PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)"

Transkrypt

1 PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE (CELOWE)

2 Przykład 14. Zakład zamierza rozpocząć produkcję wyrobów W 1 i W 2. Wśród środków produkcyjnych, które zostaną użyte w produkcji dwa są limitowane. Limity te wynoszą: dla środka S 1 63 jednostki, a dla środka S 2 64 jednostki. Aby wyprodukować jednostkę wyrobu W 1 potrzeba 9 jednostek środka S 1 i 8 jednostek środka S 2. Aby wyprodukować jednostkę wyrobu W 2 potrzeba 7 jednostek S 1 i 8 jednostek S 2. Zarówno wyrób W 1 jak i W 2 jest niezbędny do produkcji pewnego urządzenia U. Jedno urządzenie U wymaga 3 jednostek W 1 i 2 jednostek W 2. Produkcja będzie opłacalna, jeżeli zakład sprzeda wyroby W 1 i W 2 potrzebne do wytworzenia co najmniej 6 jednostek urządzenia U. 2

3 c.d. Określono trzy cele, które zakład zamierza osiągnąć: 1. Maksymalny zysk ze sprzedaży wyrobów, który powinien być nie mniejszy niż 1, przy cenach wyrobów wynoszących 6 dla W 1 i 5 dla W Utrzymanie zatrudnienia w zakładzie na poziomie 5 osób, przy czym na każdej zmianie przy produkcji wyrobu W 1 będą pracować 4 osoby, a przy produkcji W 2 3 osoby. 3. Nakłady inwestycyjne na rozpoczęcie produkcji nie mogą przekroczyć 5, przy czym koszty związane z jednostką wyrobu W 1 mają wynosić 2, a z wyrobem W 2 4. Dla zakładu najważniejsze jest przede wszystkim osiągnięcie celu 3, następnie celu 1, natomiast najmniej istotny jest cel 2. 3

4 c.d. Ponieważ najprawdopodobniej jednoczesne osiągnięcie wszystkich celów jest niemożliwe, określono wartości współczynników kar związanych z ewentualnym niezrealizowaniem poszczególnych celów: dla celu 1.: -współczynnik kary równy 5 dla odchylenia in minus dla celu 2.: -współczynnik kary równy 4 dla odchylenia in plus -współczynnik kary równy 2 dla odchylenia in minus dla celu 3.: - współczynnik kary równy 3 dla odchylenia in plus Zbudować pełny model matematyczny dla tego zadania. 4

5 Ograniczenia: W 1 W 2 S S U Tabela

6 Zmienne decyzyjne: x 1 wielkość produkcji wyrobu W 1 x 2 wielkość produkcji wyrobu W 2 6

7 1 9x + 7x x + 8x x + 2x 6 7

8 Cele: Nr celu W 1 W 2 Założony poziom celu 1 Zysk 6 5 Nie mniejszy niż 1 2 Zatrudnienie 4 3 Na poziomie 5 3 Nakłady inwestycyjne 2 4 Nie większe niż 5 Tabela

9 cel 1.: 6x + 5x 1 cel 2.: 4x + 3x = 5 cel 3.: 2x + 4x 5 9

10 Priorytet: P cel 1.: 6x + 5x 1 2 cel 2.: 4x + 3x = 5 3 cel 3.: 2x + 4x 5 1 1

11 Współczynniki kar: Nr celu 1 6x + 5x 1 Dla odchyleń Dla odchyleń in plus in minus y ˆ i( + ) yˆ i( ) 5 2 4x + 3x = x + 4x 5 3 i = 1, 2, 3 Tabela

12 Dla celu 1.: Zyski muszą być równe co najmniej 1 Cel nie będzie zrealizowany, gdy zyski będą mniejsze od 1 Minimalizujemy ewentualne odchylenia in minus dla tego celu Współczynnik kary yˆ 1( ) > 12

13 Każde odchylenie in plus od wartości 1 jest korzystne Współczynnik kary y ˆ 1( + ) = 13

14 Dla celu 2.: Zatrudnienie musi się utrzymać na poziomie 5 Cel nie będzie zrealizowany, gdy zatrudnienie będzie większe lub mniejsze od 5 Minimalizujemy ewentualne odchylenia zarówno in plus jak i in minus dla tego celu yˆ Współczynniki kary 2 2 ( + ), yˆ ( ) > 14

15 Dla celu 3.: Nakłady inwestycyjne nie mogą przekroczyć 5 Cel nie będzie zrealizowany, gdy nakłady przekroczą 5 Minimalizujemy ewentualne odchylenia in plus dla tego celu Współczynnik kary y ˆ 3( + ) > 15

