Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Transkrypt

1 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia do decyzji wielokryterialnej. Podstawowe rozróżnienie sposobów postępowania wynika z charakteru zbioru decyzji. Zbiór decyzji może mieć charakter ciągły lub dyskretny. 2. W sytuacji kiedy zbiór decyzji ma charakter ciągły często zagadnienie decyzyjne formułowane jest w postaci tzw. programowania celowego. Cele, które chcemy osiągnąć mogą być różnie formułowane: - w postaci wartości liczbowych celów, - w postaci określonych przedziałów liczbowych dla celów, - z uwzględnieniem wag dla kryteriów, - w postaci hierarchii celów. Zakładamy, że wszystkie cele są maksymalizowane (są stymulantami). Jeżeli oryginalnie sformułowany cel ma być minimalizowany (jest destymulantą), to w przypadku optymalizacji liniowej parametry funkcji kryterium mnożymy przez (-1).

2 Zadaniem wielokryteriowego programowania liniowego WPL (lub wielokryteriowej optymalizacji liniowej) nazywamy następujące zadanie: z 1 = c 11 x c 1n x n max z K = c K1 x c Kn x n max a 11 x a 1n x n b 1 a m1 x a mn x n b m x 1,, x n 0 n liczba zmiennych decyzyjnych, K liczba kryteriów, funkcji celu, m liczba ograniczeń Zakładamy, że sformułowane zadanie wielokryteriowe posiada niepusty zbiór rozwiązań dopuszczalnych (jest niesprzeczne) oraz skończone rozwiązanie optymalne dla każdej z K funkcji celu.

3 Zapis wektorowy zadania WPL: F(x) = [ z 1 (x) = c T 1 x ] max, z K (x) = c T K x Ax b x 0 gdzie x = [x 1,, x n ] T ; A = [a ij ] ; b = [b i ] i = 1,, m; j = 1,, n. W przypadku zadania WPL możemy zdefiniować dwa rodzaje zbiorów rozwiązań dopuszczalnych: Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej zbiór punktów o współrzędnych równych wartościom zmiennych decyzyjnych x 1,, x n, dla których spełniony jest układ ograniczeń zadania. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej zbiór wszystkich wyników, jakie możemy osiągnąć rozpatrując wszystkie możliwe rozwiązania dopuszczalne w przestrzeni decyzyjnej z uwzględnieniem zadanego zestawu K kryteriów z 1,, z K. Zbiór ten jest wielościanem wypukłym, którego wierzchołki są obrazami wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej. Twierdzenie 1. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania w przestrzeni kryterialnej jest wielościanem wypukłym. Każdy wierzchołek tego wielościanu jest obrazem pewnego wierzchołka zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej, natomiast pozostałe punkty to zbiór wszystkich kombinacji wypukłych punktów wierzchołkowych.

4 PRZYKŁAD (na podstawie Miszczyńska D., Miszczyński M.) Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum galonów paliwa X i minimum galonów paliwa Y. Paliwa te mogą być wytwarzane niezależnie w dwóch procesach: P1 i P2. W ciągu 1 godziny trwania procesu P1 zużywa się 1 baryłkę ropy A oraz 3 baryłki ropy B i otrzymuje 100 galonów paliwa X oraz 30 galonów paliwa Y. W ciągu 1 godziny trwania procesu P2 zużywa się 4 baryłki ropy A oraz 2 baryłki ropy B i otrzymuje 50 galonów paliwa X oraz 40 galonów paliwa Y. Zasób ropy A wynosi 320 baryłek, a ropy B 240 baryłek. Zysk z godziny produkcji według procesu P1 wynosi 200$, a koszty 800$. Zysk z godziny produkcji według procesu P2 wynosi 500$, a koszty 1200$. Przykład 1. Szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: maksymalny zysk oraz maksymalną ilość paliw X i Y.

