doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505."

Transkrypt

1 doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22) Mail: www: Literatura: Wspomaganie procesów decyzyjnych, Marianna Lipiec-Zajchowska (red.), tom III, Badania operacyjne, C.H.Beck,

2 Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, Karol Kukuła (red.), Wydawnictwo Naukowe PWN, dowolne wydanie BADANIA OPERACYJNE Badanie operacji - operations research II wojna światowa. Badania operacyjne - operational research - naukowa metoda rozwiązywania problemów z zakresu podejmowania decyzji. Zastosowania: 2

3 sporządzanie matematycznych, ekonomicznych i statystycznych opisów lub modeli decyzji oraz problemów sterowania w celu analizy sytuacji charakteryzujących się dużą złożonością i niepewnością, analiza zależności determinujących prawdopodobne konsekwencje wyboru decyzji oraz formułowanie odpowiednich mierników efektywności w celu oszacowania względnej wartości alternatywnych działań. Cechy charakterystyczne: ukierunkowanie na podejmowanie decyzji, możliwość oceny działania na podstawie kryteriów ekonomicznej efektywności, zaufanie do modelu matematycznego; konieczność stosowania oprogramowania komputerowego. Sposoby osiągania celu: poprawa jakości podejmowanych decyzji, poprawa jakości koordynacji działań wewnątrz organizacji, 3

4 polepszenie jakości kontroli, doskonalenie systemów. 4

5 Implementacja Algorytmy Programy komputerowe Procedura badań operacyjnych Sytuacja decyzyjna Problem zarządzania Rozpoznanie Wartościowanie Modelowanie Model problemu Decyzje Analiza i ocena Rozwiązanie problemu Sytuacja decyzyjna, problem zarządzania - wspomaganie decydentów w poszukiwaniu najlepszej odpowiedzi na pytanie Co - jeżeli? Rozpoznanie, wartościowanie, modelowanie: 5

6 rozpoznanie - zebranie danych liczbowych o problemie decyzyjnym, wartościowanie (ewaluacja) zebranych materiałów liczbowych - stwierdzenie problemu zarządzania i jego określenie merytoryczne i formalne (matematyczne), modelowanie. Model problemu Algorytmy, programy komputerowe - metody programowania matematycznego (programowanie liniowe, algorytm transportowy), regresja liniowa i wieloraka, drzewo decyzyjne, programowanie sieciowe, programowanie dynamiczne. Rozwiązanie problemu 6

7 Analiza, ocena - analiza poprawności: założeń, rozpoznania, wartościowania i modelowania, wybranego modelu, zastosowanego algorytmu, zastosowanego programu komputerowego, uzyskanego rozwiązania matematycznego. Decyzje - zbiór rozwiązań o akceptowanym wstępnie stopniu dobroci każdego rozwiązania oraz zbiór rozwiązań suboptymalnych. Implementacja - rozwiązanie problemu wybrane przez decydenta zostaje zastosowane. 7

8 8 PROGRAMOWANIE LINIOWE Postać klasyczna (standardowa) Funkcja celu (kryterium): 1) maksymalizacja z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX lub z = n j 1 c j x j MAX Ograniczenia: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n < b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n < b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n < b m Warunki brzegowe: x 1, x 2,... x n > 0 cx MAX Ax < b x > 0 gdzie: x j - zmienna decyzyjna dla j = 1,2,..., n, c j - współczynniki funkcji celu j = 1,2,..., n, a ij - współczynniki nakładów j = 1,2,..., n oraz

9 i= 1,2,..., m, b j - zasoby czynników produkcji (zakłada się, że są nieujemne). 2) minimalizacja z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MIN lub z = n j 1 c j x j MIN Ograniczenia: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n > b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n > b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n > b m Warunki brzegowe: x 1, x 2,... x n > 0 cx MIN Ax > b x > 0 9