16 Każde odchylenie in minus od wartości 5 jest korzystne Współczynnik kary yˆ 3( ) = 16

17 Cele: - jednostronne:, tylko jeden niezerowy współczynnik kary odchylenia niekorzystne z jednej strony -dwustronne: = dwa niezerowe współczynnik kar odchylenia niekorzystne z dwu stron 17

18 Model matematyczny: Nr celu y ˆ i ( + ) yˆ i ( ) P 1 6x + 5x x + 3x = x + 4x x + 7x 63 O: x 1+ x2 8 WB: x1, x2 3x + 2x 6 Tabela

19 Przykład 15. Rozwiązać zadanie programowania wielokryterialnego z Przykładu

20 Cel o priorytecie 1: cel 3. 2x + 4x 5 y ˆ 3( + ) = 3 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki in plus dla tego celu 2

21 Zadanie P1. Funkcja celu: 3 y 3( + ) MIN Ograniczenia z zadania pierwotnego: 9x + 7x 63 x1+ x2 8 3x + 2x 6 21

22 Ograniczenia wynikające z założonych celów: 6x + 5 x y ( + ) + y ( ) = x + 3 x y ( + ) + y ( ) = x + 4 x y ( + ) + y ( ) = Warunki brzegowe: x, x, y ( + ), y ( ), y ( + ), y ( ), y ( + ), y ( )

23 Zadanie rozwiązujemy np. metodą simplex: Wyniki: (jest kilka rozwiązań alternatywnych w każdym y 3 (+) = ) x = 2 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = y ( ) = 88 y ( ) = 42 y ( ) = FC: 3 y 3( + ) = Wielkość odchyłki in plus dla Zadania P1 = 23

24 Cel o priorytecie 2: cel 1. 6x1+ 5x2 1 yˆ 1( ) = 5 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki in minus dla tego celu W zadaniu tym należy uwzględnić otrzymaną wartość odchyłki in plus dla celu o wyższym priorytecie (y 3 (+) = ) 24

25 Zadanie P2. Funkcja celu: 1 5 y ( ) MIN Ograniczenia z zadania pierwotnego: Ograniczenia wynikające z założonych celów: jak poprzednio jak poprzednio Ograniczenie wynikające z Zadania P1: 3 y 3( + ) = Warunki brzegowe: jak poprzednio 25

26 Zadanie rozwiązujemy np. metodą simplex: Wyniki: x = 3.5 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = 4.5 y ( ) = 56.5 y ( ) = 22.5 y ( ) = FC: 5 y1( ) = = Wielkość odchyłki in minus dla Zadania P2 =

27 Cel o priorytecie 3: cel 2. 4x1+ 3x2 = 5 yˆ ˆ 2( + ) = 4 y2( ) = 2 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki in plus i in minus dla tego celu W zadaniu tym należy uwzględnić otrzymane wartości odchyłek dla celów o wyższym priorytecie (y 3 (+) =, y 1 ( ) = 56.5) 27

28 Zadanie P3. 4 y ( + ) + 2 y ( ) MIN Funkcja celu: 2 2 Ograniczenia z zadania pierwotnego: Ograniczenia wynikające z założonych celów: Ograniczenie wynikające z Zadania P1: jak poprzednio jak poprzednio jak poprzednio Ograniczenie wynikające z Zadania P2: 5 y1( ) = Warunki brzegowe: jak poprzednio 28

29 Zadanie rozwiązujemy np. metodą simplex: Wyniki: x = 3.5 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = 4.5 y ( ) = 56.5 y ( ) = 22.5 y ( ) = y ( + ) + 2 y ( ) = = 45 FC: 2 2 Wielkość odchyłki in plus dla Zadania P3 = Wielkość odchyłki in minus dla Zadania P3 =

30 Ponieważ nie ma więcej celów, to rozwiązanie Zadania P3, jest rozwiązaniem optymalnym: x = 3.5 x = 4.5 Cel 1. Cel 2. Cel 3. y i (+) y i ( ) Tabela

31 Odpowiedź: - Cel 1., który miał priorytet 2. nie zostanie zrealizowany, a niekorzystna odchyłka in minus będzie wynosić (czyli osiągnięty zysk będzie wynosił = 43.5) - Cel 2., który miał priorytet 3. nie zostanie zrealizowany, a niekorzystna odchyłka in minus będzie wynosić (czyli zatrudnienie obniży się do poziomu 27.5 osób!) - Cel 3., który miał priorytet 1. zostanie zrealizowany, a nawet wystąpi korzystna odchyłka in minus równa 25. (czyli połowa nakładów inwestycyjnych nie zostanie wykorzystana) 31