5 Model decyzyjny: x 1 - czas trwania procesu P1 (w godzinach) x 2 - czas trwania procesu P2 (w godzinach). z 1 = 200x x 2 max z 2 = 130x x 2 max (zysk) (produkcja paliwa) 100x x x x x 1 + 4x (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) x 1 0, x 2 0

6 Przykład 2 Dla sytuacji decyzyjnej opisanej w przykładzie szef produkcji poszukuje takiej kombinacji procesów P1 i P2 (tzn. chce ustalić na ile godzin uruchomić proces P1, a na ile P2), aby osiągnąć: maksymalny zysk oraz minimalny koszt. Zadanie WPL ma tutaj postać: z 1 = 200x x 2 max (zysk) z 3 = 800x x 2 min 100x x x x x 1 + 4x (koszty) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) x 1 0, x 2 0

7 Po przekształceniu funkcji kosztów na stymulantę zadanie przyjmuje postać: z 1 = 200x x 2 max z 3 = 800x x 2 max 100x x x x x 1 + 4x (zysk) ( koszty) (paliwo X) (paliwo Y) (ropa A) 3x 1 + 2x (ropa B) x 1 0, x 2 0

8 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej oraz rozwiązania jednokryteriowe: z1 maksymalizacja zysku

9

10 Kryterium z2 maksymalizacja produkcji

11

12 Kryterium z3 minimalizacja kosztów:

13 Tabela 1. Współrzędne punktów wierzchołkowych zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzji wierzchołki A B C D x x Tabela 2. Wartości funkcji celu dla punktów wierzchołkowych zbioru decyzji dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów Wartości kryteriów w wierzchołkach A B C D z z z

14 z2 Przestrzeń kryteriów z1 i z D' C' B' A' z1 Rys. Rozwiązania dopuszczalne i idealne w przestrzeni kryteriów Przykład 1. Punkt C odpowiada rozwiązaniu idealnemu obie funkcje kryterium z1 i z2 przyjmują wartości maksymalne. Rozwiązanie idealne należy do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. W przestrzeni decyzji odpowiada mu punkt C o współrzędnych x 1 =32 godziny, x 2 =72 godziny. Optymalne (maksymalne) wartości funkcji celu wynoszą: zysk z 1 max = $, produkcja paliwa z 2 max = galonów.

15 -z Przestrzeń kryteriów z1 i z D' A' Rozwiązanie idealne B' z1 C' Rys. Rozwiązania dopuszczalne i idealne w przestrzeni kryteriów Przykład 2. Rozwiązanie idealne nie należy do zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. Nie można wskazać rozwiązania maksymalizującego jednocześnie z 1 i z 3.

16 Stożki rozwiązań dominujących i zdominowanych Zaznaczmy w przestrzeni kryteriów dowolny punkt Y. Punkt taki podzieli przestrzeń na cztery obszary (stożki). Będą to w sensie WPL następujące stożki: stożek punktów (rozwiązań) dominujących punkt Y, stożek punktów (rozwiązań) zdominowanych przez punkt Y oraz dwa stożki punktów (rozwiązań) nieporównywalnych z punktem Y. Rys. Ilustracja stożków rozwiązań dominujących i zdominowanych w dwuwymiarowej przestrzeni kryteriów.

17 Rozwiązania niezdominowane w przestrzeni kryteriów i rozwiązania sprawne w przestrzeni decyzji Z punktów wyróżnionych na rysunku, rozwiązaniem niezdominowanym w przestrzeni kryteriów przez punkt Y będzie on sam (czyli punkt Y). Twierdzenie 2. W zadaniach WPL rozwiązania niezdominowane zawierają się na brzegu zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów. Żaden punkt wewnętrzny tego zbioru nie może być punktem niezdominowanym. Def. Rozwiązania w przestrzeni decyzyjnej, odpowiadające rozwiązaniom niezdominowanym z przestrzeni kryteriów, nazywamy rozwiązaniami sprawnymi. Są to rozwiązania optymalne WPL w sensie Pareto (rozwiązania Paretooptymalne).

18 W przykładzie 2 zbiór rozwiązań niezdominowanych w przestrzeni kryteriów (rozwiązań Paretooptymalnych) pokazano na rysunku poniżej (pogrubione krawędzie). Zbiorem tym są wszystkie punkty leżące na łamanej D A, A, B B C. Niezdominowanymi punktami wierzchołkowymi zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryteriów są wierzchołki D, A, B oraz C.

19 Wierzchołkowymi rozwiązaniami sprawnymi są ich odpowiedniki w przestrzeni decyzji, tj. wierzchołki D, A, B oraz C. Na rysunku pokazano zbiór rozwiązań sprawnych dla przykładu 2 w przestrzeni decyzji (pogrubione krawędzie). Zbiorem tym są wszystkie punkty leżące na łamanej DA, AB, BC.