10 Wektor zmiennych decyzyjnych: X = [x 1, x 2,..., x n ] spełniający warunki ograniczające i brzegowe nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego. Takie rozwiązanie dopuszczalne, dla którego funkcja celu osiąga wartość ekstremalną (MAX, MIN) nazywamy rozwiązaniem optymalnym. Graficzna interpretacja programowania liniowego Przykład: Firma specjalizująca się w produkcji mrożonych półfabrykatów spożywczych produkuje frytki (1) oraz puree (2). Firma może kupować ziemniaki u dwóch dostawców. Z 1t zakupionych ziemniaków u dostawcy pierwszego (I) można wyprodukować 0,2t frytek i 0,6t puree (0,2t stanowią odpady), zaś u dostawcy drugiego (II) odpowiednio - 0,3t i 0,6t. Przy zakupie ziemniaków od I dostawcy zysk względny wynosi 5 j.p., natomiast od II 6 j.p. Frytki mogą być produkowane w ilości 10

11 nie większej niż 18t/miesiąc, natomiast puree w ilości nie większej niż 48t/miesiąc. Problem: ile ziemniaków należy zakupić od każdego dostawcy, aby zmaksymalizować zysk całkowity? Produkt Dostawca I Dostawca II Wielkość produkcji Frytki 0,2 0,3 18 Puree 0,6 0,6 48 Zysk względny 5 6 x 1 - ilość ziemniaków kupowana u I dostawcy, x 2 - ilość ziemniaków kupowana u II dostawcy, Funkcja celu: z = 5 x x 2 MAX Ograniczenia: 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 Warunki brzegowe: x 1 > 0 x 2 > 0 11

12 1.Zamieniamy nierówności na równania: I linia prosta: 0,2 x 1 + 0,3 x 2 = 18 x 1 = 0 0,3 x 2 = 18 x 2 = 60 x 2 = 0 0,2 x 1 = 18 x 1 = 90 II linia prosta: 0,6 x 1 + 0,6 x 2 = 48 x 1 = 0 0,6 x 2 = 48 x 2 = 80 x 2 = 0 0,6 x 1 = 48 x 1 = 80 12

13 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 A(0, 0): B(80,0): 0,2 0+0,3 0=0 0,6 0+0,6 0=0 0,2 80+0,3 0=16 0,6 80+0,6 0=48 C(90,0): 0,2 90+0,3 0=18 0,6 90+0,6 0=54 rozw. sprz. D(?,?): 0,2 x 1 + 0,3 x 2 = 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 = 48 x 1 =60, x 2 =20 D(60,20): 0, ,3 20 = 18 0, ,6 20 = 48 E(0,80): 0, ,3 80 = 24 rozw. sprz. 0, ,6 80 = 48 F(0,60): 0, ,3 60 = 18 0, ,6 60 = 36 13

14 14 2. Wyznaczamy zbiór rozwiązań dopuszczalnych

15 3. Poszukujemy rozwiązania optymalnego: Metoda podstawiania: z = 5 x x 2 MAX A(0,0): = 0 B(80,0): = 400 D(60,20): = 420 MAX F(0,60): =

16 Metoda warstwicy funkcji celu: z = 5 x x 2 MAX Zakładamy dowolną wartość funkcji celu: 5 x x 2 = 250 x 1 = 0 6 x 2 = 250 x 2 = 41 2/3 x 2 = 0 5 x 1 = 250 x 1 = 50 5 x x 2 = 300 x 1 = 0 6 x 2 = 300 x 2 = 50 x 2 = 0 5 x 1 = 300 x 1 = 60 16

17 Rozwiązanie: Należy zakupić od I dostawcy 60t ziemniaków (x 1 = 60) natomiast od II dostawcy 20t ziemniaków (x 2 = 20), aby osiągnąć maksymalny zysk związany z zakupem na poziomie z MAX = 420 j.p. Możliwe zbiory rozwiązań dopuszczalnych 1. Zbiór ograniczony (wielokąt wypukły). 2. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem nieograniczonym (od góry). 17

18 3. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem pustym. 4. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest punktem. Rozwiązanie optymalne 1. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest wielokątem wypukłym: 18

19 funkcja celu osiąga ekstremum (MAX lub MIN) w jednym punkcie wierzchołkowym funkcja celu osiąga ekstremum (MAX lub MIN) w dwóch wierzchołkach wielokąta wypukłego 2. Zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest zbiorem nieograniczonym: funkcja celu osiąga ekstremum (MIN) w jednym wierzchołku tego obszaru 19