32 Przykład 16. Rozwiązać zadanie programowania wielokryterialnego z Przykładu 14., przy czym zmieniona zostaje hierarchia celów. -najważniejszy jest cel 3. -cel 1 i 2 są jednakowo ważne. 32

33 Model matematyczny: Nr celu y ˆ i ( + ) yˆ i ( ) P 1 6x + 5x x + 3x = x + 4x x + 7x 63 O: x 1+ x2 8 WB: x1, x2 3x + 2x 6 Tabela

34 Cel o priorytecie 1: cel 3. 2x + 4x 5 y ˆ 3( + ) = 3 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki in plus dla tego celu 34

35 Zadanie P1. Funkcja celu: 3 y 3( + ) MIN Ograniczenia z zadania pierwotnego: 9x + 7x 63 x1+ x2 8 3x + 2x 6 35

36 Ograniczenia wynikające z założonych celów: 6x + 5 x y ( + ) + y ( ) = x + 3 x y ( + ) + y ( ) = x + 4 x y ( + ) + y ( ) = Warunki brzegowe: x, x, y ( + ), y ( ), y ( + ), y ( ), y ( + ), y ( )

37 Wyniki: (jest kilka rozwiązań alternatywnych w każdym y 3 (+) = ) x = 2 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = y ( ) = 88 y ( ) = 42 y ( ) = FC: 3 y 3( + ) = Wielkość odchyłki in plus dla Zadania P1 =. Dotąd jak w Przykładzie

38 Cele o priorytecie 2: cel 1. i 2. 6x1+ 5x2 1 yˆ 1( ) = 5 4x1+ 3x2 = 5 yˆ ˆ 2( + ) = 4 y2( ) = 2 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki in minus dla celu 1. i jednocześnie minimalizować odchyłki in plus i in minus dla celu 2. W zadaniu tym należy uwzględnić otrzymaną wartość odchyłki in plus dla celu o wyższym priorytecie (y 3 (+) = ) 38

39 Zadanie P2. 5 y ( ) + 4 y ( + ) + 2 y ( ) MIN Funkcja celu: 2 Ograniczenia z zadania pierwotnego: jak poprzednio Ograniczenia wynikające z założonych celów: jak poprzednio Ograniczenie wynikające z Zadania P1: 3 y 3( + ) = Warunki brzegowe: jak poprzednio 39

40 Wyniki: x = 3.5 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = 4.5 y ( ) = 56.5 y ( ) = 22.5 y ( ) = y ( ) + 4 y ( + ) + 2 y ( ) = FC: 2 4

41 Ponieważ nie ma więcej celów, to rozwiązanie Zadania P2, jest rozwiązaniem optymalnym: x = 3.5 x = 4.5 Cel 1. Cel 2. Cel 3. y i (+) y i ( ) Tabela

42 Odpowiedź: Identyczna jak w Przykładzie

43 Przykład 17. Rozwiązać zadanie programowania wielokryterialnego z Przykładu 14., przy czym wszystkie trzy cele są jednakowo ważne. 43

44 Model matematyczny: Nr celu y ˆ i ( + ) yˆ i ( ) P 1 6x + 5x x + 3x = x + 4x x + 7x 63 O: x 1+ x2 8 WB: x1, x2 3x + 2x 6 Tabela

45 Budujemy zadanie programowania liniowego, w którym jednocześnie będziemy minimalizować niekorzystne odchyłki dla wszystkich celów. 45

46 Zadanie P1. Funkcja celu: y ( ) + 4 y ( + ) + 2 y ( ) + 3 y ( + ) MIN Identyczne jak w poprzednich przykładach: Ograniczenia z zadania pierwotnego. Ograniczenia wynikające z założonych celów. Warunki brzegowe. 46

47 Wyniki: x = 3.5 y ( + ) = y ( + ) = y ( + ) = 1 3 x = 4.5 y ( ) = 56.5 y ( ) = 22.5 y ( ) = y ( ) + 4 y ( + ) + 2 y ( ) + 3 y ( + ) = FC: 2 3 Odpowiedź: jak w poprzednim przykładzie. 47

