Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Transkrypt

1 Przedmiot: Nr ćwiczenia: 3 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie dynamiczne Cel ćwiczenia: Formułowanie i rozwiązywanie problemów optymalizacyjnych z własnością Markowa metoda programowania dynamicznego. Zadania szczegółowe: 1. Sformułować problem jako problem programowania matematycznego (zmienne decyzyjne, funkcja celu, ograniczenia). 2. Sformułować problem jako problem programowania dynamicznego (etapy, stany, decyzje, funkcja rekurencyjna). 3. Narysować graf stanów i decyzji. 4. Uzasadnić, że problem posiada własność Markowa. 5. Rozwiązać problem metodą programowania dynamicznego. 6. Zaznaczyć rozwiązanie (rozwiązania) optymalne na grafie z punktu Podać interpretację rozwiązania. ZADANIE 1/PDYN Właściciel trzech sklepów spożywczych zakupił pięć skrzyń świeżych truskawek. Szacunkowe prawdopodobieństwo sprzedania truskawek przed utratą przydatności do spożycia jest różne dla poszczególnych sklepów. Dlatego właściciel chciałby wiedzieć, jak najlepiej rozdzielić towar między poszczególne sklepy, aby zmaksymalizować przewidywany zysk. Ze względów administracyjnych właściciel nie chce dzielić skrzyń między sklepy, ale zgodzi się na pominięcie jakiegoś sklepu w dostawie. Poniższa tabela przedstawia szacowany zysk, jeżeli odpowiednia liczba skrzyń truskawek zostanie przydzielona do poszczególnych sklepów. Tabela 1. Szacowany zysk w poszczególnych sklepach w zależności od liczby dostarczonych skrzyń truskawek. Sklep Sklep 1 Sklep 2 Sklep 3 Sklep 4 Sklep 5 Liczba skrzyń Określić jaką liczbę skrzyń należy przydzielić do każdego ze sklepów, aby zmaksymalizować całkowity przewidywany zysk. ZADANIE 2/PDYN Dany jest fundusz wynoszący 80 mln zł, który należy podzielić między pięć projektów. Przewidywane wartości zysku z realizacji tych projektów przedstawiono w tablicy. Tabela 1. Szacowane wartości zysku z projektów zależnie od poziomu finansowania. Fundusz Należy rozdzielić fundusz między projekty w taki sposób, aby zmaksymalizować łączną wartość zysku. 1/7

2 ZADANIE 3/PDYN Cena pewnego surowca wykorzystywanego do produkcji podlega wahaniom sezonowym. Zapotrzebowanie na surowiec również podlega takim zmianom. Surowiec można zakupić tylko w ilości niezbędnej do bieżącej produkcji albo przechować w magazynie i wykorzystać w późniejszych okresach. Magazynowanie 1 tony surowca kosztuje 2000 zł na miesiąc. Każdy zakup wymaga poniesienia dodatkowych kosztów transportu, które nie zależą od ilości kupowanego surowca i wynoszą 3000 zł za cały transport. Obecnie magazyn jest pusty, a maksymalnie może pomieścić 8 t surowca. Planuje się, że po upływie 5 miesięcy surowiec nie będzie więcej wykorzystywany, a zatem stan magazynu na koniec piątego miesiąca powinien wynosić zero. Tabela 1. Zapotrzebowanie i cena surowca w kolejnych miesiącach. Zapotrzebowanie [t] Cena zakupu [zł/t] Znaleźć optymalną politykę zakupów surowca na najbliższe 5 miesięcy. ZADANIE 4/PDYN Pewne urządzenie elektroniczne składa się z pięciu elementów połączonych szeregowo. Zatem każdy element musi być sprawny, aby urządzenie działało poprawnie, ale każdy element podlega losowo uszkodzeniom. Można podnieść niezawodność urządzenia przez zduplikowanie elementów i zapewnienie automatycznego przełączenia w przypadku awarii na element zapasowy. Poziom niezawodności i koszty duplikacji podano w tablicy. Niezawodność określono jako prawdopodobieństwo rocznej niezawodnej pracy urządzenia. Załóżmy, że na poprawę niezawodności możemy wydać kwotę 6000 zł. Tabela 1. Przewidywana niezawodność elementów. Element Liczba elementów 0 0,7 0,9 0,8 0,6 0,8 1 0,85 0,96 0,9 0,8 0,92 2 0,97 0,99 0,98 0,95 0,98 Cena elementu [zł/szt.] Jak optymalnie wydać pieniądze na poprawę niezawodności urządzenia? ZADANIE 5/PDYN Firma malarska musi zaplanować zatrudnienie na następnych 5 miesięcy. Oszacowano, że minimalna liczba malarzy potrzebna w każdym z kolejnych 5-ciu miesięcy wynosi odpowiednio: 4, 6, 7, 3 i 5. Malarze mogą być zwalniani i zatrudniani na końcu każdego miesiąca. Jednak w przypadku, gdy liczba malarzy na początku miesiąca jest większa niż na początku poprzedniego miesiąca, to w tym miesiącu należy zapłacić 4$ za każdego dodatkowo zatrudnionego malarza. Z drugiej strony, jeżeli liczba malarzy w danym miesiącu jest większa niż potrzeba, to w tym miesiącu dodatkowe koszty wynoszą 3$ za każdego nadmiarowo zatrudnionego malarza. Zastosować technikę programowania dynamicznego w celu ustalenia optymalnej polityki zatrudniania malarzy w ciągu następnych pięciu miesięcy. 2/7

