OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

Transkrypt

1 OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ

2 Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko pojętych zasobów. Najczęściej spotykane problemy z tego zakresu dotyczą rozdziału zadań produkcyjnych pomiędzy miejsca produkcji, ewentualnie z założeniem specjalizacji miejsc przy wykonywaniu zadań. Chodzi zatem o zaproponowanie przydziału zadań produkcyjnych do poszczególnych miejsc pracy, optymalnie z punktu widzenia jednego z następujących kryteriów: 1. Minimalizacji kosztów lub czasu wykonywania zadań, 2. Maksymalizacji efektów (ilości lub wartości produkcji. Poprawne zbudowanie modelu zależy od podanych parametrów i prawidłowym zdefiniowaniu zmiennych decyzyjnych. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

3 Zagadnienie przydziału 2 Załóżmy, że N wyrobów (czynności) można wykonać w P miejscach produkcji (w zakładach, na stanowiskach pracy, na maszynach). Należy rozdzielić produkcje wyrobów (wykonywanie czynności) pomiędzy miejsca produkcji w taki sposób, aby przydział ten był optymalny z punktu widzenia przyjętego kryterium optymalizacji. Konkretna postać modelu zależy od charakteru parametrów występujących w analizowanym problemie. Modele te są liniowe i można je rozwiązać stosując algorytm simpleks, przy czym liczba zmiennych jest równa NxP. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

4 Zagadnienie przydziału 3 Model I Dane są wydajności miejsc pracy przy wykonywaniu poszczególnych wyrobów, ograniczone moce produkcyjne poszczególnych miejsc pracy oraz (opcjonalnie) zadania zaplanowane w zakresie produkcji poszczególnych wyrobów. Wobec tego parametrami modelu są: a ij wydajność i-tego miejsca pracy przy produkcji j-tego wyrobu, C j (j=1,,n) założona wielkość produkcji j-tego wyrobu, B i (i=1,,p) dopuszczalny czas pracy i-tego miejsca. Należy przydzielić produkcję wyrobów do poszczególnych miejsc pracy, tak aby np. zminimalizować czas lub koszty produkcji albo zmaksymalizować efekty (wielkość produkcji). Jeżeli znane są wydajności w jednostce czasu, to przydział będzie polegał na określeniu czasu pracy i-tego miejsca pracy przy wykonywaniu j-tego wyrobu x ij. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

5 Zagadnienie przydziału (4) Należy rozwiązać następujące zadanie: F(x ij ) = x 11 + x 12 + x x P1 + x P2 + x P3 + +x PN = x 11 + x x 1N B 1. x P1 + x P2 + + x PN B P P a 11 x 11 + a 21 x a P1 x P1 = a i 1xi1 C 1 i1.. P N i1 j1 x ij min a 1N x 1N + a 2N x 2N + + a PN x PN = X ij (i=1,2, P ; j=1,2,,n) P a in x i1 in C N Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

6 Zagadnienie przydziału (5) Przykład 1 Do produkcji swych wyrobów przedsiębiorstwo zużywa m.in. 5 elementów. Elementy te muszą być wytwarzane na maszynach, których przedsiębiorstwo nie posiada, dlatego korzystano z dostaw kooperanta. Dostawca postanowił zmienić profil produkcji i wycofał się ze współpracy. Zobowiązał się jedynie do wydzierżawienia maszyn, na których elementy mogą być produkowane, jednak nie dłużej niż na 18 godzin w ciągu miesiąca każdą. Każdy element może być produkowany na dowolnej maszynie. Maszyny różnią się wydajnością przy produkcji poszczególnych elementów. Maszyna Wydajność maszyn w szt./godz I.8 1,,4 2,,625 II,75,6,5 1,875,6 III 1,25 1,2,375 1,5,5 Wiedząc, że 1 godz. pracy maszyny I kosztuje 3 zł, II 42 zł, II 36 zł, należy rozdzielić miesięczną produkcję elementów pomiędzy maszyny tak, aby wyprodukować co najmniej po 9 szt. elementów 1, 2 i 3 oraz co najmniej po 75 szt. elementów 4 i 5 przy możliwie najniższych kosztach dzierżawy maszyn. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