48 Przykład 18. Nr celu y ˆ i ( + ) yˆ i ( ) P 1 6x + 5x x + 3x = x + 4x WB: x1, x2 Tabela

49 Dla każdego zadania dodatkowego model składa się z: - Funkcji celu minimalizującej odpowiednie odchyłki -Ograniczeń wynikających z nałożonych celów - Dla zadań o priorytecie większym niż 1 z ograniczeń dodatkowych, wynikających z poprzednich zadań dodatkowych - Warunków brzegowych 49

50 x = 1.71 x = 7.41 y i (+) y i ( ) FC Cel 1. Cel Cel 3. Tabela

51 Przykład 19. Rozwiązać zadanie programowania wielokryterialnego z Przykładu 14. metodą geometryczną. 51

52 Model matematyczny: Nr celu y ˆ i ( + ) yˆ i ( ) P 1 6x + 5x x + 3x = x + 4x x + 7x 63 O: x 1+ x2 8 WB: x1, x2 3x + 2x 6 Tabela

53 Rys Zbiór rozwiązań dopuszczalnych 53

54 A(2,) B(7,) C(3.5,4.5) D(,8) E(,3) 54

55 Cel o priorytecie 1: cel 3. 2x + 4x 5 y ˆ 3( + ) = 3 Zadanie P1. Z = 2x + 4x L = 5 P1 P1 FC : 3 y 3( + ) MIN 55

56 Z P1 y 3 (+) y 3 ( ) A(2,) 4 46 B(7,) C(3.5,4.5) D(,8) E(,3) Tabela

57 y 3 (+) wartość o jaką Z P1 jest większe od wartość L P1 y 3 ( ) wartość o jaką Z P1 jest mniejsze od wartość L P1 Interesuje nas najmniejsza wartość odchyłki y 3 (+) 5 alternatywnych rozwiązań 57

58 Cel o priorytecie 2: cel 1. 6x1+ 5x2 1 yˆ 1( ) = 5 Zadanie P2. Z = 6x + 5x L = 1 P2 P2 FC : 5 y1 ( ) MIN 58

59 Z P2 y 1 (+) y 1 ( ) A(2,) B(7,) C(3.5,4.5) D(,8) 4 6 E(,3) Tabela

60 y 1 (+) wartość o jaką Z P2 jest większe od wartość L P2 y 1 ( ) wartość o jaką Z P2 jest mniejsze od wartość L P2 Interesuje nas najmniejsza wartość odchyłki y 1 ( ) y1( ) = 56.5 Punkt C FC : 5 y1 ( ) =

61 Punkt C jest również jednym z alternatywnych rozwiązań optymalnych dla Zadania P1. 61

62 Cel o priorytecie 3: cel 2. 4x1+ 3x2 = 5 yˆ ˆ 2( + ) = 4 y2( ) = 2 Zadanie P3. Z = 4x + 3x L = 5 P3 P3 FC : 4 y ( + ) + 2 y ( ) MIN

63 Z P3 y 2 (+) y 2 ( ) A(2,) 8 42 B(7,) C(3.5,4.5) D(,8) E(,3) 9 41 Tabela

64 y 2 (+) wartość o jaką Z P3 jest większe od wartość L P3 y 2 ( ) wartość o jaką Z P3 jest mniejsze od wartość L P3 Interesuje nas najmniejsza wartość odchyłki 4y 2 (+) + 2 y 2 ( ) y ( + ) = y ( ) = 22 Punkt B

65 Ponieważ dla celów o wyższych priorytetach rozwiązaniem najlepszym był punkt C Przyjmujemy punkt C jako rozwiązanie dla Zadania P3. FC: Z (C) = 4 y ( + ) + 2 y ( ) = 45 P

66 Ostateczne rozwiązanie zadania programowania wielokryterialnego: Punkt C(3.5,4.5) Cel 1. Cel 2. Cel 3. y i (+) y i ( ) Tabela

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.

Badania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE

PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE METODA PODZIAŁU I OGRANICZEŃ Przykład 6. Metoda podziału i ograniczeń Rozwiązać zadanie z Przykładu 1. metodą podziału i ograniczeń, przy czym wielkość produkcji wyrobu

Bardziej szczegółowo

Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ

Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie. Katedra Badań Operacyjnych UŁ 1 Iwona Konarzewska Programowanie celowe - wprowadzenie Katedra Badań Operacyjnych UŁ 2 Programowanie celowe W praktycznych sytuacjach podejmowania decyzji często występuje kilka celów. Problem pojawia

Bardziej szczegółowo

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa

( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik

Metody wielokryterialne. Tadeusz Trzaskalik Metody wielokryterialne Tadeusz Trzaskalik 4.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zadanie wielokryterialne Zadanie wielokryterialne programowania liniowego Przestrzeń decyzyjna Zbiór rozwiązań za dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 2 (Materiały) Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu liniowego Zbiór rozwiązań dopuszczalnych programu linowego to taki zbiór, który spełnia warunki ograniczające (funkcyjne oraz brzegowe) programu liniowego. Przy

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

Definicja problemu programowania matematycznego

Definicja problemu programowania matematycznego Definicja problemu programowania matematycznego minimalizacja lub maksymalizacja funkcji min (max) f(x) gdzie: x 1 x R n x 2, czyli: x = [ ] x n przy ograniczeniach (w skrócie: p.o.) p.o. g i (x) = b i

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 4 Programowanie liniowe Dualizm w programowaniu liniowym Plan zajęć Dualizm w programowaniu liniowym Projektowanie programu dualnego Postać programu dualnego Przykład 1 Rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L.

Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. Ćwiczenia laboratoryjne - Dobór optymalnego asortymentu produkcji programowanie liniowe Ćw. L. Typy optymalizacji Istnieją trzy podstawowe typy zadań optymalizacyjnych: Optymalizacja statyczna- dotyczy

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe

BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna

1-2. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna -. Formułowanie zadań decyzyjnych. Metoda geometryczna Zagadnienie wyznaczania optymalnego asortymentu produkcji Firma zamierza uruchomić produkcję dwóch wyrobów A i B. Cenę zbytu oszacowano na zł/kg dla

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia:

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne Temat ćwiczenia: Programowanie liniowe, metoda geometryczna, dobór struktury asortymentowej produkcji Zachodniopomorski Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa Wielokryteriowa optymalizacja liniowa 1. Przy decyzjach złożonych kierujemy się zwykle więcej niż jednym kryterium. Postępowanie w takich sytuacjach nie jest jednoznaczne. Pojawiło się wiele sposobów dochodzenia

Bardziej szczegółowo

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2

Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Wielokryteriowa optymalizacja liniowa cz.2 Metody poszukiwania końcowych rozwiązań sprawnych: 1. Metoda satysfakcjonujących poziomów kryteriów dokonuje się wyboru jednego z kryteriów zadania wielokryterialnego

Bardziej szczegółowo

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały)

Badania Operacyjne Ćwiczenia nr 1 (Materiały) Wprowadzenie Badania operacyjne (BO) to stosunkowo młoda dyscyplina naukowa, która powstała w czasie II Wojny Światowej, w związku z utworzeniem przy niektórych sztabach sił zbrojnych specjalnych grup

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Badania operacyjne Ćwiczenia 2 Programowanie liniowe Metoda geometryczna Plan zajęć Programowanie liniowe metoda geometryczna Przykład 1 Zbiór rozwiązań dopuszczalnych Zamknięty zbiór rozwiązań dopuszczalnych

Bardziej szczegółowo

c j x x

c j x x ZESTAW 1 Numer indeksu Test jest wielokrotnego wyboru We wszystkich mają być nieujemne 1 Pewien towar jest zmagazynowany w miejscowości A 1 w ilości 700 ton, w miejscowości 900 ton Ma być on przewieziony

Bardziej szczegółowo

METODY WIELOKRYTERIALNE

METODY WIELOKRYTERIALNE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 4 METODY WIELOKRYTERIALNE 4.3. ZADANIA Zadanie 4.1 Wykorzystując tryb konwersacyjny

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości

Bardziej szczegółowo

Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych"

Zadanie laboratoryjne Wybrane zagadnienia badań operacyjnych Zadanie laboratoryjne "Wybrane zagadnienia badań operacyjnych" 1. Zbudować model optymalizacyjny problemu opisanego w zadaniu z tabeli poniżej. 2. Rozwiązać zadanie jak w tabeli poniżej z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik

Programowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego:

Rozwiązanie Powyższe zadanie możemy przedstawić jako następujące zagadnienie programowania liniowego: Zadanie Rafineria naftowa otrzymała zamówienie na dwa rodzaje specjalnych paliw węglowodorowych X oraz Y. Zamówienie opiewa na minimum 4 000 galonów paliwa X i minimum 2 400 galonów paliwa Y. Paliwa te

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie:

Badania operacyjne. Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: Badania operacyjne Dr hab. inż. Adam Kasperski, prof. PWr. Pokój 509, budynek B4 adam.kasperski@pwr.edu.pl Materiały do zajęć dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Struktury i Algorytmy Wspomagania Decyzji Zadanie projektowe 2 Czas realizacji: 6 godzin Maksymalna liczba

