1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

Transkrypt

1 & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia tych działalności ma w określonym czasie zasobów, przy czym limit zasobu i-tego wynosi Jednostkowy nakład i-tego zasobu niezbędny do prowadzenia j-tej działalności jest znany i wynosi Znany jest również jednostkowy zysk z prowadzenia j-tej działalności wynoszący Należy zaplanować działalność zakładu, tzn. określić, które rodzaje działalności mają być prowadzone oraz w jakiej skali, tak, aby łączny zysk był maksymalny. 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 2 Zagadnienie optymalnej mieszniny diety) Duża ferma drobiu przygotowuje paszę dla kurcząt z n produktów! #" % dostępnych na rynku, poprzez ich zmiesznie w odpowiednich proporcjach. Powstała w taki sposób miesznka musi zawierać pewne ustalone przez dietetyków) składniki odżywcze powiedzmy & ' &) w odpowiednich ilościach. Niech bedzie ilością składnika & w jednostce produktu natomiast przez * + i *-, oznaczamy odpowiednio minimalną i maksymalną ilość składnika & w miesznce. Ponadto należy przygotować powiedzmy jednostek mieszanki. Ceny jednostkowe tych produktów wynoszą odpowiednio. /" '. Należy tak określić skład mieszanki, aby spełnić wymagania żywieniowe przy najmnieszych kosztach zakupu produktów.

2 * * * " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 3 Zagadnienie rozkroju Firma produkuje pewien artykuł w standardowych elementach np. rolkach, arkuszach, itp.) o szerokości r i długości l. Otrzymała zamówienie na ten artykuł w elementach o tej samej szerokości ale różnej długości. Niech / będzie liczbą elementów o długości *, zamówionych przez klientów. Szef produkcji chce opracować taki plan rozkroju elementów standardowych, aby wykonać zamówienie i zużyć najmniejszą liczbę elementów standardowych resztki - odpady są dla firmy bezużyteczne). Element standardowy można pociąć na wiele sposobów, przyjmijmy, że jest ich i ' oznaczymy je przez ". Sposób cięcia scharakteryzujemy przez wektor ', gdzie jest liczbą elementów o szerokości i długości * otrzymanych w sposobie z jednego elementu stardardowego. Liczby spełniają warunek: ' oraz założymy, że *. Zagadnienie finansowe 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 4 Zagadnienie transportowe Zagadnienie planowania produkcji i zapasów Powyższe przykłady prowadzą do sformułowania modelu zagadnienia programowania liniowego.

3 2 SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZPL) 5 2 Sformułowanie zagadnienia programowania liniowego ZPL) Postać ogólna ZPL ' ' ' ' " 1) ' " 2) 3) 4) 5) 2 SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZPL) 6 Wyróżnia się jeszcze następujacą postać kanoniczna ZPL: ' 6) 7) 8) lub w zapisie macierzowym:. 9) 10) 11) gdzie ' '

4 2 SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZPL) 7 oraz postać standardowa ZPL: * ' 12) 13) 14) lub w zapisie macierzowym: 15) 16) 17) 3 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI ZPL 8 3 Podstawowe definicje i własności ZPL Definicja 1 Wektor ' nazywamy rozwiazaniem dopuszczalnym ZPL o postaci ogólnej, jeśli jego współrzędne spełniają ograniczenia 2, 3, 4 i 5. Analogicznie dla postaci kanonicznej standardowej) rozwiązaniem dopuszczalnym nazywamy wektor ' spełniający ograniczania 10 i 11 16, 17). Natomiast rozwiązaniem maksymalnym optymalnym) nazywamy takie rozwiązanie, że dopuszczalne gdzie zbiór jest zbiorem rozwiazań dopuszczalnych ZPL.

5 3 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI ZPL 9 Niech będzie zbiorem w Definicja 2 Zbiór K nazywamy wypukłym, jeżeli dla dowolnych " " oraz zachodzi Przykłady zbiorów wypukłych: " " " ".. zbiór rozwiązań dopuszczalnych ZPL - postać standardowa), zbiór rozwiązań dopuszczalnych ZPL - postać kanoniczna). Twierdzenie 1 Zbiór K jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej p, dla każdego oraz każdego! takiego, że zachodzi warunek Wnioskiem z tego twierdzenia jest fakt, że zbiór rozwiązań optymalnych ZPL jest zbiorem wypukłym. 3 PODSTAWOWE DEFINICJE I WŁASNOŚCI ZPL 10 nazywamy punktem wierzchołkowym ekstremalnym) zbioru wypukłego K wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieja Definicja 3 Punkt takie dwa różne punkty " różne od punktu, że dla ", tzn. nie leży wewnatrz odcinka łacz acego dwa inne punkty tego zbioru. Twierdzenie 2 Jeżeli zbiór rozwiazań dopuszczalnych D dla ZPL jest wielościanem wypukłym, to każdy jego punkt można przedstawić jako kombinację wypukła jego wierzchołków ', tzn. gdzie Jeśli natomiast D jest zbiorem wielościennym wypukłym o r wierzchołkach ' oraz nieskończonych krawędziach, a ' +++. sa wektorami równoległymi do poszczególnych