7 Zagadnienie przydziału (6) Przykład 1 Model: F(x ij ) = 3(x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x 15 ) + 42(x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x 25 ) (x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 ) min x 11 + x 12 + x 13 + x 14 + x x 21 + x 22 + x 23 + x 24 + x x 31 + x 32 + x 33 + x 34 + x 35 18,8x 11 +,75x x ,x 12 +,6x ,2x 32 9,4x 13 +,5x 23 +,375x ,x ,875x ,5x 34 75,625x 15 +,6x 21 +,5x X ij (i=1,2,3; j=1,2,3,4,5) Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

8 Zagadnienie przydziału (7) Przykład 1 Rozwiązanie: X opt , ,5 12 Wartość funkcji celu : F(x opt ) = zł miesięcznie. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

9 Zagadnienie przydziału (8) Model II Dane są czasy pracy poszczególnych miejsc pracy przy wykonywaniu poszczególnych wyrobów, zadania zaplanowane w zakresie produkcji poszczególnych wyrobów oraz (opcjonalnie) ograniczone moce produkcyjne poszczególnych miejsc pracy Wobec tego parametrami modelu są: a ij czas pracy i-tego miejsca pracy przy produkcji j-tego wyrobu, lub k ij jednostkowe koszty produkcji j-tego wyrobu na i-tym miejscu pracy, C j (j=1,,n) założona wielkość produkcji j-tego wyrobu, B i (i=1,,p) dopuszczalny czas pracy i-tego miejsca. Należy przydzielić produkcję wyrobów do poszczególnych miejsc pracy, tak aby np. zminimalizować czas lub koszty produkcji albo zmaksymalizować efekty ( łączną wielkość lub produkcji). Jeżeli znane są jednostkowe czasy pracy, to przydział będzie polegał na określeniu x ij. - ilości j-tego wyrobu, jaką należy wykonać na i-tym stanowisku pracy. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

10 Zagadnienie przydziału (8) Należy rozwiązać następujące zadanie: F(x ij ) =c 11 x 11 +c 12 x 12 +c 13 x c P1 x P1 + c P2 x P2 +c P3 x P3 + + c PN x PN = a 11 x 11 + a 12 x a 1N x 1N B 1. a P1 x P1 + a P2N x P2 + + a PN x PN B P x 11 + x x P1 = 1 C 1.. x 1N + x 2N + + x PN = X ij P i1 P i1 x i x in (i=1,2, P ; j=1,2,,n) C N P N i1 j1 c ij x ij max Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

11 Zagadnienie przydziału (9) Przykład 2 Do produkcji 5 elementów przedsiębiorstwo musi wydzierżawić trzy maszyny. Każdy element może być produkowany na dowolnej maszynie. Maszyny różnią się nakładem czasu pracy niezbędnego do wyprodukowania poszczególnych elementów. wydajnością przy produkcji poszczególnych elementów. Maszyna Zużycie czasu pracy maszyn na produkcję elementu (w min) I II III Wiedząc, że 1 godz. pracy maszyny I kosztuje 3 zł, II 42 zł, II 36 zł oraz, że każdą z nich można wydzierżawić na co najwyżej 18 godz. w ciągu miesiąca, należy rozdzielić miesięczną produkcję elementów pomiędzy maszyny tak, aby wyprodukować co najmniej po 9 szt. elementów 1, 2 i 3 oraz co najmniej po 75 szt. elementów 4 i 5 przy możliwie najniższych kosztach dzierżawy maszyn. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

12 Zagadnienie przydziału (1) Przykład 2 Model: F(x ij ) =,5(75x x x x x 15 ) +,7(8x x x x 24 +1x 25 ) +,6(48x x x x x 35 ) min x 11 + x 21 + x 31 9 x 12 + x 22 + x 32 9 x 13 + x 23 + x 33 9 x 14 + x 24 + x x 15 + x 21 + x x x x x x x x x x x x x x x x X ij (i=1,2,3; j=1,2,3,4,5) Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

13 Zagadnienie przydziału (11) Przykład 2 Rozwiązanie: X opt Wartość funkcji celu : F(x opt ) = zł miesięcznie. Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

