6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

Transkrypt

1 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne rozwiązanie zadania PL składaą się następuące elementy: Skład optymalne bazy (wektory bazowe), Optymalne wartości zmiennych modelu (decyzynych i swobodnych), Optymalna wartość funkci kryterium. Z czego wynika potrzeba przeprowadzania analizy wrażliwości rozwiązania optymalnego?: Mogą być obserwowane dynamiczne zmiany w warunkach funkconowania przedsiębiorstwa, np. zmiany cen, płac, wielkości zatrudnienia, itd. Zarząd przedsiębiorstwa chce uwzględniać ryzyko zmian parametrów przy podemowaniu decyzi. Model PL est deterministyczny, natomiast ego parametry są zwykle wynikami szacunków/prognoz i są obarczone błędami statystycznymi. Zarząd firmy chce znać poziomy krytyczne wartości parametrów modelu PL(dopuszczalne wartości błędów statystycznych), które nie zmieniaą optymalne decyzi.

2 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI PARAMETRY FUNKCJI KRYTERIUM Rozwiązanie zadania PL est optymalne, eżeli WSZYSTKIE wskaźniki optymalności niedodatnie w przypadku maksymalizaci albo nieuemne w przypadku minimalizaci = c z = c ( B ) T ( B ) T 1 * c Y = c c B A = 1,,n * są Interesue nas wskazanie przedziału dopuszczalnych zmian dla parametrów funkci kryterium (zysków ednostkowych, kosztów ednostkowych), które nie prowadzą do zmiany rozwiązania wyznaczonego ako optymalne, w sensie optymalnych wartości zmiennych modelu. Zakładamy, że w tym samym czasie może ulegać zmianie tylko eden parametr modelu pozostałe parametry przymuą oryginalnie ustalone wartości.

3 Rozróżniamy dwa możliwe przypadki: 1. Zmiana parametru przy zmienne decyzyne NIEBAZOWEJ x k 2. Zmiana parametru przy zmienne BAZOWEJ x k. Ad 1. W przypadku zmiany wartości parametru stoącego w funkci kryterium przy zmienne NIEBAZOWEJ x k obserwuemy zmianę tylko ednego wskaźnika optymalności, tylko dla =k. Zmiana taka nie wywiera w ogóle wpływu na zmianę wartości z dla =1,,n *. W związku z tym dla parametru c k przy zmienne NIEBAZOWEJ w funkci kryterium możemy ustalić granice przedziału dopuszczalnych zmian, zwanego przedziałem nieistotności (range of insignificance), w następuący sposób: - dla zadań maksymalizaci : < ck zk c z. - dla zadań minimalizaci: k k

4 Ad 2. W przypadku zmiany parametru stoącego przy zmienne BAZOWEJ x k ulegaą zmianie WSZYSTKIE wskaźniki optymalności dla =1,,n *, za wyątkiem wskaźników optymalności odpowiadaących zmiennym bazowym (są one równe zeru). Jeżeli zadanie PL nie est sprzeczne (zbiór rozwiązań dopuszczalnych nie est pusty) to wśród zmiennych bazowych rozwiązania optymalnego nie ma zmiennych sztucznych. Przeprowadzaąc analizę wrażliwości rozwiązania nie bierzemy pod uwagę wskaźników optymalności odpowiadaących zmiennym sztucznym, wprowadzonym edynie w celu uzyskania startowego rozwiązania bazowego. W celu wyznaczenia tzw. przedziału optymalności (optimality range) dla parametru c k stoącego w funkci kryterium przy zmienne bazowe musimy rozwiązać układ nierówności w liczbie: skonstruowanych następuąco: n * - m - liczba zmiennych sztucznych W zadaniu maksymalizaci : 0 dla indeksów odpowiadaących zmiennym nie - bazowym i nie-sztucznym,

5 W zadaniu minimalizaci: 0 dla indeksów odpowiadaących zmiennym nie-bazowym i nie-sztucznym. Odpowiedni układ nierówności rozwiązuemy ze względu na parametr c k traktowany aka nieznana wartość zmienne. W tym przypadku parametr c k est elementem wektora B c.

6 ANALIZA WRAŻLIWOŚCI PRAWE STRONY OGRANICZEŃ Bardzo często w zadaniach PL prawe strony ograniczeń wyrażaą ilości dostępnych zasobów zasoby pracy, surowców itp.. Informaca o tym ile warta est, w sensie przyrostu całkowitego zysku firmy, dodatkowa ednostka ograniczonego zasobu est bardzo cenna. Taka wycena est przedmiotem te części analizy wrażliwości. Przedział dopuszczalnych zmian (range of feasibility) dla parametru b i est określony z wykorzystaniem warunku dopuszczalności rozwiązania bazowego, w szczególności optymalnego rozwiązania bazowego: x B opt = ( B opt 1 ) b 0.

7 Postępowanie: Macierz odwrotną do macierzy optymalne bazy znaduemy w tabeli simpleksowe odpowiadaące rozwiązaniu optymalnemu w kolumnach, które w startowe tabeli tworzyły macierz ednostkową (w koleności odpowiadaące kolenym wektorom ednostkowym). W wektorze b (wektorze oryginalnych wartości prawych stron ograniczeń) uzmienniamy badany parametr i rozwiązuemy powstały układ nierówności ze względu na b i. Tak długo ak zmiana parametru b i nie prowadzi do zakłócenia warunku dopuszczalności rozwiązania, ta sama baza pozostae dopuszczalna i optymalna rozważamy dopuszczalne zmiany TYLKO JEDNEGO parametru b i i=1,,m zakładaąc, że pozostałe parametry przymuą oryginalne wartości. Zmiany wartości b i poza przedział dopuszczalnych zmian powoduą, że należy przystąpić do wykonania dodatkowych iteraci metody simplex w celu wyznaczenia nowego bazowego rozwiązania dopuszczalnego i optymalnego.

8 DUALIZM W PROGRAMOWANIU LINIOWYM: Z każdym zadaniem PL związane est zadanie, zwane zadaniem dualnym. Fundamentalną własnością pary zadań dualnych est, że rozwiązanie ednego z tych zadań dostarcza rozwiązanie drugiego z nich. max z( x) = Ax x c b 0 T x SYMETRYCZNA PARA ZADAŃ DUALNYCH PL: min A y T y 0 w( y) = Zadanie prymalne Zadanie dualne x - n 1wektor zmiennych decyzynych, y - m 1 wektor zmiennych dualnych. c b T y

9 Naważniesze własności: Jeżeli edno z pary zadań dualnych posiada skończone rozwiązanie optymalne to również dla drugiego z zadań można znaleźć skończone rozwiązanie optymalne. Optymalne wartości funkci kryterium obu zadań są równe. max z( x ) = min w( y). Jeżeli edno z pary zadań dualnych nie posiada skończonego rozwiązania optymalnego, est nieograniczone (unbounded), to drugie z nich est sprzeczne (infeasible). Jeżeli edno z pary zadań dualnych est sprzeczne, to drugie z nich est również sprzeczne bądź nieograniczone. Każda ze zmiennych dualnych odpowiada ednemu z ograniczeń zadania prymalnego. Jeżeli zmienna swobodna w ograniczeniu nierównościowym est większa od zera, to odpowiadaąca ograniczeniu zmienna dualna est równa zero. Interpretaca wartości zmiennych dualnych (shadow prices) odpowiadaących rozwiązaniu optymalnemu zadania prymalnego wynika z równości wartości funkci kryterium obu zadań: y i = z max b i,

10 Interpretaca: Zmienna dualna wyraża przyrost optymalne wartości funkci kryterium zadania prymalnego będący wynikiem ednostkowego przyrostu prawe strony odpowiadaącego e ograniczenia (dodatkowe ednostki zasobu). Zmienna dualna est zmienną mianowaną. Miano zmienne dualne to: ednostka pomiaru funkci kryterium zadania prymalnego / ednostka pomiaru prawe strony ograniczenia, np. $/h, $/t, itp. UWAGA: Należy zwrócić uwagę, że zmiana wartości prawe strony ograniczenia prowadzi, w ogólnym przypadku, do zmiany optymalnych wartości zmiennych zadania PL. Jeżeli zmiana est dokonana w obrębie wyznaczonego przedziału dopuszczalnych zmian dla parametru b i, to nie zmienia się macierz optymalne bazy i nie ulegaą również zmianie wartości zmiennych dualnych. W przypadku zadań PL o mieszanych warunkach, znak zmienne dualne zależy od kierunku nierówności w ograniczeniu, któremu zmienna dualna odpowiada. Zmienne dualne związane z ograniczeniami o przeciwnych kierunkach niż sformułowane dla symetryczne pary zadań (t. dla max oraz dla min ) są NIEDODATNIE; w przypadku ograniczenia równościowego znak odpowiadaące zmienne dualne nie może być przewidziany.

11 Wektor wartości zmiennych dualnych odpowiadaących rozwiązaniu optymalnemu może być wyznaczony za pomocą wzoru: y opt = ( c B opt ) T ( B opt ) 1. ROZSZERZONA ANALIZA WRAŻLIWOŚCI rozwiązania optymalnego obemue: usunięcie zmienne decyzyne z zadania PL, badanie reakci rozwiązania optymalnego na dołączenie lub usunięcie ograniczenia z zadania PL.