6 +++ 4 BAZOWE ROZWIAZANIE ZPL - DEFINICJE I WŁASNOŚCI 11 krawędzi, to: gdzie '. 4 Bazowe rozwiazanie ZPL - definicje i własności Rozważać będziemy układ ograniczeń ZPL w postaci standardowej, tj. gdzie. Zakładamy, że ' #. Niech będą kolumnami macierzy A przy czym kolumny o numerach " tworzą bazę przestrzeni. Oznaczmy ją przez, czyli / pozostałe kolumny macierzy oznaczamy przez N i nazywamy kolumnami 4 BAZOWE ROZWIAZANIE ZPL - DEFINICJE I WŁASNOŚCI 12 niebazowymi. Po ewentualnym przestawieniu kolumn macierzy mamy. Oznaczjąc przez zmienne odpowiadajace kolumnom bazowym a przez zmienne stojące przy kolumnach niebazowych nazywamy je niebazowymi) można rozważany układ zapisać nastepująco:. Definicja 4 Rozwiazanie. układu równań takie, że nazywamy bazowym rozwiązaniem BR) tego układu. Jeśli, to takie rozwiązanie nazywamy bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym BRD). Jeśli, to takie rozwiązanie bazowe nazywamy rozwiązaniem niezdegenerowanym BRDN), w przeciwnym przypadku rozwiązanie takie nazywamy bazowym rozwiązaniem zdegenerowanym BRDZ).

7 4 BAZOWE ROZWIAZANIE ZPL - DEFINICJE I WŁASNOŚCI 13 Fakty: BRN ma dokładnie jedną bazę natomiast BRZ może mieć kilka baz. ZPL może mieć co najwyżej rozwiązań bazowych. Definicja 5 Dwie bazy nazywamy sasiednimi, jeżeli różnia się od siebie tylko jednym wektorem. Twierdzenie 3 Wzajemna odpowiedniość punktów ekstremalnych - wierzchołków - i bazowych rozwiazań dopuszczalnych ZPL) Niech.. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby punkt był wierzchołkiem zbioru rozwiazań dopuszczalnych ZPL jest, żeby punkt ten był bazowym rozwiązaniem dopuszczalnym układu równań. Twierdzenie 4 Jeżeli ZPL ma niepusty zbiór rozwiązań dopuszczalnych zbiór ), to ma co najmniej jeden punkt ekstremalny lub równoważnie co najmniej jedno bazowe rozwiązanie dopuszczalne). Podstawą metody sympleks są następujące twierdzenia: 4 BAZOWE ROZWIAZANIE ZPL - DEFINICJE I WŁASNOŚCI 14 Twierdzenie 5 Jeśli ZPL ma rozwiazanie optymalne, to ma również bazowe rozwiazanie optymalne. Twierdzenie 6 Niech ZPL ma niepusty zbiór rozwiazań dopuszczalnych. Zagadnienie to ma rozwiazanie optymalne wtedy i tylko wtedy, gdy +++ dla, gdzie sa wektorami kierunkowymi krawędzi nieskończonych zbioru rozwiazań dopuszczalnych. W przeciwnym przypadku zagadnienie to nie ma rozwiazań optymalnych skończonych.

8 " 5 METODA SYMPLEKS - OZNACZENIA I PODSTAWOWE FAKTY 15 5 Metoda sympleks - oznaczenia i podstawowe fakty Rozważamy ZPL w postaci standardowej:. 18) Zakłada się, że #. Niech baza dopuszczalną kolumn macierzy A będzie. Oznaczmy przez ' ' zbiór indeksów wektorów kolumn tej bazy natomiast przez oznaczymy zbiór indeksów kolumn niebazowych, tj. '. Po ewentualnem przestawieniu kolumn mamy. Rozwiązanie dopuszczalne odpowiadające tej bazie, gdzie i można zapisać następująco: 5 METODA SYMPLEKS - OZNACZENIA I PODSTAWOWE FAKTY 16 jest BRD. Układ równań 18 zapisać następująco: 19) 20) co pozwala wyrazić związek pomiędzy wektorami. Z definicji bazy mamy, że dla dowolnego istnieje wektor współczynników taki, że Dla ujednolicenia zapisu przyjmuje się, że. Teraz równanie 20 można zapisać:! 21)

9 5 METODA SYMPLEKS - OZNACZENIA I PODSTAWOWE FAKTY 17 lub w zapisie po współrzędnych ' Ponadto oznaczmy, gdzie jest wektorem współczynników funkcji celu ) odpowiadających zmiennym bazowym, a jest wektorem współczynników funkcji celu ) odpowiadających zmiennym niebazowym.