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE

4. PROGRAMOWANIE LINIOWE 4. PROGRAMOWANIE LINIOWE Programowanie liniowe jest jednym z działów badań operacyjnych. Celem badań operacyjnych jest pomoc w podejmowaniu optymalnych z pewnego punktu widzenia decyzji. Etapy rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Metody Ilościowe w Socjologii

Metody Ilościowe w Socjologii Metody Ilościowe w Socjologii wykład 4 BADANIA OPERACYJNE dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Badania operacyjne podstawowe definicje II. Metodologia badań operacyjnych III. Wybrane zagadnienia badań operacyjnych

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne

BADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Programowanie liniowe

Wykład 6. Programowanie liniowe Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,

Bardziej szczegółowo

Modelowanie całkowitoliczbowe

Modelowanie całkowitoliczbowe 1 Modelowanie całkowitoliczbowe Zmienne binarne P 1 Firma CMC rozważa budowę nowej fabryki w miejscowości A lub B lub w obu tych miejscowościach. Bierze również pod uwagę budowę co najwyżej jednej hurtowni

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny)

Badania operacyjne Operation research. Transport I stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014 Badania

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu

Przykład: frytki i puree Analiza wrażliwości współczynników funkcji celu Analiza wrażliwości: współczynników funkcji celu analiza wrażliwości pozwala odpowiedzieć na pytanie, w jakich granicach mogą się zmieniać te parametry, aby dotychczasowe rozwiązanie było optymalne, wyrazów

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1

A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1 A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b

Bardziej szczegółowo

Barbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb

Barbadoska 16 mb 24 mb Afrykańska 16 mb 10 mb I. Ćwiczenia 2 Firma McCain jest światowym potentatem w branży frytek. W swojej fabryce, która znajduje się w Buriey (stan Idaho), produkuje frytki Golden Longs oraz frytki My Fries Classic. Fabryka zaopatruje

Bardziej szczegółowo

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1

A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe 1 A. Kasperski, M. Kulej Badania Operacyjne- programowanie liniowe ZAGADNIENIE DUALNE Z każdym zagadnieniem liniowym związane jest inne zagadnienie nazywane dualnym. Podamy teraz teraz jak budować zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny.

Badania operacyjne. Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 Forma zaliczenia wykładu: egzamin pisemny. Badania operacyjne Dr Michał Kulej. Pokój 509, budynek B4 michal.kulej@pwr.wroc.pl Materiały do zajęć będa dostępne na stronie: www.ioz.pwr.wroc.pl/pracownicy/kasperski Forma zaliczenia wykładu: egzamin

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii

Bardziej szczegółowo

Programowanie matematyczne

Programowanie matematyczne dr Adam Sojda Badania Operacyjne Wykład Politechnika Śląska Programowanie matematyczne Programowanie matematyczne, to problem optymalizacyjny w postaci: f ( x) max przy warunkach g( x) 0 h( x) = 0 x X

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych

Bardziej szczegółowo

Lista 1 PL metoda geometryczna

Lista 1 PL metoda geometryczna Lista 1 PL metoda geometryczna 1.1. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=5x 1 +7x 2 przy ograniczeniach: 2x 1 +2x 2 600, 2x 1 +4x 2 1000, x i 0 dlai=1,2 1.2. Znajdź maksimum funkcji celuf(x 1,x 2 )=2x

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Etap edukacyjny: IV, przedmiot: informatyka (poziom podstawowy )

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa Etap edukacyjny: IV, przedmiot: informatyka (poziom podstawowy ) SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego

Elementy Modelowania Matematycznego Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla

Bardziej szczegółowo

Programowanie nieliniowe

Programowanie nieliniowe Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą

Bardziej szczegółowo

1. OPTYMALIZACJA PROGRAMU PRODUKCJI I SPRZEDAŻY

1. OPTYMALIZACJA PROGRAMU PRODUKCJI I SPRZEDAŻY 1. OPTYMALIZACJA PROGRAMU PRODUKCJI I SPRZEDAŻY Między produkcją i sprzedażą istnieją wzajemne zależności. Planowanie programu produkcji i sprzedaży (w skrócie zwane programowaniem produkcji) stanowi jednolity

Bardziej szczegółowo

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE

TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE TEORIA DECYZJE KRÓTKOOKRESOWE 1. Rozwiązywanie problemów decyzji krótkoterminowych Relacje między rozmiarami produkcji, kosztami i zyskiem wykorzystuje się w procesie badania opłacalności różnych wariantów

