania urządzeń produkcyjnych przedsiębiorstwa można sformułować następująco: wyznaczyć wartości zmiennych decyzyjnych kn ( k=1,...,k; n=1,...,n ) w taki sposób, aby spełniały warunki: K n = 1k= 1 a kmn kn b m ( m=1,...,m ) kn 0 ( k=1,...,k; n=1,...,n ) i jednocześnie maksymalizowały funkcję celu Z = K n= 1k= 1 c kn kn

14 Zagadnienie transportowe W m punktach dostawy D i ( i=1,2,...,m ) znajduje się jednorodny produkt w ilościach a i (i=1,2,...,m ), który należy dostarczyć do n punktów odbioru O j ( j=1,2,...,n ). Zapotrzebowanie na ten produkt w punktach odbioru O j wynosi odpowiednio b j (j=1,2,...,n ). Znane są koszty c ij przewozu jednostki produktu z i-tego punktu dostawy D i do j-tego punktu odbioru O j. Określić optymalny plan przewozu z danych punktów dostaw do danych punktów odbioru minimalizując koszty przewozów.

15 Zagadnienie transportowe

16 Zagadnienie optymalnego załadunku Na pojazd o nośności Q [ ton ] i pojemności P [ m 3 ] należy załadować N różnych towarów. W magazynie znajduje się D n jednostek n-tego towaru ( n=1,2,...,n ). Czas załadunku nie powinien przekraczać T jednostek. Ciężar, objętość n-tego towaru wynoszą odpowiednio q n [ ton ] i p 3 n [ m ], a czas jego załadunku wynosi t n jednostek czasu. Zysk z przewozu jednostki n-tego towaru wynosi c n jednostek pieniężnych (n=1,2,...,n ). Określić optymalny załadunek pojazdu, przyjmując jako kryterium łączny zysk uzyskany z przewozu towarów.

17 Zagadnienie optymalnego załadunku

18 Zagadnienie optymalnego rozdziału jednorodnych zasobów Istnieje p źródeł wzajemnie zastępowalnych zasobów w ilościach odpowiednio a 1,a 2,..., a p jednostek oraz q możliwych zastosowań tych zasobów, w których można je wykorzystać w ilościach odpowiednio b 1, b 2,..., b q jednostek. Dana jest macierz nakładów c ik wykorzystania jednostki i-tego zasobu w k-tym zastosowaniu ( i=1,2,...,p ; k=1,2,...,q ). Wyznaczyć optymalny rozdział zasobów między możliwe zastosowania, przy którym łączne nakłady osiągną minimum.

19 Zagadnienie optymalnego rozdziału jednorodnych zasobów

20 Model optymalnego asortymentu produkcji Przedsiębiorstwo posiada m środków produkcji S 1, S 2,..., S m w ilościach odpowiednio b 1, b 2,..., b m i wytwarza n różnych produktów. Wiadomo, że potrzeba a ij ( i=1,2,...,m ; j=1,2,...,n ) jednostek i-tego środka produkcji dla wytworzenia jednostki j-tego produktu. Z jednostki j-tego produktu przedsiębiorstwo osiąga zysk w wysokości c j jednostek pieniężnych. Przyjmując jako kryterium optymalności zysk sformułować optymalny plan produkcji.

21 Model optymalnego asortymentu produkcji

22 Model optymalnego składu mieszanki Należy określić jakie ilości produktów P 1, P 2,..., P n powinny zostać zakupione, aby przy racjonalnym zaspokojeniu potrzeb obniżyć do minimum koszty zakupu. Wiadomo, że minimalne zapotrzebowanie na składniki odżywcze w produktach P 1, P 2,..., P n wynosi odpowiednio b 1,b 2,...,b m jednostek. W jednostce produktu P j ( j=1,2,...,n ) znajduje się a ij jednostek składnika S i i=1,2,...,m. Cena jednostki produktu P j wynosi c j ( j=1,2,..,n ).

23 Model optymalnego składu mieszanki

24 Zagadnienie optymalnego rozdziału czynności

25 Zagadnienie optymalnego rozdziału czynności

26 Zagadnienie optymalnego rozkroju Z arkuszy materiału o znormalizowanych wymiarach należy otrzymać m różnych detali. Istnieje możliwość wykrawania tych detali z jednego arkusza materiału n różnymi sposobami. Należy wykroić b i (i=1,2,..., m ) detali i-tego rodzaju. Przy cięciu materiału j-tym sposobem otrzymujemy a ij ( i=1,2,..., m ; j=1,2,..., n ) jednostek. Sformułować model optymalnego programu cięcia arkuszy materiału, który zapewni minimalną ilość odpadków.

27 Zagadnienie optymalnego rozkroju

28 Wybór optymalnej struktury zasiewów Gospodarstwo rolne posiada M pól o różnej urodzajności i powierzchni pod zasiew N rodzajów płodów rolnych. Powierzchnia poszczególnych pól różnych pod względem urodzajności wynosi odpowiednio A 1, A 2,..., A M hektarów. Średnia wielkość zbiorów n-tego ( n=1,2,...,n ) płodu na m-tym ( m=1,2,...,m ) polu wynosi a mn kwintali z hektara. Przewiduje się, że zbiory n-tego płodu będą wynosiły co najmniej b n kwintali. Cena sprzedaży 1 kwintala n-tego płodu wynosi c n jednostek pieniężnych. Określić optymalną strukturę zasiewów, przyjmując za kryterium optymalności dochód ze sprzedaży wszystkich rodzajów płodów z całej powierzchni zasiewów.

29 Wybór optymalnej struktury zasiewów

30 Program matematyczny min

31 Przykład: zagadnienie diety Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę bydła rogatego. Zwierzętom należy w pożywieniu dostarczyć m.in. składnika odżywczego A w ilości co najmniej 60 jedn., zawartego w produktach P1 i P2 służących jako pasza. Produkty P1 i P2 zawierają także pewne ilości składników B i C. Ze względu na szkodliwe działanie tych składników zwierzęta powinny je otrzymywać w ograniczonych ilościach: składnika B co najwyżej 40 jedn., a składnika C co najwyżej 36 jedn. Zawartość interesujących nas składników w poszczególnych produktach oraz ceny produktów podano w poniższej tablicy. Składnik Zawartość składnika w jedn. produktu W diecie powinno się znaleźć przynajmniej 10 jedn. produktu P1. Określ plan zakupu realizujący wymagania oraz minimalizujący koszt zakupu. (Kukuła [1] s. 35) P1 A 3 3 B 10 4 C 6 9 Ceny produktów (zł) 9 18 P2

32 Budowa modelu 1 ilość zakupionego produktu P1 2 ilość zakupionego produktu P2 Program matematyczny f. celu: ograniczenia:

33 Narzędzie SOLVER MS Ecel

34 Narzędzie SOLVER MS Ecel

35 Narzędzie SOLVER MS Ecel

36 Narzędzie SOLVER MS Ecel

37 Narzędzie SOLVER MS Ecel

38 Narzędzie SOLVER MS Ecel Okazało się, że nieprawidłowo odczytano normy dot. maksymalnych dawek składników B i C. Dopuszczalne dawki mogą być dziesięciokrotnie większe.

39 Narzędzie SOLVER MS Ecel

40 WNIOSKI KOŃCOWE - Model musi mieć sens funkcja celu ma interpretację (jej wartość możemy zinterpretować), każde ograniczenie ma sens (wartość jest interpretowalna) - Narzędzie do rozwiązywania problemów programowania matematycznego - SOLVER

41 DZIĘKUJĘ