Metoda simpleks. Gliwice

Transkrypt

1

2 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej

3 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX O: WB: x 9x + 7x x + x x + 2x 6 0, x

4 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Ograniczenie 1 9x + 7x Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia: 9x + 7x + x = x 3 zmienna bilansująca Zmienna bilansująca x 3 określa ilość środka S 1 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji. 4

5 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej 9x + 7x + x = x = 63 9x 7x Gdyby przyjąć: x 1 = 0 i x 2 = 0: x 3 = 63 0 Zmienna bilansująca x 3 spełnia postulat nieujemności. 5

6 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Ograniczenie 2 x 1+ x2 8 Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia (analogicznie jak dla pierwszego ograniczenia): x1+ x2 + x4 = 8 x 4 zmienna bilansująca Zmienna bilansująca x 4 określa ilość środka S 2 jaki nie zostanie wykorzystany w procesie produkcji. Dla x 1 = 0 i x 2 = 0: x 4 = 8 0 6

7 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Ograniczenie 3 3x + 2x Aby otrzymać ograniczenie w postaci równania wprowadzamy dodatkową zmienną do ograniczenia: 3x + 2x x = x 5 zmienna bilansująca Dla x 1 = 0 i x 2 = 0: x 5 = 6 < 0 7

8 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej W postaci bazowej, w każdym ograniczeniu musi znajdować się jedna zmienna, która po wyzerowaniu wszystkich pozostałych zmiennych w ograniczeniu jest nieujemna. Wprowadzamy kolejną zmienną: 3x + 2x x + x = x 6 zmienna sztuczna Dla x 1 = 0, x 2 = 0 oraz x 5 = 0: x 6 = 6 0 8

9 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Rozwiązanie zadania po wprowadzeniu zmiennej sztucznej nie jest równoważne z rozwiązaniem zadania początkowego. Byłoby równoważne tylko wtedy, gdyby w rozwiązaniu optymalnym zmienna sztuczna miała wartość zero. 9

10 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Aby zapewnić x 6 = 0 w rozwiązaniu optymalnym, każdą zmienną sztuczną wprowadza się do funkcji celu. Współczynnik przy zmiennej sztucznej w funkcji celu dobiera się tak, aby niezerowa wartość tej zmiennej mocno pogarszała wartość funkcji celu. FC: ( ) Z x, x, x = 6x + 5x + Mx MAX M =

11 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Czy zmienne bilansujące należy uwzględnić w funkcji celu? Tak. Z jakimi współczynnikami? Wszystkie współczynniki przy zmiennych bilansujących w funkcji celu mają wartość równą zero. ( ) Z x, x, x, x, x, x = 6x + 5x + 0x + 0x + 0x 1000x MAX

12 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Postać bazowa zadania z Przykładu 1: FC: ( ) Z x, x, x, x, x, x = 6x + 5x + 0x + 0x + 0x 1000x MAX O: WB: x + 7x + x = x + x + x = x + 2x x + x = x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x

13 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie do postaci bazowej ograniczenia typu: x + 2x = Wprowadzamy zmienną sztuczną: x + 2x + x = Zmienną sztuczną x 3 należy uwzględnić w funkcji celu w podany poprzednio sposób, czyli tak, aby jej niezerowa wartość mocno pogarszała wartość funkcji celu. 13

14 Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Postać bazowa: Wszystkie ograniczenia w postaci równań W każdym ograniczeniu znajduje się zmienna, która po wyzerowaniu pozostałych zmiennych ma wartość nieujemną Współczynnik przy zmiennej sztucznej ma wartość 1 Wprowadzone zmienne bilansujące wprowadza się funkcji celu z zerowymi współczynnikami do Wprowadzone zmienne sztuczne uwzględnia się w funkcji celu ze współczynnikami mocno pogarszającymi jej wartość 14

15

16 Przykład 5 Rozwiązać zadanie z Przykładu 1 metodą simpleks. FC: ( ) Z x, x, x, x, x, x = 6x + 5x + 0x + 0x + 0x 1000x MAX O: WB: x + 7x + x = x + x + x = x + 2x x + x = x 0, x 0, x 0, x 0, x 0, x

17 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i 17

18 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i

19 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i

20 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x 3 0 x 4 0 x

21 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 1 = ( 1000) 3 =

22 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 2 = ( 1000) 2 =

23 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 3 = ( 1000) 0 = 0 23

24 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 4 = ( 1000) 0 = 0 24

25 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 5 = ( 1000) ( 1) =

26 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j z 6 = ( 1000) 1 =

27 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j ( ) c1 z1 = =

28 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j ( ) c2 z2 = =

29 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j c3 z3 = 0 0= 0 29

30 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j c4 z4 = 0 0= 0 30

31 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j c5 z5 = =

32 Tablica simpleks: c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j ( ) c6 z6 = = 0 32

33 c j z j wskaźniki optymalności Dla zmiennych bazowych wskaźniki optymalności zawsze są równe 0. 33

34 Kryterium optymalności Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wartości wszystkich wskaźników optymalności są niedodatnie. Rozwiązanie w bazie [x 3, x 4, x 6 ] nie jest rozwiązaniem optymalnym. Należy przejść do następnej bazy 34

35 Kryterium wejścia do bazy Do bazy wchodzi zmienna, która ma największą wskaźnika optymalności. wartość Jeżeli największa wartość wskaźnika optymalności odpowiada więcej niż jednej zmiennej, wybieramy zmienną o niższym indeksie. W przykładzie kryterium wejścia spełnia zmienna x 1. 35

36 Kryterium wyjścia z bazy Obliczamy ilorazy wyrazów wolnych (kolumna b i ) przez elementy (tylko dodatnie) kolumny zmiennej wchodzącej do bazy. Bazę opuszcza ta zmienna, dla której obliczony iloraz jest najmniejszy. Jeżeli najmniejsza wartość ilorazu występuje dla więcej niż jednej zmiennej, to jako zmienną opuszczającą bazę można wybrać dowolną z nich. 36

37 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j x : 63/9= 7 x : 8/1= 8 x : 6/3= W przykładzie kryterium wyjścia spełnia zmienna x 6. 37

38 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z j c j z j

39 Metoda zamiany zmiennych Elementy wiersza usuwanego i kolumny wchodzącej wyróżniono szarym tłem. Element centralny wyróżniono ramką. 39

40 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x

41 Metoda zamiany zmiennych Elementy nowej tablicy simpleksowej wyznaczamy stosując regułę prostokąta, nie uwzględniając elementów w wierszu usuwanym oraz kolumnie wchodzącej. Elementy kolumny wchodzącej, poza elementem centralnym, są równe zero. Elementy w wierszu odpowiadającemu usuwanej zmiennej dzielimy przez element centralny. 41

42 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x element centralny a a a = a12 = = a

43 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x x b i a a a a 12 1 a 22 = 1 = = 1 = 1 a = 0 = = 0 = 0 a = 1 = ( 1) 1 ( 1) 1 = 0 = 3 a = 0 = = 0 = 3 a = 0 = b b = 63 = = 8 =

44 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x / /3-1/3 6 x / /3 1/3 2 z j c j z j / 3 44

45 z ( c z ) Współczynniki j oraz wskaźniki optymalności j j obliczamy tak, jak w przypadku 1-szej tablicy simpleksowej 45

46 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x x / /3-1/3 6 x / /3 1/3 2 z j c j z j b i Rozwiązanie w bazie [x 3, x 4, x 1 ] nie jest rozwiązaniem optymalnym. 46

47 Do bazy wchodzi zmienna: x 5 Ilorazy: x x x : 45/3= 15 ( ) : 6/ 1/3 = 18 : ujemny współczynnik nie liczymy ilorazu Z bazy wychodzi zmienna: x 3 47

48 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x /3 1/ x /9-1/ x /9 1/ z j 6 14/3 2/ c j z j 0 1/3-2/ b i Rozwiązanie w bazie [x 5, x 4, x 1 ] nie jest rozwiązaniem optymalnym. 48

49 Do bazy wchodzi zmienna: x 2 Ilorazy: x x x ( ) ( ) ( ) : 15/ 1/3 = 45 : 1/ 2/9 = 4.5 : 7/ 7/9 = 9 Z bazy wychodzi zmienna: x 4 49

50 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x /2-3/ /2 x /2 9/ /2 x /2-7/ /2 z j 6 5 1/2 3/2 0 0 c j z j 0 0-1/2-3/ b i Rozwiązanie w bazie [x 5, x 2, x 1 ] jest rozwiązaniem optymalnym. 50

51 c T x MAX x(b) c(b) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x /2-3/ /2 x /2 9/ /2 x /2-7/ /2 z j 6 5 1/2 3/2 0 0 c j z j 0 0-1/2-3/ Zmienne bazowe: x 5 = 27/2 x 2 = 9/2 x 1 = 7/2 Zmienne niebazowe: x 3 = 0 x 4 = 0 x 6 = 0 51

52 Rozwiązanie: x = 3.5 x = 4.5 x = 0 x = 0 x = 13.5 x = Funkcja celu: ( ) Z x, x, x, x, x, x =

53 Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN

54 Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN Kryterium wejścia do bazy MAX: Zmienna z największą wartością wskaźnika optymalności. MIN: Zmienna z najmniejszą wartością wskaźnika optymalności. 54

55 Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN Kryterium wyjścia z bazy MAX: Zmienna, dla której iloraz elementu z wektora wyrazów wolnych przez współczynnik z kolumny zmiennej wchodzącej do bazy ma najmniejszą wartość. MIN: Identycznie jak w zadaniu na MAX. 55

56 Różnice w algorytmie metody simpleks na MAX i MIN Rozwiązanie optymalne MAX: Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być niedodatnie. MIN: Wszystkie wskaźniki optymalności muszą być nieujemne. 56

57 Zmienne nie spełniają warunków nieujemności!!! I co dalej???

58 a zadanie dualne FC: ( ) Z x, x, x = 6x + 5x 4x MAX O: x + 7x 4x x + 6x 8x x + 2x + 4x = WB: x 0, x R, x

59 a zadanie dualne x2 R Zmienną x 2 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych: x = x x, x 0, x 0 * ** * **

60 a zadanie dualne x3 0 Zmienną x 3 zastępujemy różnicą dwóch zmiennych nieujemnych: x = x x, x 0, x 0 * ** * **

61 a zadanie dualne FC: ( * ** * ** ) ( * ** ) ( * ** ) Z x, x, x, x, x = 6x + 5 x x 4 x x MAX O: ( * **) ( * **) 9x + 7 x x 4 x x ( * **) ( * **) 3x + 6 x x 8 x x ( * **) ( * **) 3x + 2 x x + 4 x x = WB: x 0, x 0, x 0, x 0, x 0 * ** * **

62 a zadanie dualne Zmieniamy numery zmiennych: FC: ( ) Z xˆ, xˆ, xˆ, xˆ, xˆ = 6xˆ + 5xˆ 5xˆ 4xˆ + 4xˆ MAX O: xˆ + 7xˆ 7xˆ 4xˆ + 4xˆ xˆ + 6xˆ 6xˆ 8xˆ + 8xˆ xˆ + 2xˆ 2xˆ + 4xˆ 4xˆ = WB: xˆ 0, j = 1,2,...,5 j 62

63 a zadanie dualne Ograniczenia, w których wyraz wolny jest liczbą mnożymy przez 1 (tutaj ograniczenie 1): ujemną FC: ( ) Z xˆ, xˆ, xˆ, xˆ, xˆ = 6xˆ + 5xˆ 5xˆ 4xˆ + 4xˆ MAX O: xˆ 7xˆ + 7xˆ + 4xˆ 4xˆ xˆ + 6xˆ 6xˆ 8xˆ + 8xˆ xˆ + 2xˆ 2xˆ + 4xˆ 4xˆ = WB: xˆ 0, j = 1,2,...,5 j 63

64 a zadanie dualne Dalsze postępowanie jest identyczne jak przy rozwiązywaniu zadania metodą simpleks. 64

65 Szczególne przypadki rozwiązań

66 Szczególne przypadki rozwiązań Zadanie sprzeczne W postaci bazowej: ( ) ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX x + x x + 2x x, x Z x, x, x, x, x = 6x + 5x + 0x 1000x + 0x MAX x + x x + x = x + 2x + x = x, x, x, x, x

67 Szczególne przypadki rozwiązań x x 1 67

68 Szczególne przypadki rozwiązań Zadanie sprzeczne: Nie ma rozwiązań dopuszczalnych Objawy w metodzie simpleks: W rozwiązaniu optymalnym, zmienna sztuczna (w tym przykładzie zmienna x 4 ) będzie miała wartość niezerową (czyli będzie w bazie). 68

69 Szczególne przypadki rozwiązań Alternatywne rozwiązania optymalne W postaci bazowej: ( ) ( ) Z x, x = 2x + 2x MAX x + x x + 2x x, x Z x, x, x, x, x = 2x + 2x + 0x + 0x 1000x MAX x + x + x = x + 2x x + x = x, x, x, x, x

70 Szczególne przypadki rozwiązań x C B 1 C (0, 8): Z(0, 8) = 16 D (8, 0): Z(8, 0) = A D x 1 70

71 Szczególne przypadki rozwiązań Alternatywne rozwiązania optymalne: Każdy punkt odcinka CD jest rozwiązaniem optymalnym odpowiada alternatywnemu, optymalnemu rozwiązaniu Może się zdarzyć, że zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych Objawy w metodzie simpleks: W rozwiązaniu optymalnym, zerowe wartości wskaźników optymalności dla zmiennych niebazowych. Rozwiązania optymalne można zidentyfikować przechodząc do kolejnych baz. 71

72 Szczególne przypadki rozwiązań Nieograniczony zbiór rozwiązań dopuszczalnych W postaci bazowej: ( ) ( ) Z x, x = 2x + 3x MAX x + 2x x x, x 0 Z x, x, x, x, x = 2x + 3x + 0x 1000x + 0x MAX x + 3x x + x = x + x = x, x, x, x, x

73 Szczególne przypadki rozwiązań x B A 1 C x 1 73

74 Szczególne przypadki rozwiązań W tym zadaniu: Zbiór rozwiązań jest nieograniczony Funkcja celu jest nieograniczona z góry Objawy w metodzie simpleks: W tablicy simpleks kolumna zmiennej wchodzącej do bazy ma wszystkie elementy niedodatnie. 74

75 Szczególne przypadki rozwiązań Czy funkcja celu może być nieograniczona od dołu? Nie, ponieważ wymagana jest nieujemność zmiennych. Czy pomimo tego, że zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest nieograniczony może istnieć dokładne rozwiązanie optymalne? Może, gdy zadanie jest zadaniem na MIN. 75

76 Szczególne przypadki rozwiązań ( ) Z x, x = 2x + 3x MIN x + 2x x x, x 0 Z poprzedniego rysunku: A (2, 0): Z(2, 0) = 4 MIN B (0, 3): Z(0, 3) = 9 C (7, 0): Z(7, 0) = 14 76