Ekonometria - ćwiczenia 11

Transkrypt

1 Ekonometria - ćwiczenia 11 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 21 grudnia 2012

2 Na poprzednich zajęciach zajmowaliśmy się wstępem do badań operacyjnych: zdefiniowaliśmy podstawowe pojęcia, zapoznaliśmy się z metodą graficzną rozwiązywania równań oraz rozwiązaliśmy przykładowe zadanie przy wykorzystaniu dodatku Solver w Excelu. Dzisiaj zapoznamy się z podstawowymi typami zadań programowania liniowego oraz zagadnieniami związanymi z analizą pooptymalizacyjną.

3 Przykład Analiza pooptymalizacyjna Powróćmy do naszego przykładu dotyczącego sklepu zoologicznego, który sprzedaje chomiki oraz świnki morskie. Pamiętamy, że cena chomika wynosi 8 zł, zaś cena świnki morskiej 25 zł. Wiemy jakie ilości pożywienia potrzebują hodowane zwierzęta, ile zużywają trocin tygodniowo oraz jak dużo przestrzeni życiowej musimy im zapewnić. Ponadto, zdajemy sobie sprawę, że dysponujemy ograniczonymi zasobami: karmy, trocin oraz akwariów i klatek dla zwierząt. Teraz interesuje nas czy zmieni się otrzymane poprzednio rozwiązanie optymalne naszego zadania jeżeli zaczniemy chomiki sprzedawać po 10 zł zamiast po 8 zł, albo jeżeli dokupimy jeszcze kolejne klatki. Odpowiedzi na te pytania pozwoli nam znaleźć analiza pooptymalizacyjna.

4 Analiza pooptymalizacyjna Analiza pooptymalizacyjna (analiza stabilności lub analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego) dostarcza informacji o zakresie zmian wartości poszczególnych parametrów, które nie naruszają optymalności rozwiązania otrzymanego dla przyjętego zestawu danych. Informacje o wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wartości poszczególnych parametrów opisują zatem margines bezpieczeństwa decyzji optymalnej. Wskazują też na te parametry, których wartości należy dokładniej oszacować, jeśli decyzja optymalna jest bardzo wrażliwa na ich zmianę. Zagadnienia analizy pooptymalizacyjnej dotyczą badania stabilności rozwiązania optymalnego ZPL względem zmiany wartości parametrów tego zadania. Pojęcie parametry zadania obejmuje: współczynniki funkcji celu, wyrazy wolne w warunkach ograniczających, liczbę warunków ograniczających, liczbę zmiennych decyzyjnych, współczynniki przy zmiennych decyzyjnych w warunkach ograniczających.

5 Przykład Czy otrzymane rozwiązanie optymalne nie zmieni się jeśli cena chomika wzrośnie do 10 zł? Pytanie pooptymalizacyjne. Dane jest ZPL i jego rozwiązanie optymalne x. Dla jakich wartości współczynnika funkcji celu c k przy zmiennej x k rozwiązanie x pozostaje rozwiązaniem optymalnym, jeżeli żaden z pozostałych parametrów nie zmieni wartości? Zbiór liczb rzeczywistych spełniających taki warunek nazywamy zakresem stabilności (Z k ) rozwiązania optymalnego względem współczynnika c k. Zatem, dla x k Z k rozwiązanie optymalne x jest stabilne (niewrażliwe na zmianę parametru c k ), jeżeli wartość tej zmiennej nie wykracza poza zbiór Z k.

6 Własności zbioru Z k Zbiór Z k : jest niepustym przedziałem liczbowym, jest przedziałem domkniętym lub jednostronnie domkniętym, końce przedziału Z k obliczamy za pomocą granicznych wartości c k, dodając je do wartości wyjściowego współczynnika c k. Wartości graniczne c k oznaczają, o ile maksymalnie współczynnik funkcji celu może wzrosnąć i zmaleć, nie naruszając optymalności rozwiązania, końce przedziału Z k oznaczają maksymalną oraz minimalną wartość współczynnika funkcji celu, dla której rozwiązanie x pozostaje optymalne.