20 Możliwe wyniki porównania dwóch rozwiązań dopuszczalnych: 1. Wartości wszystkich kryteriów dla pierwszego rozwiązania >= wartościom odpowiadających kryteriów dla drugiego rozwiązania i w przynajmniej jednym przypadku zachodzi ostro >, 2. Wartości wszystkich odpowiadających kryteriów równe, 3. Wartości pewnych kryteriów dla pierwszego rozwiązania większe niż dla drugiego a jednocześnie, w przypadku przynajmniej jednego z kryteriów, relacja przeciwna. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej zbiór punktów o współrzędnych równych wartościom zmiennych decyzyjnych, dla których spełniony jest układ ograniczeń zadania. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej zbiór wszystkich wyników, jakie możemy osiągnąć rozpatrując wszystkie możliwe rozwiązania dopuszczalne w przestrzeni decyzyjnej z uwzględnieniem zadanego zestawu kryteriów. Zbiór ten jest wielościanem wypukłym, którego wierzchołki są obrazami wierzchołków zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni decyzyjnej. Rozwiązanie optymalne wektorowo dominujące, nie gorsze od wszystkich pozostałych ze względu na wszystkie cele a w przynajmniej jednym przypadku ostro lepsze.

21 Rozwiązania niezdominowane w przestrzeni kryteriów (Pareto-optymalne) - rozwiązania, dla których nie istnieją rozwiązania lepsze, w tym sensie, że nie można poprawić wartości żadnego z kryteriów bez konieczności obniżenia wartości przynajmniej jednego innego kryterium. Rozwiązania niezdominowane zawierają się w brzegu zbioru rozwiązań dopuszczalnych w przestrzeni kryterialnej. Rozwiązania w przestrzeni decyzyjnej odpowiadające rozwiązaniom niezdominowanym w przestrzeni kryteriów nazywamy rozwiązaniami sprawnymi. Rozwiązań sprawnych bazowych (wierzchołkowych) bywa wiele. Zwykle jest także nieskończenie wiele rozwiązań sprawnych niebazowych. Poszukujemy rozwiązania końcowego. Do podjęcia końcowej decyzji, najczęściej, nie jest potrzebne wygenerowanie zbioru WSZYSTKICH rozwiązań sprawnych. W przypadku nieporównywalnych decyzji Pareto-optymalnych, wprowadzając dodatkowe warunki zawężamy zbiór decyzji do tzw. decyzji kompromisowej problem optymalizacji wielokryteriowej sprowadzamy do problemu optymalizacji jednokryteriowej za pomocą konstrukcji kryterium zastępczego metakryterium.

22 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego a pozostałe uwzględnia w warunkach ograniczających ustalając ich satysfakcjonujący poziom. Jeżeli tak utworzone zadanie jest niesprzeczne, to rozwiązując je uzyskamy rozwiązanie sprawne. Zmieniając kryteria uzyskamy różne rozwiązania sprawne. Wykorzystanie współczynników wagowych kryteriom nadaje się wagi i tworzy nowe kryterium zastępcze jako ważoną sumę kryteriów, Hierarchizacja kryteriów zadanie rozwiązywane jest sekwencyjnie jako zbiór zadań jednokryterialnych o ustalonym priorytecie ważności. W każdym kroku przyjmując kryterium o niższej ważności dołącza się jako nowy warunek ograniczający żądanie, aby wszystkie ważniejsze cele były zrealizowane na poziomie nie gorszym niż dotychczas, bądź określa się progi ich wartości (np. procentowo) - rozwiązanie nie jest dopuszczalne jeżeli nie są spełnione dodatkowe ograniczenia związane z progami wartości kryteriów ważniejszych w hierarchii. Programowanie celowe dążymy do nalezienia rozwiązania, które spełniałoby oczekiwania odnośnie sformułowanych celów. Cele mogą być punktowe bądź przedziałowe. Jeżeli osiągnięcie wartości wszystkich pożądanych celów jednocześnie jest niemożliwe, szukamy rozwiązania, które zminimalizuje sumę odchyleń osiągniętych wartości od wartości pożądanych. Metoda punktu idealnego definiuje się rozwiązanie idealne, które nie musi być osiągalne. Minimalizuje się odległość np. euklidesową rozwiązania od punktu idealnego, Metody interaktywne decydent w trakcie postępowania dokonuje określenia satysfakcjonujących go poziomów kryteriów, iteracyjnie może je zmieniać.