14 Zadanie optymalnego przydziału problem najkorzystniejszego skojarzenia n środków z m celami ( maksymalizacja pozytywnych lub minimalizacja negatywnych efektów działalności ), przy czym każdy środek może być użyty tylko do osiągnięcia jednego celu. Rozwiązaniem tego problemu jest kwadratowa macierz permutacji X=[x ij ] składająca się z zer i jedynek. Założenia : Zagadnienie optymalnego przydziału z dodatkowymi warunkami. n m - liczba celów - liczba środków x ij - zmienne decyzyjne; x ij =1 jeżeli j-ty cel jest realizowany przez i-ty środek; x ij = jeżeli j-ty cel nie jest realizowany przez i-ty środek; [i=1,2,,m; j=1,2,,n;] c ij - parametr problemu; korzyść związana z realizacją j-tego celu przez i- ty środek [i=1,2,,m; j=1,2,,n;]

15 Zadanie przydziału model decyzyjny (n = m) Liczba celów = liczba środków = n Funkcja celu: (łączna korzyść) U ( x ) c ij x ij n Ograniczenia: n i1 j1 max (min) n x ij i1 1 i = 1,2,,n (bilanse dla środków) n xij i1 1 j = 1,2,,n (bilanse dla celów) Warunki brzegowe: x ij {,1} i = 1,2,,n j = 1,2,,n

16 Nadwyżka środków nad celami ( nie każdy środek będzie wykorzystany ). Funkcja celu: (łączna korzyść) m U ( x ) c ij x ij Ograniczenia: n i1 j1 Zadanie przydziału model decyzyjny (n < m) max (min) n x ij i1 1 i = 1,2,,m (bilanse dla środków) m xij i1 1 j = 1,2,,n (bilanse dla celów) Warunki brzegowe: x ij {,1} i = 1,2,,m j = 1,2,,n

17 Nadwyżka celów nad środkami ( nie każdy cel będzie zrealizowany ) Funkcja celu: (łączna korzyść) m U ( x ) c ij x ij Ograniczenia: n i1 j1 Zadanie przydziału model decyzyjny (n > m) max (min) n x ij i1 1 i = 1,2,,m (bilanse dla środków) m xij i1 1 j = 1,2,,n (bilanse dla celów) Warunki brzegowe: x ij {,1} i = 1,2,,m j = 1,2,,n

18 Zagadnienie optymalnego przydziału z dodatkowymi warunkami. Używając klasycznego algorytmu transportowego należy liczyć się z wystąpieniem przypadku degeneracji rozwiązania bazowego ( przy n środkach i n celach stopień degeneracji wyniesie n + n -1 n = n 1 ). Okoliczność ta stanowi podstawowe utrudnienie związane z wykorzystaniem klasycznego algorytmu transportowego. Istnieje jednak bardzo prosty algorytm oparty na twierdzeniu węgierskiego matematyka Denesa Königa, który pozwala na stosunkowo szybkie uzyskanie rozwiązania optymalnego. Algorytm ten nazywany jest metodą węgierską ( Hungarian Method )

19 Metoda węgierska 1 Krok 1 Punkt wyjścia algorytmu stanowi takie przekształcenie macierzy współczynników funkcji celu U=[c ij ], aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowało przynajmniej jedno zero. W tym celu od każdego wiersza macierzy U odejmujemy jego najmniejszy element, a następnie jeżeli potrzeba czynność tą powtarzamy dla kolumn. Krok 2 W przekształconej macierzy współczynników funkcji celu należy skreślić wiersze i kolumny zawierające zera możliwie najmniejszą liczbą linii poziomych i pionowych. Jeżeli liczba linii potrzebnych do skreślenia wszystkich zer jest równa wymiarowi macierzy, to można wyznaczyć rozwiązanie optymalne i należy przejść do kroku 3. Jeżeli liczba ta jest mniejsza wymiaru macierzy, należy przejść do Kroku 4

20 Metoda węgierska 2 Krok 3 Ustalenie rozwiązania optymalnego, polegające na takiej konstrukcji macierzy X, aby jedynki znalazły się tylko na tych polach, na których w przekształconej macierzy współczynników funkcji celu występują zera i aby w każdym wierszu i w każdej kolumnie występowała tylko jedna 1. Krok 4 Jeżeli liczba linii pokrywających zera jest mniejsza od wymiaru macierzy, to w bieżącej przekształconej macierzy współczynników funkcji celu należy znaleźć najmniejszy nieskreślony element i: odjąć go od elementów nieskreślonych, dodać do podwójnie skreślonych. Elementy skreślone jedną linią pozostawiamy bez zmian i przechodzimy do kroku 2.

21 Metoda węgierska 3 Kilka uwag na temat Algorytmu Węgierskiego: 1. Algorytm węgierski w opisanej postaci ma zastosowanie wyłącznie do rozwiązywania problemów minimalizacji. Aby rozwiązać problem maksymalizacji, należy macierz współczynników funkcji kryterium przekształcić tak, aby jej elementy miały przeciwne znaczenie, np. mnożąc je przez -1, lub odejmując od największego elementu wszystkie pozostałe. 2. Model omawianego zagadnienia, a tym samym algorytm zakłada, że liczba zadań do wykonania jest równa liczbie jednostek wykonawczych, a wiec macierz współczynników funkcji kryterium jest macierzą kwadratową. Tymczasem w wielu problemach zadań jest więcej niż jednostek wykonawczych lub odwrotnie. W takich przypadkach do macierzy należy wprowadzić dodatkowy wiersz lub dodatkową kolumnę ( fikcyjną jednostkę wykonawczą lub fikcyjne zadanie), których elementy są równe. 3. W praktyce zdarzają się także sytuacje, że pewne przydziały są niedopuszczalne (tzn. określone elementy macierzy X z założenia są równe zeru). W takich przypadkach do macierzy współczynników funkcji kryterium w miejscach, gzie ma być spełniony ten warunek wprowadza się bardzo dużą liczbę, np. M, taką, że odjęcie od niej jakiejkolwiek liczby praktycznie nie zmieni jej wartości.

22 Metoda węgierska 4 Przykład 1 Do wykonania czterech zadań należy przydzielić pracowników, w taki sposób aby zminimalizować łączny czas ich wykonania. Czasy ( w godzinach) potrzebne do wykonania poszczególnych zadań przez pracowników podaje poniższa tabela: Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P P P

23 Funkcja celu : (łączna korzyść) U(X) = 1x 11 +9x x 13 +1x x 21 +8x 22 +9x x 24 +9x 31 +1x x x x 41 +1x 42 +8x 43 +9x 44 min Metoda węgierska 5 Przykład 1 x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 1 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 1 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 = 1 x 41 +x 42 +x 43 +x 44 = 1 każdy pracownik może wykonywać jedno zadanie x 11 +x 21 +x 31 +x 41 = 1 x 12 +x 22 +x 32 +x 42 = 1 każde zadanie może być wykonywane x 13 +x 23 +x 33 +x 43 = 1 tylko przez jednego pracownika x 14 +x 24 +x 34 +x 44 = 1 X ij ϵ {,1 } i=1,,n j=1,,n

24 Metoda węgierska 6 Przykład 1 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 min P P P P Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P P P min 1

25 Metoda węgierska 7 Przykład 1 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P P P Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P 1 1 P 2 1 P 3 1 P 4 1 Łączny czas = = 34 godziny

26 Metoda węgierska 8 Przykład 2 Przedsiębiorstwo ma możliwość wysłania w charakterze konsultantów pracowników na cztery budowy. Przedsiębiorstwo to zatrudnia obecnie trzech odpowiednich specjalistów, a ponieważ dysponują oni różnym doświadczeniem zawodowym, zyski dla firmy są zróżnicowane w zależności od przydziału pracowników na poszczególne kontrakty (zyski podano w tysiącach złotych miesięcznie). Pracownicy Kontrakty A B C Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

27 Ponieważ występuje nadwyżka celów nad środkami przed przystąpieniem do rozwiązania należy dopisać dodatkowy wiersz z elementami równymi zeru. Oznacza to, że przedsiębiorstwo będzie mogło wysłać pracowników tylko na trzy kontrakty. Następnie macierz zysków przekształcamy do postaci, która będzie minimalizowana. Sposób I - mnożymy macierz zysków przez -1 Metoda węgierska 9 Przykład [ c ij ] = [ c ij ] =

28 Funkcja celu : (łączna korzyść) U(X) = -1x 11-7x 12-6x 13-8x 14-12x 21-14x 22-1x 23-17x 24-3x 31-5x 32-8x x 34 -x 41 -x 42 -x 43 -x 44 min Metoda węgierska 1 Przykład 2 x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 1 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 1 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 = 1 x 41 +x 42 +x 43 +x 44 = 1 każdy pracownik może pojechać na jeden kontrakt x 11 +x 21 +x 31 +x 41 = 1 x 12 +x 22 +x 32 +x 42 = 1 każdy kontrakt może być realizowany x 13 +x 23 +x 33 +x 43 = 1 tylko przez jednego pracownika x 14 +x 24 +x 34 +x 44 = 1 X ij ϵ {,1 } i=1,,n j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

29 Metoda węgierska 11 Przykład 2 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 min P P P P 4 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P P P 4 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

30 Rozwiązanie: [ x ij ] = Łączny zysk przedsiębiorstwa wyniesie: U(X) = (1+17+8)*1=35 PLN Metoda węgierska 12 Przykład Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

31 Sposób II - w każdej kolumnie wybieramy maksymalny element i odejmujemy od niego poszczególne jej elementy. Elementy tak przekształconej macierzy zysków możemy interpretować jako straty przedsiębiorstwa powstałe w wyniku nieoptymalnego przydziału pracowników na poszczególne kontrakty [ c ij ] = [c ij ] = max [ ] Metoda węgierska 13 Przykład Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

32 Funkcja celu : (łączna korzyść) U(X) = 1x 11 +7x 12 +6x 13 +8x x x 22 +1x x 24 +3x 31 +5x 32 +8x x 34 +x 41 +x 42 +x 43 +x 44 max Metoda węgierska 14 Przykład 2 x 11 +x 12 +x 13 +x 14 = 1 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 = 1 x 31 +x 32 +x 33 +x 34 = 1 x 41 +x 42 +x 43 +x 44 = 1 każdy pracownik może pojechać na jeden kontrakt x 11 +x 21 +x 31 +x 41 = 1 x 12 +x 22 +x 32 +x 42 = 1 każdy kontrakt może być realizowany x 13 +x 23 +x 33 +x 43 = 1 tylko przez jednego pracownika x 14 +x 24 +x 34 +x 44 = 1 X ij ϵ {,1 } i=1,,n j=1,,n Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

33 Metoda węgierska 15 Przykład 2 Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 min P P 2 P P Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P 2 P P Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

34 Metoda węgierska 16 Przykład 2 Ponieważ liczba linii potrzebna do wykreślenia wszystkich zer w macierzy strat jest mniejsza od wymiaru macierzy przechodzimy do kroku 4 metody węgierskiej. Minimalny nieskreślony element jest równy 2, odejmujemy go od elementów nieskreślonych i dodajemy do podwójnie skreślonych. Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P 2 2 P P Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

35 Metoda węgierska 17 Przykład 2 Ponownie liczba linii potrzebna do wykreślenia wszystkich zer jest mniejsza od wymiaru macierzy. Powtarzamy krok 4, minimalny nieskreślony element jest równy także 2. Z 1 Z 2 Z 3 Z 4 P P P P 4 3 Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

36 Rozwiązanie: [ x ij ] = Łączny zysk przedsiębiorstwa wyniesie: U(X) = (1+17+8)*1=35 PLN Metoda węgierska 18 Przykład Źródło: Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Walkosz A., Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa 21

37 Metoda węgierska 19 Przykład 3 Określić optymalny przydział 5 pracowników do wykonywania 4 wyrobów, mając daną liczbę braków, jaką wytwarzają oni w ciągu tygodnia. Znak X oznacza, że pracownik nie ma kwalifikacji do wytwarzania tego wyrobu. Wyroby Pracownicy X

38 Metoda węgierska 2 Przykład 3 Wyrob y Pracownicy MIN M

39 Wyroby Pracownicy M Wyrob y Pracownicy Metoda węgierska 21 Przykład M

40 Metoda węgierska 22 Przykład 3 Wyrob y Pracownicy M opt X Liczba braków= =86

41 Metoda węgierska 23 Przykład 4 Przydzielić maszynistki do korespondencji w trzech językach obcych, w taki sposób aby zmaksymalizować łączną wydajność ich pracy. W tablicy podano liczbę uderzeń na minutę i-tej maszynistki w j-tym języku obcym. Angielski Niemiecki Włoski P P 2 19 X 9 P X P

42 Metoda węgierska 23 Przykład 4 Angielski Niemiecki Włoski P P M 9 P M P max Angielski Niemiecki Włoski P P 2 M P M P

43 Metoda węgierska 24 Przykład 4 Angielski Niemiecki Włoski P P 2 M P M P Angielski Niemiecki Włoski P P 2 M 5 P M P

44 Metoda węgierska 23 Przykład 4 Angielski Niemiecki Włoski P 1 1 P 2 1 P 3 1 P 4 1 Liczba uderzeń na minutę= = 299