7 Rozwiązanie graficzne x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[25/3; 7.5] x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[25/3; 7.5] x x1

8 Przykład - cd. Analiza pooptymalizacyjna Żeby odpowiedzieć na pytanie czy otrzymane uprzednio rozwiązanie pozostanie rozwiązaniem optymalnym w sytuacji kiedy cena za chomika wzrośnie do 10 zł, musimy znaleźć przedział, w obrębie którego nasze rozwiązanie optymalne nie ulegnie zmianie i sprawdzić czy 10 zawiera się w znalezionym przedziale. W tym celu tworzymy nową funkcję celu (8 + c 1 )x x 2 max i wyznaczamy jej wartość dla decyzji optymalnej otrzymanej dla starej funkcji celu. Następnie wyznaczamy wartość nowej funkcji celu we wszystkich wierzchołkach sąsiadujących z wierzchołkiem będącym decyzją optymalną. W przypadku maksymalizacji funkcji celu szukamy takich wartości c 1, dla których f (x ) jest większa od wartości funkcji celu w sąsiadujących wierzchołkach.

9 Zmiana wartości wyrazu wolnego w warunku ograniczającym Przykład - cd. Czy otrzymane rozwiązanie optymalne nie zmieni się jeżeli dokupimy dodatkowe klatki dla zwierząt i łączna powierzchnia klatek i akwariów wzrośnie do 2 m 2? Pytanie pooptymalizacyjne. Dane jest ZPL i jego rozwiązanie optymalne X. Dla jakich wartości wyrazu wolnego b i i-tego warunku ograniczającego, struktura bazowa (zbiór warunków napiętych) odpowiadająca x wyznacza rozwiązanie optymalne zadania, zakładając, że pozostałe parametry zadania pozostają niezmienione. Zbiór liczb rzeczywistych spełniających taki warunek nazywamy zakresem stabilności (W i ) struktury bazowej rozwiązania optymalnego względem wyrazu wolnego b i. Zbiór warunków napiętych w rozwiązaniu optymalnym x jest stabilny dla wszystkich b i W i lub że jest niewrażliwy na zmianę wartości wyrazu wolnego b i, jeżeli ta zmiana nie wykracza poza zbiór W i.

10 Własności zbioru W i Zbiór W i : jest niepustym przedziałem liczbowym, jest przedziałem domkniętym lub jednostronnie domkniętym, końce przedziału W i obliczamy za pomocą granicznych wartości b i, dodając je do wartości wyjściowej współczynnika b i. Wartości graniczne b i oznaczają, o ile maksymalnie b i może wzrosnąć albo zmaleć, tak aby struktura bazowa rozwiązania optymalnego była taka sama jak dla x, końce przedziału W i oznaczają maksymalną oraz minimalną wartość współczynnika b i, dla której struktura bazowa odpowiadająca rozwiązaniu x wyznacza decyzję optymalną.

11 Przykład cd. Analiza pooptymalizacyjna Aby odpowiedzieć na pytanie czy otrzymane rozwiązanie optymalne nie zmieni się jeżeli dokupimy dodatkowe klatki dla zwierząt i łączna powierzchnia klatek i akwariów wzrośnie do 2 m 2 musimy sprawdzić w jakim przedziale może zawierać się wyraz wolny warunku ograniczającego dotyczący powierzchni i sprawdzić czy wielkość 2m 2 należy do tego przedziału. Zmiana wyrazu wolnego oznacza równoległe przesunięcia warunku ograniczającego. W celu wyznaczenia maksimalnej oraz minimalnej wartości b i należy wyznaczyć punkty przecięcia interesującego nas warunku ograniczającego z pozostałymi warunkami ograniczającymi.

12 x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[25/3; 7.5] x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[25/3; 7.5] x x1

13 Uwaga Analiza pooptymalizacyjna Analiza pooptymalizacyjna w odniesieniu do wyrazu wolnego warunku ograniczającego dostarcza odpowiedzi na pytanie o stabilność zbioru warunków napiętych w rozwiązaniu optymalnym, czyli o stabilność zestawu barier decyzji optymalnej, a nie o stabilność samej decyzji. Zbiór warunków napiętych wyznaczających dowolnych wierzchołek zbioru decyzji dopuszczalnych wiąże się bezpośrednio ze strukturą bazową odpowiadającego mu rozwiązania. W szczególności zbiór warunków napiętych wyznaczających decyzję optymalną identyfikuje strukturę bazową rozwiązania optymalnego. Jeżeli w wyniku zmiany wartości ustalonego wyrazu wolnego okaże się, że nowa decyzja optymalna jest wyznaczona w inny niż dotychczas zbiór warunków napiętych, to mówimy, że struktura bazowa rozwiązania optymalnego się zmieniła. W przeciwnym przypadku mówimy, że jest ona stabilna względem tej zmiany.

14 Przykład cd. Czy rozwiązanie optymalne ulegnie zmianie, jeżeli usuniemy warunek ograniczający dotyczący ilości trocin zużywanych przez chomiki oraz świnki morskie? A co stanie się z rozwiązaniem optymalnym, jeżeli dołożymy dodatkowy warunek mówiący o tym, iż zwierzęta oprócz karmy suchej mają być karmione jabłkami? Pytanie pooptymalizacyjne. Dane jest ZPL i jego rozwiązanie optymalne x. Czy w wyniku usunięcia jednego z warunków ograniczających x przestanie być ono rozwiązaniem optymalnym zadania, przy założeniu, że wszystkie inne parametry zadania pozostają niezmienione? Jeżeli dany warunek ograniczający jest luźny, to x pozostanie rozwiązaniem optymalnym, w przeciwnym przypadku x przestaje być rozwiązaniem optymalnym. Pytanie pooptymalizacyjne. Dane jest ZPL i jego rozwiązanie optymalne x. Czy w wyniku usunięcia jednego z warunków ograniczających rozwiązanie optymalne przestanie być ono rozwiązaniem optymalnym zadania, przy założeniu, że wszystkie inne parametry zadania pozostają niezmienione?

15 Pytanie pooptymalizacyjne. Dane jest ZPL i jego rozwiązanie optymalne x. Czy w wyniku wprowadzenia dodatkowego warunku ograniczającego x przestanie być rozwiązaniem optymalnym zadania, przy założeniu, że wszystkie inne parametry zadania pozostają niezmienione? Jeżeli decyzja x spełnia nowy warunek to wówczas jest ona decyzją optymalną zmodyfikowanego zadania, w przeciwnym przypadku zmodyfikowane zadanie ma inne rozwiązanie optymalne lub zbiór jego rozwiązań optymalnych jest pusty.

16 Przykład cd. Analiza pooptymalizacyjna Załóżmy, że teraz właściciel naszego sklepu dogadał się z właścicielem pobliskiego tartaku i otrzymuje teraz za darmo trociny dla swoich zwierząt. Czy brak ograniczenia wpłynie na rozwiązanie optymalne? x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[25/3; 7.5] x D Warunek 2 Warunek 3 Rozwiazanie optymalne x=[100/3; 0] x x1

17 Przykład cd. Analiza pooptymalizacyjna Założmy, że właściciel sklepu zdecydował, iż każde zwierzę oprócz suchej karmy powinno dostawać jabłka. Wiadomo, że chomik zjada jedno jabłko tygodniowo, zaś świnka morska trzy. Dodatkowo, właściciel chce, aby zwierzęta łącznie zjadały nie więcej niż 25 jabłek tygodniowo. Jak dodatkowe ograniczenie wpłynie na rozwiązanie optymalne? x D Warunek 1 Warunek 2 Warunek 3 Warunek 4 Rozwiazanie optymalne x=[10; 5] Mateusz 0 Myśliwski 5 10Ekonometria 15 - ćwiczenia 20 11

18 Analiza pooptymalizacyjna służą do pomiaru wrażliwości funkcji celu w rozwiązaniu optymalnym względem wartości wyrazu wolnego warunku ograniczającego. Ceną dualną dla i-tego warunku ograniczającego nazywamy przyrost (spadek) optymalnej wartości funkcji celu ZPL wywołany jednostkowym przyrostem (spadkiem) wyrazu wolnego b i, pod warunkiem jednak, że ta zmienna nie wykracza poza przedział stabilności.