20 funkcja celu osiąga ekstremum (MIN) w dwóch wierzchołkach tego obszaru funkcja celu nie osiąga skończonej wartości ekstremalnej (MAX) 20

21 Dualizm w programowaniu liniowym 1. Dla każdego zadania programowania liniowego można zbudować inne zagadnienie programowania liniowego, zwane zagadnieniem (zadaniem) dualnym do zagadnienia wyjściowego - prymalnego. Zadanie prymalne: z = c 1 x 1 + c 2 x c n x n MAX a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n < b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n < b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n < b m x 1, x 2,... x n > 0 Zadanie dualne: w = b 1 y 1 + b 2 y b m y m MIN a 11 y 1 + a 21 y a m1 y m > c 1 a 12 y 1 + a 22 y a m2 y m > c 2... a 1n y 1 + a 2n y a mn y m > c n y 1, y 2,... y m > 0 21

22 2. W zadaniu dualnym występuje tyle zmiennych decyzyjnych (y m ) ile warunków ograniczających zawiera zadanie prymalne (b m ). Zmienne decyzyjne w zadaniu dualnym są nazywane cenami dualnymi. 3. W zadaniu dualnym macierz współczynników warunków ograniczających jest macierzą transponowaną względem macierzy współczynników warunków ograniczających zadania prymalnego. a 11 a a 1n a 11 a a m1 a 21 a a 2n a 12 a a m2 A =... A T =... a m1 a m2... a mn a 1n a 2n... a mn 4. Warunki ograniczające w zadaniu dualnym mają nierówności o przeciwnym kierunku do nierówności warunków ograniczających w zadaniu prymalnym. 22

23 5. W zadaniu dualnym wyrazy wolne warunków ograniczających są równe współczynnikom funkcji celu zadania prymalnego. 6. Współczynniki funkcji celu zadania dualnego są równe wyrazom wolnym warunków ograniczających zadania prymalnego. 7. Kryterium optymalizacyjne zadania dualnego jest przeciwne do kryterium optymalizacyjnego zadania prymalnego. 8. Jeśli jedno z zagadnień dualnych ma rozwiązanie optymalne, to rozwiązanie optymalne ma również drugie z tych zagadnień, przy czym zachodzi równość: z MIN = w MAX 9. Jeśli w jednym z zagadnień dualnych optimum funkcji celu jest nieograniczone, to jego zagadnienie dualne jest sprzeczne. 23

24 10. Jeżeli j-ty warunek zadania dualnego jest (chociaż w jednym) optymalnym rozwiązaniu tego programu spełniony z nierównością (ostro), to odpowiadająca mu j-ta zmienna x j w (dowolnym) optymalnym rozwiązaniu zadania prymalnego przyjmuje wartość 0 i odwrotnie. Jest to tzw. twierdzenie o równowadze wykorzystywane do sprawdzania optymalności danego rozwiązania dopuszczalnego. Przykład: Zadanie prymalne: x 1 - ilość ziemniaków kupowana u I dostawcy, x 2 - ilość ziemniaków kupowana u II dostawcy, Funkcja celu: z = 5 x x 2 MAX Ograniczenia: 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 Warunki brzegowe: x 1 > 0 x 2 > 0 Rozwiązanie: x 1 =60, x 2 =20, z MAX =

25 Zadanie dualne: y 1 - cena dualna I ograniczenia (moce produkcyjne przy produkcji frytek), y 2 - cena dualna II ograniczenia (moce produkcyjne przy produkcji puree), Funkcja celu: w = 18 y y 2 MIN Ograniczenia: 0,2 y 1 + 0,6 y 2 > 5 0,3 y 1 + 0,6 y 2 > 6 Warunki brzegowe: y 1 > 0 y 2 > 0 25