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7

Ćwiczenia laboratoryjne - 7. Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 7 Ćwiczenia laboratoryjne - 7 Problem (diety) mieszanek w hutnictwie programowanie liniowe Ćw. L. 7 Konstrukcja modelu matematycznego Model matematyczny składa się z: Funkcji celu będącej matematycznym zapisem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że

Bardziej szczegółowo

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik

Zadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE

OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko

Bardziej szczegółowo

PROGRAM OPTYMALIZACJI PLANU PRODUKCJI

PROGRAM OPTYMALIZACJI PLANU PRODUKCJI Strona 1 PROGRAM OPTYMALIZACJI PLANU PRODUKCJI Program autorski opracowany przez Sławomir Dąbrowski ul. SIENKIEWICZA 3 m. 18 26-220 STĄPORKÓW tel: 691-961-051 email: petra.art@onet.eu, sla.dabrowscy@onet.eu

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

Dualność w programowaniu liniowym

Dualność w programowaniu liniowym 2016-06-12 1 Dualność w programowaniu liniowym Badania operacyjne Wykład 2 2016-06-12 2 Plan wykładu Przykład zadania dualnego Sformułowanie zagadnienia dualnego Symetryczne zagadnienie dualne Niesymetryczne

Bardziej szczegółowo

Modele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej

Modele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej Modele optymalizacyjne wspomagania decyzji wytwórców na rynku energii elektrycznej mgr inż. Izabela Żółtowska Promotor: prof. dr hab. inż. Eugeniusz Toczyłowski Obrona rozprawy doktorskiej 5 grudnia 2006

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Zadanie 1.

Statystyka. Zadanie 1. Statystyka Zadanie 1. W przedsiębiorstwie Statexport pracuje 100 pracowników fizycznych i 25 umysłowych. Typowy wiek pracownika fizycznego kształtuje się w przedziale od 30 do 40 lat. Średnia wieku pracowników

Bardziej szczegółowo

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE

BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE DR ADAM SOJDA Czasem istnieje wiele kryteriów oceny. Kupno samochodu: cena prędkość maksymalna spalanie kolor typ nadwozia bagażnik najniższa najwyższa najniższe {czarny*, czerwony, } {sedan, coupe, SUV,

Bardziej szczegółowo

Rachunkowość. Decyzje zarządcze 1/58

Rachunkowość. Decyzje zarządcze 1/58 Rachunkowość zarządcza Decyzje zarządcze 1/58 Decyzje zarządcze Spis treści Rodzaje decyzji zarządczych Decyzje podjąć / odrzucić działanie Ogólny opis Koszty relewantne opis i przykłady Przykłady decyzji

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elementy modelowania matematycznego Programowanie liniowe. Metoda Simplex. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ ZADANIE LINIOWE Tortilla z ziemniaków i cebuli (4 porcje) 300

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 2

Laboratorium Metod Optymalizacji. Sprawozdanie nr 2 PAWEŁ OSTASZEWSKI PIŁA, dn. 15.04.2003 nr indeksu: 55566 Laboratorium Metod Optymalizacji Sprawozdanie nr 2 1. TREŚĆ ZADANIA: Firma produkująca sok jabłkowy przewiduje następujące zapotrzebowanie na ten

Bardziej szczegółowo

Zad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto

Zad.1. Microsoft Excel - Raport wyników Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto pocz tkowa Warto cowa Komórka Nazwa Warto Zad.1. Przedsiębiorstwo może wytwarzać trzy typy maszyn: tokarki, piły, frezarki zużywając dwa ograniczone zasoby: energię elektryczną i siłę roboczą w następujących proporcjach: energia (KWH / jedn.)

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań

Bardziej szczegółowo

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych

1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych & " 1 PRZYKŁADOWE KLASY ZAGADNIEŃ LINIOWYCH 1 1 Przykładowe klasy zagadnień liniowych Liniowy model produkcji Zakład może prowadzić rodzajów działalności np. produkować różnych wyrobów). Do prowadzenia

Bardziej szczegółowo

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)

=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11) Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję

Bardziej szczegółowo

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.)

łączny czas pracy (1 wariant) łączny koszt pracy (2 wariant) - całkowite (opcjonalnie - dla wyrobów liczonych w szt.) 14. Zadanie przydziału z ustalonym poziomem produkcji i limitowanym czasem pracy planowanie wielkości produkcji (wersja uproszczona) Producent może wytwarzać n rodzajów wyrobów. Każdy z wyrobów można być

Bardziej szczegółowo

Programowanie celowe #1

Programowanie celowe #1 Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

RACHUNKOWOŚĆ ZARZĄDCZA

RACHUNKOWOŚĆ ZARZĄDCZA RACHUNKOWOŚĆ ZARZĄDCZA Metody wyznaczania kosztów stałych i zmiennych metoda księgowa metoda graficzna metoda odchyleń krańcowych (dwóch punktów) metoda najmniejszych kwadratów 1 Metoda graficzna 50 000

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do badań operacyjnych

Wprowadzenie do badań operacyjnych Wprowadzenie do badań operacyjnych Hanna Furmańczyk 10 października 2008 Badania operacyjne (ang. operations research) - dyscyplina naukowa związana z teorią decyzji pozwalająca wyznaczyć metodę i rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych

Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych prof. dr hab. Tadeusz Trzaskalik dr hab. Maciej Nowak, prof. UE Wybór portfela projektów z wykorzystaniem wielokryterialnego programowania dynamicznego Metody ilościowe w badaniach ekonomicznych 19-06-2017

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 5 Planowanie

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja

Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań nieliniowych -metoda bisekcji

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że

1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli

Bardziej szczegółowo

DOBÓR ASORTYMENTU PRODUKCJI ZAKŁADU ODLEWNICZEGO

DOBÓR ASORTYMENTU PRODUKCJI ZAKŁADU ODLEWNICZEGO 16/5 Archives of Foundry, Year 2002, Volume 2, 5 Archiwum Odlewnictwa, Rok 2002, Rocznik 2, Nr 5 PAN Katowice PL ISSN 1642-5308 DOBÓR ASORTYMENTU PRODUKCJI ZAKŁADU ODLEWNICZEGO J. PIĄTKOWSKI 1, J. SZYMSZAL

Bardziej szczegółowo

RYNEK CIEPŁA REC 2013 OPTYMALIZACJA ROZDZIAŁU OBCIĄŻEŃ POMIĘDZY PRACUJĄCE RÓWNOLEGLE BLOKI CIEPŁOWNICZE

RYNEK CIEPŁA REC 2013 OPTYMALIZACJA ROZDZIAŁU OBCIĄŻEŃ POMIĘDZY PRACUJĄCE RÓWNOLEGLE BLOKI CIEPŁOWNICZE RYEK CIEPŁA REC 2013 OPTYMALIZACJA ROZDZIAŁU OBCIĄŻEŃ POMIĘDZY PRACUJĄCE RÓWOLEGLE BLOKI CIEPŁOWICZE Prof. dr ha. inż. Henryk Rusinowski Dr ha. inż. Marcin Szega Prof. nzw. w Pol. Śl. Mgr inż. Marcin Plis

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: SYSTEMY WSPOMAGANIA DECYZJI. Kod przedmiotu: Ecs 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny. Kierunek: Mechatronika 5. Specjalność: Techniki Komputerowe

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania

METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania METODY OBLICZENIOWE OPTYMALIZACJI zadania Przedstawione dalej zadania rozwiąż wykorzystując Excel/Solver. Zadania 8 są zadaniami optymalizacji liniowej, zadania 9, dotyczą optymalizacji nieliniowej. Przed

Bardziej szczegółowo

Zadanie programowania liniowego metoda graficzna

Zadanie programowania liniowego metoda graficzna Dorota Kuchta Zadanie programowania liniowego metoda graficzna. Formułowanie zadania programowania linowego Punktem wyjścia do sformułowania zadania programowania liniowego jest zawsze problem decyzyjny,

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ

ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ ALGORYTMY EWOLUCYJNE W OPTYMALIZACJI JEDNOKRYTERIALNEJ Zalety: nie wprowadzają żadnych ograniczeń na sformułowanie problemu optymalizacyjnego. Funkcja celu może być wielowartościowa i nieciągła, obszar

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE

Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA

OPTYMALIZACJA DYSKRETNA Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ).

Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). PROGRAMOWANIE LINIOWE Zbudować model matematyczny do poniższych zagadnień (ułożyć program matematyczny ). Problem. Przedsiębiorstwo przewozowe STAR zajmuje się dostarczaniem lodów do sklepów. Dane dotyczące

Bardziej szczegółowo

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0

METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 METODA ANALITYCZNA Postać klasyczna: z = 5 x 1 + 6x 2 MAX 0,2 x 1 + 0,3x 2 < 18 0,6 x 1 + 0,6x 2 < 48 x 1, x 2 > 0 cx MAX Ax < b x > 0 Postać standardowa (kanoniczna): z = 5 x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 MAX

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE

Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.3. ZADANIA W zadaniach 2.1 2.20

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo