Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych zorienowanych... Jednolie podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych... Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych ADefinicja(pole skalarne i wekorowe) Jeżeli w obszarze D na płaszczyźnie lub w przesrzeni jes określona funkcja liczbowa u u( M) lub wekorowa F F( M), gdzie M D, o mówimy, że na ym obszarze jes określone pole skalarne u( M) u( r) lub wekorowe F( M) F( r), gdzie r OM. Będziemy akżepisali: u u( x, y), F F( x, y) ( P( x, y), Q( x, y)) dla ( x, y) D (płaszczyzna) lub u u( x, y, z), F ( P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)) dla ( x, y, z) D R (przesrzeń). A Definicja (łuk zorienowany) Łuk niezamknięy AB, na kórym usalono począek A i koniec B (zn. kierunek), nazywamy łukiem zorienowanym (skierowanym). Łuk zorienowany oznaczamy ym samym symbolem co łuk. Łuk o orienacji przeciwnej do orienacji łuku AB oznaczamy przez BA. ADefinicja(całka krzywoliniowa zorienowana)
Niech F ( P( x, y), Q( x, y)) będzie polem wekorowym na łuku zorienowanym, gdzie AB. Wprowadzamy oznaczenia: P { M A, M,..., M B} podział łuku :... n ; i Mi Mi, Mi( xi, yi), xi xi xi, yi yi yi, punk pośredni M * i ( i, i) i, i,,..., n; ( P) max{ x,..., x n } średnica podziału P. Całkę krzywoliniową zorienowaną (skierowaną) z pola wekorowego F ( P, Q) po łuku AB definiujemy wzorem P( x, y) dx Q( x, y) dy lim ( P(, ) x Q(, ) y ) n ( P) i i i i i i i o ile granica po prawej sronie isnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P ani od sposobu wyboru punków pośrednich. y y i yi y i i * Mi i, i M i M i n B x i O xi x i x Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową zorienowaną z pola wekorowego F ( P, Q, R) po łuku AB położonym w przesrzeni: P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz lub króko Pdx Qdy Rdz, lub w zapisie wekorowym F( r ) dr, gdzie dr ( dx, dy) (płaszczyzna) lub dr ( dx, dy, dz) (przesrzeń). A+B4 Definicja (własności calek krzywoliniowych zorienowanych) 4..Addyywność(całka krzywoliniowa po sumie łuków skierowanych): Niech łuk skierowany będzie sumą łuków skierowanych,,, m przy czym koniec łuku k jes począkiem łuku k, gdzie k,..., m. Ponado niech F będzie polem wekorowym określonym na łuku. Wedy całkę krzywoliniową zorienowaną z pola wekorowego F po łuku określamy wzorem F d r F d r F d r F d r. m o ile całki po prawej sronie równości isnieją. A 4..iniowość: jeżeli isnieją całki z pól wekorowych F, F i F, po kawałkami gładkim łuku o
( F F ) d r F d r F d r, ( cf) d r c F d r, gdzie c. 4.. Jeżeli jes łukiem przeciwnie zorienowanym do, o F d r F d r. Całkę krzywoliniową zorienowaną obliczamy sprowadzając do całki pojedynczej. A5Twierdzenie (o zamianie całki krzywoliniowej zorienowanej na całkę pojedynczą) Niech pole wekorowe F F( r) będzie ciągłe na łuku gładkim AB : r r( ), r( ), [, ], kórego orienacja jes zgodna z jego parameryzacją: r ( ) począek A, r ( ) koniec B. Wedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej: F d r F( r ( )) d r ( ) czyli P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x( ), y( )) x ( ) Q( x( ), y( )) y ( ) d, gdzie A( x( ), y( )), B( x( ), y( )) (płaszczyzna) lub P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz P( x( ), y( ), z( )) x( ) Q( x( ), y( ), z( )) y( ) R( x( ), y( ), z( )) z( ) d, gdzie A( x( ), y( ), z( )), B( x( ), y( ), z( )) (przesrzeń). A6Przykład. Obliczyć całkę krzywoliniową z pola wekorowego x cos, F( x, y, z) ( xy, yz, zx) po łuku AB : y sin, gdzie A (,,) gdzie B (,,). z, Rozwiązanie: cos sin ( sin ) sin cos xydx yzdy zxdz d d d 6 sin (sin ) sin (sin ) sin sin. A7Uwaga Jeżeli łuk skierowany na płaszczyźnie jes zamknięy, o wedy piszemy... lub... albo... A8Definicja (znak orienacji) Niech będzie kawałkami gładkim łukiem (bez samo przecięć) na płaszczyźnie, zn. krzywą Jordana. Mówimy, że orienacja łuku jes dodania (Rys. a)) względem swego
wnęrza D, gdy podczas ruchu po łuku w kierunku jego orienacji obszar D leży cały czas po lewej sronie łuku. W przeciwnym przypadku(rys. b)) mówimy, że orienacja łuku jes ujemna. y y O x O a ) á) x A+B9Twierdzenie(wzór Greena) Jeżeli pole wekorowe F ( P, Q) (zn. funkcje PQ), będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D domknięym i normalnym względem obu osi układu, przy czym brzeg ego obszaru jes skierowany dodanio względem wnęrza obszaru (zn. przy chodzeniu po brzegu obszaru lewa ręka jes w środku zamknięego łuku ), o Q P P( x, y) dx Q( x, y) dy dxdy. x y D A+BWniosek(niezależności całki krzywoliniowej od drogi całkowania) Jeżeli funkcje P( x, y) i Q( x, y ) są klasy C w obszarze jednospójnym D oraz w Q P ym obszarze spełniony jes warunek, o dla dowolnego łuku AB D x y całka krzywoliniowa skierowana P( x, y) dx Q( x, y) dy nie zależy od kszału ego łuku, a zależy ylko od punków Pdx Qdy A i B, i na odwró: jeżeli w obszarze D całka nie zależy od kszału łuku AB, a zależy ylko od jego końców dla Q P dowolnego łuku AB D, o w ym obszarze zachodzi równość x y. APrzykład. Obliczyć podane całki krzywoliniowe po podanych łukach:.) xy dx x ydy, gdzie brzeg prosokąa ograniczonego liniami x, x 5, y, y zorienowany dodanio;.) y dx x dy, gdzie brzeg obszaru ograniczonego wykresami funkcji: y x, x y zorienowany ujemnie. Rozwiązanie.: a) Z definicji: jes łukiem złożonym z łuków gładkich,,, 4, gdzie AB odcinek o począku (,) i końcu(5,) i równaniu y y( x), x [,5]; BD odcinek o począku (5,) i końcu(5,) i równaniu x x( y) 5, y [,];
4 DC odcinek o począku (5,) i końcu (,) i równaniu y y( x) ; CA odcinek o począku (,) i końcu (,) i równaniu x x( y) ; 5 xy dx x ydy x dx x ; y xy dx x ydy 5y 5 ydy 5 ydy 5 5; x xy dx x ydy x dx x 4 xdx 4 48; 5 4 5 5 y xy dx x ydy y ydy ydy. Wedy xy dx x ydy............ 5 48. b)korzysając z wierdzenia A+B9 Greena, mamy: ( x y) ( xy ) xy dx x ydy dxdy xy xydxdy dxdy. x y Rozwiązanie.. Korzysając z wierdzenia A+B9 Greena, mamy: ( x ) ( y) ydx x dy ydx x dy dxdy x dxdy x y D D D D D x 4 9 dx x dy xy y dx. x x x x x dx 5 x x A+B Definicja (pole poencjalne, poencjał) Pole wekorowe F F() r określone na obszarze D nazywamy poencjalnym, gdy isnieje funkcja U U( r) aka, że x F( r) gradu( r) na obszarze D U ( x, y) U ( x, y) czyli P( x, y), Q( x, y) dla pola F( r) P( x, y), Q( x, y) na x y płaszczyźnie: ( x, y) D ; dla pola F( r) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) w przesrzeni mamy: U ( x, y, z) U ( x, y, z) U ( x, y, z) P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z), x y z gdzie ( x, y, z) D. Funkcję U nazywamy wówczas poencjałem pola wekorowego F. A+B Twierdzenie (całka krzywoliniowa w polu poencjalnym) Całka zorienowana w polu F( r) gradu( r) poencjalnym ciągłym na obszarze D po łuku AB dowolnym zorienowanym kawałkami gładkim o począku A i końcu B, całkowicie zawarym w obszarze D, ma posać
F( r) dr U( B) U( A) nie zależy od drogi AB i jes równa róznicy poencjalów na końcu B i na począku A ej drogi, w szczególności, P( x, y) dx Q( x, y) dy U( x, y) U( x, y ) po AB, gdzie A( x, y), B( x, y ); lub P x y z dx Q x y z dy R x y z dz U x y z U x y z (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) po gdzie A( x, y, z), B( x, y, z ). Sąd oszymamy wzór * na obliczanie poenciału: U( B) F( r) dr. A+B4 Przykład. Obliczyć całkę AB ydx xdy jeżeli łuk jes a) odcinkiem skierowanym od punku (,) do punku (,); b) łukiem paraboli y x, x [,], s począkiem (,) i końcem (,); c), gdzie odcinek od (,) do (,) oraz odcinek od (,) do (,). AB, Rozwiązanie. a) Korzysając z parameryzacji : y x, x[,], mamy ydx xdy xdx x ; b) Korzysając z parameryzacji ydx xdy x dx x ; : y x, x [,], mamy c) Korzysając z parameryzacji : y, x [,], oraz : x, y [,], mamy: ydx xdy dx, ydx xdy dy y ; ydx xdy ydx xdy ydx xdy. d) Całka w polu poencjalnym, poencjał U xy (,). ydx xdy xy (,)
A5 Definicja (cyrkulacja pola wekorowego) Cyrkulacją pola wekorowego F F() r po łuku zamknięym zorienowanym nazywamy całkę krzywoliniową zorienowaną F( r) dr. A6Przykład.Obliczyć cyrkulację pola wekorowego F ( x,) po łuku dodanio zorienowanym kóry jes okręgiem o środku w (,) i promieniu. Rozwiązanie. Korzysając z parameryzacji : x cos, y sin, [, ], mamy xdx dy cos ( sin ) cos d... B7 Definicja (roacja pola wekorowego) Roacją ro F pola wekorowego F ( P, Q, R), różniczkowalnego w sposób ciągły na obszarze D, nazywamy pole wekoroweokreślone wzorem i j k R Q R P Q P ro F i j k. x y z y z x z x y P Q R B8 Przykład. Roacja pola wekorowego F ( y z, yz, x ) ma posać: ro F ( y,x z, y). B9Fak(kryerium poencjalności pola wekorowego) Pole wekorowe F jes poencjalne na obszarze jednosspójnym w przesrzeni wedy i ylko wedy, gdy ro F na ym obszarze. B Uwaga Twierdzenie A+B9 oraz wzór Greena zosaje prawdziwy dla obszaru wielospójnego D,kóry można podzielić na skończoną liczbę k obszarów normalnych względem osi Ox i Oy, nie mających wspólnych punków wewnęrznych, przy czym krzywa jes sumą krzywych,, k sanowiących brzeg ego obszaru i skierowanych dodanio... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych zorienowanych B Fak (zasosowania w geomerii) Pole obszaru D ograniczonego łukiem zamknięym kawałkami gładkim dodanio zorienowanym wzgłędem obszaru D wyraża się wzorami: D xdy ydx xdy ydx. A+B Przykład. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego łukiem x acos, : [, ], a. y acos, 4 4 Rozwiązanie: D xdy ydx (a cos sin a cos sin ) d a
cos sin d a sin ( cos 4 ) sin 4. 8 d 6 d 6 4 8 A+B Fak (zasosowania w fizyce).. Praca W w polu wekorowym F F() r wzdłuż łuku zorienwanego AB od punku począkowego A do punku końcowego B wyraża się wzorem W F( r) dr a a a czyli W P( x, y) dx Q( x, y) dy po łuku na płaszczyźnie lub W P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz po łuku w przesrzeni... Praca w polu poencjalnym F F( r) grad U( r) wzdłuż łuku zorienwanego kawałkami gładkiego AB od punku A do B wyraża się wzorem W F( r) dr U( B) U( A), gdzie U jes poencjałem ego pola. Inerpreacja fizyczna: praca sił F gradu ( x, y) wzdłuż drogi AB jes równa różnicy poencjałów na końcu i na począku ej drogi (nie zależy od kszału drogi). A+B4 Przykład. Obliczyć pracę jaką wykonamy w polu wekorowym F ( xy, x y) i F ( x y, x y) wzdłuż łuku AB od A do B, jeżeli: a) odcinek skierowany od punku (,) do punku (,); b) łuk okręgu o środku w począku układu współrzędnych i promieniu przebieganym w kierunku odwronym do ruchu wskazówek zegara; c) brzeg kwadrau D ( x, y) : x y zorienowany dodanio... Jednolie podejście do wprowadzania całek krzywoliniowych W zależności od rodzaju sum całkowych zdefiniuwaliśmy dwa rodzaje całek krzywoliniowych: całkę I rodaju (względem długości) całkę nieskierowaną (niezorienowaną) oraz całkę II rodzaju (względem współrzędnych) całkę skierowaną (zorienowaną). Takie podejście jes bardzo znane (zobacz Elemeny Analizy Wekorowej M. Gewer, Z. Skoczylas). Poniżej na przykładzie płaszczyzny Oxy będziemy równolegle rozparywać całki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane w jednoliym podejściu ze względu na definicje, obliczania oraz analiza zasosowań. A+B5 Uwaga (całka krzywoliniowa na płaszczyźnie) 5..Całka nieskierowana5..całka skierowana Mamy: a)łuk zwykły D a) Łuk skierowany AB D ( nie jes skierowany: nie ( A jes począkiem, B jes końcem, nadajemy począku i końca) AB BA)
W obszarze D jes określone b) pole skalarne u u( M) u( x, y), b)pole wekorowe F F( x, y) na przykład pole masy ( P( x, y), Q( x, y)), na przykład pole siły ( uxy (, ) jes gęsością liniową (wekor F określa siłę F( x, y ) w punkcie ( xy)w, ) punkcie ( xy), ) Wprowadzimy elemen łuku c) elemen skalarnyc) elemen wekorowy dl ( dx) ( dy) dl dl e ( dx, dy) dr (uaj e (cos,cos ) jes wersorem sycznej w punkcie ( xy,, ) dx cos dl, dy sin dl, r ( x, y) ) Badamy problem obliczania d)masy M M łuku d)pracyw siły F wzdłuż łuku Rozważmy elemenarny łuk nieskierowany o długości l i odpowiednio łuk skierowany. Wedy elemenarna masa M oraz elemenarna praca W siły F wzdłuż łuku spełniają równość: e) M u( x, y) l o( l),e) W P( x, y) x Q( x, y) y o( l), gdy l gdy l Przechodzimy do różniczek masy i pracy, wedy orzymamy f) dm u( x, y) dl f) dw F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy Całkując wzdłuż łuku, dochodzimy do g) M u( x, y) dl g) W F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy AB całka nieskierowana(masa łuku całka skierowana (praca W siły F maerialnego o gęsości u u( x, y) ) wzdłuż łuku AB ) Sąd orzymujemy B6 Uwaga (zależność między całkami krzywoliniowymi) F( r) dr P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x, y)cos ( x, y) Q( x, y)cos ( x, y) dl, gdzie ( xy, ), ( xy, ) oznaczają kąy między wekorem sycznym e do łuku w punkcie ( x, y) a dodanimi częściami odpowiednio osi Ox, Oy (zakładamy, że zwro wekora e jes zgodny z orienacją łuku ). A+B7Twierdzenie(o zamianie całki krzywoliniowej na całkę oznaczoną) Niech łuk gładki jes określony paramerycznie : x x( ), y y( ), [, ], gdzie x y '( ) '( ) dla (, ). Wedy obliczanie całki krzywoliniowej można sprowadzić do obliczania całki oznaczonej: u( x, y) dl u( x( ), y( )) x( ) y( ) d, gdzie xx() y y() a) AB
dla całki krzywoliniowej nieskierowanej oraz gdzie b) P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x( ), y( )) x( ) Q( x( ), y( )) y( ) d, x x() y y() AB oraz A ( x( ), y( )) i B ( x( ), y( )) dla całki krzywoliniowej skierowanej. A+B8 Uwaga (własności całek) Własności całek krzywoliniowych są analogiczne do odpowiednich własności całki oznaczonej, w szczególności zachodzą bardzo ważne własności liniowości i addyywności całek krzywoliniowych, przy obliczaniu całki nieskierowanej dla funkcji jednoskowej orzymujemy długość łuku: dl mes, przy zamianie kierunku łuku na przeciwny całka skierowana eż zmienia znak na przeciwny P( x, y) dx Q( x, y) dy P( x, y) dx Q( x, y) dy, id. Sąd wynika, że całka skierowana bardziej podobna do całki oznaczonej w ym czasie jak całka nieskierowana bardziej podobna do całki wielokronej. Praca domowa Przykład.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną ( x y) dx ( x y) dy po łuku, gdzie a) odcinek skierowany od punku (,) do punku (,); b) łuk paraboli o równaniu y x x Przykład.Obliczyć całkę krzywoliniowe skierowaną, [,], skierowany od punku (,) do punku (,). dx zdy ydz po łuku, gdzie a) odcinek skierowany od punku (,,) do punku (,,); x cos, b) łuk linii śrubowej y sin, [, ], skierowany od punku (,, ) do punku z, (,,). Przykład. Obliczyć całkę ( x y) dx ( x y) dy po łuku,gdzie jes brzegiem kwadrau o wierzchołkach przebieganych w kolejności (,), (,), (,), (, ), (,). Sprawdzić orzymany wynik wykorzysując wierdzenie Greena. Przykład 4.Obliczyć cyrkulację pola wekorowego F (, z, y) po łuku, gdzie jes brzegiem rójkąa o wierzchołkach przebieganych w kolejności (,,), (,,), (,,), (,,).