26 Rozwiązanie: y 1 =10, y 2 =5, w MIN = 420 Interpretacja: y 1 =10 zwiększenie I zasobu (mocy produkcyjnych przy produkcji frytek) o jednostkę (1t) spowoduje taką zmianę rozwiązania optymalnego w zadaniu prymalnym w efekcie, której wartość funkcji celu wzrośnie o 10 j.p: 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 19 (18+1) 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 48 x 1 =50, x 2 =30 z MAX = = 430 z = = 10 y 1 26

27 y 2 =5 zwiększenie II zasobu (mocy produkcyjnych przy produkcji puree) o jednostkę (1t) spowoduje taką zmianę rozwiązania optymalnego w zadaniu prymalnym w efekcie, której wartość funkcji celu wzrośnie o 5 j.p: 0,2 x 1 + 0,3 x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6 x 2 < 49 (48+1) x 1 =65, x 2 =16 2/3 z MAX = /3 = 425 z = = 5 y 2 27

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3

Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017

Badania operacyjne. Ćwiczenia 1. Wprowadzenie. Filip Tużnik, Warszawa 2017 Badania operacyjne Ćwiczenia 1 Wprowadzenie Plan zajęć Sprawy organizacyjne (zaliczenie, nieobecności) Literatura przedmiotu Proces podejmowania decyzji Problemy decyzyjne w zarządzaniu Badania operacyjne

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 8, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 8, 2016 1 / 15 Problem diety Tabelka wit. A (µg) wit. B1 (µg) wit. C (µg) (kcal)

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 10

Ekonometria - ćwiczenia 10 Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a

Programowanie nieliniowe. Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Programowanie nieliniowe Badania operacyjne Wykład 3 Metoda Lagrange a Plan wykładu Przykład problemu z nieliniową funkcją celu Sformułowanie problemu programowania matematycznego Podstawowe definicje

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Algorytm simplex i dualność

Algorytm simplex i dualność Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych

Wprowadzenie do badań operacyjnych Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Schemat postępowania w badaniach operacyjnych decydent sytuacja decyzyjna decyzje decyzje dopuszczalne niedopuszczalne kryterium wyboru zadanie decyzyjne zmienne decyzyjne warunki

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej:

ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: A Kasperski, M Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 ZAGADNIENIE DUALNE Rozważmy zagadnienie liniowe(zagadnienie to nazywamy prymalnym) o postaci kanonicznej: max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + +

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w technice Linear programming in engineering problems Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku matematyka przemysłowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium,

Bardziej szczegółowo

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Politechnika Poznańska WMRiT ZST. Piotr Sawicki Optymalizacja w transporcie 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI Zakład Systemów Transportowych WMRiT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl www.put.poznan.pl/~piotr.sawicki www.facebook.com/piotr.sawicki.put

Bardziej szczegółowo

Teoretyczne podstawy programowania liniowego

Teoretyczne podstawy programowania liniowego Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 4 (Materiały) Analiza wrażliwości Rozwiązanie programu liniowego jest dopiero początkiem analizy. Z punktu widzenia decydenta (menadżera) jest istotne, żeby wiedzieć jak na rozwiązanie optymalne wpływają zmiany parametrów

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały) Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.SIK306 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu.

Agenda. Optymalizacja w transporcie. Piotr Sawicki WIT PP, ZST 1. Kluczowe elementy wykładu. WPROWADZENIE Cel i zakres wykładu. Tytuł: 01 Budowa portfela produktowego. Zastosowanie programowania liniowego Autor: Piotr SAWICKI, dr hab. inż. Zakład Systemów Transportowych WIT PP piotr.sawicki@put.poznan.pl piotr.sawicki.pracownik.put.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż.

Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych. Badania operacyjne. Dr inż. Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn Katedra Logistyki i Systemów Transportowych Badania operacyjne Dr inż. Artur KIERZKOWSKI Wprowadzenie Badania operacyjne związana jest ściśle z teorią podejmowania

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2010/2011

Uniwersytet w Białymstoku Wydział Ekonomiczno-Informatyczny w Wilnie SYLLABUS na rok akademicki 2010/2011 SYLLABUS na rok akademicki 00/0 Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Imię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr

Imię, nazwisko i tytuł/stopień KOORDYNATORA przedmiotu zatwierdzającego protokoły w systemie USOS Jacek Marcinkiewicz, dr Tryb studiów Stacjonarne Nazwa kierunku studiów EKONOMIA Poziom studiów Stopień pierwszy Rok studiów/ semestr III; semestr 5 Specjalność Bez specjalności Kod przedmiotu w systemie USOS 1000-ES1-3EC1 Liczba

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):

Metoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu: Badania operacyjne

Opis przedmiotu: Badania operacyjne Opis : Badania operacyjne Kod Nazwa Wersja TR.SIK306 Badania operacyjne 2013/14 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej

Opis przedmiotu. Karta przedmiotu - Badania operacyjne Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej Kod przedmiotu TR.NIK405 Nazwa przedmiotu Badania operacyjne Wersja przedmiotu 2015/2016 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów

Bardziej szczegółowo

Ekonometria - ćwiczenia 11

Ekonometria - ćwiczenia 11 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Programowanie liniowe w zagadnieniach finansowych i logistycznych Linear programming in financial and logistics problems Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla specjalności

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH

OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Programowanie liniowe

Wykład 6. Programowanie liniowe Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania

Bardziej szczegółowo

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną

1.2. Rozwiązywanie zadań programowania liniowego metodą geometryczną binarną są określane mianem zadania programowania binarnego. W stosunku do dyskretnych modeli decyzyjnych stosuje się odrębną klasę metod ich rozwiązywania. W dalszych częściach niniejszego rozdziału zostaną

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. stacjonarne. II stopnia. ogólnoakademicki. podstawowy WYKŁAD ĆWICZENIA LABORATORIUM PROJEKT SEMINARIUM

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE. stacjonarne. II stopnia. ogólnoakademicki. podstawowy WYKŁAD ĆWICZENIA LABORATORIUM PROJEKT SEMINARIUM Politechnika Częstochowska, Wydział Zarządzania PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu Kierunek Forma studiów Poziom kwalifikacji Rok Semestr Jednostka prowadząca Osoba sporządzająca Profil Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-120I Badania Operacyjne Operations Research

Z-LOG-120I Badania Operacyjne Operations Research KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 01/013 Z-LOG-10I Badania Operacyjne Operations Research A. USYTUOWANIE MODUŁU W

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA I SYLABUS

EKONOMETRIA I SYLABUS Załącznik nr 5 do Uchwały nr 1202 Senatu UwB z dnia 29 lutego 2012 r. EKONOMETRIA I SYLABUS A. Informacje ogólne Elementy składowe sylabusu Nazwa jednostki prowadzącej kierunek Nazwa kierunku studiów Poziom

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2

Document: Exercise*02*-*manual /11/ :31---page1of8 INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Document: Exercise*02*-*manual ---2014/11/12 ---8:31---page1of8 PRZEDMIOT TEMAT KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 2 Wybrane zagadnienia z

Bardziej szczegółowo

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W, 2L, 1C PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Matematyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Metody optymalizacji w ekonomii

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych

BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji. Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych BADANIA OPERACYJNE i teoria optymalizacji Prowadzący: dr Tomasz Pisula Katedra Metod Ilościowych e-mail: tpisula@prz.edu.pl 1 Literatura podstawowa wykorzystywana podczas zajęć wykładowych: 1. Gajda J.,

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Modele liniowe.......................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

Z-ZIP-120z Badania Operacyjne Operations Research. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Z-ZIP-120z Badania Operacyjne Operations Research. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Monika Skóra KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-ZIP-120z Badania Operacyjne Operations Research A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Michał Kulej. semestr letni, Michał Kulej () Badania operacyjne semestr letni, / 13

Badania operacyjne. Michał Kulej. semestr letni, Michał Kulej () Badania operacyjne semestr letni, / 13 Badania operacyjne Michał Kulej semestr letni, 2012 Michał Kulej () Badania operacyjne semestr letni, 2012 1/ 13 Literatura podstawowa Wykłady na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kulej Trzaskalik

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Badania operacyjne Operational research Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Engineering of Production Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Poziom studiów: studia I stopnia

Bardziej szczegółowo

Zbiory wypukłe i stożki

Zbiory wypukłe i stożki Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo