Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania

Transkrypt

1 Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e.kozlovski@pollub.pl

2 Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3

3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym {x t } t T gdzie T = {t 0, t 1,...}. Definicja oparta jest na pojęciu zmiennej losowej x t zależnej od parametru t (czasu). Czasami zakładamy, że odstępy pomiędzy t i i t i+1 są jednakowe. Tym samym mamy do czynienia ze sparametryzowaną rodziną zmiennych losowych. Rozkłady tych zmiennych losowych, a w szczególności ich pierwsze i drugie momenty również mogą zależeć od czasu t.

4 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji f tr (t).

5 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji f tr (t). 2 Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t).

6 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji f tr (t). 2 Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). 3 Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t).

7 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji f tr (t). 2 Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). 3 Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t). 4 Losowość. Czynnik kształtujący wahania (fluktuacje) o charakterze losowym. Wyniki działań losowych czynników modelujemy za pomocą zmiennych losowych ε t, t = 1, 2,...

8 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników 1 Trend. Czynnik kształtujący ogólną tendencję rozwojową. Czynnik trendu opisywany jest za pomocą nielosowej funkcji f tr (t). 2 Sezonowość. Czynnik kształtujący okresowe wahania analizowanego zjawiska w ciągu roku. Wyniki działań czynników sezonowych modelujemy za pomocą nielosowej funkcji ϕ(t). 3 Cykliczność. Czynnik kształtujący zmiany analizowanego zjawiska pod wpływem długoczasowych cykli o charakterze ekonomicznym, demograficznym lub astrofizycznym, który opisujemy za pomocą funkcji nielosowej ψ(t). 4 Losowość. Czynnik kształtujący wahania (fluktuacje) o charakterze losowym. Wyniki działań losowych czynników modelujemy za pomocą zmiennych losowych ε t, t = 1, 2,... 5 Trend stochastyczny. Czynnik kształtujący dynamikę o charakterze losowym. W przypadku trendu stochastycznego własności dynamiczne szeregu zmieniają się w czasie. Trend stochastyczny w szeregu czasowym powstaje w wyniku integracji poprzednich zaburzeń.

9 Struktura i klasyfikacja podstawowych czynników Szereg czasowy opisujemy za pomocą równania stanu gdzie x t = λ 1 f tr (t) + λ 2 ϕ(t) + λ 3 ψ(t) + ε t dla t = 0, 1, 2,..., N, (1) λ i = { 1, jeżeli i-ty czynnik wpływa na kształtowanie, 0, w przeciwnym razie. Wnioskowanie o istnieniu i-tego czynnika może być oparte na analizie istoty zadania (ma charakter aprioryczny, teoretyczny w tym celu wykorzystujemy publikacje, ekspertyzy opracowane wcześniej) lub na podstawie analizy statystycznej badanego szeregu (analizie trajektorii i własności badanego zjawiska).

10 Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {x t } t T, T = {0, 1,..., N} należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji f tr (t), ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λ i, i = 1, 2, 3;

11 Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {x t } t T, T = {0, 1,..., N} należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji f tr (t), ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λ i, i = 1, 2, 3; 2 skonstruować estymatory dla nielosowych funkcji występujących w szeregu czasowym (1);

12 Identyfikacja szeregu czasowego W oparciu o trajektorię realizacji szeregu szacowanego {x t } t T, T = {0, 1,..., N} należy: 1 określić, które z nielosowych funkcji f tr (t), ϕ(t), ψ(t) uczestniczą w modelu (1), tzn należy określić wartości parametrów λ i, i = 1, 2, 3; 2 skonstruować estymatory dla nielosowych funkcji występujących w szeregu czasowym (1); 3 dobrać model opisujący zachowanie funkcji losowej ε t oraz dobrać estymatory parametrów rozkładu.

13 Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli;

14 Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny;

15 Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego;

16 Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego; 4 sprawdzamy za pomocą narzędzi statystyki matematycznej czy wybrany model jest poprawny (czy dobrze jest dopasowany do danych empirycznych). Jeżeli jest dobrze dopasowany to jest gotowy do wykorzystania w celu prognoz. W przeciwnym razie, gdy zostanie wykryta niezgodność, to procedurę musimy wykonać od nowa (identyfikacja, estymacja, sprawdzenie);

17 Budowa modeli matematycznych 1 na podstawie dostępnej informacji dobieramy odpowiednią klasę modeli; 2 wybieramy model próbny; 3 dokonujemy identyfikacji modelu próbnego; 4 sprawdzamy za pomocą narzędzi statystyki matematycznej czy wybrany model jest poprawny (czy dobrze jest dopasowany do danych empirycznych). Jeżeli jest dobrze dopasowany to jest gotowy do wykorzystania w celu prognoz. W przeciwnym razie, gdy zostanie wykryta niezgodność, to procedurę musimy wykonać od nowa (identyfikacja, estymacja, sprawdzenie); 5 ostatecznym sprawdzianem jest weryfikacja empiryczna.

18 Modele deterministyczne i stochastyczne 1 Model, który pozwala dokładnie obliczyć wartość zmiennej zależnej w dowolnym momencie, nazywami modelem deterministycznym.

19 Modele deterministyczne i stochastyczne 1 Model, który pozwala dokładnie obliczyć wartość zmiennej zależnej w dowolnym momencie, nazywami modelem deterministycznym. 2 Model, który pozwala wyznaczyć przyszłe wartości z prawdopodobieństwami, nazywamy modelem probabilistycznym lub stochastycznym. W modelach stochastycznych, w odróżnieniu od modeli deterministycznych, przyszłe wartości szeregu czasowego możemy oszacować z pewnym błędem, natomiast nie potrafimy określić ich dokładnie.