3 ZADANIE 6/PDYN Przewodnicząca lokalnej partii politycznej przygotowuje plan kampanii wyborczej. Zwerbowała cztery ochotniczki do pracy w punktach informacyjnych i chce je tak rozmieścić, aby efektywność ich działalności była jak największa. Uważa ona, że przydzielenie jednej osobie więcej niż jednego punktu do obsługi nie ma sensu ze względu na ilość pracy związaną z prowadzeniem takiego punktu, jednakże jest ona gotowa nie obsadzić wszystkich punktów, jeżeli okaże się to bardziej efektywne. Poniższa tabela przedstawia szacowany wzrost lub spadek liczby osób popierających kandydata partii w każdym z punktów, jeżeli przydzielić tam odpowiednią liczbę pracowników. Tabela 1. Szacowany wzrost liczby osób popierających kandydata partii w każdym z punktów. Liczba pracowników Korzystając z techniki programowania dynamicznego określić ile osób powinno zostać przydzielonych do poszczególnych punktów, aby zmaksymalizować całkowity przyrost osób popierających kandydata partii w wyborach. ZADANIE 7/PDYN Producent samochodów musi zaplanować produkcję na następnych pięć miesięcy. Aby zrealizować zamówienia klientów musi on wyprodukować do końca każdego miesiąca liczbę samochodów nie mniejszą od sumy zamówień klientów na każdy miesiąc. Załóżmy, że ze względu na optymalne wykorzystanie linii montażowej, samochody muszą być montowane w partiach po 5 szt. W tabeli podano maksymalną zdolność produkcyjną fabryki oraz jednostkowe koszty produkcji w każdym miesiącu. Samochody wyprodukowane w danym miesiącu mogą być magazynowane do następnego miesiąca i koszt magazynowania wynosi 20$/samochód. Celem jest ustalenie planu produkcji pozwalającego zrealizować w terminie zamówienia klientów, przy jak najniższych kosztach produkcji. Sformułować problem i rozwiązać metodą programowania dynamicznego. Tabela 1. Dane do planu produkcji samochodów. Liczba zamówionych samochodów Maksymalna zdolność produkcyjna Jednostkowy koszt produkcji /7

