Programowanie liniowe

Transkrypt

1 Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna

2 Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych Otwarty zbiór rozwiązań dopuszczalnych Jedno rozwiązanie dopuszczalne Zero rozwiązań dopuszczalnych Rozwiązania optymalne Zero rozwiązań optymalnych Jedno rozwiązanie optymalne Nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych Przykład 2 Zadania 2

3 Literatura Guzik B., Wstęp do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego, Poznań, 29. Kukuła, K. (red.), Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 25. Lipiec-Zajchowska M. (red.), Wspomaganie procesów decyzyjnych. Tom III, Badania operacyjne, Wyd. C. H. Beck, Warszawa, 23. Radzikowski W., Badania operacyjne w zarządzaniu przedsiębiorstwem, Wydawnictwo Uniwersytetu im. M. Kopernika w Toruniu, Toruń,

4 Programowanie liniowe metoda geometryczna Jeżeli w zagadnieniu programowania liniowego występują dwie zmienne, to możemy skorzystać z metody geometrycznej (graficznej). Stanowi ona odzwierciedlenie problemu decyzyjnego w układzie współrzędnych na płaszczyźnie. Każdy z warunków ograniczających oraz brzegowych traktujemy jako równanie i wykreślamy proste spełniające te równania. Każda z wykreślonych prostych dzieli płaszczyznę na dwie domknięte półpłaszczyzny (górną oraz dolną). Proste te najczęściej wyznaczają część wspólną domkniętych półpłaszczyzn, która jest wewnętrznie zgodna i ma kształt wielokąta wypukłego (obszar rozwiązań). Ten wypukły wielokąt stanowi zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego. Rozwiązania optymalnego będziemy zaś najczęściej poszukiwać w wierzchołkach wielokąta stanowiącego obszar rozwiązań. 4

5 Przykład 1 Jeden z działów przedsiębiorstwo wielobranżowego Podpłomyk Sp. z o.o. produkuje wafle ryżowe oraz ryż preparowany. Do produkcji jednej tony wafli ryżowych zużywa 2 tony ryżu, natomiast do produkcji 1 tony ryżu preparowanego zużywa 6 ton ryżu. Co więcej, dziennie do produkcji może wykorzystać jedynie 12 ton ryżu. Zespół pracowników, zatrudnionych przy produkcji wyrobów ryżowych, pracuje w sumie 4 godziny przy produkcji tony wafli ryżowych i 2 godziny przy produkcji jednej tony ryżu preparowanego. Przedsiębiorstwo zatrudnia w tym celu dwa zespoły pracowników, przy czym każdy zespół ze względów BHP pracuje co najwyżej na 7 godzin. Zysk, jaki firma realizuje na sprzedaży za granicę 1 tony wafli ryżowych, wynosi 28 euro, natomiast zysk na sprzedaży 1 tony ryżu preparowanego wynosi 24 euro. Ile ton każdego wyrobu firma powinna produkować aby osiągnąć maksymalny zysk? liczba produkowanych dziennie ton wafli ryżowych X 2 liczba produkowanych dziennie ton ryżu preparowanego Warunki ograniczające: X X 2 14 Warunki brzegowe:, X 2 Funkcja celu: F(, X 2 ) = X 2 MAX 5

6 Przykład 1 Warunki ograniczające: X 2 12 => X 2 = X 2 14 => X 2 = 14 Warunki brzegowe: X 2 X 2 7 Rozwiązanie optymalne Funkcja celu dla rozwiązania optymalnego: F( = 3, X 2 = 1) = 28 * * 1 = 18 2 (,2) Odpowiedź: Firma powinna produkować 3 tony wafli ryżowych oraz 1 tonę ryżu preparowanego dziennie, aby osiągnąć maksymalny zysk na poziomie 18 euro. (3,1) (,) (3,5; ) 6 3,5 6

7 X 2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zamknięty zbiór rozwiązań E D C Wielokąt wypukły OABCDE stanowi domkniętą część skończonej liczby półpłaszczyzn. Współrzędne wszystkich punktów zawartych w wielokącie tworzą zbiór rozwiązań dopuszczalnych B A 7

8 X 2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych otwarty zbiór rozwiązań Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem nieograniczonym 8

9 X 2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jedno rozwiązanie Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest punktem 9

10 X 2 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zero rozwiązań Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym 1

11 X 2 Rozwiązania optymalne zero rozwiązań optymalnych Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym => Nie ma z czego wybrać rozwiązań optymalnych 11

12 X 2 Rozwiązania optymalne zero rozwiązań optymalnych Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem nieograniczonym => Gdy funkcja celu dąży do maksimum, nie może ona osiągnąć wartości ekstremalnej 12

13 X 2 Rozwiązania optymalne jedno rozwiązanie optymalne Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 Równanie funkcji celu: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 jednoznacznie określa prostą, gdy ustalimy wartość z. W wyniku zmieniania wartości z możemy otrzymać rodzinę prostych równoległych, czyli warstwic funkcji celu. E D C Kierunek wzrastania wartości z wskazuje wektor C = [c 1 c 2 ] (gradient), prostopadły do warstwic. Funkcja celu osiąga więc wartość ekstremalną w jednym z wierzchołów wielokąta rozwiązań dopuszczalnych C = [c 1 c 2 ] B A 13

14 Rozwiązania optymalne nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych X 2 FCL E D C Jeżeli funkcja celu jest równoległa do jednego z boków wielokąta rozwiązań dopuszczalnych, to przyjmuje wartości ekstremalne na całej długości tego boku pomiędzy dwoma jego wierzchołkami. B A 14

15 Przykład 2 Firma rodzinna Czyścioch i Synowie Sp. j. produkuje dwa modele odkurzaczy samochodowych: Bolek i Lolek. W procesie produkcji zużywa m. in. śruby sześciokątne oraz wkręty krzyżakowe, których limity w skali miesięcznej wynoszą odpowiednio: 96 i 8 sztuk. Nakłady limitowanych środków na jeden odkurzacz wynoszą, jak w tabeli: Rodzaj środka produkcji Zużycie środków produkcji na jednostkę produktu Bolek Lolek Śruby sześciokątne Wkręty krzyżakowe 16 1 Wiadomo także, że zdolności produkcyjne firmy nie pozwalają wyprodukować więcej niż 3 sztuk odkurzaczy Bolek oraz więcej niż 4 sztuk odkurzaczy Lolek miesięcznie. Dodatkowo, właściciel firmy, Pan Czyścioch ustalił optymalne jego zdaniem proporcje produkcji obydwu modeli odkurzaczy, które wynoszą 2:3. Ustal dopuszczalne i optymalne rozmiary produkcji odkurzaczy, jeżeli wiadomo, że cena sprzedaży produktu Bolek wynosi 3 zł, zaś produktu Lolek 4 zł. Zmienne decyzyjne? = Liczba odkurzaczy Bolek X 2 = Liczba odkurzaczy Lolek Warunki ograniczające? X X X = 3 X 2 Warunki brzegowe?, X 2 Funkcja celu? FCL = X 2 MAX 15

16 Warunki ograniczające? X X X = 3 X 2 Warunki brzegowe?, X 2 X Przykład 2 Jaki jest zbiór rozwiązań dopuszczalnych? Na odcinku IOAI znajduje się nieskończenie wiele rozwiązań dopuszczalnych. Na tym odcinku będziemy szukać rozwiązania optymalnego A (3; 2)

17 Przykład 2 Funkcja celu? FCL = X 2 MAX X 2 4 Jakie jest rozwiązanie optymalne? Rozwiązania optymalnego będziemy poszukiwać wśród prostych równoległych będących warstwicami funkcji celu 3 Przyjmijmy wartość FCL = 6 F(,X 2 ) = X 2 = 6 2 A (3; 2) Dla FCL = 12 F(,X 2 ) = X 2 = 12 Dla FCL = 24 F(,X 2 ) = X 2 = i tak aż do Dla FCL = 17 F(,X 2 ) = X 2 =

18 X 2 Przykład 2 4 F(,X 2 ) = X 2 = 17 = 3 X 2 = 2 2 A (3; 2) Odpowiedź: W celu optymalizacji przychodów ze sprzedaży firma powinna wyprodukować 3 odkurzaczy Bolek oraz 2 sztuk odkurzaczy Lolek. Taka produkcja zapewni optymalny przychód na poziomie 17. zł

19 19