20 Przykład I. Model wartości kapitału Niech x t oznacza wielkość kapitału w chwili t = 0, 1, 2,...N, natomiast stopa zwrotu pozbawiona ryzyka wynosi r. Zależności wielkości kapitału od stopy zwrotu możemy przedstawić wzorem lub w postaci x t+1 x t x t = r, x t+1 = (1 + r) x t. W takim razie wielkość kapitału którym dysponuje inwestor w chwili t, jeżeli w chwili t = 0 posiadał x 0 = M, możemy przedstawić w postaci ciągu geometrycznego x t = M (1 + r) t.

21 Przykład I. Model wartości kapitału Rysunek przedstawia wartość kapitału dla momentów t = 0, 1, 2,..., 20 w przypadku, gdy wartość początkowa M = 1000 oraz stopa zwrotu jest stała i wynosi 8%.

22 Przykład II. Model autoregresji rzędu k Niech ciąg x t, t 0 jest postaci x t = λ 0 + λ 1 x t λ k x t k + ε t, gdzie λ 0,..., λ k są parametrami modelu, natomiast {ε t } t N oznacza gaussowski biały szum ciąg zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N ( 0, σ 2).

23 Przykład II. Model autoregresji rzędu k Rysunek przedstawia możliwe trajektorie systemu podporządkowane modelowi autoregresji rzędu 2 postaci x t = x t x t 2 + ε t dla warunku początkowego x 0 = 1, x 1 = 0.5, gdzie {ε t } t T jest ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie normalnym N (0, 4), natomiast T = {2,..., 20}.

24 Zastosowanie modeli matematycznych Modele stochastyczne mają dość szerokie zastosowanie w praktyce. Opisując zachowanie obiektów (systemów technicznych, ekonomicznych, socjoloficznych itp.) za pomocą zmiennych losowych możemy przewidywać (szacować z prawdopodobieństwem) wartości tych systemów bądź wartości zależne od tych systemów. Proste przykłady poniżej pokazują zastosowanie modeli stochastycznych w ekonomii.

25 Przykład III. Zastosowanie modeli matematycznych Przedsiębiorstwo produkuje towar oraz sprzedaje po ustalonej cenie p. Popyt na towar jest podporządkowany rozkładowi log-normalnemu LN ( m, σ 2). Funkcja kosztów jest liniowa K (y) = k 0 + k 1 y, gdzie y oznacza wielkość produkcji. Poniżej oszacujemy oczekiwany popyt na dobro oraz oczekiwany zysk ze sprzedaży przy założeniu, że wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży. Niech zmienna losowa ξ reprezentuje popyt na dobro. Funkcja gęstości rozkładu log normalnego LN(m, σ 2 ) ma postać { 1 γ(x, m, σ) = ( ) exp (ln x m)2 xσ (2π) 2σ, x > 0 2 0, x 0.

26 Przykład III. Zastosowanie modeli matematycznych Oczekiwany popyt wynosi ( x Eξ = xσ 2π exp 0 ) (ln x m)2 2σ 2 dx. Aby wyznaczyć powyższą całkę dokonujemy zamianę zmiennych Oczekiwany popyt wynosi ( 1 Eξ = σ 2π exp y y = ln x x = e y dx = e y dy. ) (y m)2 σ2 m+ 2σ 2 dy = e 2. Wobec powyższego oczekiwany zysk (przychód minus koszty) ze sprzedaży wynosi σ2 m+ E (pξ k 0 k 1 ξ) = (p k 1 ) Eξ k 0 = (p k 1 ) e 2 k0.

27 Przykład IV. Zastosowanie modeli matematycznych Przedsiębiorstwo produkuje dobra niesubstytucyjne, które są sprzedawane po cenach p 1 i p 2 odpowiednio. Popyty na dobra są stochastycznie niezależne oraz podporządkowane rozkładowi Poissone a z parametrami λ 1 > 0 i λ 2 > 0. Funkcje kosztów są liniowe K (ξ i ) = k 0i + k 1i ξ i. Poniżej oszacujemy( oczekiwane ) popyty oraz oczekiwany łączny zysk ze sprzedaży. ξ1 Niech ξ = reprezentuje wektor popytów na dobra. Funkcja ξ 2 gęstości zmiennej losowej X dla rozkładu Poissone a z parametrem λ ma postać λ λn P (X = n) = e dla n = 0, 1, 2, 3,... n!

28 Przykład IV. Zastosowanie modeli matematycznych Oczekiwany popyt dla dobra pierwszego: Eξ 1 = n=0 ne λ1 λn 1 n! = λ n e λ1 1 (n 1)! = λ 1 e λ1 λn 1 n! = λ 1. n=1 Analogicznie Eξ 2 = λ 2. Ostatecznie oczekiwany popyt na dobra wynosi ( ) ( ) Eξ1 λ1 Eξ = =, Eξ 2 λ 2 natomiast oczekiwany łączny zysk jest równy E (p 1 ξ 1 K (ξ 1 ) + p 2 ξ 2 K (ξ 2 )) n=0 = p 1 Eξ 1 (k 01 + k 11 Eξ 1 ) + p 2 Eξ 2 (k 02 + k 12 Eξ 2 ) = (p 1 k 11 ) λ 1 + (p 2 k 12 ) λ 2 k 01 k 02.