4 ZADANIE 8/PDYN Właściciel trzech sklepów spożywczych zakupił pięć skrzyń świeżych truskawek. Szacunkowe prawdopodobieństwo sprzedania truskawek przed utratą przydatności do spożycia jest różne dla poszczególnych sklepów. Dlatego właściciel chciałby wiedzieć, jak najlepiej rozdzielić towar między poszczególne sklepy, aby zmaksymalizować przewidywany zysk. Ze względów administracyjnych właściciel nie chce dzielić skrzyń między sklepy, ale zgodzi się na pominięcie jakiegoś sklepu w dostawie. Poniższa tabela przedstawia szacowany zysk, jeżeli odpowiednia liczba skrzyń truskawek zostanie przydzielona do poszczególnych sklepów. Tabela 1. Szacowany zysk w poszczególnych sklepach w zależności od liczby dostarczonych skrzyń truskawek. Sklep Sklep 1 Sklep 2 Sklep 3 Sklep 4 Sklep 5 Liczba skrzyń Określić jaką liczbę skrzyń należy przydzielić do każdego ze sklepów, aby zmaksymalizować całkowity przewidywany zysk. ZADANIE 9/PDYN Dany jest fundusz wynoszący 120 mln zł, który należy podzielić między pięć projektów. Przewidywane wartości zysku z realizacji tych projektów przedstawiono w tablicy. Tabela 1. Szacowane wartości zysku z projektów zależnie od poziomu finansowania. Fundusz Należy rozdzielić fundusz między projekty w taki sposób, aby zmaksymalizować łączną wartość zysku. ZADANIE 10/PDYN Cena pewnego surowca wykorzystywanego do produkcji podlega wahaniom sezonowym. Zapotrzebowanie na surowiec również podlega takim zmianom. Surowiec można zakupić tylko w ilości niezbędnej do bieżącej produkcji albo przechować w magazynie i wykorzystać w późniejszych okresach. Magazynowanie 1 tony surowca kosztuje 1000 zł na miesiąc. Każdy zakup wymaga poniesienia dodatkowych kosztów transportu, które nie zależą od ilości kupowanego surowca i wynoszą 1500 zł za cały transport. Obecnie magazyn jest pusty, a maksymalnie może pomieścić 6 t surowca. Planuje się, że po upływie 5 miesięcy surowiec nie będzie więcej wykorzystywany, a zatem stan magazynu na koniec piątego miesiąca powinien wynosić zero. Tabela 1. Zapotrzebowanie i cena surowca w kolejnych miesiącach. Zapotrzebowanie [t] Cena zakupu [zł/t] Znaleźć optymalną politykę zakupów surowca na najbliższe 5 miesięcy. 4/7

5 ZADANIE 11/PDYN Pewne urządzenie elektroniczne składa się z pięciu elementów połączonych szeregowo. Zatem każdy element musi być sprawny, aby urządzenie działało poprawnie, ale każdy element podlega losowo uszkodzeniom. Można podnieść niezawodność urządzenia przez zduplikowanie elementów i zapewnienie automatycznego przełączenia w przypadku awarii na element zapasowy. Poziom niezawodności i koszty duplikacji podano w tablicy. Niezawodność określono jako prawdopodobieństwo rocznej niezawodnej pracy urządzenia. Załóżmy, że na poprawę niezawodności możemy wydać kwotę 4000 zł. Tabela 1. Przewidywana niezawodność elementów. Element Liczba elementów 0 0,7 0,8 0,8 0,6 0,9 1 0,85 0,92 0,9 0,8 0,96 2 0,97 0,98 0,98 0,95 0,99 Cena elementu [zł/szt.] Jak optymalnie wydać pieniądze na poprawę niezawodności urządzenia? ZADANIE 12/PDYN Firma malarska musi zaplanować zatrudnienie na następnych 5 miesięcy. Oszacowano, że minimalna liczba malarzy potrzebna w każdym z kolejnych 5-ciu miesięcy wynosi odpowiednio: 8, 12, 14, 6 i 10. Malarze mogą być zwalniani i zatrudniani na końcu każdego miesiąca. Jednak w przypadku, gdy liczba malarzy na początku miesiąca jest większa niż na początku poprzedniego miesiąca, to w tym miesiącu należy zapłacić 4$ za każdego dodatkowo zatrudnionego malarza. Z drugiej strony, jeżeli liczba malarzy w danym miesiącu jest większa niż potrzeba, to w tym miesiącu dodatkowe koszty wynoszą 3$ za każdego nadmiarowo zatrudnionego malarza. Zastosować technikę programowania dynamicznego w celu ustalenia optymalnej polityki zatrudniania malarzy w ciągu następnych pięciu miesięcy. ZADANIE 13/PDYN Przewodnicząca lokalnej partii politycznej przygotowuje plan kampanii wyborzej. Zwerbowała cztery ochotniczki do pracy w punktach informacyjnych i chce je tak rozmieścić, aby efektywność ich działalności była jak największa. Uważa ona, że przydzielenie jednej osobie więcej niż jednego punktu do obsługi nie ma sensu ze względu na ilość pracy związaną z prowadzeniem takiego punktu, jednakże jest ona gotowa nie obsadzić wszystkich punktów, jeżeli okaże się to bardziej efektywne. Poniższa tabela przedstawia szacowany wzrost lub spadek liczby osób popierających kandydata partii w każdym z punktów, jeżeli przydzielić tam odpowiednią liczbę pracowników. Tabela 1. Szacowany wzrost liczby osób popierających kandydata partii w każdym z punktów. Liczba pracowników Korzystając z techniki programowania dynamicznego określić ile osób powinno zostać przydzielonych do poszczególnych punktów, aby zmaksymalizować całkowity przyrost osób popierających kandydata partii w wyborach. 5/7

6 ZADANIE 14/PDYN Producent samochodów musi zaplanować produkcję na następnych pięć miesięcy. Aby zrealizować zamówienia klientów musi on wyprodukować do końca każdego miesiąca liczbę samochodów nie mniejszą od sumy zamówień klientów na każdy miesiąc. Załóżmy, że ze względu na optymalne wykorzystanie linii montażowej, samochody muszą być montowane w partiach po 10 szt. W tabeli podano maksymalną zdolność produkcyjną fabryki oraz jednostkowe koszty produkcji w każdym miesiącu. Samochody wyprodukowane w danym miesiącu mogą być magazynowane do następnego miesiąca i koszt magazynowania wynosi 20$/samochód. Celem jest ustalenie planu produkcji pozwalającego zrealizować w terminie zamówienia klientów, przy jak najniższych kosztach produkcji. Sformułować problem i rozwiązać metodą programowania dynamicznego. Tabela 1. Dane do planu produkcji samochodów. Liczba zamówionych samochodów Maksymalna zdolność produkcyjna Jednostkowy koszt produkcji ZADANIE 15/PDYN Pewna firma planuje zainwestować 5 mln USD w celu rozbudowy trzech swoich zakładów. Każdy z zakładów przygotował kilka propozycji rozwoju. Każda propozycja wymaga pewnych nakładów (n) oraz powinna przynieść planowany zysk (z). Tablica 1 przedstawia zestawienie propozycji realizacji inwestycji w poszczególnych zakładach. Tablica 1. Możliwości realizacji inwestycji. Zakład 1 Zakład 2 Zakład 3 Propozycja n Z n z N z Każdy z zakładów może zrealizować tylko jedną z planowanych inwestycji. Celem jest maksymalizacja zysku z wszystkich zrealizowanych inwestycji. Zakładamy, że niezainwestowane środki przepadają. 6/7

7 ZADANIE 16/PDYN Pewna firma planuje zainwestować 10 mln USD w celu rozbudowy trzech swoich zakładów. Każdy z zakładów przygotował kilka propozycji rozwoju. Każda propozycja wymaga pewnych nakładów (n) oraz powinna przynieść planowany zysk (z). Tablica 1 przedstawia zestawienie propozycji realizacji inwestycji w poszczególnych zakładach. Tablica 1. Możliwości realizacji inwestycji. Zakład 1 Zakład 2 Zakład 3 Propozycja n z n z n Z Każdy z zakładów może zrealizować tylko jedną z planowanych inwestycji. Celem jest maksymalizacja zysku z wszystkich zrealizowanych inwestycji. Zakładamy, że niezainwestowane środki przepadają. ZADANIE 17/PDYN Jeden z surowców wykorzystywanych w procesie produkcyjnym podlega sezonowym zmianom zapotrzebowania i cen, których przewidywane wartości na najbliższe 6 miesięcy przedstawia Tablica 1. Tablica 1. 6 Zapotrzebowanie [ton] Cena [$1000tonę] Surowiec może być zużyty w miesiącu zakupu lub przechowany do późniejszego wykorzystania. Pojemność magazynu wystarcza na zgromadzenie 8 ton zapasów surowca. Koszty utrzymania zapasów wynoszą $2000 za tonę na miesiąc. W chwili bieżącej stan zapasów wynosi 0. Znależć optymalną politykę zakupów i magazynowania przy założeniu, że zapas końcowy (po sześciu miesiącach) ma być równy zero. 7/7